数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
8 p, v5 p/ K7 Z5 |2 q8 y3 q  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。



       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
0 y# y- B. r" L3 L+ w! h) Z       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
4 r  Y9 N" a% X2 M% B; _9 k- ]/ i0 _

        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
: ]& Y8 k3 p( T& a
       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
0 S( W1 {5 Q8 U* s7 T注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。

; ^2 @6 B* a* a       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
! E- I0 t4 N/ v9 m& I7 C6 m, q
4 Q7 ~, I% }3 I" M. N

6 j/ c9 b# |" c* S) F( _: G/ o$ v6 E
clc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
$ Z+ K+ ^: Y( D  Q7 gl = 1;%设定针的长度
" u% A! T7 Z- xn = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
$ w7 B: Q! K2 B% q; Q2 M+ laxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
3 w0 s, t/ Q- x. m' ptitle('蒲丰投针实验')
! H4 U6 g7 m* l3 b7 Chold on
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
' c6 S$ T) Z. H4 u) Zx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
for i = 1 : n
* L/ ~* T$ R- A7 i2 ~+ b4 N! {0 T    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
* X4 p+ j$ u0 ~8 @9 {- T/ m        m = m + 1;%符合条件就增计数
  v6 S( R; R5 {7 p9 n# S( q4 b        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
1 a4 V$ u2 v' g4 O0 t- B7 u        pause(0.00001)
    else
        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
       pause(0.00001)
    end
) t4 q+ m" c8 d" a! g+ Lend
" T6 f3 z$ P, Wp = m/n;%计算概率
3 _. S, I6 M! s) h9 _$ }pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])

6 w+ R4 K% Q: [- b
8 N% ?3 ?  j- h/ {
" }- z. Q2 }; b4 A5 {3 i% n  N结果如下：


0 p' G& N; L0 J5 g
* g+ F$ Z+ r+ }6 W# C
1 R) U" E, x+ H( S4 |& g. z

/ Y/ L( W' m2 z/ w/ |4 a, g4 Q