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数学建模学习笔记(6)用积分思想建模

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    发表于 2018-10-31 08:46 |只看该作者 |正序浏览
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    数学建模学习笔记(6)用积分思想建模: `7 a6 v- r- T  N9 A
    " l: a) P9 f6 N  N. z5 I
    产生积分思想的源头问题:
    , x! ]& ]0 F- X( y) u/ F+ @  b5 e( D4 a: U, H" t  S: p  \5 P, W
        求曲线长;求曲线围成的面积;求曲线围成的体积;求物体的重心;两个物体间的引力4 a% e9 c; O( B

    % f1 |( B3 Z& Y9 G+ \+ y1 J9 B  w- w
    4 A0 G* o" ^2 x% u( S    一维空间:求密度为ρ(x)占据(0,l)线段的直杆的质量
    . R/ x* O. V6 p' `6 c
    ! s9 c4 Q' Z+ |7 z! F7 N2 v6 U6 r0 ~. V" d! S
                         把一根直杆分割成无数小区间,每个区间的密度看作常量,求积分1 r- Z: p7 w+ w1 c) W% b. l8 _
    * o. z" M( M' s! Q4 R* q& j
    & v0 d3 a. J( u5 J( E6 f* g
        二维空间:求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量
    4 O) h- H, ~+ T7 T$ t2 l3 m, g; D9 ^+ }' g

    . U2 T$ X/ g: ^& Q- e5 C, |    三维空间:求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
    9 M0 t$ i6 y& B! z) }8 B: Y" J% p7 V5 c: ]" X, q9 g( [3 P8 r
    这些方法不止适用于物理量,还可以推广到自然科学和社会科学,比如人口出生密度,交通车流密度等可以用于求总量。' b) l2 p+ Q+ ]+ N: u3 Q- [

    - }8 F, p0 n0 N$ L7 y$ l/ A案例  i' e2 i! e% l
    7 W8 t, h# f0 V5 E' U0 \# H
    消费者愿意付出的价格p=D(p),q为需求量,p是q的减函数(类似反比例函数)
    : b$ K% i' H2 _6 p
    / h: L) t. [0 B3 ]* O% r9 _消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq9 @. Z, n: c9 G/ |# }4 h. L

    5 m; }+ Y; T' e6 C% k5 e实际付出的金额为Ao=p*q*
    # V* N. Y- n' ?/ ~, n* G9 q% D8 Y, J0 N  ?+ l2 d* [  M. p
    消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额5 t% o$ Q. A9 I

    5 n* p, Q% ^  c9 y1 m" Z即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*, I( E; f) l; m, [
    ) i. @8 q$ k! R, O) ?+ r% P
    ' j/ h7 W: M( l
    + _; S; S6 v, w0 _- K) q

    + o; o) Q) D3 g, R
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