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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
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签到天数: 17 天 [LV.4]偶尔看看III 网络挑战赛参赛者 网络挑战赛参赛者 - 自我介绍
- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
 群组: 2018美赛大象算法课程 群组: 2018美赛护航培训课程 群组: 2019年 数学中国站长建 群组: 2019年数据分析师课程 群组: 2018年大象老师国赛优 |
Matlab数学建模学习报告(一)& R( m* b$ z; O
一、学习目标。(1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。 (2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。 (3)掌握Matlab数学建模的回归算法。 6 r8 A. H, U5 T, Q5 o1 _- P
二、实例演练。
; F$ P- r, S, Q' F$ m1 w. t7 V- Q1 U) c9 v
1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。
6 v$ {3 m1 s- f. n9 g; {; f
1 g9 ]4 B' T, g9 ~6 R Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。: d- j, k! H# c8 p% G5 J
G5 v8 }, a' h; M K/ N. h/ G 人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:
4 H7 O$ n! S3 P: r/ h# B, W( S+ U
* p; D. z" ?3 Y' Q- v: [$ i(1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。
5 @0 {( o5 y9 S( A" r* I" b. f3 Q: ^3 J+ B( W) j% Q
(2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。8 D) P8 ^) n* x. C. h0 X2 v9 x' B
( C2 L8 Q! ] I: k! ?(3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。
: ]! z5 ?6 v; n6 M. Y8 A! l
: q% l) W; H! m' o 正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。& D! Q: s3 e' P/ `! z/ L
. D: _" ]4 p1 d9 f, _ 数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:
( W. [* ~8 N5 T6 k5 `! [* D! u
8 a2 `' q' w) |, U. z* Q5 i要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:- w$ y! i- \; I7 \# g
9 D: X# @3 }" _ u2 b! ?
1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;2 w6 C* O: j) `/ k3 J% V
, a0 ?' h8 i$ V0 G5 w
2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);
" u2 l+ @; N: O, A# N& P% f" I B! `+ A5 B. p, @
3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;7 n4 a b* `( S5 v7 m6 j S* P
! \0 f: v5 d$ F f6 G
4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。
" `$ W o* S* R8 l
9 v2 J B- ^1 h0 Q# V8 @4 b# G' A要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
9 [( u0 o( o- `, q3 L
9 i8 E* W) `2 D i! T 2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)
! }" f( _4 v; R8 p+ k- \$ N3 c2 l; R l5 z4 U( b: h& a/ ^
解题步骤:
0 Z) Z+ p$ ?3 c- M0 J3 w2 a5 h
& D/ m9 t4 i0 ]1 V6 R- ~" }9 b. r第一阶段:从外部读取数据
$ u+ z9 A7 ^- `: _" ]+ U; f: ^3 q4 h, o9 {6 P$ A) l
Step1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。
. P9 S X1 X* U. R2 t- Z4 A
: B$ P+ ^# g2 t* n. i0 N! g7 X7 p" j6 C; {# |3 h7 l
3 `0 K" z+ ~4 P/ |" ^2 ?1 _2 s* t 图1. 启动导入数据引擎示意图9 [* r. Q1 \0 _8 N: d
9 p; Z$ |- F2 Y- s" l2 L6 ]6 V4 E' y
Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。) W' m0 ~5 z2 h I5 d
/ b& o5 Y6 d" ?' a' C+ R: W, b7 `8 j1 A; C: M
6 f; H U1 ~7 y& c+ t# i# x 图2. 导入数据界面
9 P" f4 J- g$ ^! `! C0 f
/ F* N0 K9 E9 M7 \3 i3 N1 O) T1 cStep1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。" i( Q- h" S* d6 {5 u* N3 G
3 c( R# M" g! R# r! L( B% b, i! T
6 |8 i- l2 Q; Q: Q: l
) v w4 m/ C; L# d* C第二阶段:数据探索和建模8 J5 [, [" G( a+ F" p
% b* a" J8 }/ |( C2 b* |
现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。+ Q* _# ~/ }1 S) W9 j0 B( `5 F
