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[建模教程] 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2019-3-7 11:26 |只看该作者 |正序浏览
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    % {5 I/ z9 |% X( `  o
    2-8、蒙特卡洛模拟
    9 ^- v: h3 S8 M
    一、背景% _* Z# {# U+ E$ e' A6 w* D

    # |8 V! M. H( T7 Z5 c# G7 F  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”,名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言,就是一种赌博算法。 ' L7 r! ~  N6 i7 j: @6 {8 v
      它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法,也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。
    % i4 V/ k1 l! l' W; i8 x1 l- y0 P* i  O5 w* [% b4 m
    二、算法引入' K; Q3 X/ [! c) @3 S6 J5 B: x6 V
    0 S, {) {6 x# X/ Q3 @9 F# H: w
      最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段,而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S,落在正方形内的豆子总数为 MM,其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
    9 d) i0 d! h" M" ]' Z% d. N  H" }5 M( r- y/ v) w& e) T6 P# t' \
    $ ~' L9 u  G6 l: b% K& t

    5 X: x8 ?  b1 K5 u( U1 \& J( x% c  根据概率论中的大数定律可知,当随机事件发生的次数足够多的时候(趋向于正无穷),其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题,当抛洒的豆子足够多的时候,落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。 1 A1 d. M0 i6 `2 t
      这种算法需要承担一定的风险,但是比起这种算法带给我们的收益,风险其实不足为惧,同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
    , I4 \( G6 E0 F% |! p8 U6 g  在建模和仿真中,应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,产生所需要的各种概率分布的随机变量;用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到问题的数值解,即仿真结果。
    & ^" G3 I6 i/ h2 Z* R
    ' H" P$ ?. V+ b2 U9 Y解题步骤如下: 6 M6 F  w6 S+ `% n. o; o
      1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
    2 N6 [% ~6 t) H1 K1 ~0 J/ V/ k, G3 @  2、根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。
    " }1 ^  r) @0 S" u, D& ]  c$ E- ?# R  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。
    5 ?, B0 F8 r7 C3 F" B/ K  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。
      c) i  X3 Z9 D7 s- Z; ~7 w  5、统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。3 B# ?( T4 G2 z: B4 o5 n

    $ s9 d" y1 P" y9 `1 Z三、算法应用5 O8 n- B, t" h% J
    * x' s2 b5 L* `9 j
      蒙特卡罗算法的应用领域很多,这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题,比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率,如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题,即判定某个命题是否为真,例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
      B! q/ J! ]& p3 C* W( M  对于第一类算法所涉及到的问题,最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积,当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时,由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中,y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解,最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
    * U: r# h1 `: j: B; Z
    , N8 f7 ^/ }, p, l! N/ j  对于蒙特卡罗算法,其优缺点也是比较明显的: $ [+ |- I" P9 E- N5 I
    优点: / o# ^! o8 P6 P6 d5 R8 m6 @* V# a3 U
      1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 1 A/ Z+ `; Y& t! n7 e2 E
      2、受几何条件限制小
    ( Q  ^& R; o! h9 M7 F) ]& u* ?  3、收敛速度与问题的维数无关 ; n+ [9 b4 I" F& Q8 m9 o
      4、误差容易确定 ' W; ^0 _0 M* [
      5、程序结构简单,易于实现 ; q$ w0 n5 [2 I
    缺点:
    ) x. @1 v  P9 W0 [2 Z  1、收敛速度慢
    ' g& @9 M+ F1 P& `+ K* n  2、误差具有概率性 8 f. y. f$ x' Q" G$ x, i
      3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
    3 D- g; O2 Q/ V4 ~% o7 m; R  }% t9 {7 @! f0 t
    四、算法实例5 Z7 e& U  O" r. \/ X
    + Q# V& W- o% n" J8 J
    例1: ; }9 {- k2 B' r( ]
    6 B; T! _) m7 B1 ~1 }0 J

    - m  b  B6 g2 O  在不知道求解圆面积的公式的情况下,试用蒙特卡罗法求出圆面积。
    ( ]) j9 U# }- x* o! }7 E& C+ b) I' V) n& S- J6 ?- e
    解答: 8 O1 f) M& o6 F9 U& M" `
      由上文介绍可知,可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数,从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数,就可算出圆与正方形面积之比。
    0 i5 c( _: y: v
    3 h$ P, J% S! _' \

    2-8、蒙特卡洛模拟.docx

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