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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |正序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番) M( r3 j3 F/ L i' N0 ` 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出% |, u h- r3 ` 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来6 Q) |$ O5 }" X8 K( E 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 8 d$ z9 c/ T" ]' q1 I( s8 l他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 - E, n% m5 D( }/ ?- G8 F9 }是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 $ \, Y" u O; W% q3 p+ |8 R2 z& U盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包' u, p: c, Q& F/ Y9 M7 {( j7 E 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 + ?6 c2 W% g% K" ?- p贡献。) z# \ K: b# ?7 y

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 ( Y2 o7 G8 ~* j! V k/ ] g! h1 z; |5 U' o& j　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：- D F2 N$ E2 U 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 4 z; j3 F3 \* m0 H$ c从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在5 o0 \/ e) G. a6 y. Y0 X8 G$ T6 f 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对+ W' U. t7 u1 E0 ~. g 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三; x8 y5 o3 B( i- `2 d6 n 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，& z$ H4 J: T; l* M1 `- i1 T 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 c' B1 E* r& K+ M$ w* I- D' p5 t 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 / a; u; P: T) F' K8 l0 N; N. x( F切的联系。 - k* V! e0 q3 Z9 X& ?+ {, Y4 x6 K0 B" B }6 B& k7 q5 Y. W 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 ( T( A; P3 p( Z书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。0 J, D; d! ^, u) ~ C+ s 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 6 W* i6 u0 x: E$ u; y为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在, K, q& f5 ~1 B) I f 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏, i/ T6 s, N" a 大自然的造化。 , F. E% q8 b r3 K, Z0 o- j2 f + f+ J {' G3 ^" j$ k" R. s- F　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 ) Y9 ?" u9 f: r a7 E到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒: P/ \5 N- e, e! |! g 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 ' B- i% D' W8 G# R; q, i: K从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 9 Z9 V# H3 R- i7 [2 t# d的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 2 l5 W% A) m" l2 f- j: S1 S种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个" k5 |, U- E; l8 v4 | 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 5 E& m8 v g( V7 f. A9 }; [9 G

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 + C% C7 r1 z* Z! O" l（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有% G$ [+ F( o$ z% @3 S/ k 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 ' \9 }8 Z3 t' b, R: s ?

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部3 [. l9 o) R P9 ]$ a; u, E j 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让) |. a2 D$ D& _7 n 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点; `: i" h5 |; m$ J. p, V* y5 O 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心; @; c9 H2 ], i/ J8 Z' E 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 % z+ {) K* w% Y5 Z2 W这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契% @1 }3 M* ]+ G) A# O 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。- j6 m Z1 y7 d6 S( a9 h+ H

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）% w6 _8 A+ C4 k4 B; T( f 4 s3 ]& k* O9 ]7 g6 F" _, y　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自2 P+ L( m0 N4 n4 L8 e) I) E! N4 g 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 " l# J0 i; n) I3 o: Q能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了+ @, L1 b8 o; a" M7 d6 q' K 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对3 p4 U4 q, E1 k. H1 E, S 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 * X3 J" k0 R* L2 _4 S! n3 M中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出7 N. g7 ]; S/ r! ~* j3 r 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度: I9 I& J9 h. F 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 " b; v7 s5 I5 c* k度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定7 m8 ^/ q# N/ m- Y7 c, b, o 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 5 R& E5 l# x/ z0 A2 R$ j! Q9 M能达到89，甚至144条。 - f+ ]: y) N$ s C; T# F# z D* c8 Q3 s" z0 u) v4 ?　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器( a& }$ P' f9 g 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，2 x+ S1 \7 f @, N 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， & m5 G0 y7 p0 Y- ]+ A, A3 u$ p也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中; ^' [2 T7 t% _9 ~3 t- z! D+ Z 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出/ z% |/ Y; u/ T. I4 }; D 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。