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[建模教程] Matlab数学建模学习报告(一)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2019-4-10 15:18 |只看该作者 |倒序浏览
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    Matlab数学建模学习报告(一)" g5 A" w' J# p* F$ O
    一、学习目标。

    (1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。

    (2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。

    (3)掌握Matlab数学建模的回归算法。


    7 A8 F+ g4 z, ]- l! `8 H二、实例演练。6 Q5 ]- f# ^" |

    7 o" e. R3 {" l2 i   1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。: f7 u  s) Z2 V2 m# R
    . q/ x7 \7 I% H; j+ ]( r) N) \: L
            Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。
    ; ^. H, P" N2 J8 n2 K' B7 p1 D6 k$ ]3 Q
            人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:; Y* A$ |8 |/ S3 y# M8 {
    $ Z  q$ o4 ~  H+ d$ J7 @% i3 h
    (1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。
    " Y5 {0 Z5 g0 H2 g' i: j
    . d! c$ \8 F! x/ v(2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。
    ( x+ Z# o0 q5 p$ E2 I
    8 e' D, V5 M8 W(3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。
    + I6 V6 `( U* F; g0 {& ^8 X. \; `
    ) p0 b$ K0 e& v2 o3 t4 T        正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。
    : b- r) [: \7 O) }7 l% L0 o9 K' k) R" X1 [7 {* ~9 k  c
             数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:
    $ b4 M9 M4 V" o( X* s5 r
    0 }3 B, B. t: T& n( v要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:! f" J4 U& C9 Y* `3 z

    " z' U, ~: q' U; Y1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;
    + Z/ k( K3 u  Q, l5 Z
    ; N: `7 V' T; i$ n. e3 N5 E, R2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);" C- b9 R+ {5 h: R% q

    9 y6 v+ ^0 K6 q4 e, Z" c  M" N* D3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;
    8 f) a! d5 a% W" P- C6 Z/ J4 y2 J$ |( U  d; U# Y: G8 e* K
    4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。
    1 W  J* N- a" ]/ |( I' ~; a" s9 z/ q: d* Q( k3 Z
    要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。6 ?/ q0 q$ N8 h2 H
    0 V3 s1 H6 z, ]
      2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)
    6 k  \' ^! i. Y5 ?4 i
    4 y  a. n  I6 h! P. r: a解题步骤:& v  x0 f3 i& H4 w+ @2 [2 p
    8 l3 }# z! s' ^
    第一阶段:从外部读取数据- M- p8 G3 T' L9 ?
    6 M) n" ^; t& q# B
    Step1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。. ]. t7 S9 w+ W

    . v4 D" w$ y& f, E- N6 n+ I5 N/ E  W" ]) Y$ [5 _' C8 R
    2 `9 w( b7 }. s7 M+ _. w
                                                                      图1. 启动导入数据引擎示意图
    & ]4 V4 U' |% S, X& v: K$ L
    ! b( [( g- [, U/ ~1 WStep1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。
    0 X. n- y+ F1 s6 Q
    : t; U9 k8 l8 t, c, r. A) C2 i% p6 R! F' d9 C

    - [3 t9 z2 z& j8 T$ d                                                                    图2. 导入数据界面8 \2 P% w% f: A  G- l, n+ n
    7 X$ u, V- }7 P+ q, |& }
    Step1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。
    ! n8 r: X+ ?9 S6 i. Q  W" F# q9 [. M+ R" u. Y4 _

    2 x$ a3 A' z6 Y0 B6 o/ O. G: m% y1 A2 s# R( [' G8 J: e
    第二阶段:数据探索和建模8 H# y4 N2 X1 R6 N3 w

    6 t; ]: ]& r) w6 \1 D  g. v6 \2 y现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。  g( }2 U, g8 Z3 e0 `; E' a

    ! l# A; q2 N5 g% k+ IStep2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。5 L3 P4 X/ `9 B
    % x  M$ Y. @3 C0 b' U# R; C, J
    由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。
    1 J& s. {3 x, v1 b
    6 ~( F$ Q& g6 s: P  N; e$ Y& A1 _& s对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。& F& s- K+ A0 V. Q3 B" K% q, K( ^
    3 n  I" w- X: p( r" n1 G1 F

