数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
7 p$ X& p' A+ N* L7 O数学建模问题总共分为四类：
+ I8 K. t+ e6 a; e9 i1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
0 I: S, B0 Y0 V& J1 R" l& ^+ `2 ]- x
* o$ ]; z8 T3 H9 V! `- b算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
6 p( x* B1 \6 p7 H5 D
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
. u, b  P4 G1 h1 s! W群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


# @. G$ _% Y# O7 x二、模拟退火算法（SA）
) ^6 b6 {" F7 u  b( j5 L; h% v( x
模拟退火过程：
. d, U2 L0 S* @- Q. E/ ]设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
3 r5 R( e9 q+ C+ V- X热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
% V  u1 k: r- N; j; `降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
) ^8 ^0 A+ }. t% u8 g; _! T; }
; \9 U2 F; p; Z' Z  R三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
+ s3 G6 G+ p5 `4 A  p/ Y$ }" P- @根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
初始种群
" B/ S: f+ k7 Z  U5 `编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
5 W0 d3 o$ x, @$ K# ~) W遗传运算，交叉和变异
- O9 O: x* ]  C5 I9 O5 `选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
2 K- r) q' \$ `停止准则
8 o5 d! j: `! O
  b9 T. A* y6 R; T4 T9 |% D参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
( L% t9 Z& J) a5 y. P7 D
四、神经网络算法
0 x! L7 U% a" ?0 x. f, i
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
( r8 ]% Q3 {4 q5 I
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
% q3 Z6 h1 O: b1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
( S: @; \6 z4 t$ E
; N  i9 J1 Q+ b0 q: p1 A将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
  U1 u' t* L3 n7 s(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
+ k, O; u, l4 w3 ~# [% U% r移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
' X  B, Q! h. }3 H8 {(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
" R# z% U$ F* |& `8 ^+ F/ |/ n* b
; x% R% S. s" i+ F* g
: a5 H6 n  o1 o. w4 i参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
---------------------
作者：_朝闻道_
+ L& _( s. l; X4 b3 @/ {' O; L来源：CSDN

5 [  R$ ^( N4 a  R. `- q; `! G1 v3 \
' m+ w6 |) }9 ~; q. t; w
7 r" I: a' n3 p( B5 j' C6 Q/ p