【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
' C0 `, o- q9 |. e9 F

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

- i, B; A, A, B3 |
6 ~! D7 J6 Q0 r; C+ d# U* A+ g其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

例如：
max  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
" o! j9 i+ R; m1 n  z7 Hmatlab中为：
* y. d# G5 ^/ K  K0 O3 _min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
$ A6 Y5 N8 Y- Q3.线性规划中解的概念

可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

% [' V% G& x2 N4 ?' o7 J1 t4.一般的线性规划问题
' k9 }$ [- `6 N0 ?/ z& C9 e
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
% x) ^* u8 [( s; `' ^& q7 ]; D
5.matlab中线性规划求解过程

4 `. R9 T+ b  ^① 利用linprog函数返回最小值解向量。
* Y/ G3 S( r7 J4 @. U② value = c’ * x求最小值。
7 d0 F7 J( ^  _+ ]4 ^8 e4 v
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
) K6 m# h6 W! q; l% S# D" T其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
5 L( G' B) Z4 e( x4 R
6.常见技巧
3 }% ~  q: ~* P* e; ]/ ~% a& @
4 h! x+ A/ _8 S7 a问题为：

min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
' D0 T7 K" z2 a- G" Z( Q! m事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
  d6 U3 _1 e" F8 P( C7.运输问题（产销平衡）

8.指派问题

1.数学模型
+ f: s8 G9 P8 e+ {& G

2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
6 h* ?6 C' d' R# b# L6 P% s求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。

. K  ~( q- l! j- B$ _' ^& w
, ^- [" R% T( b1 y* e  W2 T
7 t: w- O  n8 O6 I) k