数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
4 G. s, `: g2 x! R/ W% x
数学建模问题总共分为四类：
0 F! p% y& z: J, L. }  N1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
! A1 C* D) F; E0 i3 D% p; z$ ~$ P- ~PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

2 p* x: ?' P9 F4 L; o+ C" zD维空间中，有m个粒子；
, T; \; S# W6 h+ \4 K粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
# H- m# N' s$ ^8 R2 b( ]" Y粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
( `& ]+ y5 i; }" g群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
, [$ f+ O% Y2 R
. x% I! e+ k/ y# e% ?& X9 m9 ~
9 J) t# G" o3 T# K+ h! Z( C+ X二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
: ^( U( Q# q! p5 C) I( w降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
' c, ~- f. |- K) t8 @: k' Q' V- D4 T* T
三、遗传算法

6 t1 x' q% j; d3 K: ]1 E1 M, T产生一个初始种群
" J8 ]$ ^8 Y: J( P* I0 I9 b根据问题的目标函数构造适值函数
* l  R! s: W- G6 b9 `$ {根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
/ {& {" d5 {- o" u遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
- A) F, [6 T' D! i4 j停止准则
4 [" B7 f2 w, w, }7 @+ C4 t/ R
6 U! M; Y% A: B参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

/ I8 K% u+ D' O2 w四、神经网络算法

3 a* R: a: E  m) ?和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
6 e( h0 Y2 l, ^( O
+ G% N/ P+ O) Y/ C* W+ K% ?% U" p$ F五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

6 J9 `# c1 A& |8 R5 E( x又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
+ s! V% N6 t% H2 b5 U2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

/ `6 Q2 f! c* E( W( t1 d. Q将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
9 O$ z6 T% z: s% g3 R* D4 V- Ba、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
( I0 a& n# A3 u" ^  q+ X$ nb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
2 `5 D( i$ X& T- {* I(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
% g* l9 f. R6 Y' C1 L- w(3)移动邻域
% |1 @7 {  H6 [4 _$ v- y* }2 b移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
' @- |& ~7 I5 z7 g从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
0 d6 \. N( X# d- L+ s禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
  X# i; U0 z  P" t! Q- OA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
1 z) q, J% F7 ]$ v
六、蚁群算法（AS）
: p; M- C" c- }5 I" G
4 b7 S. X; z" Z" J4 N


/ t: `9 X* u9 j4 R5 [, m1 M7 u
% P/ g9 o' x( x2 c- e

' b* `4 ^* `( q! b
, Z: Y, E, a; v) o+ j6 D+ J

7 N) m, _+ G3 _2 c7 r
6 A5 A. A$ j5 W7 b) Z