2016第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段赛题发布

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2016 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛
第二阶段
A 题洗衣机
洗衣机是普及率极高的家用电器，它给人们的生活带来了很大的方便。家
用洗衣机从工作方式来看，有波轮式、滚筒式、搅拌式等若干种类。在此基础
上，各厂商也推出了多种具体方案，设计了不同的几何及运转参数，诸如波轮
9 R* g5 t6 j' Q4 B- \: O的外形、内筒的内壁形状、旋转方式和转速等。不同设计方案的净衣效能和对
/ A& y: c" |# \! M衣物的损伤程度各不相同。
第一阶段问题：
6 ]7 U) t1 v# _- p! C- Q1. 请你建立合理的指标，衡量洗衣机的净衣效能和对衣物的损伤程度。
6 t  x2 f7 q4 r8 W2. 请你建立合理的数学模型，对典型的波轮式和滚筒式家用洗衣机的工
作方式进行分析，并分别估算这两种工作方式的净衣效能和对衣物的损伤程
+ P- A+ ~# d" [+ G1 l' z% y度。为简单起见，我们可以只考虑洗涤过程，不考虑漂洗和脱水过程。
第二阶段问题： 用户总是希望洗衣机能尽量提高净衣效能，而且能够尽量减
+ V& I* C5 ~& A; Q2 v小洗涤过程对衣物的机械损伤。为此，请你建立合理的数学模型，对典型的家
$ q" a1 S9 `, F7 ?9 i用洗衣机进行优化的设计。在设计方案中请说明其工作方式（可使用或改进
" ]$ W! V2 s& }  m常见的波轮式、滚筒式和搅拌式等，也可设计全新的工作方式），并请给出关
键的几何及运转参数。

: l6 W4 f. O0 ?6 eB 题低分辨率下看世界
! x* A7 ~- h1 y( p) w. \& d, h数码摄像技术被广泛使用于多种场合中。有时由于客观条件的限制，拍摄
% H4 R& Y- W% b7 T: d% g2 r& g设备只能在较低的分辨率下成像。为简单起见，我们只考虑单色成像。假设
成像的分辨率为32  64，成像方式是将整个矩形视野划分成32  64 个相同
  G) N% _$ T: v4 a. N4 G( _大小的矩形格子，图像中每个像素的取值为对应格子的亮度平均值。每间隔
4 h" I% Z  \" [一定时间拍摄一帧图像，运动的画面体现为图像的序列。
第一阶段问题： 现在整个视野区域向某个方向缓慢运动，拍摄到的系列图像
实时地传输到计算机中。请你建立合理的数学模型和算法，通过分析实时拍
摄的图像，使用尽量少的时间，以判断出运动的方向。
( `1 |" G4 F. p+ v" V3 i5 J5 A# ?第二阶段问题： 对一副静态的图像而言，每个像素对应于视野中的一个格
: [, N: B& ?$ T- Y$ K) s子，每个格子内部的细节信息已经无法还原。但如果在视野移动的过程中拍
摄系列图像，我们通过对多帧图像进行对比分析，仍然有可能还原出来一些
0 n$ [! J. ~- ?5 {1 b7 W在单张照片中无法体现的细节。请建立合理的数学模型和算法，通过对多帧
. e6 E- k- l( z5 N图像进行分析，尽可能多地还原出被摄物的细节。

C 题如何有效的抑制校园霸凌事件的发生
近年来，我国发生的多起校园霸凌事件在媒体的报道下引发了许多国人
的关注。霸凌事件对学生身体和精神上的影响是极为严重而长远的，因此对
于这些情况我们应该给予高度的重视。霸凌是各种形式校园暴力中的一种，
% ]$ Q0 K% N* C- H: C/ O) q% H, Z从某种意义上说，也是危害程度较高的一种。不同于偶发的暴力事件，霸凌行
' X$ q. z) J/ C- ~2 U  l2 M为通常伴随着肉体与精神的双重伤害，并且这种伤害通常会持续很长时间，
7 O8 j3 E. P: w# R/ _# q有时可能会对受害者的心灵产生终身创伤。如果没有受到专业的心理引导，
受害者有可能转变为报复社会的人，进而从受害者转变为施暴者，将自己的
遭遇原封不动或放大百倍地转嫁到他人身上。
2015 年6 月21 日，一段“小学生被多人围殴”的视频在网上广泛传播。据
网民爆料，浙江省丽水市庆元县几名初中生把一名小学一年级的学生关在黑
1 ^% ^, [8 U& ]% A0 e屋子里暴力殴打，并用香烟头烫伤小孩。6 月21 日晚8 时左右，著名演员陈
坤在微博上转发了这一视频。媒体人“大鹏看天下”当晚也在微博上呼吁公
安部门立即介入，“别再手软，此类事件必须严惩，结果广为通报！” 多名网络
“大V”的关注，让这一事件迅速发酵为热点。不少网民震惊于视频中的情景，
慨叹“校园霸凌现象竟严重至此”。
3 q, h; u: j2 D' P+ h: S$ y科学技术的飞速发展和互联网的普及，给青少年带来的不仅仅是积极的
( B# g3 \, H& O; \( g影响。很多初中生表示曾遭受手机、互联网上的谩骂、侮辱等新型暴力行为的
影响。网络霸凌的暴力行为由于侮辱性信息传播速度快，因此造成了更直接
的伤害。此外，信息扩散范围速度极快，往往来不及阻止信息的传播，也来不
/ ~6 t: e! ]  ]  W$ G4 f& r$ z5 P及保护学生，就已经对受害者造成了极大程度的伤害。
驱使青少年施加网络暴力行为的原因很多，但最主要的诱因还是年龄。青
) @& d1 F0 C! v( ^7 k0 `少年由于年龄较小，不够成熟，不知道如何应对和转化暴力性冲动，才造成对
4 [" P  u5 G/ e1
自身和他人的伤害。我们设计了一次针对不同年龄段青少年的心理状况的问
卷调查，试图建立一个模型来判断青少年存在一些潜在心理问题的可能性。
- Q, R1 }3 l/ b* z  T! H8 w; r调查分为5 个年龄段，这要涉及生命教育、生活方式、娱乐三个领域，分别包
括正向和负向两个框架。其中因变量被设计成一种二选一式的评价变量，使
7 z5 e% e3 S# U$ H# Z9 Z用A 或B 来表示。自变量包括风险偏好、认知需要（包括18 个题目）、决策风
" R% Z% g* m0 z8 Z" q. l格（包括理智型、直觉型、依赖型、回避型、冲动型，这5 个维度，每个维度下包
( S7 D+ `. E: f! u括5 个题目）三个主要方面，每个方面的题目可以按照选择的答案来计算相
  k; q5 N& Y1 Q" j应的得分。调查的结果如附件一所示。
第一阶段问题：
1. 通过统计分析，请判断各个年龄段的心理状况是否有显著的差异。
2. 请建立合理的数学模型，分析不同框架的主要影响因素。并给当地报
纸写一份500 字左右的分析报告，阐述你对抑制校园霸凌事件发生的主要策
8 h7 X: }5 b( b, v' u5 V略。
4 {2 j2 n! r2 U- Z% J第二阶段问题：
3. 请你建立合理的数学模型，对于附件中的案例进行评价，评估案例中
! ?* I1 V% H5 c( P% Q, q人物存在心理问题的风险。
4. 请你结合第一阶段的模型，建立一套青少年心理问题的预警机制，并
2 l2 S& Q& z9 K结合实际的案例给出相应的解决方案。

