[转帖]斐波那契螺旋

god

斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 8 N9 \0 k1 X5 Z5 O; t& s0 j的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 + o' }' t% y, f( I: F4 G5 `6 l盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 S' o* ^9 F. I4 V2 o括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 贡献。 - d3 {* z( a9 F

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 : u1 F4 l* u. R# F& ] 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： ! q; p4 b( X4 h% ?' \: Q5 R& `　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 9 o, b) c6 x& V6 V从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， ; Q w8 T: h: M0 m7 C, F* y一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 6 T, `+ |) W) N8 h兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 切的联系。 2 H' T) ^, e/ Z1 t+ D　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 1 ? N t! ~% t5 i书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 . R" x9 C" S: n2 O& d8 |但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 / W! G6 b" y$ S4 v7 q5 }; a! T为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 6 O& `, h/ w E, o2 f3 f这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 0 t8 i8 Z; L$ D& O, X2 k1 y大自然的造化。 V( j3 b5 ?" ?# B: i % a7 l- @. I* H　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 4 r/ T; y, u w到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 ! O( F* v6 Y& j5 N- S草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 * \1 |9 X1 ^& j: }2 W- Q从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 7 l& i4 t/ X# n* m" z3 L图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的

7 k- c+ }3 ~- U/ G1 Q$ P4 |% T

2 |' Y, Z$ S4 |' Y* \

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。

. _7 A5 ?) t1 S4 W v7 ]- ^

' ], [2 Z9 t- M' E

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 |6 c) I9 @* i5 j/ V　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 & [ h7 A; {+ S; k: ~! x7 x/ G7 R序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 1 o/ t! @( e& c5 J3 Q

: C5 n! ?' l6 {$ H, [

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） ( Y5 a S$ z: K 3 G. U% \/ g# }+ r- C$ V# Z　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 9 D1 x3 o! V" {6 g0 |' k: u然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 : A1 I: B: \1 B5 W能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 . ]" `! C0 Q- t9 u4 W2 H来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 3 z& @8 U* M4 J* I/ z. m+ i+ Y了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 4 \; \2 N' U. ?能达到89，甚至144条。 6 p7 F; g# O- A3 ^4 D % W [% C5 I; D, X　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， ; S; C( \6 V6 m也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。

6 b4 d# @. M0 b9 B0 ^

宇仲

楼主辛苦了，继续加油哈！
; g4 L: N' j" s1 d0 C

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！………………

三剑客555

图呢？。。。。。。。。。。。。。。。。