2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

4 n- ?. |- z/ F( S! Z: y1 s之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了



$ l/ N& ?1 j2 J- I' ~询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
* q7 ~4 Y+ f  w" ~) _: ~
$ c& S: b/ k9 ?8 O( @4 Q经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！
- Z5 Z7 k; R9 X! A+ o  m# ?
数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

3 O% _; m7 r: g% M5 u7 a* m+ s再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

* q! ]7 U" @- z' N8 J* K, Y  E+ @这里统一对大家的问题做一个回答：

/ V- v- L8 Q1 R" [: ]2 a# O' R本题适用差分解法吗？
( t' k+ H  _$ a: X& P: }8 O
4 {* t4 J" X8 Y求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

( ^9 `9 T1 F; N( B差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

/ X$ {" f3 R9 K3 i+ c: R# h, T有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

  i- ?4 K, ~3 x+ \9 \既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
; M0 z9 b9 O5 G. ^% X2 W7 `
+ T- ?: b* m* ^+ E) ~; c当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
% ^: F( e% S- p% {
3 z- @  B! i0 f# e% e' g9 L( }. J是否适用于多层壁热传导？

* ?5 s  u- S$ S7 @3 o& ~- d评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
! K9 O( a0 o3 Z
7 H) X8 T) f& _7 d1 J: J- y! C8 Z; m* y其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
# Z  Z# k$ r- q4 w/ [9 h
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
, l/ O/ @9 w. L" ]5 z, Q$ u
思路1：
, D$ b3 B4 I5 z$ o  J8 r9 T/ T
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：

我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

; v# v7 h- Z7 s. I6 w; g  W' v这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
' _# s; r) O+ `, t0 m
关于边界条件

1 t& j5 E- F2 ?  P, ~8 D- y. W: O) Y! m! k构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
8 Y4 d6 ^+ O( e5 M
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
6 ~: x7 l- D& H0 Q9 M
u(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
" u8 s6 |! X: }2 }6 n- S7 `
  G9 i' b  ~( O) s' Y但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
. V* _, @6 ~5 u; @
$ x# G6 J3 I9 X) F: B: A比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
4 p- f: A* F8 W: M7 t---------------------


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