    ' J6 X) b# d9 U8 S& w, N9 m2 _0 o  n/ Z2 A. Y; E0 \! D4 G* Z
                                                                                     图3 MATLAB绘图面板中的图例
    & U8 o3 j4 G/ P3 O, B, ]8 ]2 R* I# B" S0 b3 G1 P' g+ Q
    要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。
    1 B/ p" B4 m% p5 B; b, j9 q- i; r! B3 G4 v! i( A
    Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:) V: t8 `, M5 |! M1 ]5 ~

    $ m3 ^" v" \6 f+ g% s>> plot(DateNum,Pclose)
    0 d. Q: J/ ?# Y0 ], a' Y9 t  r" t6 X3 ?/ `5 i% K# Q
    . k3 W* }) ]  c! l. S* {  A
    0 z6 a) R  e& I/ S$ {
                                                                                           图4 通过 plot 图标绘制的原图$ u* y6 N: m! m! Z3 T- N2 P
    * z8 c. L" J& g& W" B
    这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:
    . ~3 q+ ~& ], |% B) a7 j, @' o! _& G' V8 z
    (1)曲线的颜色、线宽、形状;2 v& p* E) ~. I5 w# @* n
    ! B: ]% Z& x# |* m! C- g/ B
    (2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;  c! C: T3 G& ~, [: J! r

    0 `0 |" s" P6 J5 e+ _" a) T: t(3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。
    ( J" N  N$ D' |* N0 h8 ?; L% V+ H3 P5 l  Z0 q' e0 o
    此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
    5 I( R( p! U' v; `& E5 _2 L' ^3 c  ?, y
    接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?
    / I7 [4 H8 o* y
    & r6 G0 c6 Y+ x+ t: S" d         对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
    7 e, I2 O+ s  b2 @7 U, k& q3 E; D# E- J6 ?
             对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?
    : ?" s' n: ^) Y
    ! r# S" `5 E1 x9 I# ^7 K) e2 D         最大回撤率的公式可以这样表达:6 F) q6 F4 c* ?2 D  {, N; O* Z
    / b( [2 j$ E5 G( S
    D为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值( ~/ G, b% W! m/ P3 `4 E
    # @, v6 E9 ?- Y% I6 J
    drawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
    6 C# C+ I$ |1 |% k; g, |9 g
    # T7 y; o. d7 ^3 ]           斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。3 E) P" x$ Z( [' u
    7 s; T& v4 F( g. e
    Step2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:
    " e9 @! l% D0 ]+ [8 M  M" T
    7 B5 X. l, B7 e4 Z( U% S; l1 ~>> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
    ! c7 v& Q2 m8 _2 f5 t7 o' `1 X7 r4 Z  e  e$ c
    >> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
    : Y+ m, O# G) v) ^5 A
    & {, }9 P' C# k' w; \! H, z+ dvalue =
    # Q' V% E; a% y% f8 O8 U* l6 h* X, \% v# P
        0.1212  K" g( E9 A6 l1 g+ p, h

    . N9 j! {( w- G) d4 x% r- b& `代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。+ B3 G3 M( C- c  M* Z6 E. _
    5 _5 N: n, D) d6 _4 @* N9 {
    Step2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:* I' n3 E: p" M1 \

    2 P0 W( q: G4 j$ w  ]>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
    # Q  y1 n: x: t5 _" b% Q$ k2 u# e' k7 F1 i* \$ h
    >> risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险' C! O6 E6 a  L+ i5 {5 A
    + E8 E: F, Q2 F& G8 V! ^* w
    risk =
    1 d" v7 w4 e9 d1 e$ o$ R: M
    , n8 S* b) B6 f7 k& e9 D    0.11559 a# Y  |3 H- `7 S

    ( C# ]" E3 C4 }" ~2 Q代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
    $ V( _, w# o9 O
    $ D! q/ t  d+ V/ z! V4 y( B; R( D到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。
    " P( V6 D3 z" [( m5 j! y$ A& K) c$ J; q  A1 X8 r) n# |, e. j, Z
    Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。
    ! q9 m+ |8 g) b
    + {" C$ ^7 D' b/ Y( s脚本源代码中有些地方要注意:1 i- u. s5 t% `, U* u# x
    ; X! E6 o2 L+ U5 M! y( z$ Y8 q0 t
           %%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。$ V9 w. I' f- @