8 N4 @/ O# x2 e( G; Z# WStep2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。6 @9 Q9 `& W' b# q; g( @* R
" E- Y* p, S# P" f& Q3 Y4 x! I2 y
由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。
. d; S+ c4 ]5 S' @! k1 W, u4 B1 _/ l/ x/ z" g
对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。
4 |7 g1 i! P: t4 R) M
! R0 u+ o/ M" S; i3 I: y# P; @7 h7 T7 W t
+ _' F6 O. x/ |( {
图3 MATLAB绘图面板中的图例
9 q" _, d6 H1 p( x0 \; I$ Y( U% m8 d4 v( i; J7 F
要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。6 M6 }0 D" h0 Q4 z, U0 ~6 y
& M5 X) I+ u3 m9 v, C: \
Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:+ |8 v1 M: f0 Z* B( O
5 b( ?5 {) O: g# O- F1 M>> plot(DateNum,Pclose)
3 B. I3 `; K b3 m( j/ L9 N5 ]
$ }/ [- O, h: R: q6 Z- |
& n- }8 C! r' a, u( r
* Y- Z# b! W/ f7 O* N4 i& v* P 图4 通过 plot 图标绘制的原图
! t$ {# h* ]- J; y6 O8 M. O* }( f
5 G" }' c$ S5 Q) x) N这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:
" L L" K, {- Z% x8 U e8 L. d0 M5 V: y, u$ d; r
(1)曲线的颜色、线宽、形状;9 O& G; y4 P( l* V( t
0 h# X; `. T. C: F3 d; |0 y
(2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;
2 Y* L" j9 o2 b b) d A# O2 K
9 @- W3 g2 K, M$ D(3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。
3 e( |4 s" C6 }6 \
1 D6 p8 S3 I* I; r此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
1 z |7 B1 W1 G T
4 W1 p. v$ Q: \! }3 P& o# {8 C接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?3 a0 U7 g4 w* W* z: T/ E3 h
2 C& s. R3 b1 w# ]) B9 m8 ` 对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
% i# P4 U/ t7 ~, n0 `& G: m0 q3 M& ?$ V! u
对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?, F9 M) y- I8 \7 |' u- e9 i
& E* O' d$ R9 V% }2 w$ Y) T" @
最大回撤率的公式可以这样表达:
, g2 R, c: v5 _6 S# D2 B
2 M1 ~) ]1 \6 M: y6 @9 |6 aD为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值
' f l- ^ Y8 {! i5 ]. P0 H0 B
z) e! m/ O) ^; jdrawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
; s$ }; p9 H' k3 }' E- I o |/ Z' K. e& Y: q( d, `
斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。
7 E5 x7 R: t( ?( B- E6 }4 F
1 Y) s1 y9 S" r* V4 xStep2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:
4 O! ^" Q- T1 ^3 o6 @) Z' p7 Q, F7 u) p: i" U9 q' s% ]
>> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
/ _2 T( C+ N1 g! ]) w+ k! W% |+ P2 E6 A3 w1 C- z
>> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值. H: \- w% I' k6 I
- {; M) a8 K1 m7 U& z- Ovalue =0 V$ L, f+ C% H" j+ I3 ?
( i# S4 U2 B- q& A
0.1212
; E/ x, T7 h# W& e7 F5 S
. `4 T% v2 S' u, e A* C1 J8 g( p3 s; c代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。
8 v* J+ c/ w j$ p* e; `* I- {
5 ]5 t" o, ~8 {Step2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:
6 _& F2 k5 @, { O8 d% J9 }2 ?) n! j* f2 a- ?7 \
>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤3 d+ V: z5 B$ {& Z' n5 T' M
5 \0 C$ O% P/ m1 F; ]>> risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险- e/ A. S/ M a4 h
7 c6 F( x( \/ M. Crisk =
5 a* t5 }) P* T" `/ B1 t) q% s7 G
, v+ N9 f W8 l. p! ? 0.11556 h6 J+ b. g8 J' T% \
, n2 m3 U2 \/ F: d* R& K代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
