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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |正序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番7 e/ F& Y0 d! R, s& x. Q6 \ 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 2 W: p2 y1 J& H3 \3 W5 P的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 ( J9 ~. ^/ Y- q T. f, {1 ~( m因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 $ v: X: _( u8 E! z7 X他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就" t9 N; q' e* T7 D- {2 V& i! I/ m! C# `' H 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 6 Q6 L x) F* B9 m) O7 S' k盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包$ R7 a( x- X0 ~2 X5 [ 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要3 e4 m8 ^ P* v! O; Q 贡献。' u* F+ o9 W/ e7 e

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 ; n: n! K6 x! \" `6 b7 U3 ^' r$ J4 W; G! s0 J; D8 M" H 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：( I# y3 Q5 |0 h+ _8 |! c 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… / ]" r% ?6 e- j. @. ?从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在( \' \. F! E* X/ G7 s 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对* X; T8 S' @1 B3 @ 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三# Q2 R/ L3 J' S. i1 A H2 @ 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，1 ^ {' F: N6 H! I! ^/ f+ L 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的8 ~; ~; x$ M M# @8 {6 v; @4 H 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 1 l, J( W: B0 q6 I2 G切的联系。 2 U& `7 _, z' g ! u8 n: o9 `, b　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘4 a; x: B& M& d 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 ) F% f# C7 t! s7 l8 X, A/ |但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了! `: G( T6 j$ E' Z2 R 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 & o" K* y1 Y: j$ A3 @这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 % o, V6 S# t9 F! q4 [% e大自然的造化。* G M5 D Z. z A5 S! i * c/ W: j( ?/ D. J　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不6 z \' _% z! Z# Y0 i, r" M, J 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 - M! ]6 H2 J; t1 X草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果8 i" Y: _! ^7 B! R5 C 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 5 N) H' C. ?, ]5 k& h( b! k4 t的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 " E: h+ q" a- |) n, P/ {6 o种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个. c! |: n4 \; r6 _4 v; o& ]$ \ 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的" B& S# D& Z0 R7 O1 i/ e; q, m, G

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部! w1 i/ w, k7 Y. ?- C- y% } （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有: p9 p: G/ j. d5 T# o6 a3 l2 R 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。" k1 b% a9 h* |, y

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 E# J# u7 ~# g( U" o　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 . y: n, {" w+ p; X* `' t人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点: h# e* H8 V8 x 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 # B# J/ I" l; x菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管3 o$ W5 C8 O" c- ^, e 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 $ q( o; E" K' a, X( E- `1 R$ J序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。4 K$ I8 R; K7 _3 W5 c

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 7 J3 w @9 Y4 ]2 @ % l- A, t- `' i# e; s) g, g　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自1 b! t3 v' b7 g 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它8 m7 |) j2 F3 a) V8 `) T 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了" ]) o( b5 y( p. o, X" J _8 h& N 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 / P& b6 ?4 y% s ?, }于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 3 j, C, U1 i& v1 |0 E中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出7 V/ o4 q- T7 X. ?5 ^# ^8 X: @ 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度; l1 ?, e; k' L7 \ 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 & ^' E; B# w' h6 X# i: B度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定8 X# O Q1 B3 i 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 # k5 T2 Y# F8 [: j6 q- U" ?- h能达到89，甚至144条。# p2 e! I* ~- ~# E% P/ R 3 f! v* H5 E2 `: T; V, ~$ |5 I　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器/ h5 z' S7 a% K0 t 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 6 `5 u$ ]8 p! N0 ^7 F' L) P你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，8 |% S" f" x y8 l: u$ P L6 F 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 9 J6 U7 R2 z5 _/ n2 B心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出0 y( F' d* s9 s 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。