    * n; x  u8 N& k2 K5 E( {% {       %后的内容是注释。
    % r6 B7 Q) b# x( h+ f# _9 G) h, P( [' w2 @' N
            每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。
    , u4 D5 S5 M. e% x
    ! Q& M: q% F: c- y+ z, J( b5 |1 G脚本源代码:
    1 L5 c0 Q+ m% M$ q! v/ n/ t: d( w* _: E
    %% 预测股票的价值与风险2 j8 ~8 g$ D2 ?7 K- c) A" v
    0 g5 Q3 k( x  {, {
    %% 导入数据2 I0 A! T+ D9 n+ ~: R8 \
    clc, clear, close all3 i1 q8 c# N- B- S4 Y( i
    % clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响
    % v7 [# [1 O* {  U; C( f& }4 d% clear:清除工作空间的所有变量
    8 c" y9 M, V; R' y3 A2 r% close all:关闭所有的Figure窗口$ U. w4 N# U, R+ k, ~9 R: T4 k
    : q6 m, A, U9 p/ _$ _$ Z" `
    % 导入数据6 G( p' q4 }) ^4 Y. r, {
    [~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');
    ; J' T; L5 M# c1 k% [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值
    $ E; ]4 x+ ?  v) `% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围
    6 E' x8 V: \1 q0 _0 A" n1 E& }4 l( S9 o& i3 P! q
    % 创建输出变量
    ' V* P6 ]4 g$ [6 W6 wdata = reshape([raw{:}],size(raw));
    6 l7 U+ R- n7 M% [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
    9 t4 l. u6 J1 W) ^, h, y# O
    . n2 x( g$ s. [' y$ j: [% 将导入的数组分配列变量名称
    6 K' M# \  y( Q4 k' v. @* a. JDate = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列
    6 {: K8 S- L9 H. |- f  l6 yDateNum = data(:, 2);
    - x& q: p2 r) ~) gPopen = data(:, 3);
    $ @# M9 S* G8 h+ N0 YPhigh = data(:, 4);
    ' i. K+ a1 x& s. {' M% j2 wPlow = data(:, 5);
    $ `6 s  ^; |" TPclose = data(:, 6);  0 p; A1 x, }) K6 i+ e+ Q! C. E
    Volum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和, _1 s# {% Q' O) F8 c+ }* y
    Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股
    / S+ o6 R( K9 p& [% n$ P
    4 u6 v3 J/ U. ~7 I$ Y8 z2 J9 O% 清除临时变量data和raw+ R7 l5 s9 t5 U& l9 ]8 O3 R/ h! ~% o' E6 N
    clearvars data raw;6 o. m" o" J+ k8 X! |6 V

    ) B# z' `8 ~, w+ x( C+ m* i%% 数据探索
    9 G) b( F# `4 j! h# g+ ]6 W
    4 v5 M, P0 u0 Y5 F: ]2 yfigure % 创建一个新的图像窗口/ \! ]2 k6 T3 }% k7 R2 u
    plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真9 ~- u- g- X- S7 P  B5 Y
    datetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-27
    2 A! n/ Q7 q: q7 e! X* n7 N/ n2 txlabel('日期') % x轴3 I. ]* i  f! o. d5 T9 q$ M9 |% d) w
    ylabel('收盘价') % y轴. R" U' S) y1 ?& x: Z
    figure
    $ t5 C9 ]* D$ M: {8 S* k6 t3 nbar(Pclose) % 作为对照图形2 ~: F0 J$ j/ h$ E/ N

