数学建模学习笔记(第一章:建立数学模型)
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/ Y' E. _: g5 @% F' j9 K第一章:建立数学模型" i8 z" G5 o, |" U
1. 常见模型:是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象,提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。5 ^( G% ]6 f+ Q6 p9 d% f3 |2 u. g+ R
实物模型:玩具、照片、飞机、火箭;
- Q# c+ y2 z& n) l7 F w- Y物理模型:水箱中的舰艇、风洞中的飞机;
( k) V* A7 E! Q* K! r符号模型:地图、电路图、分子结构图。& h# ~2 F" Z+ M V" W3 s
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4 P: T9 @$ Q9 q D ~! h) B2. 建立数学模型的基本步骤:以航海为例' [* r' a( I8 H4 r4 K/ B
a) 做出简化假设:船速、水速为常数;
) l( w6 L4 w0 z% {- Z/ n8 pb) 模型构成:用符号表示有关量:x,y表示船速和水速;, K7 `) c5 f4 Y2 ^/ ]6 A& \
发挥想象力、使用类比法,机娘采用简单的数学工具。: \7 x7 s T8 j" m. P/ P
c) 用物理定律列出数学式子:二元一次方程;(可能伴随模型的参数估计)
) h1 v" U V6 U, A4 z' z# L; \( J有时模型有未知参数,这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解;
& [, |* W& o7 b- @& Z2 V' P之后还要进行模型分析:如误差分析、模型对数据的稳定性分析等;4 c7 F* V* H9 s& E" q: r D
模型检验:与实际现象、数据比较,检验模型的合理性。
) u( W. k1 M' R, |$ Fd) 求解得到数学解答;
$ ?$ P3 ~1 Y! E' `e) 回答原问题:船速每小时20千米。
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3 u4 R3 L/ w; H1 E/ o) C r/ O3. 数学模型与数学建模 k$ D4 T5 W+ M7 }
数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
# i7 ~7 R/ ?0 S# B# R' E, E6 t l数学建模:建立数学模型的全过程。(包括表述、求解、解释、检验等)
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0 N; m U0 K6 V4 Y4. 数学建模的具体应用
6 S) A8 g3 a$ x+ c. X/ Ya) 分析与设计:椅子在不平的地面上能放稳吗?
y7 u4 j: ?" a2 h3 @+ D1 G4 Xb) 预报与决策:如何预报人口的增长?使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用(即进行人口预报)。
( P H- N( Q' P i) }# ~- i, z3 r. T4 Pc) 控制与优化
0 ~$ A5 ~ g0 f) P7 d7 Qd) 规划与管理:商人们怎样安全过河?
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& M- @4 V/ G I5. 数学建模的基本方法:% P7 T& N9 r! M! H
机理分析:根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律;0 W9 v4 f0 U S0 _5 O
测试分析:将研究对象看做“黑箱”,通过对测量数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型。
+ D, O% A- p" U9 \一般情况下,需要进行机理分析建模,并通过测试分析确定模型参数。- g$ D$ l) @& y& I9 Y
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