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[建模教程] 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2019-3-7 11:26 |只看该作者 |正序浏览
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    详细资源下载附件% w+ z$ i( m: H) ^  f5 C& L1 ?2 P
    8 w9 f( Q) Q$ j; V
    2-8、蒙特卡洛模拟
    9 d! H" A% S. n% j
    一、背景
    9 L% j; k5 m+ @4 K. B( l! A$ C+ Z' }  E
      蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”,名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言,就是一种赌博算法。   F" h& u5 Q; `
      它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法,也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。  B7 s! I  ~( g
    ( {7 h3 k) p: R* y8 C  u4 h
    二、算法引入  g1 Z+ J; {8 c) D: i5 ~0 e

    + B  F) K  W  {1 \( }% J5 T  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段,而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S,落在正方形内的豆子总数为 MM,其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
    6 q( e+ |7 ]" U. y/ h( L# u
    & O9 z9 \6 }* ^5 L5 I1 A
    5 O. L) Y; Z! h0 `! L' I( P+ X1 m* h! ?% ^* @7 D
      根据概率论中的大数定律可知,当随机事件发生的次数足够多的时候(趋向于正无穷),其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题,当抛洒的豆子足够多的时候,落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
    " W$ B! x9 j5 d5 B3 b9 s  这种算法需要承担一定的风险,但是比起这种算法带给我们的收益,风险其实不足为惧,同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
    * P& E8 H* U0 @7 t0 Z, S  在建模和仿真中,应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,产生所需要的各种概率分布的随机变量;用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到问题的数值解,即仿真结果。
    % p( Z) I1 ~! J3 m0 a3 w1 C3 p& K+ a8 X' @* \
    解题步骤如下: $ E# r7 P2 p8 g3 |8 L0 P3 B
      1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。 7 v8 I$ m* B$ x7 I
      2、根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。 & ^! P- t( i1 f6 h8 D" \5 `* I
      3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。 $ K. P& l+ X" x, W* J
      4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。 ( X  I' p5 ?6 o" L
      5、统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。
    8 k& ~8 g5 r% @) c6 c
    ' I# z0 ^3 W3 a) b三、算法应用' e  _# A* n, U7 N+ v5 q& {
      @0 ^, d1 l7 A& \1 X
      蒙特卡罗算法的应用领域很多,这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题,比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率,如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题,即判定某个命题是否为真,例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
    % `$ m* l2 h* a# T- f- Q. ~: F: V  @  对于第一类算法所涉及到的问题,最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积,当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时,由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中,y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解,最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
    ) c7 ]+ P8 M6 I1 _8 z! \1 ^) Q) ?1 g" j- N! K5 s+ @4 M3 r
      对于蒙特卡罗算法,其优缺点也是比较明显的:
    0 p7 w, X$ T9 t; ^; Z( V5 {优点:
    & D7 ^8 z" z6 S4 B  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
    ) C9 i2 K* p/ F9 u. X- c  2、受几何条件限制小 . W4 T0 S/ v- [$ S- G0 v, p; H
      3、收敛速度与问题的维数无关 ( q+ x4 w  K9 C; h, s
      4、误差容易确定   h9 c# c( m7 F) W2 z' ]7 @
      5、程序结构简单,易于实现
    " [4 i8 D+ n; ^- G; V" \7 p) A缺点: , a+ M. Y' S7 ~/ b4 O1 [, h
      1、收敛速度慢
    0 ]; F% }% h* G$ X# T  2、误差具有概率性 - Z  {  g6 a( Q7 q- X+ j
      3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
    + Q5 r" k, s  J' E) g3 I( p
    ' R9 f# K# |+ e* p1 G* `4 C" T6 m四、算法实例
    5 r3 h0 {1 [. s/ P( z$ _! ?
    2 G' U$ U8 I; h) I例1:
    ) a% ?/ c. d% C' a' t* ]# ]+ j
    9 }( h9 \: H$ n% V/ Q$ k8 u8 `8 \8 y8 |% L; v/ ~' L, v, K) P7 o
      在不知道求解圆面积的公式的情况下,试用蒙特卡罗法求出圆面积。
    ) {' q" e1 X! O' T/ t; l; @' L  M# B' l: ~6 N
    解答:
    - C7 v. G$ }6 t: P  x6 G8 w5 l  由上文介绍可知,可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数,从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数,就可算出圆与正方形面积之比。
    . a1 N6 n7 m2 O; x. r4 a$ n' Y
    2 M7 d; ]; S" a" |2 r: E

    2-8、蒙特卡洛模拟.docx

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