数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
+ q" B/ Q9 `: A0 m2 k5 j1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

9 B$ l# P3 f" P一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
) c' _& }# Q# ^, I/ @" a3 K
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
  C6 K1 p/ k6 d1 ?6 I: t* D粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
& @3 i$ L( S' @" W# q$ l粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

  }& t% w+ E! g
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
3 K2 D9 o! l$ {设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
3 S; A& p% C, G' Q! t热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
; r" Y4 _- r# x8 p( |2 i降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

6 O' x2 ?) L5 z7 ]产生一个初始种群
9 E: y; c6 X/ \2 D2 G根据问题的目标函数构造适值函数
9 V- H. F3 ?( u( e" d根据适应值的好坏不断选择和繁殖
1 f, n8 }  N0 W+ Y1 W1 K若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
0 S1 S8 g/ t0 ?) H9 O初始种群
4 |4 f) m- ~  n$ f* L: }# v编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
  M8 q- p8 @, }: p! U适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
, c3 `, O" D' `遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
, {; b  [' `! o" I& Y1 E, l停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
% @3 C% i5 A/ R+ @
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
9 {! `7 \. O: m6 P
3 h% D, g# {/ s8 H1 U五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

9 k- t) g' H  S3 T: H又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
  W) I* [  [: E优点：
7 F3 L. H: P  Z1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2 w7 s- }. P) |- \8 k2、局部开发能力强，收敛速度很快。
* I7 R1 y, v$ s/ V  l* _缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
4 H( G* x9 O; y) `* c5 `/ A5 a2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
5 W- U$ y9 |1 m9 N; x: cb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
3 E1 e4 Q( f5 U! t$ Z! {; Z2 O6 }  \(2)初始解的获取
2 ~" E! H  J8 @3 V& B可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
, [( ?# ^7 W, {& O- e(3)移动邻域
% f6 A1 P% h3 ?7 Y" l5 A2 d! H移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
& |+ H! b  C: s3 v* o(5)渴望水平函数
, P6 t  h% O% h; L& \A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
9 p: m) y6 x' `7 ]; j
六、蚁群算法（AS）
' g7 f4 A5 R# I0 @7 p* x

! g" y4 a! F+ c参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
3 v" Y8 L! l, w5 P7 s8 S. t  \---------------------
作者：_朝闻道_
; U5 u* n. B0 K来源：CSDN
6 ~6 C! `( G$ h) [+ s3 a9 Z% q
6 C6 [7 C9 s) ], l; o0 Z4 B