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[建模教程] Matlab数学建模学习报告(一)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2019-4-10 15:18 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    Matlab数学建模学习报告(一)8 `2 A0 q( O( K6 L
    一、学习目标。

    (1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。

    (2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。

    (3)掌握Matlab数学建模的回归算法。


    9 ?- Q! v! K( E, z" T! V$ f; F" f3 |二、实例演练。& r% f$ L, o( A, C8 B
    : i+ ^! K) X# j3 \  y0 c& o
       1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。
    - q. s7 ^% @; e& z4 ~7 P  o% J$ ]* s8 [& I8 o
            Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。& Q4 E% _8 Y7 H& P  ]! _
      ~! P' i. x. w( \" q# N$ e
            人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:
    ( x" s4 f4 Q* i1 t, Q
    & }6 F: {( [8 \. Z(1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。4 [% ]9 b' v4 b! U# U- d! m

    5 J$ F  k/ ]! Q: ^6 \(2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。, `: ]* o" V' I( _
    ! p+ d1 u! }& G3 H) |  b1 q, B
    (3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。0 ^% }' m) b) ?6 ]% l- r5 y
    5 Y; y, L2 h) o* @
            正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。& B6 o9 ^, t$ O: ^3 a
    0 Y" ~" F4 k; X% v2 H. A6 T. ^
             数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:$ @7 N' ]5 E1 r2 H  X( w

    9 M% x3 Q' q: v) f. @# |$ r要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:
    8 }& v  |6 I  O
    3 t$ B+ u) o& K6 q9 }1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;& y3 A" o1 q. m
    . }$ g* j3 ?) l! [* o; Y) \  z2 H1 {
    2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);! \6 Y0 b6 s* ?/ s& S
    % J2 j$ M+ X( l% w6 w9 H
    3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;  Q/ h: ^" H  x: X6 R

    + q$ P' n8 x" p( G) i: l7 y8 k4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。
    , G% ]5 ^0 Y8 J! Y8 I0 f3 E6 P" T. j' W# e
    要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。" \' d7 J% ]) F, G" @9 v: a
    1 u) A+ P* e% Q$ w' p; C6 q
      2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)
    * \, B- ~9 C4 Y' W& q
    . U* O9 m% Z8 j) D3 E; U+ w解题步骤:
    $ J- g( j" r, i& M0 W) Y& b! C! S" z( o1 y) o( M
    第一阶段:从外部读取数据# D. i/ T7 ?/ V5 H4 j/ @
    * Z- D! U: L, N) q) E/ o
    Step1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。, W/ S% \  C) ^; v8 x$ T- T
    " k5 \5 u4 ?9 G& Q+ ]
    8 ~( g: O' j( S" |0 U
    4 c7 o6 \) F5 e8 G# ~" U. ~
                                                                      图1. 启动导入数据引擎示意图
    $ U/ W: J! w4 b, i, P) F# _% I" K9 b% w" H" y  i
    Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。
    4 y4 s# L- ?* i2 a- Q) n5 @5 u7 j
    9 {: p5 `; V3 V0 t! ~: x1 Q! m! N6 y: R( m; u) A7 ]: G2 h9 j
    7 Y! G3 ~  B+ |" B/ O* ~
                                                                        图2. 导入数据界面
    ; g! N5 W. K( x; s$ ]5 p  J2 M, Q9 }2 @  Q7 P- N1 T
    Step1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。& Y0 |8 P+ |5 g$ V: G# L" e

    ; T6 i! u# V+ s5 B6 {8 D* E3 L. w1 F, u. L( K/ U

    , d' c% ]6 V+ T- ?第二阶段:数据探索和建模) L( g4 ?3 Y. `* @* |( c/ f! D
    + ~- _2 ?0 x, ]1 }0 ~8 Y
    现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。, M4 V, k) }0 e; b8 D

    & F; j% N5 p9 Y0 TStep2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。* h: K! s5 o# |0 m  b7 ^; s4 p
    6 x4 }5 a% k- g+ ^0 I8 Z8 p
    由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。  o! f; i. x- q  i5 u4 g3 V
    1 m* [4 g" ^! s6 j$ t
    对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。
    3 i; O' c; n" l7 g5 l9 _% R1 s- _3 B# J
    6 V3 A# R( B8 j1 }- M+ _7 J
    0 }7 e6 W7 y5 O& R& Q
                                                                                     图3 MATLAB绘图面板中的图例
      W% F! X7 Z: c, }; M
    0 ~- Q# R0 h1 d要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。
    3 {) _  n1 I5 H# _& l% ~3 j- H" O" A) P  n3 c- `1 @8 H' ]  S
    Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:
    ' X. B7 _+ S! i2 M* e, \# Y$ t  \' S4 i0 z. e( [0 f+ T# |6 X
    >> plot(DateNum,Pclose)
    1 H" P% v) C: p
    # z1 X* ~. F9 X/ A7 g' t
    , I& _: _5 s0 t/ Z" Q  Q" T6 ?. J. r! T  q2 \; b  T+ j( v
                                                                                           图4 通过 plot 图标绘制的原图- c& j* Q$ N) i3 i
    9 |4 o3 |1 ?6 h, f& U
    这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:8 Z  y% l# y: {! i, A& W
    2 p& T4 N2 l) m2 ]0 `2 E+ \
    (1)曲线的颜色、线宽、形状;+ L( X& R/ Q' d8 z# D

