经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
& E2 q# J- J/ r1 R$ ]+ {1 {解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

. I3 M0 V4 |5 `9 F其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

( A& p1 v% z' W" f) \! j* ?) L

  m% u/ i6 O/ G从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

4 v6 W! U0 e( `0 H第n新出生的兔子 f(newN)
' |% n) U4 u. P# ?第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

+ A" f; N9 A8 Q2 e% w6 {= f(newN) + f(n-1)
# S; M7 c$ w) B3 G, B


在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

4 y+ w+ ?4 e0 ~, A, E0 j而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
  u+ B# k3 z0 x* @2 }# x: \
7 p7 ?' a0 \# i3 e# y2 Q6 K, `" ?, ~7 [则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

, S0 r' [+ _6 X2 q化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
  X& K+ X# v9 t0 \  g( u
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
$ ?* V7 {( x* d' l7 L, J. y0 c. @
6 }" C7 \# F! J3 e, t7 f: J4 I2 ^
3 \8 x' a+ A# d* ~
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
+ F6 O- O5 U1 X
f(n) = 1 (n=1,2)

4 X  Q; N/ @* W  s$ O; @f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。

9 j  f2 w# d- r+ z- g+ w6 g