数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
9 Z- w7 g0 W4 J. L数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
9 a% z1 p2 L; g
+ \( g" J: n- `$ S7 c6 s7 w一、粒子群算法（PSO）
1 c" y1 y. A9 v
( O2 z/ [6 H5 F* c算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
) M, z" ^6 x4 C6 Z4 Z! }4 t( z
. |! t3 I! I, S基本PSO算法

' A- I& w  b2 O! @1 R- mD维空间中，有m个粒子；
1 v7 f8 R5 p: @7 V粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

. e  `) Q& E+ Y& G- s
二、模拟退火算法（SA）
9 ?* P/ X+ o9 t: T
* A& Y4 j: P1 \* T模拟退火过程：
7 f2 ]  N4 E! O* b/ R7 y2 _设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
0 F1 O, q: U$ F1 J7 S4 E热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
1 S6 I+ n% V2 D2 @
三、遗传算法
3 g* A* p* K: t* ~: E( F
7 L1 S& `; M) b. S产生一个初始种群
6 n2 b% _8 W$ Q# q9 D3 X; B根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
" X+ B/ t3 f$ b. V* S+ z0 p
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
3 l) ]/ r. X! g6 B3 \适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

  G# w  t6 E: {参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

3 Q9 @0 h" ?, K3 B1 [  N0 S四、神经网络算法
3 f/ g  ~7 M( T" @9 G; Z3 c& c- h
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
1 W# C7 M  s( H6 s8 o; U- r
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

+ F! p/ A! o! S又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
' N1 A! i5 Q: i. i! O5 j1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
/ S8 D0 Z% S; q9 {  z' ga、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
6 O9 L. q( C, M# [, K" hb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
4 c+ M: n- J9 f& `& D+ v(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
  m- L8 p) H- L: S% Z( X  f移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
4 l  T# {4 Y+ ~7 x9 Q. Z* ~6 p7 ^
' n6 z. |3 {& Z* e* K4 u1 e  j六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
" f# z# b! s' I# C) H---------------------
2 A+ W9 k/ O) {; M! P* c作者：_朝闻道_
" ~* F# w& v/ Y+ H$ o0 Q. `" O来源：CSDN

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