    + X5 c4 U- q, a  H(2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;; R- t& r+ x) V& k! @! i  j$ n/ |

    2 U# d. G& s6 u) B* t3 v7 z(3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。
    4 L3 P' }; C! u- X# j, A" i
    % f* k7 o& a% r6 n6 Z此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
    / e* L+ x4 _0 G( |6 {- y/ i. M; Z4 t3 ?( ~' W/ z
    接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?
    9 L, u! h4 y8 n6 T" C  x( w6 W
    / P9 w! P$ \  F; |4 n2 Y( U         对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
    : @, O% E" }+ n+ g+ o; B4 a% m% l" D4 a9 \5 m8 _
             对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?
    0 z9 n. Y. v7 E8 {
    3 N4 P, p" ]8 u' U/ E' R         最大回撤率的公式可以这样表达:
    , g  f& d. i# E( M. X  x4 {
    + M- q/ @( }) G) G9 N# zD为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值
      S6 m- B, \! a' J
    5 y# `) }( E! B& X# Ddrawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
    ; V: E2 f' B2 u! L3 d. K' I3 \( C0 c. l! l" Z! E0 \% z
               斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。% X7 D7 R5 T/ n2 u1 _6 Y
    5 J+ A' K7 r  e! Y; D$ G9 V
    Step2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:; z6 C( d5 v8 t: h+ N

    $ f. B8 ~. E  e% }$ ^8 v>> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合+ A2 S1 K+ b# v4 Z2 _3 B
    ! ^/ \$ C# p5 k: y/ @
    >> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
    8 X+ B% G- M  I/ W( k
    ! j# b5 @3 t/ Z0 C/ ~' }1 K9 dvalue =+ a' a  y) S! ?
    ! ]: M5 j% L% K
        0.1212
    : s4 i3 U0 h/ y9 U+ ]
    6 k/ z% D6 Y& J& |代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。! ^# A6 S3 c0 X7 _5 X6 E

    8 ~7 |! |* g, x- I! D% @) o6 nStep2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:% S3 n" ^( F/ {4 Z5 s8 b5 p

    / i( Z+ l' J# ~+ C>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
    + l8 a$ K( H. o* p! z5 y3 N- x9 x) @; N# u% J0 ]
    >> risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险
    + b) O$ ^8 Q% E6 {0 n0 E4 J$ V9 q' q3 B  |4 o" X
    risk =
    . }' w" k+ D) ~- N+ z: H& [; |4 i( F6 k9 \
        0.1155+ V  {5 k- M* y7 K6 i
    0 G: m* |& C8 U( z; Z- _
    代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。" G( H( m$ b$ F2 S

    / E' y- x9 X: C/ L到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。! k  F4 z/ ]& u, g1 A# {! R2 H+ Q
    4 e- Y. \+ Q' B8 T) f/ [. s7 w- d
    Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。) j% G" a, J5 I4 G7 g) x6 m# \

    & A( p$ a7 D2 Y, X9 ?3 c脚本源代码中有些地方要注意:# Z  Z, T: n  n: q
    5 x/ I' a; J  V: K: f3 I
           %%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。$ U$ P) ?0 E& S8 F
    $ p* [- s) H) B4 j  a4 R
           %后的内容是注释。
    : g' {. U9 w: X$ c# b2 d
    ) U! W7 w1 U: |+ y        每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。
    4 q6 K4 S. X! N) [7 S! w
    5 P6 m, f. }; m" D' J0 s9 u脚本源代码:
    : ]$ r& z3 v0 B) `0 u* |% {1 B* z4 G1 O% w% x
    %% 预测股票的价值与风险) z: c# Z: V* V/ q, Y: ?

