2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

" i. S! I$ l& M( K今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
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* t% @  n8 [. V9 l" s3 ?% k$ |& T

+ n' o* `! u! b* a7 f2 N! Z" ^询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
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+ k1 @; q% l/ a经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
+ O$ N; _! ~8 C# ?
但是！

- `. S! @" \$ e+ e% {$ b0 F数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
- e) A0 G. @4 b5 M. }) r5 }
' o6 v1 t: b5 {6 e4 W再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

$ z& I: I9 ?) D' Y这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？

( Q9 ]3 y# S/ ]+ g/ s' |求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
9 Z3 i1 B6 G4 p  y' z. M$ d% d% `
  O$ l& s/ T6 M5 ]( }有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

" s7 p: T* f  c4 R  [既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
" d9 p# v2 D4 b7 G9 D9 d' l5 @
0 k9 Y8 A9 z* K- a/ w当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

  Y: E; F8 N/ ~. }5 E; B. ^是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
2 K% _( u* Z: w1 r' h8 a$ e/ _
& h! r2 ^- ?5 h4 M  x& X" E其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
" S0 P4 k& k: q% v
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

8 e/ y* }0 @6 Y5 ]1 m: ^# o思路1：
4 m  d. Y5 Z$ \  ?3 a8 i
/ p& c$ @7 N4 L# A$ i9 L# Q你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
% @" K3 y6 |% w" P! O- ?$ @
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
( ^5 I: U5 n( p. W, O8 V# O
& I* V( k  ~- u. ]0 F思路2：

我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
5 f. T6 s5 v' s1 E
这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
6 i, Q/ ]) ^1 L: I$ }5 m
7 P. r5 z4 `/ k' E8 W2 D: e. E0 s关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
( d  A3 e0 I; {0 U: i
5 }% Q3 |5 m( b( w5 q- m9 |而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
7 R3 z% g# k5 J3 j* A  H
& c! b+ T1 N) `5 ~0 c之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
: j0 ?7 `9 }1 g* `" h( j5 u
) ~# }6 A# O* X& vu(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
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$ X8 u" h- ?+ k- G- M$ E在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

& ~) ^& Y( S/ }首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
. {3 H6 q( t7 @; {( {% Q
3 q7 ^4 ], a: J8 \4 V: @* x但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
" `  b) h: g- a4 z$ q2 c6 Z
比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
" \! n* a2 Y) Y& ?
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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