2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
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之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
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& [  \( e5 p; r2 h, o3 y! X今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
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询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
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0 u- P& L/ b( U+ G5 M经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
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但是！
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; j; i( U/ d5 h  d6 e9 Y& `数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
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2 O) `# J& p) W$ {8 f再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
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! H$ W: Z$ R% v0 y  T这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？

求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
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差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
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& v$ C' W: @+ {本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
. [' h/ F+ R2 d! b$ c4 d
$ h" @  ]% k5 @3 r# ?6 T本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
# E$ Y( \( ]  h1 N% A" ?" t
既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

4 M' d# q: y  m2 `" y是否适用于多层壁热传导？

& O, \2 o2 w- C6 m& s) F% _评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
) e) y4 b; B! |5 L
" X& R! s2 |: P其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
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$ x# h  D* R0 g( w4 z答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
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思路1：

你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
, l+ G4 r# S+ s) c
: f  m' [' b1 y' V1 k因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
4 T* \" T# a( |1 T; J4 \! V
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

! b8 Y' }$ X* \# G; W思路2：
! q& g2 a% V# j# y
( v8 d) w# h: V' ~3 _2 I我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

$ |+ t9 A0 M; ?; k) o这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
4 q: Q  y! H1 ]# |# Z
4 l$ i& O# X/ A# N6 S这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

* N) P6 b# u2 Q6 f7 V# q5 a7 l关于边界条件
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构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
4 Q5 ~1 N' l2 T
之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

; z+ J# |2 E% x; w! \" ~' Ou(x,0)
# \: v3 [7 ^8 r# G9 D
u(0,t) 和 u(1,t)
$ J+ u! J9 |4 e
- f% _  C- E4 j) t5 k4 J. |) ]6 t在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

$ W( L8 c0 g+ ?3 l* b7 {7 s3 W首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

: U, E1 K7 a% {6 ^9 i9 N. d比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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