首先来简单介绍一下矩阵的乘法,两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是:第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数。A = (aij)是一个m*s矩阵,B = (bij)是一个s*n矩阵,则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = (cij),其中:cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···,m;j = 1,2,···,n),记作 C = AB。
( }5 z% E9 ]! B" `, r! n _1 {. i用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。
) |1 b/ r. h9 }4 b% N由于没有真正学习过转移矩阵,所以百度了一部分内容粘贴上来 0 K3 n5 c! c. D1 |0 S8 F
*什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)
5 ?. D' H% P3 u 转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。
! w7 C7 u( R( ]" j转移概率矩阵的特征
7 z5 v" z5 N& i 转移概率矩阵有以下特征:
; \* a; n. S6 _! ?8 w ①,0≤Pij≤1 3 G, w9 O0 k8 \: G
②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。 ' n2 y" \# w3 j& `- b
转移概率矩阵的分析
8 Q# N: X% |" q 所谓矩阵,是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来,以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵。
0 O" D t: o- Y6 QA=
' A; w0 |$ r+ W" w. y# G3 A; |* z+ P( F( E$ x3 V) r/ A3 m
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
" J% k6 ^% E: H" i[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]这是一个由m行n列的数构成的矩阵, 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等,也可以不等。当它们相等时,矩阵就是一个方阵。 8 @6 }# }/ f$ S# M' N" H
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)] 由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=
! _( [ E/ A2 l" {. Y2 _& i[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
" c1 t6 L m! u7 I8 X7 c, n下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用 % P' k. x2 N4 o: K- w( i$ y* _5 a
有R和S两家公司经营同类产品,这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客,而3/4转移向S公司;每年S公司保持有2/3的顾客,而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额,而S公司占有2/5的市场份额。 ( D- x4 r4 W; ^; {# t9 D- \
试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5年以后会怎样?
6 t( p6 x# k& L. ~5 v) h5 J第一问比较简单,通过高中的知识就可以接出来,
6 R9 o/ p2 x2 N, d: z, nR0 = 3/5,S0 = 2/5,R1 = R0*1/4+S0*1/3,S1 = S0*2/3+R0*3/4,同理R2 = R1*1/4+S1*1/3,S2 = S1*2/3+R1*3/4,
& l! B. |2 l: Z; n& z& W) Z! G' Y: G+ X- D! {( n8 y/ F7 {
这样稍加运算就可以算出结果,但是当计算5年以后时就会比较吃力了,下面通过转移矩阵的知识进行求解。
2 U( L2 Q0 E" J$ ]) a4 D- b先建立一个R和S公司的初始分配矩阵
U0 g- h) Z9 DRS0 = [3/5 2/5]; `/ @. r8 i4 R
再建立一个转移矩阵
5 B/ g& t' p- s; n' ^6 P# CA = [1/4 1/3; 3/4 2/3]
* T, i# v+ ?- C! ?一年以后的分配为
0 r. L, n' C' H ERS1 = A*RS0- r/ L9 k! d( M2 [7 P+ j: Z- y2 K
两年以后的分配为
- u4 D- J; p c' D6 e8 bRS2 = A^2*RS00 {9 ?% r- Q( k2 D9 |2 Z% t
5年以后的分配为
% `% k; c, r% H/ ~3 \RS5 = A^5*RS0
' D' S( S/ A4 L; J转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额,第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额,第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额,第二行第二列是第二家公司保持的份额。 t9 d" Y+ g# X
* h1 X4 o5 a! |0 v; ~! C5 [
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