: D" Q) A! H6 Q5 w( _
$ g& R9 w: a# K4 t8 ~到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。3 U8 Z) c# f" t: c5 }2 O% U
; J) o) w! ] J. d# ]Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。
+ ?$ n! i) Y7 O/ G9 V7 o( a; p3 [2 `" m7 X Z c4 d7 r, q
脚本源代码中有些地方要注意:
1 E0 }6 f, q. r$ i
9 e5 d s! A! }; B5 u: l* v$ R %%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。
5 i8 p1 q- b+ Z8 q ]7 ]! p! e; P0 C( } J* s
%后的内容是注释。
: H2 v% L' E& [7 O; P7 W; \
% l( t3 q) ]" a. I' n+ { 每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。
% ] U, G! W) P6 M3 z1 s$ R/ D6 v
2 f5 U: `. Z6 q& g: e+ h脚本源代码:7 }, m. d9 m' R8 q3 `
' E/ a+ w) v" n1 R
%% 预测股票的价值与风险* V, ^ t. I4 g" [8 R9 |
+ s0 q( [$ y, C& M
%% 导入数据
; V9 ]7 K6 c( z }# I8 p: m# e. ^clc, clear, close all6 V/ I1 _2 N9 Q2 u
% clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响 : [5 W: b. k6 c7 t) G1 n5 h
% clear:清除工作空间的所有变量
$ L5 z* x: Y$ ]$ M& X; L7 q% close all:关闭所有的Figure窗口
' o. [- ?6 D' k9 e( x2 G
3 @5 |) d$ b* [9 W+ S% 导入数据
$ e$ [& }; m5 w) H+ E[~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');8 C6 y7 j1 W$ j# x7 z F" p
% [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值
4 J1 m$ t" j% P w% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围
, V. r2 }( T1 m7 @% g1 p% I- ]7 i$ q& S- f8 Q6 z# T7 \( v; E
% 创建输出变量
. W* l/ ?1 |* U9 }3 a1 `% z# Hdata = reshape([raw{:}],size(raw));; ] h! T: H- z
% [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
" D2 |* e9 L* K: a4 _# ^
8 J2 u+ q& q! E% 将导入的数组分配列变量名称# n) T* @6 B, V' I A1 x* P* M
Date = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列
7 A9 y. X/ Y" V$ F4 \9 n. }DateNum = data(:, 2);
0 m Z( h$ ^' y4 [3 X! KPopen = data(:, 3);8 E5 ?2 A& B1 r! e2 Q! r+ @
Phigh = data(:, 4);
' K& {; j- L- { E8 z m! nPlow = data(:, 5);; d8 e \) e; `6 ?2 n, C: Z
Pclose = data(:, 6);
$ i1 ^3 Q+ H# w7 l _1 Z: YVolum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和
; T4 E4 V( K% ]) k5 F" Y( bTurn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股
- N0 B% F; @4 _
8 H+ i2 l" k. A$ D% 清除临时变量data和raw
% J+ K: S" a8 I5 O7 Mclearvars data raw;, _4 G' `$ x- W3 ]* g1 Z
: R e* d( F" N7 p" D4 c9 M4 M- c* z( N
%% 数据探索
1 l% b2 M5 k- t
( X+ e/ A! c3 k1 X4 n3 K+ ufigure % 创建一个新的图像窗口* Q( |1 l# s* d( v% Z) `# F
plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真
9 `- X$ B' G4 Y8 N. jdatetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-275 |+ n' E+ C& }; C J- t d
xlabel('日期') % x轴- t8 e6 X7 ~2 @
ylabel('收盘价') % y轴) e6 T6 Z2 X- j) B1 w6 [' u3 V
figure2 ]$ T. N" M! g8 ^- K# y+ I) T
bar(Pclose) % 作为对照图形
5 e4 R$ y4 v4 X/ o9 e7 i- A1 X" b: _( G; B0 x R, z7 x" ~
%% 股票价值的评估
. H }& g: l1 T1 b& B5 {* @4 s. ^% ~, N; ^3 C
p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合
U; S7 e; |1 m, a% polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列
2 Z: o* o2 g# c( m; v' n% hP1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果
& J. _+ g0 q) o j1 \1 x: w' R/ a6 gfigure( e7 r/ O7 _8 Z5 i* b9 J
plot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*( y% H* a$ q/ Y# s/ O' \