    : ]  U+ f1 S- L%% 导入数据* \( ~" r7 Q) x3 M- c) V5 ^
    clc, clear, close all6 s1 p9 T$ F7 D- J6 ?4 V
    % clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响 1 O. @1 q5 W2 |
    % clear:清除工作空间的所有变量
    + h8 t/ R( ?! J2 b% `' l% close all:关闭所有的Figure窗口7 s1 N2 u, Y# W  H; }7 Y
    + }9 m  H7 {/ h( T4 {  C
    % 导入数据
    # X5 x% Y/ h7 t1 \5 \! N[~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');% O# l' j; P2 W
    % [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值& N2 o$ H; i9 `; [
    % xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围
    + l6 D6 x0 D* ?+ Z8 n. s) E* D, c
    : w" w5 O' N/ `0 }% 创建输出变量8 y1 x7 g7 R) X+ m' S8 t, A
    data = reshape([raw{:}],size(raw));
    6 f2 M, y# t& ?4 o# k( L% [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
    : t9 a; t6 Z6 D. x) E, E$ e9 k" x
    % 将导入的数组分配列变量名称
    % q: @2 ~1 _+ A% A- p2 sDate = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列' ]0 }; E( t. a  A6 ~4 v0 q
    DateNum = data(:, 2);; S" T8 V% L! i/ x2 X! ^
    Popen = data(:, 3);
    + y# F. [0 E7 m4 V0 z: G* Q* v4 HPhigh = data(:, 4);
    2 P# `0 [0 K9 W- w) uPlow = data(:, 5);
    % \, n- m5 V* B9 RPclose = data(:, 6);  
    . n  F0 |  W9 e7 sVolum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和: K4 M, ]- D5 p
    Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股$ _! v4 A1 s1 |+ C  W2 a/ D2 V
    ) n/ s+ c' W# ^0 t; v0 A1 P' a% J  D
    % 清除临时变量data和raw  U) X( \9 h9 ^; v* b4 ^
    clearvars data raw;: D, p. d3 ~+ I% u' \  [

    9 a4 ?" z5 V- x2 w  }. M%% 数据探索
    7 d5 H6 Q0 }  D3 D2 A! t7 `+ h3 g# Z7 N: B& `
    figure % 创建一个新的图像窗口6 m% K! p: n7 i3 i+ N( Y, J  S: e
    plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真- Y' p1 m( m+ t) K9 i2 S# X
    datetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-27+ L% {7 \( R1 Z2 \9 W
    xlabel('日期') % x轴# S: d0 O7 l' N. Y* V. d
    ylabel('收盘价') % y轴
    ( s7 t+ k4 ~- W/ ]0 n1 t$ T$ b# tfigure
    5 a- N0 b5 V- H. ~* U2 ibar(Pclose) % 作为对照图形$ ]* `( g, z6 X

    ' T/ l1 d* F* P" k%% 股票价值的评估
    ) f" `, p* s# p7 L. c
    $ b, c) e' s' s9 `% O$ Q  Ap = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合1 B5 a5 R) ~+ Z; f; H# R
    % polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列& B5 \0 H4 n) e+ h! T6 H
    P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果
    3 O6 F# t/ ]* Bfigure
    / J8 @. a& {; _% _! ?  i, Kplot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*; {1 k  m$ k2 n( W& z/ F
    value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数: c. C) C9 O8 }* \8 z1 `9 `8 }- G- w
    6 {2 n& n% l5 J4 l4 s2 v; s/ _
    %% 股票风险的评估: f6 c$ _9 {6 B2 ~8 J$ R" K& r# a
    MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤, E* z5 I$ |) q) e7 {9 \
    risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险1 g9 D; h* m& A! V1 Q" R
      3、回归算法演练。0 A5 q* G2 ?' H6 j# X

    ( b, U- \+ Y) S# `( r* T% X4 F3 f(1)一元线性回归
    $ f+ y/ M  ]1 k3 {, p
    4 k4 |. k4 @8 x6 y" p[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。$ p6 D$ J0 J$ V

    7 p, I+ K1 c5 ^. w" J
      Q3 ]; i7 T' H$ G- M( j" c- p5 [" b! q6 B0 Y/ m
    该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:
    9 H& J4 v- y4 D1 _% H/ P# _% c/ @, T. n7 x
    (1)输入数据
    - \! c" n. v4 ~" Z/ \0 L8 t1 B+ |4 `: m3 |. G3 e. x% Q) c2 m
    %% 输入数据6 [0 P/ R, W+ {9 L# S& {) H
    clc, clear, close all
    3 H* W: D" H+ r3 M. K! w% 职工工资总额" z3 L3 ^0 Y1 \2 [& a
    x = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];+ K( c' p" [# x1 p
    % 商品零售总额, Y+ k0 k# G# x: l9 Q
    y = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];
    . i' q3 `% B0 j# E- V2 Z" a1 B(2)采用最小二乘回归8 z; I6 Y( f8 J  K: L' d
    4 \1 ?/ l" B$ K! e7 m) T
    %% 采用最小二乘法回归, X; x) ]% B- p; T# [: X
    % 作散点图
      l# c8 C5 h- F, q7 Tfigure0 X+ @2 q  Y! S& f' s
    plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色8 S* j& }  v+ v
    xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)8 ^, p* r4 l! T4 C: c% ?4 Z: r8 ]
    ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12). C" n+ Y) C; @$ P! X0 Z2 _
    set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2; j. y. Z1 C6 [5 Z
    8 G" a. F- [6 M+ R# c, v/ ~  a
    % 采用最小二乘法拟合
    , s, M, O1 E9 K  C* n9 X7 Y  T6 uLxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同. |# J3 U% u0 D, D# B, j
    Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));. v7 K* l# z% s! L" X
    b1 = Lxy/Lxx;
    ) S! k! f, I* G  u: M( S9 bb0 = mean(y) - b1 * mean(x);) ^; s; e4 J: u! ~
    y1 = b1 * x + b0;
    5 x6 M$ }0 N3 x4 f
    7 _: c4 N" i! A+ P& Z  Thold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存# u! f# T& q% q& h. y
    plot(x,y1, 'linewidth',2);
    & P4 y2 l5 I5 N% C5 q' X! o! v0 z运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。
    . w1 j1 d; p/ J# l- t) N; R: b/ R% \6 I, g4 o; W+ F
    3 E7 N/ [2 l" y# t: ]9 s

