数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
- w7 L- d: G# k$ o6 }数学建模问题总共分为四类：
; F* C1 T$ W, j5 n: M7 n4 `* H1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
' f3 j4 S; g5 r0 i* }$ O2 B. k1 d5 p
" E6 I- r$ ?1 e# \6 w  F一、粒子群算法（PSO）
+ q3 e' d3 u1 z- K6 r6 o0 h5 I4 s
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
9 x5 [5 Z: a2 t# d, J: H- X- ]PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
2 G2 ^* x" I/ y0 M2 }: V粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
8 E8 `" X% u$ l3 ^粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
  y$ {5 G# q! ]( h+ C. U; t群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


. H8 n, \$ q: R8 b$ G二、模拟退火算法（SA）

- G0 F' H! ~# {5 l. y模拟退火过程：
- C; c: U+ v1 O# R设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
# w  Z+ Z& D: O. t热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
/ m8 {% \1 k1 u9 O# e
7 h& q# a! e9 O* A+ L四、算法步骤
% z& }8 {- T6 ^& x9 p初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
; z) I! [* P+ U- a2 q# L适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
) U" _( [0 K: `* g- J* ?遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
) Q- O$ a! _9 \2 R* D0 z3 P停止准则

: k4 `  y5 U0 P2 e/ e: {参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
+ u* K; A) H1 N
6 w, H: R. e! i; ^四、神经网络算法

9 _4 J# c4 {7 \% ^和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
5 w" z. v: k* E+ f优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
+ G) t$ {# S. }1 w/ r+ F3 U4 o2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
+ l  `' U% H! n4 T8 m+ Z2 ]# m
9 i: O" v* w, m3 H将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
# z, N  P8 Y3 v# J( ma、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
: }9 w+ A. ?' J% n( ?b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
: `, i5 O4 _% I: d可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
6 _3 y; J! J3 [5 K& L移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
% \$ v+ r  g3 G/ N从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
, W2 G) n$ c/ F: Q0 e0 s- l禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

% y* B) h( L% M8 M4 K2 C7 A0 \六、蚁群算法（AS）
  ~  h1 v  ^7 }* Q

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
来源：CSDN
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, {+ u% t) r. Q
+ H1 B; P) |- c7 Z1 J0 B. |- O