value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数! F* x( m( R8 _4 L1 K8 u: M
x! w& _- Q# e6 A) D. Q" j4 w%% 股票风险的评估
, X% Y j2 Q9 R* nMaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
( K* M+ ]' R7 @# }3 orisk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险. w) X; G) F8 {& S9 \
3、回归算法演练。
0 d8 f- F& G. m7 I6 ]" P. t! j: P W. j: c" E: Q( b) Q
(1)一元线性回归2 R! d& X+ F- Z5 U8 j+ f) U7 j
% E8 I$ H) r/ o9 B3 S0 ~/ u[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。& P- G, g6 _5 q$ P
$ e6 a; ^4 ?/ j+ m( T4 e- P
: v8 z {: n4 R: E
) W: c1 m% D; y8 ` h! k1 x" T该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:
# `0 S/ Z" T: `. |1 I, G" q2 v3 W6 _; I: H) n
(1)输入数据
$ g5 W) d' F) e, L( c9 @' e4 S' P( s1 l8 _! r' ]# T$ l
%% 输入数据; P s3 \# `3 }' s/ _ d3 Y5 [5 `) S
clc, clear, close all
! q$ r3 o# ^4 N6 k5 e% 职工工资总额
: b3 r; B: D3 p* h3 R8 ex = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];
9 f2 z C6 P* i6 {' A; d% 商品零售总额+ S; U; b' Q! [# ^
y = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];
/ m- ]$ R5 \# A(2)采用最小二乘回归5 g+ N) C, P4 a( \0 k" b" o
' }1 D8 Q( L5 K$ T; b" Z, \ X: X%% 采用最小二乘法回归1 f, ~0 |" N4 \0 y* d- D
% 作散点图7 ]& v6 L0 ]. ^0 D5 o* x
figure
8 ~$ l- t1 v: K1 D4 n0 Z" z2 c# x& Mplot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色. M* z3 H; h: j" w, F0 _5 Y8 d; V& G, w& {
xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12); @. c( p+ v0 ^1 }0 O$ R( |! p/ X
ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)+ x- J5 J0 }* m
set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2
+ N% y, v6 N7 ]# g0 z7 r* i* R- A) t# p2 M( h/ T+ [: z
% 采用最小二乘法拟合
) ~; ^2 O0 i9 xLxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同' X1 h7 |+ \4 S7 {
Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
4 n2 P1 Q1 G: L6 g+ ]1 S' [b1 = Lxy/Lxx;% ^4 ~ k6 }$ ?2 e+ f6 b
b0 = mean(y) - b1 * mean(x);
# q: Y" I) _. r T7 Gy1 = b1 * x + b0;* E r3 _( c7 U* J* u1 |3 F: N
! v! J; n; V, j, C% qhold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存' H1 A x% G0 T( `
plot(x,y1, 'linewidth',2);
' m* K! [" R9 Q) k! d运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。
3 i( C o A7 `
$ U, h% q0 g: X1 O6 c$ O0 {" Q& y" }2 @2 s
; O2 h; T- M: R) o a* R+ o6 }) t
图5$ \/ J% f6 ?% t; X% \
' c/ i4 y0 u% U3 k
(3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
0 m6 C/ @; C2 j* y( a% B( b2 ]
+ X1 \, Z( i) ^0 ~8 g%% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归4 D& c4 C, x# v- l
m2 = LinearModel.fit(x, y) ~, n2 ?8 \5 g) i: Y( x! g
运行结果如下:4 Z9 o# H h q% r& w
% D3 Z8 C+ m. U
m2 =
$ E/ l f% {9 M) j) O( E
2 U/ _, ^, L' W' ~% d! J8 mLinear regression model:
7 c: b( s s# j1 v/ [2 y" x; N
1 p1 o' i) `: z; ] y ~ 1 + x11 t: t6 X: N- `& U0 x: C" u. f
Estimated Coefficients:* X0 W$ J+ `! U+ g
' m3 G0 b8 u1 f, t% K7 n Estimate SE tStat pValue + v! B8 T7 R1 U1 ?; q
6 n$ U- h& g& N' }9 r, L% [
(Intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215% S4 A8 j% i A1 Y% |
3 K( }& ]$ f3 o6 j7 O8 q x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-09
7 X/ V1 E5 N% B9 j1 D' s& l" t; N; n' v6 B
R-squared: 0.987, Adjusted R-Squared 0.9856 a9 u! G* ?! j; i8 P0 Q# B
