数学建模————统计问题之分类/聚类（二）

杨利霞

数学建模————统计问题之分类/聚类（二）
  首先要弄明白分类和聚类的区别：
     分类（判别）：数据包含数据特征部分和样本标签部分，分类的目的就是判别新的数据特征到其应有的样本标签（类别）中。

& I/ W' ^& Z, j8 k) u      比方说，现在告诉大家一个教室里面其中一半人每个人的性别（男女），现在需要大家将另一半人中每个人的性别判断出来，因此大家首先要做的的找到区分性别的特征，然后应用到另一半人身上，将其归类。

8 v7 Y1 g7 E2 B5 `- N0 T1 X/ E     聚类：数据中只有数据特征，需要根据某一标准将其划分到不同的类中。
2 h8 I& s! q3 [
     同样的，现在一个教室里面所有人都没什么标签，现在需要你将整个教室的人分为两类，那么你可以从性别、体型、兴趣爱好、位置等等角度去分析。
7 l+ \+ \+ L' R

* G! \4 f2 P# {4 M
     可以看到，分类其实跟预测差不多，只不过输出是一维的，并且还是整数，所以可以用预测中的机器学习方法来解决分类问题。而聚类则不同，一般来说，聚类需要定义一种相似度或者距离，从而将相似或者距离近的样本归为一类，常见的有：kmeans算法、分层聚类、谱聚类等。

     对于聚类来说，除了相似性的度量之外，还有一个比较重要的是终止条件，即需要聚成多少类，一般来说，基本都是在聚类之前就设定好需要聚成多少类，其中kmeans就是先设定几个类中心，然后将与类中心相近的数据归到那一类，然后不断更新类中心，直至所有数据聚类完毕，而分层聚类则是相反，先将所有数据各自为一类，然后将相似的类合并，直至达到k类为止...
  w! @& k9 ?6 [% `6 a      当然，也可以将终止条件改为当最小的距离大于某一阈值时，不再合并类（适用于分层聚类），除了这些算法，还有机器学习方法，如：自组织竞争网络（SOM），可以自行了解。
" V# m9 t( @0 q3 a8 _
: P3 {! l( x/ _       接下来我们以分层聚类为例进行讲解，这一部分例子来自于《数学建模算法与应用》，用以辅助说明。通常来说，分层聚类有两类，一类是从上到下的分裂（即现将所有个体看做一个类，然后利用规则一步步的分裂成多个类），另一类是从下到上的合并（即先将每个个体看作一个类，然后依据规则一步步合并为一个类）。因此分层聚类最终可以得到一个金字塔结构，每一层都有不同的类别数量，我们可以选取需要的类别数量。
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     例子：设有5个销售员w1,w2,w3,w4,w5,他们的销售业绩由二维变量（v1,v2）描述：

" Z0 W) |1 B: O1 m3 z3 ?

     将5个人的两种数据看作他们的指标，首先，我们简单定义任意两组数据的距离为：


: \* [5 w  I6 o9 i' r




' r+ C' U  B3 P( A3 \5 W     与此相对应的，当有样本归为一类后，我们要计算类间距离就又得需要一个计算方式，我们定义任意两类间的距离为两类中每组数据距离的最小值：
% m+ Q. o5 b; U9 X& @2 E* C& Q
$ J) k+ g2 `3 \
6 j' J8 A$ Q4 b$ y* c! u5 K
+ c! x) d3 C. k, _' h: G4 R* O
4 D9 Z9 C8 ]3 }: z2 L; c
- M6 X: f5 v2 K3 V: J, w

     因此，可以得到任意两个销售员的数据距离矩阵：
, i) K' T1 ], w
* |' m- J2 h4 J  ]8 g0 J
# I* `& j; n+ P3 t) o- F
5 q8 z8 Y+ ]3 s! g, RStep1 首先，最相近的两组样本是w1和w2,他们的距离为1，所以先将其聚为一类；
8 T$ w) o& b7 w, O! h2 m
+ W. e* [' W1 G3 }: \' Y. y* ^4 XStep2 然后，剩下的样本为{w1,w2},w3,w4,w5，我们发现除了距离1之外，最相似的是       w3,w4，他们的距离为2，所以将其聚为一类；
; E- d: k7 I3 w, o( i: z0 s4 Z3 ~) PStep3 然后，剩下的样本为{w1,w2},{w3,w4},w5，我们发现除了距离1,2之外，最相似的   是{w1,w2}和{w3,w4}，他们的距离以 w2和w3的距离为准，距离为3，所以将这两类聚为一类；
9 c* n' N; t! _2 u! eStep4 最后，剩下的样本为{w1,w2,w3,w4},w5，只剩最后两类了，所以最后一类为   {w1,w2,w3,w4,w5}，类间距以w3/w4与w5的距离4为准。

% ?% y9 n' _6 R, F; o1 s9 x   代码如下：%% 编程实现clc;clear;close all
data = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
1 E/ m4 t: m. ~[m, ~] = size(data);
d = mandist(data');%求任意两组数据的距离
/ o1 ]" r" ~. c6 M6 a1 ?5 e4 Jd = tril(d);%取下三角区域数据
nd = nonzeros(d);%去除0元素
% O5 t# U7 C, M2 q# `: n7 P8 ?8 K1 und = unique(nd);%去除重复元素
6 G9 ~8 A0 A. {3 Y- e for i = 1 : m-1
! C' L7 G  d: ?; _     nd_min = min(nd);
     [row, col] = find(d == nd_min);
     label = union(row,col);%提取相似的类别
     label = reshape(label, 1, length(label));%将类别标签转化成行向量
     disp(['第',num2str(i),'次找到的相似样本为：',num2str(label)]);
     nd(nd == nd_min) = [];%删除已归类的距离
) v& n6 \0 ^7 N     if isempty(nd)%如果没有可分的类就停止
         break
3 M+ P9 k. a  q% o7 g( z     end
7 P1 e) Q: f& B- @ end
%% 工具箱实现
clc;clear;close all
) q5 z0 `9 P1 t4 i8 U9 ?) O! V1 Sdata = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
y = pdist(data,'cityblock');%计算任意两样本的绝对值距离
+ B: i, K+ K4 z2 Hyc = squareform(y);%将距离转化成对称方阵
4 M) H7 ~/ z4 ]4 Xz = linkage(y);%生成聚类树
! i" I4 y' i, h- G: F/ r+ V% q. P[h, t] = dendrogram(z);%画出聚类树
' Q. {8 v9 n; r. T' gn = 3;%最终需要聚成多少类
T = cluster(z, 'maxclust', n);%分析当分n类时，个样本的标签
for i = 1 : n
    label = find(T == i);
8 F  V+ Q% w+ q& ~* ]! I% f: S    label = reshape(label, 1, length(label));
    disp(['第',num2str(i),'类有:',num2str(label)]);
0 e5 |$ N9 j( E) Gend
$ i( n& I  N9 h    结果如下：
+ U3 W  v* j% |- g; W: p
---------------------


* {7 m9 J9 p8 a: g4 R1 Q3 Y7 [6 B2 Q
9 ]6 M+ P, I+ j( n' M4 j