    - Q& A! T1 t( ]                                                                                                    图5. w" S, \8 u7 N$ w3 B6 T) _( g% C# O

    + v( l8 r+ b( v7 j9 {% z) O4 U(3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
    # d! H% b0 _  ?/ W# p  I
    , N7 r6 s, {" r3 t) P/ ]%% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归8 j" ?  I0 V% v& ]
    m2 = LinearModel.fit(x, y)
    $ {- s) I) t3 Z8 N: U* D9 o运行结果如下:; ]% Y3 p; @  c. @' k3 V
    6 R) Q: F3 a9 z/ I  b* \
    m2 =
    + q0 C, V  x) K- g- A: B3 i' C$ \
    6 `' a, ]8 {; b  BLinear regression model:8 ?9 ~5 W- T, y
    6 L2 n* d8 P2 c5 ]& Z
        y ~ 1 + x1
    " f( T6 z+ \( c6 r% tEstimated Coefficients:: h4 [* v  _% \7 a
    1 m+ z2 P5 w1 ]5 Q/ S5 h( X9 V; Z3 T
                   Estimate      SE       tStat       pValue
    / y2 P4 L" L0 W8 p: v
    $ h9 v4 }. k8 M& i4 |" R    (Intercept)    -23.549      5.1028    -4.615     0.0017215
    $ X5 V: S6 j# r
    . K, _# Q; V& e; D1 M% A+ T% r    x1           2.7991     0.11456    24.435    8.4014e-09
    ( [3 N. q" I9 m5 o0 R5 U* ~/ O# ]* B0 H. I0 G1 V4 B' o
    R-squared: 0.987,  Adjusted R-Squared 0.985
    ) q& W  F8 q8 T7 J! G4 |% z
    / U" W7 k0 X: b/ m: KF-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09; z9 g. e  F! p
    1 m; i2 Z1 z/ {
    如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    $ i& B1 }" @9 Z: i+ `; p6 }& E) M! ~" {& U% o2 G. o
    & a* h+ q* D1 F; Y4 s! b7 O
    5 N3 H* ~: e3 Q3 p) L
    4)采用 regress 函数进行回归# Z1 l& L% ^: @7 @% T" f# L
    ; e& Y" p$ l2 v: l# J
    %% 采用 regress 函数进行回归
    4 I; G: Z  x) E. i0 b9 ^9 OY = y'
    - l+ {! A$ G( m: VX = [ones(size(x,2),1),x']
    4 k, R: \7 E4 ^/ E9 S  K3 v[b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)# ?+ p  O$ M- @$ P
    运行结果如下:
    2 _: r1 f7 g. K
      w  X4 q' \. {- U5 F% ^b =
    : r8 Q% l% A, ^' ^+ I' ~
    : `- q8 t% `. o/ c/ o/ S& _4 Y  -23.5493+ q) A  R" i# B8 k4 s& z6 x
    5 Y" M5 n$ T1 U; r1 Y
        2.7991
    / n7 P! E; Z, t, X
    $ C3 u5 P' B- W1 v! m我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    6 |0 l+ a5 P4 t2 t2 ^! b9 Y
    5 B3 v# h$ \% d! V' g(2)一元非线性回归6 q9 U: D% T! i
    & y9 _# _8 ~: z8 a
    [ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。
    - w& n7 u: ]+ h6 B3 h$ H( Z, [. _+ O; G+ k% n* H
    / N  R# J4 M2 B: \( j

