【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

! H* h8 g9 ^( ?- K. B6 c( M, ]
x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
" u7 P5 p% {4 S% g, k

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

# ]9 e4 t& \# H* f2 Y其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

例如：
6 Y7 Y. c+ N3 G3 f- Q/ [+ lmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
! O7 y& u& C' [3 E3 q# w* f8 lmatlab中为：
9 p0 x5 [4 {) T# t( S3 kmin  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念
2 Q! _  B% R/ l; }' q, L
4 ^. Q3 t& A/ V/ r2 W1 g7 v3 f可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

" u8 p. a$ b1 [" r7 }# Z4.一般的线性规划问题

% Z# S0 ]- @9 k) T- _9 e3 c5 n( j在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
. j3 b$ o  X' w! E# m& `
5.matlab中线性规划求解过程

① 利用linprog函数返回最小值解向量。
5 D; _2 C# b; ?: r( ^  U: C② value = c’ * x求最小值。
  Y. Z7 P0 U3 K) F9 c  _9 f/ o
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
# q: E/ @( h. N5 y" r" p! V其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
5 _; Z3 V9 t9 F; w# M, y1 _) Lx0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6.常见技巧

( R9 K6 }! C- m* R" z2 r9 _问题为：

min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
- S7 c3 X& z& {, O2 B令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

( O! S* I  k# C( L# [) _5 d3 S转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
0 F! n1 f1 I  O7.运输问题（产销平衡）
0 r& o  |; ~: q1 N

8.指派问题

1.数学模型
, c- F% d' |1 T$ t

2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
* p7 |. Z, t- ~8 A求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。


7 q! p6 M+ Q1 f
/ j4 e7 O. A! R/ g2 M# |+ G