数学建模

佛自业障

数学模型的分类
% @# m3 W, ?3 l% s1. 按模型的数学方法分：
4 \& ]/ R+ [" Y( s几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
* @  b8 i# n4 H4 X, e6 p2 a人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
; m8 ?9 [1 Q! g4 v* X  W有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
; H$ D2 ]$ c: ]- w  c  ^5 P6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
9 n1 ~, K! g) p) H4 g; C) M& h3 R运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
3 l0 ^+ a; t, c- m  [2 }$ I# W1 、蒙特卡罗算法
. W9 W7 K2 P1 o9 n! Q( W( N该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
* S- d) R0 ?: _* F. K  H2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
6 B  X, V6 \# Q$ D5 T9 ^5 c6 m8 H通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! B% V4 P( h9 C; F) Z建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
, E( N& x4 R# ?4 、图论算法
0 w- S) g. W! t这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
: |/ {5 Z3 N" o# G( m8 [论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 g* `& F7 m* z, d* N5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
' \% c6 d. D/ [. d1 ]这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
' w: A# I. W" T# C6 p; B帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
- M! v, e9 z7 V( W  T% \当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  u9 K- O4 _0 E& e, \一些高级语言作为编程工具
  N7 z. }- n  b# L8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
5 z& @1 Y; _# r/ y$ W8 U0 k9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
) I# T5 r  n' a( q0 S' O$ d如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
9 E  k7 l1 B1 k赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
5 ?- W. Y- S/ p: g2 E+ j3 L) r: W' a行处理
算法简介
$ R! H( _  f3 d5 R' E0 R$ p1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
4 l6 l. a- d2 w* @, A& e! p解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
, R& t- u9 ^% Z$ `) a6 _微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
2 Z3 R% z2 h* O$ ?) z  M3 、回归分析预测 （ 一般） ）
" T3 L1 k2 e# T求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
# u+ G) O! x# Z* E+ i8 Z  ?②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
# ?9 q+ k9 k- ~/ Y. G# N  i4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
3 l- O$ k" U+ o& O1 g5 R一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
% h, V' P' T; C# k) p2 ]概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
% G4 K8 r" L, h! G% x- h预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
* ?4 `* k7 ~3 d4 J. \（较好）。
0 O1 i$ A% n% c9 N+ S: E4 |6、 、 小波分析预测（高大上）
  [# ?( d" s" j+ i+ _6 G! k6 v数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
6 e; e  U+ G2 G5 @6 |预测波动数据的函数。
& M$ O/ \3 e7 ]# ^2 A$ L7、 、 神经网络 （ 较好） ）
8 M' A+ t0 u0 O+ S- c, Z# s5 T5 @大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
6 ]8 H, n4 `, X' J1 k8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
8 L: k9 m1 A9 E3 E4 ^拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
7 ~6 J9 a9 ]/ b0 ^# U9 Y+ h在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
2 X5 k5 {; E2 `$ G9 |评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
" G, Q6 i( v9 E- h12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
2 x9 s9 j% @  P, [13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
% C. Y0 O/ S9 Z  [" n5 G0 ~- \秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
% f( k  d1 p- }9 t2 _% A14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
5 l' r9 x' n; M( H! a. x( \  `, k0 x的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
& [/ \0 Z% L$ D2 ?  I2 d16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
* |' C' D+ f" L3 C- N; M  `方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
' D6 \& |2 L/ G5 O: I$ S协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
' `! k1 Q5 G! ~* w* ]此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
6 A" A1 e, F" ^/ ~优解。
7 `8 X3 u5 e# b. {: N- k18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
0 ]+ P6 g! E$ q2 E: \非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
% ^0 p* @" f; d' o) x; f排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( D: z8 I) Z3 t- \! I+ f% y21 、图像处理 （ 较好） ）
4 g3 a9 H4 Y  S8 N" K/ PMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
7 k; \, s, P# v' A! `: s例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
- V% e0 S3 K7 X( _" L0 u- Z/ R5 x6 l: l射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
3 Z4 t- L" G5 x9 i0 g5 h3 l23、 、 多元分析
  k5 r) D3 ?* j1 q3 J: t$ R7 c1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
) d. A8 l" [; Q% x4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
: w2 v4 I3 K. i6 a' Z; j+ b主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
1 b7 C! F+ [% H, a2、关联性聚类
2 d; ^1 ~2 ~& E3 V1 X8 W3、层次聚类
, u- U. a7 P: h/ L( s* c4、密度聚类
5、其他聚类
0 t; R3 o4 \. Z7 H6 u0 w( V6、贝叶斯判别（较好）
" C, m' f9 G. f# q% ?  t7、费舍尔判别（较好）
, U" M8 E8 ?; T8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
- p# ~6 p6 A5 z- T# F# ]" k3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
" w* }6 t4 C, a& a0 k% ?5、典型相关分析
0 e2 F8 \) X% U* j- S（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
5 G. Y( V" \$ ?% ]一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
5 i4 W6 C* P8 B  z  x/ f& j  {6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
( Q+ B( P& P7 y- N7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
8 m2 p) P0 B' m* H/ C4 g计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
) O1 F  m; m1 H0 P26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
6 T% C/ i5 l7 _) `$ q量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。