    . p9 n1 F6 i7 |! P%% 股票价值的评估3 o  L' w: b8 ~& z
    . g! g& v) Y7 g( ?$ F/ Q
    p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合
    4 s) s* S% |7 l* Z% polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列
    % d% \' E. B$ t, U  L% ~P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果
    + o. k! N+ D0 h3 }9 s! ufigure
    + {( I7 ^/ `  e, r6 i1 Gplot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*
    " |8 R# A% G" G7 E! I0 `7 X& `value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数+ I- J9 c1 X7 w! F, Q; g/ y
    ) k8 n: _8 ~0 A6 n) o! Q
    %% 股票风险的评估4 O) c0 _/ k3 y& M8 t6 O2 _7 g% M
    MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤4 f( F  U0 f7 x( u7 Y
    risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险4 [0 c' q5 `; E
      3、回归算法演练。
    $ m: u4 }1 G& [. F' s/ a$ v+ @
    1 @) J1 b, F6 M/ l+ j(1)一元线性回归' I* X& @6 O# h# @; V2 @

    % I6 L$ j3 T7 {[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
    7 g' e: ~" @; k1 X/ n: I+ H2 Z3 g" _- u
    / O5 |# M1 @/ o  d, r

    - Y% A: p5 x+ W* _该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:0 M# v0 Y$ y7 X; k. m
    ( p+ O9 X' ~) h1 M( I! T0 K
    (1)输入数据0 H' n1 ~4 ^0 v* k# q5 U
    , V! {6 o  w. ^! y$ c) Y3 t) `7 J8 [2 ^1 V
    %% 输入数据
    ! R4 R  e3 I! \# Q7 j2 gclc, clear, close all- w0 w+ H  l' o( h" x- o4 H
    % 职工工资总额
    * c7 u, W  E  px = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];- T! L- c! [' w: K9 n
    % 商品零售总额
    1 k" `2 _0 l3 _% t. `& Vy = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];
    9 h) g8 V( x# T! b6 g, S# U5 {(2)采用最小二乘回归
    4 p+ ?$ W  t9 C2 F9 y- z
    ' k3 x* G( k2 z7 W%% 采用最小二乘法回归
    , ~0 c0 C# Q* E. Q% 作散点图; k; e* L/ k, `" _# H1 R
    figure5 A- x; o  |; F/ |% V! R
    plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色
    & N4 o2 F+ ]) _" ~) j* vxlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)
    - o8 S  n, U/ q: Aylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)
    : W9 x3 {' j5 V' u0 zset(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2' o2 f% n( E1 n7 F/ L" C7 m

    ! w8 v- @7 j$ A' i8 R$ n: f% 采用最小二乘法拟合
    : g2 E" k' u, Q. }& t; _Lxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同2 f6 x6 j8 k. P' O, k! ]5 V3 o
    Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
    , I: |+ p1 y# a: Lb1 = Lxy/Lxx;
    ' q3 ~8 @. U& v3 _5 d5 Ub0 = mean(y) - b1 * mean(x);7 d9 c, w0 _/ J/ P6 ^+ p4 I
    y1 = b1 * x + b0;% U! P1 o: d" N) j0 I
    7 x( `* [9 Q, X5 b9 m* Y' i: {
    hold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存, `  I, G# o# z1 ]3 C
    plot(x,y1, 'linewidth',2);: R* D/ u* ]8 B# J1 w! ]
    运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。3 a7 z  g8 H6 O$ W
    , c0 k  x, ~# T7 w) K% Q$ U
    ) P6 n0 b; a7 T4 [* _$ K+ u

    " F% Z) j6 h2 }. O5 L5 H                                                                                                    图5! ^+ i; I. @" E8 B
    5 Q& V4 G6 h! Y
    (3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
    2 h! @( S5 c, H) {1 f
    . D' Q6 u7 e2 Z%% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归6 q' F, r2 ], h4 A, J& Q
    m2 = LinearModel.fit(x, y)
    2 s2 i" P! \: w2 j, y" P5 ^运行结果如下:
    $ y) H8 N4 g, R
    & d5 `0 _1 L% m5 j: c1 G+ Jm2 =
    * l9 k1 q7 D- q9 o, n) ]4 A+ e8 _. _+ @
    Linear regression model:
    5 [: ?# l4 n2 I8 P; ?9 ?: F5 M1 z9 R4 E4 ]; f
        y ~ 1 + x1- z' A* ~0 E! Y* }; E
    Estimated Coefficients:# j: E  j) o% d" b
    8 o4 ?, q! E: K5 U( E
                   Estimate      SE       tStat       pValue
    ' M7 s  v; N; x" P( h& K. F% X6 y' a! o/ o+ i
        (Intercept)    -23.549      5.1028    -4.615     0.0017215+ B% v# `7 x7 S- x