    4 o/ _" k" Q7 [/ b" A; ?; l$ F
    * {' u+ l* b" V+ h; `, h0 I. X
    7 @) C$ c# J% ~+ m        为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:! X3 I2 @. `9 h% X0 n
    3 _# q6 m) u* [" x8 v" M
    (1)输入数据" G/ r, l6 z$ z/ D4 G
    3 a3 Y. Y+ s0 M, b  t
    %% 输入数据. s$ c7 u% a* {; ]
    clc, clear all, close all8 Z  A4 J6 L0 m# O7 y+ w
    x = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];' t& Y" E" Z) V$ Q6 s* F
    y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
    0 e! p# D$ Q% `0 r: n; @1 jplot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小5 Q3 c# X. x# R2 J" Z
    set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2/ T, [0 T# @2 {
    xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)) O3 T" q7 y3 X( P( s, W
    ylabel('流通率y/%','fontsize',12)8 [0 W; M4 ]( y. @  R
    (2)对数形式非线性回归
    # ^) D' v; Z: g1 O+ L5 V6 a
    9 D* O" _" i. m$ U%% 对数形式非线性回归
      r/ O9 P2 `+ \3 i; \' Im1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);
    4 ?1 b' E& s% [nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])
    ! m5 O* s% L5 _) _b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;# Q5 \1 w* n# N7 o( o9 d1 M
    Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);
    1 }, f4 A% \: G$ |  x# Qhold on
    2 R$ a# {0 D! O) s: splot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)
    6 B  N+ i+ X* y  S$ j7 q$ Z运行结果如下:
    4 t! f1 i; @8 \% F( f+ d, H* W1 s2 l1 R) z
    nonlinfit1 =! p. {7 a* D+ O8 A0 W' l
    / u" n! C7 \, k% }& l( Q+ O3 O1 k
    Nonlinear regression model:
    4 X+ _" {. i" {  h  {7 Q( H, K7 @
        y ~ b1 + b2*log(x): Q5 _1 V9 }8 }3 Y* F# x- m
    4 h4 D! P, S" {/ s
    Estimated Coefficients:
    $ |: z/ N2 P, f9 Q1 @8 J) o. s1 D& y& q! u
              Estimate      SE        tStat       pValue 2 b5 s$ D7 B  j6 |: s

    4 `* o. A: M7 S% t1 `0 ?3 L    b1    7.3979      0.26667     27.742    2.0303e-089 b6 \, {. E% N8 ?# y3 o2 B
    $ e. K' c$ L9 k+ W; C
        b2    -1.713      0.10724    -15.974    9.1465e-07- |: y0 A% K1 J! x* a( h" U9 w
    5 W/ q" k2 a/ P3 [2 U) f8 Q0 B
    R-Squared: 0.973,  Adjusted R-Squared 0.9699 N: M# D- f; O. h* L9 Q
    % {% m2 f* |. b& a  `
    F-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07
    + |2 e. a/ W2 W! x. b# G4 {. j- o, S8 v, u3 K
    (3)指数形式非线性回归  I1 x; F2 b4 W# m# `8 i+ Y
    0 n6 ]. `% f7 y" D
    %% 指数形式非线性回归( V& k" b7 S+ g% _$ e% e
    m2 = 'y ~ b1*x^b2';
    / b4 U3 q0 V9 T0 M1 Ononlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])7 S. }$ U; M9 e6 h- P
    b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);
    $ O6 D9 k2 a" `! S$ l3 Qb2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)
    $ u+ M4 Q3 h- BY2 = b1*x.^b2;
    " f) y: a5 o8 }2 ^! K0 r  e* ahold on;
    ( L3 Y  Q0 E: @plot(x,Y2,'r','linewidth',2)5 B. t* a6 P" J% B
    legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例
    : j5 M6 U7 s. [& |% p! G$ B6 p5 t运行结果如下:( P- D6 y. Z0 R: b) l6 Z
    6 b" X; c% L& E. Y/ _/ j
    nonlinfit2 =
    ' L( v  t% Z( ^
    ! W$ k: l* }- p  nNonlinear regression model:- B6 E$ _/ |: y% x4 Z

