数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
# I6 C% E/ r1 X0 G1 ^$ }  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。



3 B+ l# v' o4 J( p9 O5 `       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
5 C* ^9 B6 x( [$ r$ z       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
/ k% L% q4 C+ T! O/ y
3 a! ]' E; I+ ?2 ~: L3 v: h
        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
: G9 Z$ l6 V6 |" \+ {8 E7 ?       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
, C7 t  ?" }% r. f  }* C) Q注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
6 e2 Y3 Y) \. I
  ]3 j# z- n7 x  D: n       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。


5 \' s+ J  L) f; {
+ b1 e, `0 f% H% L$ d
clc;clear;close all;
1 {  h, ^: n$ e' h- d9 T$ G0 ad = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
. x. ^3 q9 h( d# Q4 @. \& vbeta = 0 : 0.002 : pi;
- R9 ~  }" z  I) M! r2 pplot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
7 |* ]0 z, ]' [; i/ Gtitle('蒲丰投针实验')
hold on
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
' e9 b. H$ f; o) e9 wx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
for i = 1 : n
$ ^4 A1 r7 }, `  m2 g    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
: R0 _+ W# h' |5 K- F        m = m + 1;%符合条件就增计数
- p! \# g* y- [# C4 W1 g7 P5 P        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
        pause(0.00001)
    else
6 e- v- {6 S$ K% M0 v1 |% K# r        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
  z! I4 H, B# b9 T' E( _' |       pause(0.00001)
    end
end
p = m/n;%计算概率
: Q3 R! h# s- p1 y6 Hpai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
; G6 x. A8 E& `$ C8 @6 ?disp(['圆周率为：',num2str(pai)])
0 o2 R( }  H0 Q, e( Y( ]9 A3 G- v; @

. I8 C& X# f1 W. W& \/ ]
结果如下：

6 S/ K; U3 A" n' N% C1 G+ w

% S2 b( p0 z. ~# |/ I7 o
% a' O  o5 P9 ^7 ]8 ]9 m+ z