新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用

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       简单的说，平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理，交通红绿灯的设置与路宽的关系，收费站的卡口数与车流量的关系等...
. k: X% w- Z3 Q       建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系，所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
通过几道例题来说明一下：
) J4 F$ |: b; N2 b3 c7 x+ Y4 m1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
' k- N( J0 U! r& m7 j第一：找平衡关系。题目只说了出生与死亡，给了我们一对平衡因素（人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关，出
8 W  \5 L3 |& u: L& I9 X1 G         于简便，只考虑出生率与死亡率）。
! {9 Q: I  f7 o6 T( ]0 M; s: s第二：找平衡变量，与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
7 `! w0 s- L  P, b0 M9 \+ `第三：约束条件，建立方程         
1 G1 o' k: }# i+ k5 @4 [" L         1. 人群个体同质。

         2. 群体规模大。

         3.  群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的   影响。

         4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）

         5. 群体增长恒定。

         6. 个体增长独立。

        人口数在区间[t，t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t，t+△t ]内生育数和死亡数,   则有：

1 }1 J, o( b/ P. k

         则出生率：
7 p; j3 {! ~8 M1 ?# Z  U9 ~' i

3 K" N' Y  {# k

         死亡率：

% o; K' W7 w* ^# A) R" B0 `/ W

         自然增长率 :

0 X# W! K6 p' [1 a" ?

         又因为初始条件：

, B8 c7 b4 b8 ~7 N& V4 `

         继续推演可得：

给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus  模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长，即人口数量达到阈值时候会减速增长，模型变为 logistic 模型（s曲线）。
        以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些（只是本人感觉）。
7 e2 ^  O) f! k$ [        附本次例题来源的word文件供大家阅读，更深入理解平衡原理。

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怎么找不到4了？？？
7 s7 V) e$ t$ L/ q