    " m: F% t7 a2 D5 m6 z    y ~ b1*x^b2# M4 z; G+ A, t
    4 T+ T; M% S: m/ f
    Estimated Coefficients:$ E2 K( N4 ~! _( i) z0 L
    . ?- n( w& P7 N6 L" t1 ^5 v$ h) s! H, \+ F
              Estimate       SE        tStat       pValue
    6 r. ]9 q9 ~6 m* \* A7 I& U$ _- _& {: Z8 \! l, C
        b1      8.4112     0.19176     43.862    8.3606e-10
    ( U; `  D8 M# S; \6 T/ c- W
    2 D: o1 K3 y5 z8 _/ q$ [# t    b2    -0.41893    0.012382    -33.834    5.1061e-099 E$ z$ z8 I$ f4 \9 r5 Z' `
    4 s( t5 i) b& ~! M- o
    R-Squared: 0.993,  Adjusted R-Squared 0.992
    : c2 r8 r+ M" T: `$ N# d3 a! T' t1 o; D
    F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11& `& N5 i1 C8 q( p7 h4 Q( e( X
    2 ~9 d# |' q) f6 L# _# F; d
    在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。4 D% [0 ~6 }; r7 Z
    ; h4 a! ^2 S( T! |$ f: i
    2.多元回归
    ' N# b7 V$ c2 o3 F" k5 W' z: v- m% f7 ]
    1.多元线性回归
    + y6 H1 h, P6 K7 T7 b! I4 t
    - g& N, J. }0 r4 N' c5 F[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。
    7 g* V! w. b  v5 S2 X, w6 Q( t5 ~
    7 f5 p! ~  T( C+ I0 W" _* `9 b4 \) ^5 U" [0 M: j# ^
      c( o0 u* Z8 b+ s4 l; B8 Y
    该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:
    ! H* Z9 ^1 n# Q+ p9 }* m8 \
    1 Z) B+ A9 ?$ ^* `! `" ?(1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图2 O( G3 l) q( o* u
    . k2 ]! A% l6 A& m
    作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
    ' T0 o/ `2 v# A9 ~, o4 d
    / ?% a8 P* l& h  ~* x; C%% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图
    8 B/ f9 _2 \. E5 }0 m% x1,x2,x3,Y的数据
    1 s( @; _0 b% x# ]% ~x1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];
    % H$ ^# @2 b4 H# a* W4 ex2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];$ v7 L& |' D* v& d. {$ f2 Y" ^$ _
    x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];, d8 f7 k3 k) O' r+ x
    Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];0 y2 `& `3 I1 j/ @! y' S; f; M
    % 绘图,三幅图横向并排% B  I% Q/ [0 m9 y
    subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')
    6 m4 k+ z$ K% I; Isubplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')
    4 H5 M6 E  Z* ?5 q8 l* dsubplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')
    7 e: }' ~5 Z' r* U' j( }绘制的图形如下:9 c4 A# s' T1 C

    1 K/ Q" A# H3 @, v7 H! J2 W; X* q% F" m! S4 x& J/ @
    0 M' j9 O- G) i! |9 o& x
    (2)进行多元线性回归3 _: h- k5 U# N5 a% T

    ; R  k! l1 f* x- H5 e这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:
    ) u  r; S5 M& P! C
    & Q" m6 z+ q3 ]0 O6 d%% 进行多元线性回归
    9 P" W& `$ Y+ f  S6 on = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量; I, P% H1 _) |
    X = [ones(n,1),x1',x2',x3'];
    * l/ v6 d) o& i[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。8 `, ]- l) L  Q2 W% l
    运行结果如下:: r2 N7 [; C! L" ]
    0 j- e/ g  {- z2 b
    b =5 C8 e8 s. A. W$ r1 M/ t

    $ H) R2 N2 @* K/ g5 ~0 V, r   18.01577 g$ }% D4 B+ _! ^
        1.08174 A9 C/ m' g* d' l  m# e# F6 ]
        0.32125 M" J2 Y4 t* u/ b$ \, e/ _
        1.2835
    - B6 I$ \) W! H0 ^$ v, i, H: C  i9 G: o7 X3 f

    " V! G" E4 Z5 q! g6 }3 tbint =3 R/ h$ b! Q1 q. g8 a: V
    1 E% G; l) x% y9 B& u& M
       13.9052   22.12629 g  E: Q, ^4 z# K$ H! Y
        0.3900    1.77336 r$ z* C% F" b; X7 f8 u
        0.2440    0.3984) k5 @% M7 }# ^3 A9 ^- a
        0.6691    1.8979
    % l/ J; y* x! B/ O* B+ A( V' ^$ e# a* Z# u4 S

