【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

+ C% p6 V  P5 [1 B9 ix1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
% |3 G7 L5 `5 b4 D7 P6 r% o) H

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
" i/ E8 K& c) p- B/ ~! j$ V
例如：
# l3 e% [& R3 g9 g, j$ Mmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
$ i4 i6 i! u+ ymatlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念
3 w, ]' B1 {+ w6 G0 V9 ]! r5 {
9 o. i7 r* D4 |" j可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
/ l+ I) J: Q: t( V$ [; N' q4 j( t可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
' q  [$ u" [+ K( t: H9 P
4.一般的线性规划问题
/ d) \$ D. Z0 U) F
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
& V$ l1 p! H0 P! C5 \" p) J' v
5.matlab中线性规划求解过程

( i  m! s$ O" b( L' Y. P7 M① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。

, ^- r' E/ n/ q8 A基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
9 N5 P. i9 y; n; W- A[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6.常见技巧
4 W# \5 M: [  ^6 N7 k
问题为：

% F3 j  P# x1 }, a7 `* b/ Rmin|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
4 Q8 F+ e* Q9 P  k事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

3 k& ^- A+ r- [转换为：
$ l) Q! P. G! z/ r% Kmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
6 i; J  r& [% vs.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）


' v6 ?# g  C% i: ^

8.指派问题

1.数学模型
0 L+ R4 w+ D+ W* ^

9 w- D; N7 s" ^6 p9 l/ I2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
4 ~: b$ v3 X  ^, m! Z8 S求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。



0 l( H: h! p" E; ]