f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式

math111

- U# R5 u" A  C. K% K. M设\(f(x)\)是定义在\(（0，+\infty)\)上的正值函数，且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
大神求解，书上一道例题，但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。

3 @  \$ t0 C8 l  o  @/ g- D贴一下原书的答案吧
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0 r' d% M% @  L# E( @, y$ g' q/ w7 t/ J对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]
代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程
\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
根据\(f(a_0)>0\)，又得\(c=0\) ，从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。
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jiang790

看懂了，但是想不到