    2 G+ T9 t- w4 J( k0 f    x1           2.7991     0.11456    24.435    8.4014e-09
    ( q( B* e* ~6 l  C7 F5 B8 n7 C$ p( j
    R-squared: 0.987,  Adjusted R-Squared 0.985
    : f) l- H$ C7 V: @  Q) F
    0 Z8 Q* J8 g: z) m9 rF-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09
    ! p* g8 M& y" b& h* }( w
    ! h/ d" l6 @4 G( Z如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。3 O8 f8 S, C! t% q+ j# f

    & Z+ `5 X: V. g: {; X- H) @# S& W$ T" s! i( {9 A7 ?4 C. J

    0 @# Z8 M9 |" `$ Y! @& N4 K% v4)采用 regress 函数进行回归8 Y9 ?+ r# B8 K! P$ v% @- c# C5 `
    4 U* x! g) X9 y; l8 ^4 ~
    %% 采用 regress 函数进行回归  y( E5 L3 @! }
    Y = y'
    / X9 A7 b! i. u; BX = [ones(size(x,2),1),x']
    ) ^0 d- d- z6 ]7 e[b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
    , m8 V) Z) J$ R# L* i: o/ m运行结果如下:( L/ m- B' C: W" z1 P' K

    2 o) g- Z9 w5 mb =) H3 L$ U( o, K- O: ]' D* i
    * L3 a6 B; s- F
      -23.54935 J5 I# p! [) X5 S5 M6 l+ b

    / S& o/ Q- E# [+ X4 ^    2.7991  y5 Q' w0 y" T6 t. N
    $ W; H4 V# A5 u8 @
    我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    0 J1 O# w1 G/ K) R; g
    * r+ V5 j9 G4 n2 Q) W6 @) \(2)一元非线性回归
    * ]5 I1 ?! u. M2 }! Q1 p& {, F7 Z( J. q8 a5 I9 M+ N/ O
    [ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。
    1 b8 A7 B7 B! W1 v# L5 t7 _& ^# y2 u7 A) P$ E
    3 N. ~" A, d& D0 p3 C: k

      H, b* j$ I) H% v: n9 C6 K  e
    0 A* x* N$ M) b$ G7 W  U1 ]: k$ O" B% ^: u- O# I
            为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:6 x8 E+ x5 T/ \2 L

      e) _7 c) x2 D% K! I! S(1)输入数据* V6 t0 B' h1 T+ R" b

    ! g6 f8 b+ C! V; g: o%% 输入数据6 v5 E9 O, D% K) t9 t1 W
    clc, clear all, close all, p) F1 ]8 A* P# b1 m
    x = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];
    2 w* Y; E8 e/ O1 Ay = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
    ( Z7 g, n1 u) d5 Q. u: d; bplot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小- z- n* A* Y* u* x( s& k! _
    set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2, J- E, H+ ^- c. b9 Q+ E# h
    xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)# Y+ r  e: j; ]' i2 ^
    ylabel('流通率y/%','fontsize',12)! Z! P( C8 F6 K) r( w: ?$ u5 E
    (2)对数形式非线性回归
    7 z9 r4 I$ L9 c, E0 W& ^: l
    & M" P& U( `4 `3 ?%% 对数形式非线性回归6 M4 l2 v- w4 F7 p* T! Z2 V8 L" h
    m1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);* g; u! N( _6 \* [
    nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])$ L5 }  O7 U  @, Z0 m. q: a
    b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;+ P9 L- y! S! c3 p# G
    Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);: o5 s8 t# M5 z/ k
    hold on
    % c4 N! S- @4 a* Kplot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)
      c; K2 J5 s9 V3 G运行结果如下:6 X* u, G5 n: V9 y/ D
    4 t7 r* z/ `. O* M. Q4 w
    nonlinfit1 =
    6 X6 O( n! C2 v5 g, t2 ]- C
    9 w# x: G6 U  N; k7 P, A: aNonlinear regression model:
    8 T3 `! @" e/ t' r1 s3 @1 b9 U5 |
        y ~ b1 + b2*log(x)
    , d! Z/ F- C* K$ I! v
    8 c+ [4 A+ I5 |Estimated Coefficients:
    8 t% w" b' z+ j' f7 [7 ^/ g
    ' q) n" t8 B( Z) }# M, _3 B* o# B          Estimate      SE        tStat       pValue
    ( I, B: c* U8 f1 d: o. d6 |
    , A# \; S* S4 k* L- A    b1    7.3979      0.26667     27.742    2.0303e-08
    % L+ g2 L* Q- }% X3 C: N( t1 B! Y# d$ c; B; T% [3 H* [6 p
        b2    -1.713      0.10724    -15.974    9.1465e-07: A  f: H) {$ T: N# w

