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【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

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杨利霞        

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    发表于 2018-8-23 09:45 |只看该作者 |正序浏览
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    " ]$ O* R3 J  m- q( q5 j1 p# _
    【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
    , f& }% _+ K, y9 Y4 L
    7 Z. p7 j( X6 l1 X8 ?( T" Q
      B' R3 W; X5 ]9 [一. 模型
    % @2 P1 Y: V6 E. X9 {" b, s1. 原型和模型
    6 H% j! P: f! f        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。( X% C' }# w! f" L
           按照模型替代原型的方式,模型可以分为物质模型(形象模型)和理想模型(抽象模型)。前者包括直观模型、物理模型等,后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。5 j7 q; [! `  {. P
           数学模型可以描述为,对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。" A+ I4 H0 |8 ^: c3 ^$ K
    2. 建模方法
    6 ?6 U6 S* P  d& m2 a        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识,找出反应内部机理的数量规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统,通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析,按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。  V  B8 z7 ]! B& |) F. f2 }$ j3 R
    3. 建模步骤
    : I9 |& |, U) f2 t+ o; j+ F        按机理分析方法的建模步骤如下
    " a8 K& S  P0 O- j( ?6 N
    7 \; f% ?3 O+ m* Q4. 建模过程
    . E; _" I5 M) W% }8 _/ E8 j, B        按一般步骤,数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。) y7 a+ R- K  s- ^8 x: O) ~

    2 w$ V# e3 ], C7 R9 z* \5 x( H2 P# q- \  Q. |% |

    7 ?0 m! f: {  l5. 模型分类8 o# \8 d' O9 C" ^8 T/ L  |) t2 ^
            按建立模型的数学方法:初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。# }, N8 z+ J" ^
            按模型的表现特性:确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。& E. q6 ^4 @  [6 o
            按建模目的:描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。" r! B: p2 f( m' Y5 Q7 x5 `# i
            按对模型结构的了解程度:白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
    ) [. c$ C$ ^* f% [; V" m二. 系统辨识
    . ?, D. d  F3 j! N! R/ p5 e        在科学研究和工程实践中,实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据,通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
      \0 Z9 }: ]# v) U1 E        系统辨识为:根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统,这个系统和所研究的实践系统等价。
    : N5 J6 M, b; i4 F
    - p" Z0 z7 ^" z% L) n        系统辨识大致步骤:①模型类的选择;②实验设计;③参数估计;④模型核验与确认。
    " z6 n7 L) B4 J% f8 C' M! N
    3 Q( |/ E7 {1 C" X, |) R- l6 q1 t

    / W: g+ z" D2 e' k' E0 j  r
    7 V4 V/ `/ |& G, c9 @  w8 l: t' C% M2 O% r* {
    2 ?$ N: L; n2 ]0 T( m1 b% z: ~

    2 D  N. i; k2 C三. 机器学习) |4 }+ k+ J. h' `$ \) `, g
           机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息,它的主要任务就是分类,其中涉及的几个关键概念:①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何;②目标变量是机器学习算法的预测结果,在分类算法中,目标变量的结果类型通常是标称型的,而在回归算法中通常是连续型的;③知识表示可以采用规则集的形式,也可以采用概率分布的形式。
    4 p- d! @/ u' K& G        机器学习的另一个任务是回归,它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习,是因为这类算法必须知道预测什么,即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习,此时数据没有类别信息,也不会给定目标值。在无监督学习中,将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类;将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
    8 n% r- Q) Z- k) c4 `& i
    ' C+ S( U/ P+ K( n) \5 O

    * {4 [" S7 R0 s
    用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
    & b% i3 S5 k; m8 l
    $ u0 T5 v& @5 Y. w+ |* h
    0 n, i) `. E. c- q" ]  h

    ) G) S9 x% u) h
    $ Y7 y7 _+ G5 {9 X8 F: C9 I: H, A6 R' ^7 g# S( ]

    # I. r, K' y5 R# @* F        机器学习程序设计的步骤:①收集数据;②准备输入数据;③分析输入数据;④训练算法;⑤测试算法;⑥使用算法。
    ( N3 w9 |& m" T, F7 Q
    2 J, Q! t* i, B9 C参考文献:4 _6 C/ W5 S. V: |9 h" s9 g3 S6 v+ ~
    1. 数学模型(第四版). 姜启源
    ! b' T4 P3 r6 G4 v. t2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
    $ \+ _  N; Q! j& Q' s8 n! \3. 机器学习(第九版)" g7 F' c. O  a/ X9 U, Z, X

      }1 `" E, S8 g) a7 x8 x
    5 [* k" Z8 u& w/ s" m7 e5 l
    4 k0 D- `  Z6 B

    # R/ }1 Z% F! j# U# h
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