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数学建模--转移矩阵

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    发表于 2018-11-2 09:15 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    首先来简单介绍一下矩阵的乘法,两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是:第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数。A = (aij)是一个m*s矩阵,B = (bij)是一个s*n矩阵,则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = (cij),其中:cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···,m;j = 1,2,···,n),记作 C = AB。
    . t. j! K$ |7 y用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。
    + Y9 i$ p. k, F9 V8 |$ s由于没有真正学习过转移矩阵,所以百度了一部分内容粘贴上来 & `* B, F, U* u% B3 h+ Y- `
    *什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)
    * ?; O/ ~1 p! R& F& t  转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。 # T+ }! K0 i5 ~: l" O4 P
    转移概率矩阵的特征
    7 q9 H6 q6 W  F) j% \  转移概率矩阵有以下特征: 3 V0 D) E* }+ S# i
      ①,0≤Pij≤1
    - r: j2 M4 T" c  `: A. H  ②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。 ' O- s7 q" H" H' j0 K
    转移概率矩阵的分析
    $ ?! z, U5 r& G7 I  所谓矩阵,是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来,以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵。 : [3 D8 a0 b' d3 u9 T, b! ?5 |
    A=* q) h9 q% Q1 M' L3 W- _) x& y

    . f1 P4 W, o9 o: j! o! v; ?! n) m6 b
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
    6 [/ m. e6 s( {: S
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]这是一个由m行n列的数构成的矩阵, 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等,也可以不等。当它们相等时,矩阵就是一个方阵。
    7 o4 l3 X1 i0 e( A0 `, H[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]  由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=7 Q& j: H7 l* u
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢11,P12⋯∙∙∙∙∙∙21,P22⋯m1,Pm2⋯1n∙∙∙2nPmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
    & p" `$ E: t( P9 y5 `- l) N
    下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用 4 }8 h$ c& x( S4 X  }
    有R和S两家公司经营同类产品,这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客,而3/4转移向S公司;每年S公司保持有2/3的顾客,而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额,而S公司占有2/5的市场份额。 ) u0 v+ b0 v: W
    试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5年以后会怎样? $ O  F% y  r! ^& k/ o
    第一问比较简单,通过高中的知识就可以接出来,
    $ \7 I6 l" f- ?9 `+ F3 tR0 = 3/5,S0 = 2/5,R1 = R0*1/4+S0*1/3,S1 = S0*2/3+R0*3/4,同理R2 = R1*1/4+S1*1/3,S2 = S1*2/3+R1*3/4,
    1 r! ^1 ~( m  D  f  K' m
    & ]8 P4 C" `6 p! J这样稍加运算就可以算出结果,但是当计算5年以后时就会比较吃力了,下面通过转移矩阵的知识进行求解。
    . }+ D# t4 b& z, P; e先建立一个R和S公司的初始分配矩阵0 P- e2 X+ S  @1 U0 F2 j
    RS0 = [3/5 2/5]
    + D% z9 C" \# @) h再建立一个转移矩阵: l$ k  c. {( l# O* S$ e6 r! l( w2 k
    A = [1/4 1/3; 3/4 2/3]5 h8 W, P0 [" ]4 E, q& v, E2 P
    一年以后的分配为
    8 r" p0 y1 j% r2 y9 VRS1 = A*RS0
    # j/ a" t: w0 Y; ]% O两年以后的分配为* Q5 Q- l3 Z2 d: e
    RS2 = A^2*RS0
    , {! E6 K/ w+ d. |, F* x4 ], _) n5年以后的分配为& g0 ~- R2 \) F3 ]' Q  J2 p% i
    RS5 = A^5*RS0
    0 M2 h  k' I! V6 i+ v: Q转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额,第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额,第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额,第二行第二列是第二家公司保持的份额。
    , a$ u- w- L0 `( M1 L& Z0 {; ]& I- q
    zan
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