数学建模————统计问题之分类/聚类（二）

杨利霞

数学建模————统计问题之分类/聚类（二）
8 d( W0 s) ~/ S5 [  首先要弄明白分类和聚类的区别：
' W: ~+ X4 s: n1 \2 }7 N     分类（判别）：数据包含数据特征部分和样本标签部分，分类的目的就是判别新的数据特征到其应有的样本标签（类别）中。
$ N2 [$ r1 g. c& O
5 _2 ~( g1 c7 t, s7 j1 S  m      比方说，现在告诉大家一个教室里面其中一半人每个人的性别（男女），现在需要大家将另一半人中每个人的性别判断出来，因此大家首先要做的的找到区分性别的特征，然后应用到另一半人身上，将其归类。

3 a" o! Z: r4 x8 e+ I# u     聚类：数据中只有数据特征，需要根据某一标准将其划分到不同的类中。
( g3 ~% K- B6 i: t% W
0 i/ P; D, r' |* @4 M: T     同样的，现在一个教室里面所有人都没什么标签，现在需要你将整个教室的人分为两类，那么你可以从性别、体型、兴趣爱好、位置等等角度去分析。

) i) \7 t' h' S# i3 ]7 f- U

     可以看到，分类其实跟预测差不多，只不过输出是一维的，并且还是整数，所以可以用预测中的机器学习方法来解决分类问题。而聚类则不同，一般来说，聚类需要定义一种相似度或者距离，从而将相似或者距离近的样本归为一类，常见的有：kmeans算法、分层聚类、谱聚类等。
: m" K* B1 j1 A$ z8 Y
     对于聚类来说，除了相似性的度量之外，还有一个比较重要的是终止条件，即需要聚成多少类，一般来说，基本都是在聚类之前就设定好需要聚成多少类，其中kmeans就是先设定几个类中心，然后将与类中心相近的数据归到那一类，然后不断更新类中心，直至所有数据聚类完毕，而分层聚类则是相反，先将所有数据各自为一类，然后将相似的类合并，直至达到k类为止...
4 T" ]' }5 Q; @; P, t- W      当然，也可以将终止条件改为当最小的距离大于某一阈值时，不再合并类（适用于分层聚类），除了这些算法，还有机器学习方法，如：自组织竞争网络（SOM），可以自行了解。
) ]: y: B) o7 ?/ e9 h% F; W) a5 ^
       接下来我们以分层聚类为例进行讲解，这一部分例子来自于《数学建模算法与应用》，用以辅助说明。通常来说，分层聚类有两类，一类是从上到下的分裂（即现将所有个体看做一个类，然后利用规则一步步的分裂成多个类），另一类是从下到上的合并（即先将每个个体看作一个类，然后依据规则一步步合并为一个类）。因此分层聚类最终可以得到一个金字塔结构，每一层都有不同的类别数量，我们可以选取需要的类别数量。
---------------------
9 U+ X, q5 |. ?3 y: i     例子：设有5个销售员w1,w2,w3,w4,w5,他们的销售业绩由二维变量（v1,v2）描述：
* M" B! K! l0 e* L  }7 b4 C

; x( A$ w9 ]5 j) R( c8 R6 A+ T
     将5个人的两种数据看作他们的指标，首先，我们简单定义任意两组数据的距离为：


8 _" Q' J1 g2 d3 o! K



. O; y" a* s' ^0 d9 N
     与此相对应的，当有样本归为一类后，我们要计算类间距离就又得需要一个计算方式，我们定义任意两类间的距离为两类中每组数据距离的最小值：





, \! R7 M8 I, [. \

2 C! L* `# _5 }$ I2 \- m# R( U     因此，可以得到任意两个销售员的数据距离矩阵：
1 c3 _# o6 S6 Q& n  s. U( e. ~9 Y8 e

. j, t4 a6 }, ~0 E. a- w' ~
. E" ^( B# P' j" @: G7 o- vStep1 首先，最相近的两组样本是w1和w2,他们的距离为1，所以先将其聚为一类；

& D+ T# `: u" N. c6 }" {2 RStep2 然后，剩下的样本为{w1,w2},w3,w4,w5，我们发现除了距离1之外，最相似的是       w3,w4，他们的距离为2，所以将其聚为一类；
Step3 然后，剩下的样本为{w1,w2},{w3,w4},w5，我们发现除了距离1,2之外，最相似的   是{w1,w2}和{w3,w4}，他们的距离以 w2和w3的距离为准，距离为3，所以将这两类聚为一类；
6 I( h3 k, g, i2 g- o3 AStep4 最后，剩下的样本为{w1,w2,w3,w4},w5，只剩最后两类了，所以最后一类为   {w1,w2,w3,w4,w5}，类间距以w3/w4与w5的距离4为准。
6 w3 N1 `2 |' Z" H  O: G% I" q7 z
   代码如下：%% 编程实现clc;clear;close all
data = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
9 _* t. S) X  o: q[m, ~] = size(data);
2 C, t0 |. P$ |  Ud = mandist(data');%求任意两组数据的距离
d = tril(d);%取下三角区域数据
nd = nonzeros(d);%去除0元素
* _9 f# M: w1 n2 r. G3 a" Z# D) Y! qnd = unique(nd);%去除重复元素
for i = 1 : m-1
$ v6 B* {- ]3 C     nd_min = min(nd);
     [row, col] = find(d == nd_min);
' ~  C* q: m; D     label = union(row,col);%提取相似的类别
     label = reshape(label, 1, length(label));%将类别标签转化成行向量
     disp(['第',num2str(i),'次找到的相似样本为：',num2str(label)]);
     nd(nd == nd_min) = [];%删除已归类的距离
     if isempty(nd)%如果没有可分的类就停止
         break
9 r. Y7 p$ k+ |: ?6 r6 k! Z2 Q/ P     end
end
5 r* T" k: `- w# ]! N8 D* l& |%% 工具箱实现
clc;clear;close all
8 H1 D# o3 }# o. q9 f4 r9 }data = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
$ P: ~0 }3 v: V; Dy = pdist(data,'cityblock');%计算任意两样本的绝对值距离
; S% G; M* H! x4 N' v/ s: [6 a- xyc = squareform(y);%将距离转化成对称方阵
z = linkage(y);%生成聚类树
: t' z1 P4 ]8 J  l0 x) _# ^[h, t] = dendrogram(z);%画出聚类树
& T( l8 l0 V9 r3 e1 M" L, }* o5 R2 b5 t9 Qn = 3;%最终需要聚成多少类
T = cluster(z, 'maxclust', n);%分析当分n类时，个样本的标签
8 K) V" G. E: Y+ _+ n' zfor i = 1 : n
" M' z# e2 C7 @' c4 Z8 \    label = find(T == i);
5 s' N% S5 G9 U. D& C* d% t    label = reshape(label, 1, length(label));
# g. s& I: C% l5 u9 R4 L    disp(['第',num2str(i),'类有:',num2str(label)]);
0 \6 ]* J7 R5 e2 Gend
    结果如下：

---------------------

0 B0 i' \, ?7 V2 M; c

6 n) T; F) Y. `