0 G+ B& t/ r/ D- E* G. Q4 q
F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09% `( H' ~6 v j# r y9 f2 R, L
/ z! P# N; F! a j+ M3 t1 m8 J
如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。6 J D S/ s8 r7 I2 A8 E: i
: g9 C: i$ m; D1 {6 y D/ B
. h% x3 c _* E8 y
' ?. {4 M! R$ o, q6 ]4)采用 regress 函数进行回归; E0 Y1 K+ X8 Y9 M* L# S4 }) V
+ X3 s' p+ r! d( B# v/ E& F
%% 采用 regress 函数进行回归
$ _. R) N) ?$ L, mY = y'
* H6 {* r5 B" R! [, `X = [ones(size(x,2),1),x']- U1 {, `/ _/ r* t W# ?$ g
[b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
0 s8 O/ m* S k' M. F: e4 h, V8 S运行结果如下:
+ K3 ~% x8 V9 f3 ~2 h
: R6 F- o& \4 o T2 ]# ^9 L7 e: B, hb =! S$ ^( g3 K! U4 Q; A8 w+ V% t
- A- i" K1 q+ g$ j9 f' V! e
-23.5493
1 ~9 J Z, P. I6 @4 }5 u
/ I& Y) @6 f$ P+ r7 O1 r 2.7991
e3 Y, X# Y% `% o( |) g
0 _8 ^9 _: j( e5 h& O# T9 T* p$ H; q5 r我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。$ Z. w$ r; p2 r4 b: [# K. ~
9 K3 M5 H ]2 e; @, T0 G
(2)一元非线性回归! q0 ?( D5 t) u( c. y
" \2 _! x; B7 Q: Y' f[ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。% U! [, M3 P7 x! q) E
. E- A9 K/ B. n- l `# B, R7 g* W' V/ [7 Y g) b# r
7 Y) i" P0 }! Y$ Z7 A/ }5 A! B( J% J2 G
& K5 Y% X. n- n 为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:
* {6 p5 x9 O% T* F8 t5 @) E/ d3 k u% Q+ }" N0 a8 k! O! g0 W
(1)输入数据" X8 s1 a" M- Z2 i4 j; m! y
4 E3 \1 K3 o* e( X) G) o: t; U%% 输入数据5 R8 O( y' l: r# s! e8 Z3 H6 q
clc, clear all, close all
' k& {( L# o& ?; Zx = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];% O& I {4 k5 `$ d# ]: z. F+ c
y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];0 h( i& f0 R9 [; C7 f# R0 ]. t
plot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小
0 q! i1 ]) d3 hset(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为24 G8 @% k5 X2 s
xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)
* ~ B7 [2 {2 M0 k/ O3 @' Uylabel('流通率y/%','fontsize',12)
2 H8 {, X% L) r% a+ o0 u8 y% N(2)对数形式非线性回归
& r' s& `- Y- d" c* f6 L3 P0 g
, t2 Q& @+ N1 l! \6 w2 r9 j%% 对数形式非线性回归
& ], u6 D; b) E8 sm1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);
" n! d. ?2 z( B4 s# y3 |' A, wnonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])/ O, I4 v3 {9 Z2 l- X4 ~
b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;* d. `0 g$ {. `
Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);1 o5 I1 V2 r& [" Y) ~! Y
hold on 0 x$ |3 Q( B; {# q% o
plot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)6 l. x( W2 W% G7 O& q/ {
运行结果如下:) g& ? K0 q- D4 d# e! e
: ~; {% f+ C) i+ J0 Q6 T
nonlinfit1 =
' l4 m) s0 J1 a- @9 \1 s# h* M7 K5 A+ n1 H; r. e5 u. X
Nonlinear regression model:
% |# z7 n2 l5 c
( a3 U0 {# n- c X' d C y ~ b1 + b2*log(x)$ W. b) L/ S- L; ^
* o! B1 r; h3 r1 Y6 g
Estimated Coefficients:
' @' s1 `; I/ Y! _
8 v2 U" }9 {9 R9 v" q# A+ z Estimate SE tStat pValue
( b! F W& }& ?2 S7 e0 V C+ p% k. n ]1 @- d- {
b1 7.3979 0.26667 27.742 2.0303e-08
/ B: f& j( o0 D, v Q0 Y5 Q% `9 P/ k: Q; [
b2 -1.713 0.10724 -15.974 9.1465e-07, s) E$ O/ y9 `! m
% r1 d) p+ G) y
R-Squared: 0.973, Adjusted R-Squared 0.9697 Q3 K& c$ c) l. P