    / g) d; x1 v3 p& F4 J7 o5 G' ?R-Squared: 0.973,  Adjusted R-Squared 0.969
    & P7 n- Z5 V- q
    ) b- f3 q( m; F( e0 s; t- N& wF-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07
    . Y2 k0 k( A+ K( v5 j2 Y( @  I1 u/ \, v# v
    (3)指数形式非线性回归
    + K, J6 n6 a# V6 A) s2 s" X& O& W/ w4 S
    %% 指数形式非线性回归
    & T; U3 k$ n1 k$ H0 Km2 = 'y ~ b1*x^b2';) B1 @5 {+ a, R% }, y0 k
    nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1]), R8 Q. p/ ]# w
    b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);
    7 e; r$ T  d+ F" ]: M2 h/ G! Bb2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)1 p4 c6 {2 F+ u4 E/ g) j' |6 G
    Y2 = b1*x.^b2;
      V: b, l" V8 f5 xhold on;) M" L* q3 _; I" A1 }5 C
    plot(x,Y2,'r','linewidth',2)
    ) }: c1 T% z& Y( l5 k+ q: c# Rlegend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例
    0 U$ k$ z3 x: r% `$ ^运行结果如下:
    0 l$ t- w  K, N0 i# |" G/ d: V" C" W2 P! T
    nonlinfit2 =6 n( x  M9 d2 L. v

    3 `3 X# Y' f& o& YNonlinear regression model:0 W( ]" Z% r' U
    ( w5 F/ A- y' G* j! Y4 k
        y ~ b1*x^b2
    % M0 P" s2 F- d* H4 s- `
    ( \5 i5 K9 Q5 W4 d% xEstimated Coefficients:! U" M6 y) @& _" C. m) e

    3 X) y2 `$ z0 c9 B& {          Estimate       SE        tStat       pValue ; A) R4 L1 A+ S% n: x
    7 D3 l# w! ~  H$ v; M  j
        b1      8.4112     0.19176     43.862    8.3606e-10
    " _; [  y" a# f  o7 b* j) w, c5 i& d/ ~
        b2    -0.41893    0.012382    -33.834    5.1061e-09
    / V! w" y7 _8 b8 R* ?
    ) @  m. Q* S9 n9 sR-Squared: 0.993,  Adjusted R-Squared 0.992
    % y6 j: e, H, c1 N& j# b' r5 V( B# P( o1 d
    F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11
    8 y9 u: W; ]% W/ q3 t) S' `1 J2 p4 o" f2 p3 q! n
    在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
    # }1 H* `& ^" t9 X: N, p8 W6 P
    3 Y% `2 O; M" Y: P7 }6 \0 H2.多元回归- @8 \9 V' M- r$ f. @4 T$ x

    - L* j  h8 ]& d6 W- ], \3 R1.多元线性回归
    1 b7 S( K$ w  d* T
    ) [4 z4 J$ @1 D[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。: q. r) L8 F% c5 c$ Q

