数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法

3 c% |+ P+ H* j* {0 D' v数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
' A$ s, T' K6 f$ o/ F9 ?
一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

5 m" L8 a% Z* U# v基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
  D3 Z2 _8 c$ n7 |' s粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
( F5 D3 B6 H3 {3 I粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）

5 h2 a- j- T# ~& e模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
9 S. |3 j0 D1 c$ O; u! d, A' F
三、遗传算法
3 p! P7 \; V/ n4 I* @
产生一个初始种群
/ F" e# N9 C0 V* S根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
2 n4 U; i0 g. F3 ~7 z- _6 |若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

0 H2 `0 w! P7 D四、算法步骤
7 G) d5 W- `+ ^9 ^2 d7 k: ^初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
2 M! J, c5 {- W2 }7 z适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
$ ^5 b) q9 S+ K) X: Y6 J遗传运算，交叉和变异
0 e- L. ~) C9 N+ e选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
: q- o: q, v4 z# j: a8 j  M停止准则
. B& v7 y" ]8 \
7 Z0 X, I. ?5 d  G参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
, }5 X8 B# L% y- n4 D. M1 ~: f! K
" w" u/ _) u+ M" _- j! a3 l. Z四、神经网络算法

; F* C8 r! n4 ^6 p" t7 R和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
, u! J4 n; m0 |7 q$ K
  H) N8 Y9 V2 S0 x! {五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
5 p7 c* n( \) l  P. W6 r+ u3 A& ^
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
5 e( ?9 q& S, S1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
$ [! ?" s( R; h, ~9 _2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
# d! Z* q, }) @6 E& j$ k. ^! E1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
2 U  R4 ~) v' a8 o- c% S
! v( J2 Q* u4 G7 i将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
/ r) S2 t9 N2 X6 x* p0 F1 O: b$ \(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
2 H' y" Q% s# q) w3 `(3)移动邻域
2 `. j1 X! t' s" g# T移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
) n; [, E1 e! T: f& d6 Y从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
: j% m& O# o! Y! T' Z: w(4)禁忌表
/ y+ W. p% c/ l7 o禁忌表的作用：防止搜索出现循环
: }: D- v- K% z* a(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
1 i& g9 h% G/ x, w- x; B0 Q2 C: T$ G
0 g3 J* s% ]+ I8 l, c0 l六、蚁群算法（AS）

5 P* j1 a* O% G5 D


: p/ O1 B7 P) W2 }6 ?' `5 r





( k7 Q8 x7 _9 U, g
/ B( q8 @+ J/ o! [( [, |/ z# R