数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）

佛自业障

数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）
静态优化模型（微分法建模，求导得目标函数最优解）
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9 R% _8 X: @. y1 A现实世界中普遍存在着优化问题；静态优化模型指求解问题的最优解；重点是如何根据目的确定恰当的目标函数；一般使用微分法。
- I) C: b& [  d1 j7 D, S1.    存储模型：存在某种矛盾，寻找平衡最优点！
) Y" O0 U4 i3 m4 C2 m) B" R! l! J% {a)      问题描述：配件厂为装配生产若干中产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付存储费，该场生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
b)     问题存在：今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）？每次产量多少，使总费用最少。
c)      要求：不止回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系！
d)     问题分析：
首先，对于我们来说，应该先找到问题所在，即造成当前无法做决定的原因是什么？
, `4 d! @  Q7 c& @& m. d5 Q0 y5 r这道题的原因为：
* w) m( h: f; W) c周期短，产量小：存储费少，但准备费多。
7 W: D8 {+ ^( J+ c周期长，产量大：准备飞少，但存储费多。
  O! i2 Q6 ?/ K5 @e)      分析求解：
                     i.           模型假设
5 i( {* k" F/ v& C; C4 r1 A                   ii.           目标函数：每天费用的平均值最小
                  iii.           模型建立：离散问题连续化
# n0 Z+ B/ ?, X% ~                  iv.           模型求解：得出目标函数，求解当周期T为多少时，可以获得最优解，可以使用matlab等软件进行求解！
4 z! n. u/ M/ i                   v.           模型分析：说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化！
) m, {; e; z: i1 Bf)       进一步建模：如允许缺货时又需要怎样进行建模？
2.    森林救火
a)      问题描述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量
! ^+ k/ l6 l" d/ Bb)     矛盾：
                     i.           队员多，森林损失小，但救援费用大；
                   ii.           队员少，森林损失大，但球员费用小。
" e# N3 N6 L1 z, k2 Q6 u5 O& R" X综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
6 w0 Q, ?* e4 rc)      问题分析：
                     i.           合理假设：火的蔓延方式等；
/ k- {" P" ^/ E8 x5 W/ k1 o/ O                   ii.           模型建立了，列出总费用的函数模型；
                  iii.           利用数学软件进行模型求解；
" _9 E3 b, p% X* k& v                  iv.           进行解释。
与存储模型十分像，都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。
3.    最优价格
+ Z9 r( o4 M" A" b: H9 Wa)      问题描述：根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大。
b)     问题假设：产量等于销量：x；收入与销量成正比；销量依于价格p是减函数；等
c)      建模与求解
d)     如果进一步分析，可以少一些之前的假设，进行另外的一些分析建模。
4.    消费者均衡：
9 E( i; ~8 `! r" ?a)      问题描述：消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示，问他如何分配一定数量的前，购买这两种商品，以达到最大的满意度？
3 _) a- ]  g% I& r一样是最优化的问题，不多做解释了，，，
b)     可以进行的优化：考虑如何推广到m（>2）种商品的情况！

' Q- X% H0 x! a8 S2 m' W  D5.    冰山运输
$ P4 z  ?5 B3 E) F+ p+ z, z8 p. W" oa)      问题描述：某地区缺水，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑；专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山，取代淡化海水，试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
b)     建模准备：加入进行运输，则需要的一系列的成本计算，最终建模求得成本表达式。
/ ~" I8 U6 j4 k) ~$ M% Pc)      之后进行建模分析。
d)     结论分析：只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时，才考虑其可行性！
重点在于建模时，要充分考虑不可忽略的种种因素：如冰山融化、燃料、租凭费用等。
总结：
1.    存储问题：存在某种实际矛盾，不知如何安排。需要寻找平衡最优点！
2.    森林救火：与存储问题一样，都是解决某种存在矛盾。
3.    最优价格：一样，求解最优问题，重在前提假设要合理。
5 _, o: s, V/ w' P* M% L$ _4.    消费者均衡：考虑推广优化。
5.    冰山运输：考虑不可忽略的多种因素损失。

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