经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
% D& O" W+ O- l, w解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
% @& X. p- s  s% |0 w6 t- {
" G4 L! G' U& b. O; h% r/ r% y其中 f(1) = f(2) = 1 (对)


( x# M1 A% K4 b( h# K* W
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

) D  ^0 p% R2 j. q) O7 f! ~. n第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
# `8 F5 R/ ]8 U* ?+ y7 V4 I即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

- n: s8 r9 m* W8 d' u= f(newN) + f(n-1)
9 P9 c8 L% Z1 @* q6 e


! w  P# ~, M6 {4 V# l在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
  g* |" b1 x0 a
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
- G( L; g& M' J* ]0 T; @
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
  x( X, [; I/ h: \$ H
8 u! |+ T* J( z化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
" K8 j. i& p4 ?: D+ x( ?' ~1 Z
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)

; B0 {6 R" G( {4 v3 m

所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
5 L. X$ S2 ~/ ?% ~/ u* r" J2 ]
# N6 G# B- d' p: o) W- t2 yf(n) = 1 (n=1,2)
7 p, o. L$ X+ O: x% T
+ {5 r; \# Z* k! d4 Q  f, b! w0 sf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
4 L' B2 o( I! J; n! [, G* z
) h$ f2 x/ Z/ @3 [接着编程为递归函数即可解决问题。
- I* A% ~2 L. d  M: p' L6 b

* h/ U" ^- Q2 M! Y) i: y3 |) z