数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
! o( E: D5 m2 q5 a优化算法

数学建模问题总共分为四类：
1 C: r  E4 X- b2 _6 Y% v9 Y% |1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
$ f4 a+ ]* p  M3 f' s0 ]PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

0 l, S) K, }0 b9 w# D& s7 F$ B基本PSO算法
+ C8 ~( Z% O! \; ?# @+ t
: Y7 e( n2 ^6 _  n7 k4 jD维空间中，有m个粒子；
& K+ ?- n* i) U+ t/ {5 J粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
4 q5 i8 I. d3 R2 c粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
" y. V" @; P& n, Y粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
1 D& b/ B* G+ q$ f; i7 u群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
8 b1 r% J) q! W# w- K' r2 R

. i( T+ o3 [2 b! X- L二、模拟退火算法（SA）
$ l$ m; w, g8 ~8 a& i( ?
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
7 _0 y7 u# @. T9 g- C+ q1 a0 f热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
+ E* B8 x' J6 [. E降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
( L- V! R  g: |& w$ i
三、遗传算法

产生一个初始种群
2 t+ C# X) K" w0 ^/ _: C根据问题的目标函数构造适值函数
: c3 Y4 w8 ?6 E; C2 W根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

) `) O8 B  I: c四、算法步骤
; v5 ], F3 G# D7 |0 B初始种群
3 R1 E( j4 F! j9 u编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
5 e( c7 F  T7 r) a+ q  i遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
3 G8 ^  v+ A5 E+ v( Z, l停止准则
' e9 }3 e# U& K' ?8 l) g$ w
0 z1 s- @2 O: Z- M, \$ x+ I参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
$ s6 h+ P0 X% i) v
四、神经网络算法
7 ~' z! ]+ D3 k' Q: z5 t. d8 \
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
1 Q$ J- _7 e, C& R! p8 d/ j
6 E( d4 B' s7 p; Q- m1 w又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
+ K5 C. L7 u+ h" }) D9 i1 o2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

$ A1 m# I4 i9 d# G3 H  \% z将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
4 I; W; ^, K4 H7 r& Xb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
& t( m! d- ]5 I7 S: i6 s1 E3 W6 |$ f可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
4 G6 k) F2 w0 C2 K. q; v; c移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
# p- y$ b" \( ?0 ^& n(4)禁忌表
  j0 Q8 [: i7 Z禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
, v6 c% s) S& |

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