+ j. c7 r5 q, q7 zF-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07: Z6 T! n& K# o3 O4 g& ]
# d: L( [2 m+ q! \
(3)指数形式非线性回归/ o' u8 @7 }% x6 Y$ d
3 G+ C' b9 T( x
%% 指数形式非线性回归2 x3 n3 K0 K" G7 T. h. d8 ]; W
m2 = 'y ~ b1*x^b2';5 I1 x) k+ i1 S' S N
nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1]), F6 B g" X0 t
b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);3 U9 J9 [1 E# A) C) ?1 B$ V
b2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)
/ [) w* x" \7 R% d x6 ]Y2 = b1*x.^b2;7 g0 y3 I& T& m! k7 I
hold on;
/ ~) ^( G& ]1 Z. I O* x, nplot(x,Y2,'r','linewidth',2)* N J: _9 Q% l' ]3 L
legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例
0 B5 N E6 a4 s% P运行结果如下:
# t' M4 b5 X4 w0 l
- i. p C, J+ j Nnonlinfit2 =" Y' N, [) x/ m+ N1 q2 P: n
( D- u: l$ [" W% `Nonlinear regression model:) T+ f& R4 g3 k
. _: F) S8 N% Z y ~ b1*x^b2
5 [+ V$ I% P3 f
' \0 H; D7 B' M1 P2 a, a' S4 AEstimated Coefficients:: L$ P0 i) ^' Z6 \+ H
& z4 n2 V' I- B# M5 y+ f, e
Estimate SE tStat pValue
# N. x. [' e$ \- X
" U G: X; `0 I' N7 }) \ b1 8.4112 0.19176 43.862 8.3606e-10( f% d8 ^, O+ F( v* V
1 Q' A4 x; Z7 v, _5 G; P0 h
b2 -0.41893 0.012382 -33.834 5.1061e-09* d& i6 z" @4 |
% h0 N* L1 T GR-Squared: 0.993, Adjusted R-Squared 0.992& z/ }, F; V* o) @
6 B" c) p* }& h Z" ?) N3 i
F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11: {9 t/ f8 D- U$ W: u$ O
5 X/ g$ V% O2 t+ M* \1 @在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
( h6 a+ g$ i) `0 i" ^' v/ R3 Q+ K" U
2.多元回归1 Y0 S' [" e0 ^& Y# E4 f
3 L7 q) I6 i% H7 {$ C U: B$ H1.多元线性回归
. x! A6 {/ s0 h& d6 j: g& h. ?4 y3 K' ]4 W
[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。
8 ~$ f! ^2 `. F$ [# l- {( i+ b0 \" h: @& W0 J
4 f( s0 t! I5 R8 ?8 u4 [7 {2 |' X9 L7 }; i
该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:. d( Z `$ u3 j E0 e
7 h0 r0 I7 @; ?0 r5 d" x(1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图
3 S/ p. {- A3 L# H# T2 z
3 h+ R, b- o' n作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
8 m! F. B3 `! y9 w0 \4 L6 L- b( P" T% f& S+ M3 w' M* R6 g F9 Q) C) t
%% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图/ V( t5 f* J+ b2 H+ x6 i0 t+ G' i3 B
% x1,x2,x3,Y的数据
6 t- O" t$ `4 c- u4 }7 b; Y2 Px1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];6 w" z+ i/ W; K6 @4 u4 J
x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];
6 u! x8 m0 a* r: yx3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
& p; h1 f6 A: ]+ {' M }# O7 M: ZY=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1]; B8 A0 b+ X- S4 g2 T$ p7 [2 k( F
% 绘图,三幅图横向并排
5 ]) Z2 H. h# @0 E) B4 y& c+ W9 L7 nsubplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')
6 l+ }% C$ B* ~ v j8 s: Dsubplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')8 M( g' l! u+ F n
subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')6 p) v4 w: z/ W" s; E- O3 V6 M
绘制的图形如下:* _' d$ y8 U! b7 |: j
& N4 R w! y9 y% {. }
% O7 m. h" w; q1 u+ M
) f1 b3 g9 t' U
(2)进行多元线性回归4 `" Y0 F5 i! t$ [8 z
1 P4 Z: _1 b# v! T U" m+ V
这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:1 T; r D9 {- z4 ]- S
- @1 P# \& B6 r1 {! e
