2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
9 }, c% e; H" ~
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
/ G0 E( h. M! V8 N8 P: X: g6 C9 B: |
0 K/ \6 H* p7 I5 g4 i" q# R
0 J1 l: J! T/ \& M
询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

' P6 @; E4 o! v; V7 W2 i经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

: q2 J) `/ X# a4 s2 z但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：
# w( }. p& ^# Y" [1 }+ Z, ?  k
! p* u' A' f& _* R# C% v" M本题适用差分解法吗？
. m- O4 U0 Y% x1 t5 d
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
, B- u2 i! E8 b% ]7 l' d
7 d  L. E2 b/ L9 p6 @1 [差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
/ B/ y) [  U/ O& q/ v
有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
! `; H& [- _1 m+ }  h  g
本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
9 }, H, g% \5 Z2 y5 F
既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
% g! ], ?) Q) I% S1 m
7 h% s% B/ u7 t/ X* Q当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

& e) j" V8 ~1 M是否适用于多层壁热传导？
/ D; r  j" N/ X( C) y
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
' B% b2 O4 Z1 k  E/ Z, y3 ~
其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

1 l' N6 R. L* H8 I思路1：

' I' t/ B, @! W) [* a你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
% f8 j0 v+ B* Y
5 O$ V! `; p. A2 k" R) A) t因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
3 z  H0 P9 e* {: w
# Y- s, V# |9 {  N这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：

. `" L* O. {' y: R4 Q! V$ k我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

: _9 H) u( B2 o! ]9 i* z4 f这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
- r3 L! k/ G; q
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
' _8 ~, t8 F& p& G  D
关于边界条件

, ~5 n2 V3 n& R构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
8 B* G7 H! ]. _: L- L
/ z1 F) ]8 M2 }2 j而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
) i4 r/ J# C; h4 q* u
7 S+ Y* y2 M. i! m6 _+ P! m) q之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
9 E4 A% N; P( \( N" @' ^
6 b$ E, I' j7 Q: ^5 k* x在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
; {* N9 c1 \8 _2 X% R3 ^; J& c2 V/ v
但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
! \* {( I* o" G, `
/ m/ R2 O& s) v; j' t: V比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
" K: B9 n' g) n0 t1 p- i
" v5 t( n) M" q# M- H9 l! d4 o" Q这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
9 b, k1 M8 a9 _5 N5 {---------------------


, C2 Q- _+ f% D* P
1 ~  W/ A7 A* F