数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
8 Q3 ?. X9 z2 ?" d& ^8 Z: Y8 F  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。
  v, o$ ~/ I- x# w
$ G! y. P( }, E: ?7 c
* D) P. R4 w2 I5 D: _
# |2 v3 D2 u. z. \       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
! S. c" k# `/ C) o# c9 v

        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

1 i1 ^' o# M/ [5 O# M% p6 J  w' G3 w7 k       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
9 t- A  Z1 ]  Y# \5 ~       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
. J% C) r7 x" T. I注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
2 [$ c2 a0 |% A2 Q3 H
+ F- ~2 i* k% N( C5 v. w       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。


7 `" v/ o1 a7 Z0 b

clc;clear;close all;
5 d- A+ }& V( Bd = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
. a1 x0 J3 V2 P/ |3 z6 n* _' k) En = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
! Q0 N+ G! Q. Q5 }plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
* S4 V( Y6 F' Uaxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
& h( B. R3 v9 V% }' Gtitle('蒲丰投针实验')
hold on
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
2 g, ^3 n: [  a0 m: z7 I: W- ux = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
for i = 1 : n
; m! i# o; k* l% J" q    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
! ?( f, U* R: E3 t& g8 O        m = m + 1;%符合条件就增计数
5 J* k" f# L6 r" l# k        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
8 g3 n2 P/ T+ |7 p8 K/ M; Z: U' b        pause(0.00001)
5 D$ }- K* b, o  @, u; t    else
        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
( N, ?  a( L, |2 W$ t2 V7 }; c       pause(0.00001)
    end
end
p = m/n;%计算概率
pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
3 U6 C, ^: s8 cdisp(['圆周率为：',num2str(pai)])
  b7 s5 f* C. P- n) V3 H
. L9 w3 D- S$ O8 J
) N' u1 b7 M5 w3 H2 s" ?
+ Z) q! A2 g' p4 j. ?结果如下：
( B  d; }+ A* r  R, G


% l( c$ q( o7 W+ F9 E
+ T& ^' y8 E7 B/ L, \/ R8 ~
/ m$ d7 P7 I; I; C) m) c. F