经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
$ B9 R" J4 l  r
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)



* ~% D/ E- }& }# c从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
; H- O7 E# }- f7 C# i& c  ]
第n新出生的兔子 f(newN)
; ]3 n. z6 A( w& y: V第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
# v' K( s) S8 ^$ U即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
& R3 Y+ d7 C8 O$ @+ a  m0 q/ l
= f(newN) + f(n-1)
% ^  p8 F1 c1 w" v  B- A# s. `- K, o
! a% j% L+ M+ N
8 r* O2 h5 B/ q) [8 s/ x
4 E" R7 l: M7 d  M3 v在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
4 U" U2 }  `! p
0 M  g: k3 i" n* D则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

6 b& I: N4 F( O即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
+ i5 v. N/ h) G5 D( g! R  f% }1 Z

. `0 {5 w& }9 c( B3 i% d7 w- o5 C
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
. j) R4 i( ~2 j% t( m5 i
f(n) = 1 (n=1,2)
- z1 J+ P9 l$ I3 ]2 O3 Z
' |: y: X# r) r1 `6 M5 K: F, Pf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。

! k/ m' }. T7 G7 k( O9 O1 ?; a

. }3 M' C: ~' ]' G$ S
) ?1 C( N; y$ y6 Y" F5 E# ?