    9 h" [0 ?; O1 ]r =
    * M2 G, C* F) z! R+ K9 _3 R" v! V. t8 m' W. ]6 o
        0.6781
    7 v' z/ p6 U: C' X) Y2 S. |: T" H    1.91298 P2 A7 l9 U2 k- ]9 F  k9 H
       -0.1119+ z: M2 G  M5 Y, \5 R) l+ ?. Y
        3.3114
    ' j% r$ c" b3 I- @/ }+ f9 U   -0.74240 b& j/ }2 d; s3 A
        1.2459
    0 H3 s& `6 S2 ]% a! M( x! ~   -2.1022
    7 \3 |$ I6 A. O& r    1.96505 r* |7 I8 c, Z
       -0.3193$ |' A, m- _) n0 I
        1.3466
    $ B* y# O" [& R    0.8691
    9 l% i7 G2 J$ T" j, c   -3.2637& ~7 s0 F/ P& F% E2 O" A
       -0.51158 S+ z3 p' q$ H
       -1.1733, ]! U5 C1 }5 }) x4 X4 H
       -1.4910
    5 y% J+ Q: M* g0 c9 @9 m   -0.2972# j7 H6 W$ ~- H2 M( k  d
        0.1702! x, U6 n% Q# k
        0.5799  N( d! b) w1 y6 Y, @3 C/ K* a0 ?
       -3.28565 ?1 P( C, ?  T7 Z  }. R! |
        1.1368: a; w5 ~7 n) `' K! k8 N" g, d  w8 Q; c
       -0.8864& E  ?0 a! b! O; [9 T! }  u& x
       -1.4646
    7 t* i8 V& c0 R# s8 l! u1 R# {    0.8032
    / {- X0 M$ }7 _- D8 D6 f    1.6301
    ( H# T6 |6 _# W( z* n: \
    + O' D$ g6 \" W7 y4 m: W, A" K0 j7 f* a  F+ y: u
    rint =
      n' F$ z# g; F( g2 w9 X
    2 ?: z+ Z* e9 i4 g8 F   -2.7017    4.0580- z6 i- L" }, w) H. h+ k
       -1.6203    5.4461# C/ z4 t2 s. M! c6 `4 [! Q* ^2 Y8 x
       -3.6190    3.3951
    6 K. o* ~) i5 K: a* L/ E. v0 u1 {* S    0.0498    6.5729& i7 V1 `! `! {( a: i+ L
       -4.0560    2.57121 u% I0 @9 L- a
       -2.1800    4.6717
    8 A7 o- I# x" h7 n( k% h$ J( N   -5.4947    1.2902
    : I8 A5 C- @7 }  ]   -1.3231    5.2531
    ( V; c  n1 v9 L% g) d5 V, _   -3.5894    2.9507
    * R; a+ v, k$ G5 s   -1.7678    4.4609* @, k/ N2 U3 F9 T% H
       -2.7146    4.4529
    4 J6 L6 ?& T4 k) ~   -6.4090   -0.1183, `4 K3 o+ {  P. e
       -3.6088    2.5859
    3 s! J; Z8 L2 \2 ~   -4.7040    2.3575% s& G% @$ `8 y2 q0 _- e: E% i
       -4.8249    1.84295 T  y5 X0 J- k! L8 f
       -3.7129    3.1185
    ) [% s- I8 A, }$ T* ^" E# L   -3.0504    3.3907
    . f4 Q  M, |! c5 F   -2.8855    4.04538 L( q+ ]/ z) V, ^' ?% z
       -6.2644   -0.3067
    5 V9 G( M8 S& [) u( d. y0 z   -2.1893    4.4630! B( b0 @# Z% G, t2 z
       -4.4002    2.6273
    ! S, w' ?" Q6 B2 z3 Y   -4.8991    1.9699' q& c; a& r' O
       -2.4872    4.0937
    . i  K: L7 M" J9 z. g   -1.8351    5.0954
    - O7 h6 V% ~0 }$ w! M. b! s- x' r
    . [  {$ ^# j  S! n: G: }& [, {) `
    s =
    ( h) V3 g) v0 j  K, B5 ?5 O1 j2 Z4 M1 Q6 S
        0.9106   67.9195    0.0000    3.0719$ G/ q! V& L% y1 t9 Z1 E
    看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。
    ( @! i6 K# H- I9 E2 L; t1 o* h$ r) k6 I' U1 g& d2 i  ~
    在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:# B" y3 d8 Y! T; w+ g* J* i, k
    / B# {5 a* j8 m2 _8 [
    b =& p3 X  T% s8 s. n
    % b+ W/ ^: J1 r
       18.0157' w+ e8 _! |- \6 o  o: f
        1.0817
    : W4 r2 `& h) q* ]1 v1 r; L    0.32125 K7 |2 b  P% C0 n" g
        1.2835
    * p& }/ r) L! }3 L# V6 T4 \2 j2 a& M5 \9 t+ o/ N: B0 Q
    s =
    # g- L0 p. ~5 z1 F) B  V* b/ l( I9 G
        0.9106   67.9195    0.0000    3.0719# v" {: r' b; n9 c3 S
    回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:2 X" Q# k& N# _( w: a

    9 o1 M5 Y9 @1 J4 i6 o1 J8 C  C5 t4 ?( Q6 d
    & i1 x( U  C( s1 w, r/ t8 w
    根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:
    " O$ W# ~1 k6 A" b
    9 J3 B4 X* z: z. v7 t" u; {/ {3 {7 j8 c. D0 `( P" ^
    . Q* [! t& G* E/ d" }) Q
    如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:  h  \7 c- C7 @( M9 C& y

