经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

( e9 R. N  l. ^0 F4 q9 {) A3 }其中 f(1) = f(2) = 1 (对)


* i6 Y5 a9 e8 Z
# f6 r; X  a2 T1 a/ V从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
4 N, p' o* w( K4 j
第n新出生的兔子 f(newN)
1 w! o: H/ s- F- t2 b第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
7 n: }4 m) K2 U3 Y! C# U. B即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
) x8 @0 j3 k' W9 m* M8 e
& b( P" K% y) M& S4 p= f(newN) + f(n-1)
# C' o; @" O0 K  v2 V0 ^2 }
3 i% _+ h3 F+ B7 \

在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
  L/ G6 t+ s$ {8 _
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

/ j7 l, O8 E+ Q4 l# E3 T+ V化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
' W$ i- M+ T9 s! `
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
" L0 T; ~! k$ v% U+ M


) k  o; R7 ~# J/ z- L1 w- m1 H所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

f(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

8 k! ]; T: u- U6 N4 m3 D接着编程为递归函数即可解决问题。
! ?! D4 d  G1 y0 @6 w9 }3 i& ^
5 N+ h2 a" ?* j: s

* h* P" l$ w6 b
1 O! E$ k2 w, \