【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

0 ?* D: N- s/ {- O1 x$ _x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
; g) d- h( ^4 e# O( |) q- [

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
9 x$ ?1 R% ^7 n# b1 Z. }
例如：
max  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
" x2 Q' z) A, b0 ?5 m! smatlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念

3 N. o5 b' J' n7 |$ @可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
- J" c" @0 a+ J( p  X: ^* u可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
+ ?% X7 B; q/ e  d1 G3 F# ]
4.一般的线性规划问题
+ G6 |1 J% c4 Q, U8 p* z- o
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
5 s$ P) |: w* A9 k: ^/ D* T
5.matlab中线性规划求解过程

; D' o1 m& V) c8 m  c7 R1 A① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。
, \4 P5 u& u* T, I
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
2 O: ]0 r6 p" _. q6 m) C[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6.常见技巧
7 \& w: e" f( K* w
; j. A! y( C( B' V问题为：
* j' h" d! u6 h; V8 g3 N
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
, K/ _) K3 p8 U: ?& ^/ \, m* s& Fxi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
4 O4 C8 {  I; }/ T2 J8 u令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

9 p* _' g/ g# J+ V5 g6 T8 r转换为：
' ~; _1 l$ f, ]( X& @( Fmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
% ]% M% x5 R2 C( Y2 J* O: u7.运输问题（产销平衡）
/ Q5 f: P' Q- M/ G/ `
+ j& a/ y: Y8 g
! y1 i) _9 x: t" {; I1 R

8.指派问题

1.数学模型
: i- I+ D! _: E) @! v( n% m- o

0 t& x- \) e+ D% X& e
2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
2 m! E" N% l; j最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。

5 g9 V! ?% D4 h5 S1 g