%% 进行多元线性回归& x- O1 E5 @2 Y
n = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量
8 X# {" q# o& m3 R! EX = [ones(n,1),x1',x2',x3'];
( p& f) n& w; r$ f- m! ?% Z[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。
$ A8 M% E2 Z0 Y- U运行结果如下:6 |% G" H+ Z6 Z6 @7 G; x- n: u
4 H5 R+ `: ~: X5 @) f3 A7 Y' Ob =4 w4 O! z4 R2 k" ~8 R& S6 W' }. Q
$ j8 o: O* q D' @: ~: u4 m4 \ 18.0157- I3 ~$ o ~6 B* Q
1.08174 I* j8 Y- i- o# t) K- c
0.3212# }. q: q# j) V' S" ]4 K3 g3 I
1.2835, ]/ E$ P3 x8 u. M6 ?3 `$ R
+ `# ~- f) Z6 T
* s/ ?7 d0 Q$ @# G8 j7 ]! }bint =* V/ \# |; p7 F
. z) O4 k0 B( `! U$ t
13.9052 22.1262
! H! M2 R, k9 U( W& K8 a 0.3900 1.77333 F z8 M7 ]% J1 s9 G! V
0.2440 0.3984; Y* u0 q E5 n+ A7 b$ o. s
0.6691 1.8979
6 H) g* J/ M! Y5 V) i/ w5 \+ W
4 o* X: J4 c( }+ Q8 I
4 D v" l [3 l3 i: Ar =. X, X7 l# M" V+ I* Z! ]
/ e: ]0 |% i- Z1 d2 T
0.6781
4 X( t" e: }. i' i2 j. x# |& | 1.9129
A1 m' I7 _) W; k i# `$ I5 G -0.11197 J: a. q }' X1 B
3.31146 z: F4 F3 I2 {+ O
-0.7424
/ c O" O# ~+ t8 u/ W A3 t 1.2459( P; n7 S0 N6 z5 L% b8 x% u
-2.10222 M* ^6 A4 c" }# I2 J
1.9650
/ u: d! N' C$ G% @ -0.3193/ c! B0 K; P" `+ z
1.3466! Q4 C# l0 i7 i* R' C, i
0.8691' t( x! A0 ?' p
-3.2637
2 f5 J" e: I7 E. @7 U# N1 C -0.5115
/ O! x- B6 f1 w. Y2 ] -1.1733
1 h3 w9 L+ l2 C$ V3 l -1.49108 W p% L- N& |& `# V# K
-0.2972/ p% U' h* V- ~) x) u
0.1702
+ K1 @7 N7 {( S$ B( k 0.57990 z( @" `, t$ q7 w/ g- H3 t
-3.2856
0 P& i! M3 [! N: l8 v7 X 1.1368+ x8 w, O, `8 P, T
-0.8864( r9 _* n+ n; L2 n- \+ e
-1.4646
1 s* z9 b" o% S( b 0.8032
3 l3 k: C Y5 \# R0 P 1.6301
! x) w' {$ \( T; d4 H% Z1 Y# X& z9 d* A% N! `
2 i# |! _9 [1 ~9 U) Trint =
! z9 v) s( e, U, w6 d% v/ x4 k8 d" f$ Y# i% R# y
-2.7017 4.0580' A+ |, \6 _; E S5 H4 P
-1.6203 5.4461; d+ _4 a* v p; B( E3 u3 F+ m
-3.6190 3.3951* T; t' t: ` w1 A
0.0498 6.5729* j# B0 x0 E6 P6 ?- `
-4.0560 2.5712
2 H% z& `5 ~+ ?' C -2.1800 4.6717
. w1 G7 d% q6 S/ Y -5.4947 1.2902, u! g# K' [3 u8 W
-1.3231 5.25319 s2 C* C. u5 } m
-3.5894 2.9507! ^& d4 |2 d X, s8 f
-1.7678 4.4609; F u$ U4 I) F/ {. b9 S
-2.7146 4.45298 u6 e" u6 j# m7 `$ m1 x
-6.4090 -0.1183
/ n: f4 Y8 W$ s; V -3.6088 2.5859
) J9 }' y t4 r* i1 K -4.7040 2.3575! [+ O* F4 i c8 b6 X2 A, Q. c
-4.8249 1.8429
/ d W& q* p, Y3 _3 ^# `0 f2 P$ {; k. F -3.7129 3.1185+ r* u) b/ z7 g4 d0 l2 q
-3.0504 3.3907+ g+ ~% j3 B. u7 ]3 C' X- a* ~/ ]
-2.8855 4.0453
e! a( F3 H& b: o C: q# U& ^ -6.2644 -0.3067: g9 _- ]1 Y0 E, G& |, o2 ?
-2.1893 4.46302 h7 l$ e) Y; p
-4.4002 2.6273
: R$ W4 s* F6 Z- ] -4.8991 1.9699. i; W/ }! p5 w" u
-2.4872 4.0937
! g5 L1 e9 P% C, F+ [! q/ y( a/ Y -1.8351 5.0954
7 x9 D) e! c# z9 n2 ^0 s3 \, ], t, V8 D$ d& F l. A
2 }# g# o2 f+ u- ?0 |! \ U+ J4 h) vs =) k+ F0 a2 J$ d* \9 b( ]- n( w
4 g' e7 b; z0 F& F 0.9106 67.9195 0.0000 3.0719
) A) S3 E5 p8 I看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。
0 z; O8 U1 Z8 e W- P0 C0 `1 I% X% [/ A. j5 u8 q( V
在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:
+ S2 T8 N5 V- X# {: S3 E0 U1 Y0 T3 ]
/ ~( L, G. m4 u* _b =, v6 h4 g, r* {) B
" E3 x4 Z; Q( s% ?8 F; Q& Q* R 18.0157
. A9 v2 D/ |. h$ P8 \3 g0 w# g 1.0817) L4 Q4 {3 o* s- b) ?
