数学建模

佛自业障

数学模型的分类
& I- d  t8 q9 a: H9 i1. 按模型的数学方法分：
; V0 i3 P4 o5 U' G几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
( g' V; \8 k, |, t; ?6 t性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
" g/ m5 b8 S. P1 b% o9 X9 r人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
+ r! X* d; |; Q5 |! l; w/ C, j预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
) k7 l& ~- ~. y& N' O$ X一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
) V3 f; w: O8 n  ?7 d9 T有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 ]% s& g. a' P6 J9 U比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
8 B+ l9 a; L1 w+ J6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
) V) P. k) V  [" ~7 r5 Z! l1 、蒙特卡罗算法
" C7 q9 b5 N$ O- {该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
; |" @" c1 Z$ L" j以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
) }. A. d& X4 N% q3 _3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
: {7 e& j1 L  G# N! G0 z这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
. K# a/ b& t' Z! v$ U这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
/ b$ l4 v+ {0 X6 {1 U帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
- K( s+ [- a  L# O# r- n7 、网格算法和穷举法
9 b$ M' _8 i' B/ A$ _/ h  [当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
- }. w4 j, h# D$ S/ x# Q一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
+ r  G2 ]$ [6 J7 W  C0 R据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
7 g- b0 j) r6 V0 [5 `$ A) w1 M10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
$ b( |0 X" T0 j9 z# V( I% h! g; s个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
( @! V  Y; M9 D* d, A8 Q②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
0 j/ j5 D: ?- a. f& ]2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
1 c% f$ z  ?- K! {0 o3 b7 y微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
( |% _: D4 x! j2 F! v, d- q/ |5 |3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
8 m) F( T, E' \' e6 t% p化； 样本点的个数有要求：
2 B+ l" V4 X$ j, e; Y# L①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
3 U2 {  |  \, c- ]5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
) i/ R" m, Y6 ^2 N$ V" s+ ~（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
: P2 k. W- v/ L) a1 {( b数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
  `9 V& p$ `7 K; E  }; N预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
9 V" q9 J; m! J. C$ y1 @. [7、 、 神经网络 （ 较好） ）
# t* L3 b( z- }/ G' b' s大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
) K# ?8 d" Y- J6 H0 a8、 、 混沌序列预测（高大上）
9 q* r: Y8 O" y2 q) W适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
, x" e, T( U& _8 j5 Y* X3 B9 H2 n在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
% i% R! T& S8 T  W0 ~10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
4 z; k1 l8 }" i% Q11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
* K' c5 o4 m- E, i4 }作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
- u3 ~; A) d6 B; d. j12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
8 ^; h/ K9 ?3 X  ]; j3 u! _2 M8 G" L法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
7 q, |  m. a3 v1 z. @% S14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
. u5 U' \& {  q; c* H评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
9 U; x) X: K5 e0 W解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
% e$ H& |$ Q; [来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
8 ~1 S) f; k  Y! r8 ?( D: q16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
" |. k- o# g8 O9 J/ f; G协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
: `+ w9 f( {  V7 _17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
) j4 U5 z  R7 m# m1 V7 K( h优解。
' O1 v, T9 a  G" z, }18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 e3 z! d- Y5 K7 J! i3 d智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
; h& f8 K4 o1 [. z8 D19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
7 I' w0 @  W, [; Q20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
1 P9 J/ D8 n3 j即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
' K- Y7 r  t3 D( t# z. X+ B计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( `7 Q) V1 v0 X( k/ m8 U' y9 P21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
/ C! M* W1 u" ~6 x  D例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
* ~1 i; a- S" R/ |22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
. X# i* I  B, Q7 v; R, L' w23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
, D/ k8 W, j0 N! j/ f( j& Z0 `各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
7 i# B  g/ H; J从而达到降维的目的。
4、判别分析
& {3 r) Z3 _' x. K6 I5、典型相关分析
! h$ ^8 y% F' ~2 X. W& M& m7 U6、对应分析
+ D' w) N4 b! I3 X/ m) x7、多维标度法（一般）
- Y! q4 n5 o* }. m: F5 C8 ?4 Q8、偏最小二乘回归分析（较好）
0 w) g  \2 A3 b1 k5 L) g24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
! _6 |" u* b. J, c1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
' ^$ I4 b5 g: |: y+ z7、费舍尔判别（较好）
* p! x' C5 y5 T9 n8、模糊识别
1 G9 R- \3 e2 O& j: H$ M25 、关联与因果
4 d. E* @( a  X( p- n1、灰色关联分析方法
: B0 ~. T. ?3 s2 I3 Q" b7 [2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4 o$ |8 y/ n+ j- a4 }4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
: o- t. C' a# `4 v! M5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
: f& v/ I& n* D) f一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
& |3 ^8 z! O$ c# G2 w8 |6 F7 X8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% Y5 z4 ?; j# {' t4 H) z' }- P9、优势分析
  W, _+ o8 M3 I26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
( p. o1 @- ^- T9 J/ x率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
, v. v0 J4 R# `3 `. z$ s9 }
1 J6 n+ Q9 W, P, R
! [# z7 ]+ H1 Y6 m0 o
8 L" `: `( P+ |& d7 }