数学建模

佛自业障

数学模型的分类
- d' [8 F  d& G) h, x+ B: Z1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ n2 q8 z+ [' j1 \9 [' q: q) z$ |, L型、马氏链模型等。
* ~! E0 `4 n3 b- _2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
3 L; f5 c* f: J3 a性模型和非线性模型等。
5 S9 M" S' j3 H+ u3. 按模型的应用领域分：
& S$ c" S9 V+ d; }1 I9 g人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
9 g; p) y1 a2 v! x5. 按对模型结构的了解程度分： ：
2 p9 Y9 ^( V+ O" d0 Z6 I有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
% h. k2 |3 M" D. c比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
  n: _, U/ H- V' {8 O数学建模十大算法
: g" m  A% x8 r( s( j0 O- B9 c$ r+ v  \1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
. X( L! R; Q7 ?) A$ G; M, ^2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; f% Z* F* h+ B9 B; W* b比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 r/ W, v1 f5 s. j* c3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
; \9 z3 z8 D! d$ ~  H4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
, k- X+ O3 ]# z2 `) o" l) m3 @论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
! s3 k& Z* ~6 ~. O) v2 T7 Q/ i; v5 A这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
8 r# G' w, o; @0 |" S) w. ~这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
" k5 Z% x) R+ x5 M帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
+ E9 R( C7 }6 n$ @& E( ^7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
$ v) O- d: d7 [/ t1 Z/ a" T很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
( T# x/ K: O5 n# y0 d据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
  [2 V0 G4 t5 W7 U: g如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
% m, {5 j# h* K10 、图象处理算法
8 e! }  r% p$ g* }3 z: ]- _6 b3 s赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
6 J7 O& N5 ^  w0 M8 ^1 J0 a7 |行处理
算法简介
6 s7 ~4 m: _: C) r. n$ ~1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
0 _; s/ g  ^2 d6 c( H  \①数据样本点个数 6 个以上
& G9 A% n* m7 |$ j( U; M3 E②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
# G/ X0 j4 R& ~6 V# F# Y  o2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
! ]- a$ B! ^6 G1 w& E7 @微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
5 h( v  u9 C( b# `找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
& {( w- X: |; y$ ^4 c3 ~. u0 a3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
! K5 N3 Y: ]; O. R- e+ b5 W①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
; }) A& j3 Y) W7 B6 `2 x互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
% O* V9 A: a' N' c概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
) T& w6 y5 A- ^5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
5 m% ^1 k: s9 e3 N（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
4 w( r; T+ y1 w/ f- i预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
% z4 }( z# {# z. o" A+ A# t办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
7 Q: V1 B4 {5 ], ~) O' w在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* t  c9 Z% W" G( @- E逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 ~$ ]- G3 z4 E9 G5 D3 h) E11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
4 A: M6 P7 C4 ~8 B. y作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
; h0 N) C1 C* f3 x! c+ G秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
+ k9 W, [: t; V$ X4 }法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
- ]4 k% T3 h7 N3 n' s, J似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
+ @7 \% B( Z$ x' m评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
- a6 d- b7 ^! H, t5 e' ?) I/ [可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 R+ a& K  [; z该方法做评价比一般的方法好。
; v, V1 G: [$ z16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
3 p6 j9 L  s" x& Q, \+ U协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
! e8 a- Q: J2 X/ l4 v' b17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ t7 l  a) @' f! V: c( C# M模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
% D, `( ^* K8 a+ e: Q优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
; I% k  Y2 f; c" G3 z0 u) M非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
6 D% @1 N7 z8 H智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
8 c" G" }) \. g: q$ s3 i5 ]其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
. L2 q2 }* \1 ?2 q排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
7 ^8 X. N, o: ~; j( B有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
  i. ]  w8 D# |2 ~2 o计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
1 O9 Y; I9 s6 ~, X7 s6 s22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
0 d! g. {! G( G2 E6 X支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 W; c. F. i& Z, o3 T6 O( B/ k) K射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1 W+ I7 [$ g; y* _  \/ {1、聚类分析、
0 \& u# ~; {* ?% K2 k. Z2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
$ v6 m  s% T5 P/ {$ P5 @5、典型相关分析
6、对应分析
9 V: W. @( Z; Q3 `" P$ A7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
' F, y; J8 f% D: Y24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
  J6 }7 d7 R: N0 {( \7 x$ \1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
$ B. J# |$ b. \4、密度聚类
/ _6 ~% o+ Y2 u/ L: ^( R& r, }5、其他聚类
4 E( B: \. d9 ]9 e' a7 N, P6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
7 K  {9 |( F) C- J25 、关联与因果
6 I6 p7 U3 o" _4 z; n1、灰色关联分析方法
  k5 F, V# T) A- P- y5 }2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
: z5 G  A$ S5 a) H2 e+ z5 }1 O3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
8 P0 K, ~9 V9 |3 }+ g5 m8 D5、典型相关分析
) ~% `, F* {4 q, J2 ~' x2 k（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
2 _  @3 F7 a, Y- A  E7、生存分析（事件史分析）（较好）
; _$ x4 p/ q( |数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
) v6 W9 u9 F5 p: `4 D计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
' M2 n7 ^5 q+ `; H/ {1 A26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
/ t, G: G  q2 |量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
$ b: S7 Y9 }, m率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


$ ^) P! Y% {2 ]3 S