0.3212: R' d5 r" m- [4 Y2 z/ W
1.2835
0 z5 j) o7 X8 V, F( T( V6 x2 Q4 J0 j' A7 Y' e
s =
i M, g8 i4 ]. T$ C8 h8 {6 {* s6 K& L4 E" O- U! \1 W
0.9106 67.9195 0.0000 3.0719
2 w: x: t1 V a, h' r2 J, R回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:; O5 W$ v% n( |' C; o
$ q* ^3 @# l2 ^ }4 }* J
" ^" m. d7 u) N) \
! ]- |, _ \& k w# |根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:
* H; V3 {1 Y& s+ E
8 E; W0 Z5 S9 M5 x( c2 u
4 J1 K% Z. z( M+ @$ a, ~) O$ d& i3 E7 |; U d
如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:/ z9 R8 _ F ^$ d& j' z5 t+ a
( {7 c: h" l6 S
1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。
, m% M1 t# _) L% f% M, y8 c) O# I Q6 e4 l0 d# L7 c ~- C! X5 E5 Y
2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
% r( R' A5 a5 a9 j, f3 H/ V( f- @ S* |3 y* P
3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。
7 T4 q- [7 F: l8 }5 ~
5 Y9 U& g: y, n! w以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。
# z# M" k$ k3 W
- A- r$ i& O& Y3. 逐步回归1 E, t7 ] q _2 M. X8 Y
`/ v( p7 U6 {( ^( G' a" s
[ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:- \* A7 a2 M7 }& D7 _) W
, T1 s% I. y/ R/ \, Y4 o( T0 Y
3 s; q- t$ Y" S' f! b# h+ k+ }# T; }! N( f
在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。9 |; J. z' f) o+ O$ @' y p- S
6 C$ ?2 n, G; y* K8 Z0 v( e$ a; Z( _; {0 P. Z6 n8 @
% P1 L( c! Q4 n' n! ?( Z
对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:
$ z. ] A- {( f F3 J, I" {4 f
7 ]! |3 X! N! q, {1 ^8 Y% f, Z* j%% 逐步回归, N! R* N7 y8 ?4 f" }3 Z _
X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12]; %自变量数据
. h- F Z9 G# Y# W2 S& vY=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3]; %因变量数据! w p8 z0 P. m+ s
stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中
2 o$ k) }, J( A8 [程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。
$ v. b* ?* f4 _6 k, W# [( I n# K1 u( _: _) k9 ]6 Y' Q
0 B- ~8 Z1 ^: p* s
* Q0 S" Q' E g2 n8 R. | 图4
+ Q [& o. i! c. E: {% v) L$ |0 S% Y _% v
在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:6 b! n* v1 w; i6 F( @
! {( l( y3 f3 {( F0 t" t# ~2 O
3 Q4 R: t& \! h q8 N; l
% f2 Y2 s* a. J. @
4. 逻辑回归
3 H( Z. n. b+ l
) o" h" u. N( h[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。& T Y/ m4 ^& s" V' _" v
2 D7 K) |% g4 b7 i- z; H" s7 h) o- e& H; J9 ]7 n" x
% R* w: _& d0 G! F$ z( I1 ^
对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:
D/ p; e7 D5 E; }! z, u; s. x* F5 v7 ?1 f4 V! c- P
程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92" ^& m0 O: R, ?5 y1 W* d
, d, C' U' U* P: O0 m% logistic回归
9 o1 f& n3 }% j3 X- x! u$ z1 N2 m: p+ d# Z' \
%% 导入数据
7 m" u: h+ D9 I1 U! _ V2 X/ Zclc,clear,close all/ C' c* J# Q' u1 o0 F) H
X0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
) T# C; K* Q8 u3 I+ n7 t/ |9 h- mY0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D2 21'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出
9 P: r% u' U+ z) A% f# @( @6 ^X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入
% D5 z2 n& j8 F2 U+ e# N6 ^5 x; R9 q- t; K- p( r$ N
%% 逻辑函数! V' I9 a! y/ c/ f
GM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');
. A% i- A2 T$ rY1 = predict(GM,X1);
* p) N( `8 L, H, X& t) @, a' P" y K* r2 M
%% 模型的评估/ e' Q6 @/ I F7 S+ R2 o* z& Y+ I p
N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]5 W" ]1 u8 y2 V5 a; s! m
N1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]
% j. h# o! e. A: a, aplot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果
, u8 I( u5 |- g; ^4 h& U% plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号( R T2 P# K p" I* @9 I
hold on;
9 l% l3 e q, U8 m( sscatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同
- `1 ~% u; y7 z- c7 jxlabel('企业编号');: K; r, R5 R3 f( }) N* V |4 T
ylabel('输出值');
# ^* q' C( {' O3 _得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
# x7 y% Z# A* G8 [6 h8 d9 j
1 `, M: h9 b! n9 b; R9 v3 w
0 E: X [7 X0 }3 t5 x! z! n0 a# p6 Y5 U
图5- p0 V; P7 M a( p
& n( `: V; Z2 M2 e: Q, r$ T7 ?5 E
三、总结与感悟。 + I5 {+ X0 v6 g! |/ _" [7 K
- i3 i& U1 y6 L( L2 p: d$ A
总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。
: a# T9 g1 p' w( G, W
6 o5 y$ X8 O- V( Q, I2 ?6 k4 f2 L! p, z 感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。' v3 l8 B8 Z: [0 t# j3 @$ n0 s& K
+ v0 s$ o+ I) A1 a/ o) f
# K$ C: k2 f, Q) F7 f |
zan
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