    , T7 p0 P' c& h$ R' d, m# c1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。/ x/ W' o1 ^- B3 ^4 w
      U9 _' U' n, k, t
    2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
    * }+ T" r6 |! A( X2 W) V
    - f! X7 G& p- ?' h' E5 K6 }' g3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。
    8 b  u# c$ O( q  y9 {2 G9 K  Q; w* e9 R1 m# _
    以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。; T$ v+ E# C: i
    3 r* {2 F+ b% k) S# h- |! U" Z
    3. 逐步回归
    0 B! G3 U8 Z$ W/ c. G# `2 E# [) t6 [3 Q/ u; ~. _
    [ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:0 N7 H5 ?  A. |  P

    - d: k: d/ C- z3 n. e" e* w
    ( t! J( i. b1 x- b- L7 I. e8 `# u6 [1 o, q- _
    在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
    # @6 [# J, y6 ]+ Y. k1 v4 R# z5 U5 b2 Y- E+ |. f+ h$ V
    # z) v) U9 A9 q% i
    - G% d+ g! f* H
    对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:
    4 K) w5 e# Z: e, i$ ?5 h4 e
    ) g  A' \" S1 ~; i2 W%% 逐步回归$ t. s4 E5 I& c8 S
    X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12];   %自变量数据
    ' Y' R2 s; }* R' P3 fY=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3];  %因变量数据! Y3 {$ @3 l, f$ a2 p( t& `8 |
    stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中; a+ v9 m5 i% J7 K9 P
    程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。
    " j8 O5 x, e" P! S. H: @$ p/ E+ G% I2 e0 B/ l
    ( O( I2 U! v4 |" h
    7 ]) w! t3 p5 ~+ Y0 b
                                                                                                                 图4. f4 M' f2 v9 i# r- J& X. m

    - A# ?6 k6 z+ K7 J& v在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:
    2 j0 b6 p* j. D2 [/ |8 P
    8 v: a* }: K+ ?. g/ p/ F. s6 y3 z& r1 d: H9 e7 y

    , ]  B! Y( ^' Y$ o) u4. 逻辑回归1 f+ \& U: C* Z: ^2 t- a
    4 J2 a2 n$ V/ i. o+ T+ N, o
    [ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。( b' v# u5 A# F; Q* ^/ Z

    4 U* F; m) ^# i* t& L; d4 M) z8 i  U0 l* q6 R* E% K# x  V
    1 X7 H8 Y1 p/ |2 W1 q
    对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:: T/ a) E- C7 U, e0 [( M

    # w$ ~7 I8 g2 g7 V+ _, \程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92
    # u# q/ x7 c; ]3 Y8 T# a
    & o' u1 @8 |2 W% n$ c& Z! H% logistic回归
    ' I, {' e) k- K$ k. q
    / r5 D6 n: n" j4 a  F- d%% 导入数据
    # P" P0 J9 y, `, Kclc,clear,close all( @; w2 `( C; g6 d; @+ Z5 r! b, e3 Q
    X0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入3 D& a4 @& i- J3 u, z+ e
    Y0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D221'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出
    , v! y$ E* o! ?2 KX1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入
    ! |! I( j2 r, J" K; f/ |  @2 m0 ?9 J' |' ?2 T- v0 N
    %% 逻辑函数
    # Q0 Z! D5 }. U! {* p$ s+ C9 eGM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');
    & |1 F% d: ]; J5 T; VY1 = predict(GM,X1);
    ; c4 l5 G$ m, Q/ O4 j8 ?) Y+ N
    " A7 f; n+ f8 f2 ^8 u! o* T2 s%% 模型的评估
    $ H3 f5 z# k; F8 i9 }N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]( `+ O( _" t* x" o/ F
    N1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]
    $ `& x+ o" T/ J! ~2 }* _7 Y, @plot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果5 @) F8 i. ^7 p/ Z! ?4 n, _' s
    % plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号6 w4 K, e' a% Z; H9 s9 E, `) S
    hold on;( q( h' C) H5 w& C0 D3 ?  ?
    scatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同
    $ z$ E- p- R7 u% H. sxlabel('企业编号');; N& j7 m7 g! s0 Z" ~6 _0 H
    ylabel('输出值');6 n9 N: Z) c# N# w9 L& K/ i4 A
    得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
    ; Q7 J* Z$ Q9 w9 b# d: ?& R
    , p; {5 {- T+ `- Q) ?
      @# f# r" i$ m5 h6 U, P
    ! j7 _9 ]- [1 N9 B( Y& k& v                                                                   图54 W# l" Q  T- l# b/ W
    : T  M( L5 ~+ R" U. u
    三、总结与感悟。
    5 @$ K  P, g" F* Y2 k" @
    0 T( Z% u  V4 N3 B9 \        总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。4 v, P) f  C' H

    5 k( n- ]. K- A0 E        感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。
    3 C; W; V4 |" l$ T) l
    , W! W3 U3 L3 p6 `3 Q) t$ c; A) K; m% D- f9 [$ W) k% t4 o3 U
    zan
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