数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
% z) U7 m. X2 u! o几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
4 b4 I% d- ]) {6 @8 X7 P/ c1 p& W! u型、马氏链模型等。
- v" @# l; d; J' i2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
; D. f% ]" q2 c+ j8 h+ m) u1 T5. 按对模型结构的了解程度分： ：
1 U7 c; I; I( X: d4 |+ l2 [有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
' |$ }. ~# p  T国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
" P9 Q/ \3 q9 y1 W- M. g% _5 H运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
: W+ w9 F; U( t' R& ?% k5 N数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
5 u# i5 _: ]: d9 a, }) e- {该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
( e2 K  N5 w# u- ^, I6 A/ O以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
  o: `: E1 h$ ~8 ~  }2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
% F& B2 D' q: o+ F0 S: @( R比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
: G1 z6 J8 [- c& h  w" m3 p. q% s通常使用 Matlab 作为工具
+ @# ?2 [& i" H# t/ |3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
6 ]# T6 \2 r; [法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
. Q- f9 v$ ^1 l8 Z  A; k+ c# B4 、图论算法
6 A( L7 z" c5 z+ a- p- X这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
: G* q" \1 N) l8 A) W% Y论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
  g) }' q8 R$ R. U- F6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
# P* R  k8 J6 r, Y- C6 B帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
; r6 x: b8 m# k5 ^9 、数值分析算法
' D' H$ k0 D! m* \* p, C) h9 d4 y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) D9 `! x- L5 L% @$ D6 ?3 \3 f# q5 j10 、图象处理算法
% B* b2 d; |7 @/ ?赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
7 ]  G6 u) K5 P9 X$ }的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
, }6 i0 ]# ]( c/ T解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
0 B& E5 O+ O3 C1 U4 v②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
/ K: l, D9 `! s$ {2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
4 p( M, K1 _- z, W微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
8 r) N- }4 @5 }其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
6 Y- ~& C4 H6 p( H找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
& [( t# ^: c2 m1 P* q8 ~3 Y- |5 S1 N求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
2 A5 p0 B- X: `& L  c( A9 A9 ~化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
$ a8 K/ F! v% w, B, j. p" s②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
) j) k1 k% K( `5 h$ ]) q) V4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
) S' t: y1 q$ a) M. s3 N% @$ G, N互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
: G& y1 }3 q) z2 e5 ]" d2 t5、 、 时间序列预测
) W1 u5 x) X0 N* {0 Z# e预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
9 R: O; m2 e- g& A6 M1 |) s（较好）。
" d+ ]2 ?* w5 {& M. `, H, J6、 、 小波分析预测（高大上）
" E  |7 ~# |% n! u: j数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
3 n4 W  }! x6 I4 b预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
% u) {( P. M6 g# z: Y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
1 I3 F2 o/ S! `. B9 g0 A办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
& _: {# e- w9 }2 x# J+ f/ \适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
8 n6 c- R- p& N9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
; l, W4 b: `4 O0 j拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* m" `& k) @: V& J  D逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
, Q: {  Q# }6 W) C; k10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: ]" \) v2 b1 j  S) O$ O评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 E' k! I8 U, ~% }8 e作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
/ [8 g5 H  F' ^. _优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
. Z3 i9 O" N' j$ u秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
7 n2 Z5 W1 G1 ?! Z法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
; A  R9 R% @, j其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
9 I' B( V/ F/ v评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
( _  v9 C) M: d" C' q3 f的最差值。
$ C7 C) o2 U8 T/ [9 o/ m! h2 {15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
; e7 q1 B# f6 A. S( f$ y来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
' u  ?, b0 L# D( @$ ?3 G& k& U2 i' {该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
8 o; y; O2 v$ k# O, f量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
: c" U5 V$ q8 j% i0 g6 u17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
* D( A' S1 p  h% }- [( H8 Z& t1 }优解。
: T  w, ~  g) J) F# Z* V0 L18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
% k# X" ^5 c0 Y非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 ^" Z. c7 Q: P! p% R+ H算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
# \' u9 L5 {" W, J19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
9 A" [* T. R; F离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
7 r4 w9 S8 V5 Y" g" W; e排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
- ?- T3 a9 f7 y5 U* HMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
7 S6 O5 e; ?  S# i22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
9 F8 ]  L' C$ \射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
$ l$ Q# D+ \9 y. ~* T3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
' Z% t( W7 e) V3 O/ \  K- k9 y5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
; [0 P3 n/ \: E, `7 D* S3 }& S1、距离聚类（系统聚类）（一般）
) q- [' s( c/ O2、关联性聚类
' \$ G6 K7 _/ j+ ?& D9 H3、层次聚类
* b4 R4 C- q8 g4、密度聚类
0 a$ @$ w: g& f" d3 U$ O5、其他聚类
, u( s: J3 d  O- A- O; B6、贝叶斯判别（较好）
  c: J6 C& p1 H7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
. {# O+ d6 g0 ^9 o+ a# J1、灰色关联分析方法
( _2 q9 t% o, b5 N" H( |2 l2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
% o. t7 G9 ?$ b: w. d% K3、Person 相关（样本点的个数比较多）
5 P# |8 V. s. k: S: K4 @# E2 |4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
% i5 ]( A! p! W8 |' m  \5、典型相关分析
. C# Y4 V7 J7 S. v0 N（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
1 k( x% z- Z* t+ D1 `& x若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
& w* x) N) j3 ~1 m9 K% I7、生存分析（事件史分析）（较好）
' D5 z/ D: ^3 f! T/ d+ E7 c0 z% _数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
7 Q& [- t! z& W* {8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
- G! b+ ^. I+ x4 N率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

% A1 P+ r5 l1 i; Z6 q
$ \3 \  b8 f( ^: V8 d