经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
/ P4 T' U4 b5 V8 q5 A+ {* x解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
) s' B# e5 t; q9 r1 t! R$ @
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)



8 c6 u$ L7 u/ V" B4 }7 D& t; t. X' ?从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

" ^- Q8 y3 X# Y& g: R3 u2 \第n新出生的兔子 f(newN)
: X) Y' p6 u: b# O, f5 O: R) k# ?7 a第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
  i9 |+ r* s9 L1 I8 i+ Q/ p即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

= f(newN) + f(n-1)
, F2 s4 {' ~- f/ @% o

8 |' |3 L# C2 n0 U% [9 Z$ _0 M- m, k
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

% G. L/ L5 e* i- x则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

9 ~8 i' \; E% W5 B6 @  w即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)



/ D( R7 [) j5 r8 N/ u所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

1 ]% S  v" q  W6 ^- Kf(n) = 1 (n=1,2)
2 q9 b$ i0 D3 R' v: P' G
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。
; W! t0 M, v! H- ~& w* _& p
8 H: M4 z3 m: M7 C

/ P0 I7 ]9 A. ]! t