7 J+ a9 C; G& [( iD 题NBA 是否有必要设立四分线？
（本题仅限中学组和专科组选用）
NBA 联盟从1946 年成立到今天，一路上经历过无数次规则上的变迁。有
! t0 w9 Z* _* b$ j- L5 t- Q  ~顺应民意、皆大欢喜的，比如1973 年在技术统计中增加了抢断和盖帽数据；
有应运而生、力挽狂澜的，比如1954 年引入24 秒进攻时限；有因人废事、“打
, K- Y3 S1 P" s8 J! \" M击迫害”的，比如为了限制麦肯，将三秒区宽度从6 英尺扩大到12 英尺，又为
了限制张伯伦，进一步扩大到16 英尺；有步步为营、小心翼翼的，比如2004
" h2 I8 z0 A1 O$ A2 B  n' k2 ]' p. |年在NBDL 试行所有投篮只算两分，直至第四节最后5 分钟和加时赛才启用
三分球规则；也有弄巧成拙、朝令夕改的，比如1953 年曾规定每队每名球员
单节只能犯规两次，第三次犯规就被罚出场，实施不久之后就不了了之⋯⋯
本质上，NBA 是一个以盈利为目的的商业联赛，为了最大限度地提升比赛观
赏性，保证球迷们心甘情愿地掏钱买票，修改现有规则或设立新的规则都是
+ A5 X5 i. D4 Y: U5 E可能的。
2 w0 m% i7 G  v: D7 ?79-80 赛季，NBA 开始实验性的引入三分球制，当时的原则是“仅限于常
8 B: G, w# y8 R* M! f规赛使用”。而在80-81 赛季，NBA 正式全面引入三分线。目前，NBA 三分线
的最远处距离篮筐是7.25 米。值得注意的是NBA 曾在94-95 赛季将三分线
距离缩短为6.70 米，距离变短后人人都能投三分，很难反映出球员的远投能
力，所以97-98 赛季，NBA 又将三分线距离改回原来的7.25 米。
四分线的推出能更全面反映出1 名射手的远投能力。2015-2016 赛季，在
, Q$ A4 f! h+ _% O+ h28-32 英尺（8.53-9.75 米）之间，投篮最准的是快船队的贾马尔·克劳福德，总
$ r5 t4 j& s3 s) g1 R7 H5 r+ u8 y共23 次出手命中14 球，命中率高达60.9%。排在第2 位的是湖人队的肯道
尔·马绍尔，23 投11 中，命中率为47.8%。勇士队的斯蒂芬·库里则以38.1%
1
（21 投8 中）的命中率位列第3 位。NBA 一旦引入四分球制度，投手的春天将
; c$ A7 L8 X3 N" y就此到来。那些震撼联盟的神射手们又多了一项致命的武器。此外，四分球
拉开空间之后，会让内线球员的防守压力变得更小，篮下的肉搏变得更少，更
( l+ j8 J- A# B有利于内线的大个子们保持自己的健康。　　
5 O+ C8 G. n1 z4 p第一阶段问题：
2 B) }8 X( {- E9 F4 ?, y1. 请建立合理的数学模型，量化评估NBA 是否应该引入四分线。
2. 如果让你负责设计四分线所在的位置，提出一个较为合理的方案。
第二阶段问题：
3. 假设NBA 联盟决定按照你们的第一阶段的方案设定四分线。这条新
$ b% H6 Y& a9 _. ]" J4 `4 a规则是否会对三分线的规则产生影响，三分线还是必要的吗？
4. 四分规则一旦出现，可能会改变很多人对于篮球的认识，这有可能是
效率最高的一种得分方式。这会对篮球的战术产生什么影响？请举例说明。
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( s: W& i5 U  r1 Q( L- j4 y. c! H

一方流水11

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chenruize

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