数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
# [5 k- I, x9 M1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
, y9 v$ h( S8 N. d
6 g9 ^6 {! w: a7 Q算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
; z* K3 n) Z" w2 z: C* m3 [
) u& v, w; b. I6 z基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
2 Y6 J+ I9 m2 [6 R2 ~粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
6 X1 ?% s3 ?% s' k粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
, M* k; k/ m- H% W- d0 j群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
8 z3 ?- |8 ^, f0 F' b% t

% P$ V% w( F7 L二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
" Z; b5 ^' p: V5 d9 X+ q设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
' w0 A2 |9 Y( v& K2 g降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
; Y1 D, T2 i% p' P
" A" g8 I  ^; Y: X; b# C三、遗传算法
: J! v* c& z1 `- n- C
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
# ~9 Z7 S) O7 }. L% a根据适应值的好坏不断选择和繁殖
1 E. z1 ^6 D9 ~8 k- W9 X' Q若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
6 v  T- w* t' z" e  F
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
3 h1 D% T) ~' ]9 n! ~
四、神经网络算法

6 F# s1 _3 `- u* |; K和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
1 Z3 A( |; G: f, ?( a$ L$ H
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
  R. S  {0 X# U7 i# X/ C9 h) Z1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
! C: @& i& V3 M) F2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
# C+ i6 ~3 i! t; j* F( F1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
# y' \0 \! Q6 P5 i" s0 ~* Z' I5 l2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
/ a5 f+ `- H2 J" V# Ya、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
4 d  ?6 }1 u4 h3 O/ u) L(2)初始解的获取
! z8 f4 }% c" T可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
5 j4 _8 M# @2 _(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
0 M9 q" Y: d9 r4 f; i" y从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
1 b3 a; @) _, c* _* q$ o禁忌表的作用：防止搜索出现循环
) d: y$ y. B+ u5 k) l6 a) J(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
* @$ J1 p9 z" u/ x4 ?! R2 ?: j, D3 x

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
5 T7 X* Z( k/ C2 Q$ e1 N0 v---------------------
作者：_朝闻道_
来源：CSDN
) _" X0 Y$ x& l3 S  N4 o3 i+ u
$ j- J5 e; h, T
$ n& _! w2 t) n. L5 A
$ |1 n4 w) t/ S. i! ^