数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法

6 D! T# W' S+ r数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

* ^  W0 d) E: j6 C! O算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
& Q7 B3 q  V! Q% [0 O
0 h; k# b6 S6 L0 e6 ~4 r基本PSO算法
( t+ @8 _2 Y; h0 p6 y
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
0 E! v. @$ W" a  d$ e8 t( s粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


/ c2 A1 w/ i- t  h, n二、模拟退火算法（SA）
  c) G5 }0 C4 R2 s& J. O( T% ]
$ c, T2 }2 w3 \# J# \, o模拟退火过程：
2 I* w3 o2 A3 z' R设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
0 b+ V1 V$ N$ K4 I  {8 x$ N热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

( P5 V# Q: K0 q7 A* Z三、遗传算法

产生一个初始种群
) B+ p- B& u: y& Q, p# o- I0 P根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
( W1 W: s# D- Y; x3 g, t+ `若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
! w- k1 |( K3 f* `& p' M
( K  G" \: B4 U$ s8 t4 u( L四、算法步骤
9 T4 N( m' F$ u( C初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
  A+ I; p/ [$ |4 `% T; v. T2 I适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
# z; X# U3 ^# ?遗传运算，交叉和变异
/ w& E% a* j7 a+ i: n; [选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
9 i# D+ E) P% R0 }7 a1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

( T: k1 `& Z9 c8 V将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
5 C% R8 y7 y4 E7 O! X: Xb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
! }8 a4 M( [5 ~(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
7 s: ]+ X$ ^9 i9 G(3)移动邻域
( [5 ~4 @! n6 E" `7 C- y# m" T移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
" ~9 J7 B9 [9 h3 {; h2 Y从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
' ]* M& s! ^9 @1 c# TA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
; ]" F" P( a. M2 c' q) ]& s* \; Z
: Y. H) E' A! G6 I1 i. c  Y: p2 ^* J



* t. a3 A! _+ i6 k& c

8 J0 V4 H. R" Q- B- B5 F2 }) V! c

+ ^* |! `5 H) P$ L' l. H; n
( h) y4 R. ~  ]