    5 ^  M0 F7 \6 B& I
    9 l" R/ k) l9 U& s: Q
    2 r- w# e3 y* ?3 Q  Z$ M7 \3 M7 J该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:% S' ~. [% Z8 P
    - F2 s3 M0 t! r( [/ A  \
    (1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图
    # e5 ^9 u! r( f! M: @0 r4 M& ]: l+ i# P& B' w- X
    作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
    6 Z. w' t. [$ J& i* ]# o4 g2 ^$ C% w* p
    %% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图: y$ c( l6 |6 T7 o* D; `
    % x1,x2,x3,Y的数据
    + Q: y+ A- [) _" Z7 Ax1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];- y2 V1 G9 J, N2 y0 Y
    x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];0 W  Y5 m+ C$ m  O* z0 j
    x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];) s" H$ b% n3 A, Z) ?& H: D
    Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];
    + P+ h; {6 \0 U4 L" x. U% 绘图,三幅图横向并排
    " X: C  }+ }& l0 Msubplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')
    6 c: ~4 g4 ^+ i! B6 h+ M7 O, @( gsubplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')
    & u, _& {. c' a9 M" Nsubplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')0 d, P: m( _3 E) K1 J
    绘制的图形如下:# s. q: p, h- e7 }% Q3 r
    " K, N' L9 a: Z, e( P" H" V
    9 E: g0 M( T2 d$ p/ U5 F4 i* A
    5 P) S  J4 S9 T5 H( b: s; J
    (2)进行多元线性回归
    : w. d1 h+ d" Q. X
    5 O. I; i, y6 P8 p4 S6 w' [: j- r! G这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:
    & n8 _* t+ }8 ~0 x+ O$ \
    ! R: ~% V9 M3 ]0 s0 S: q* p! i%% 进行多元线性回归% n) g) N" [# [8 V  H8 i
    n = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量
    ; y  o# X! A) n4 L2 ZX = [ones(n,1),x1',x2',x3'];3 |4 l/ ^4 D. d5 x' V) b5 G2 i; ?  j
    [b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。! k% ?9 S$ ~2 w% {
    运行结果如下:
    * F, f2 a2 @/ o) u6 x7 w! I& U5 v. |/ `, D  K2 M
    b =% K# D+ Z6 a8 h* v  l/ ?

    & Y8 c6 k6 |' Z% u9 W( h, M   18.0157
    " r6 n$ ~6 B8 Y* k7 C    1.0817
    ' _# B, @" S) u2 O    0.3212
    5 }$ b: G6 J( Z7 ^% J, y' C6 o    1.2835
    ) c1 M' S, c6 g1 O# Q! K5 H$ z7 {0 d3 n# V) D/ H. T

    ) R: J" r' z, e$ V1 lbint =
    ( f  r; s$ R, e  F" V7 }- o+ B: K7 A, @# I. L' Z& i4 W
       13.9052   22.12624 F1 @9 L( o# O, {3 B8 ^' B
        0.3900    1.7733
    7 ?6 B& k: \# z' G: [    0.2440    0.3984
    $ S6 t3 o& i  D8 N! A7 {    0.6691    1.8979
    5 o. d; p: A7 |$ P7 Z0 M! m) s) A* O6 J5 J$ J

    / Q" X' n6 d2 C, u- ]r =( Z; X4 r, p! G9 v0 k# d' R! u

    ! o: A9 n8 H2 Z7 H0 _    0.6781
    ) B! m, L+ P( [: R) P$ }5 D    1.9129
    & a" J6 m: J6 O0 D& ^0 q   -0.1119, ?( E/ z5 y, l1 \
        3.3114: M% U" o. S/ X5 D
       -0.7424
    + ^, w" g! ^( ?& e$ ^    1.2459
    9 }3 W* t* X* r8 s# Q$ Y5 E6 y   -2.1022( K3 @8 r/ n6 L' {  K. u
        1.9650. I. `" d' F2 T' ~
       -0.3193' b* E2 u5 r& ?0 U) c1 |
        1.34669 p3 a: R$ L* u
        0.8691
    ' c; v2 _5 V% |8 P, g3 K0 u   -3.2637
    & o( i6 {5 Z: h: S# W   -0.51154 D  V! e# ^7 E0 }7 @
       -1.1733% |& [2 {. y' ?* W: ~. g
       -1.4910) @% K- R4 X2 l8 O
       -0.2972
    " U( K  I  a  |. z3 f0 G" F    0.1702
    / v5 y9 H# q3 Z& p! b    0.5799& r; }- q4 O5 `
       -3.2856
    5 B3 W5 W9 g. ~6 s+ G3 V8 Q    1.1368
    4 d( ?+ z4 G. s  @7 @& K   -0.88642 i  Q0 j9 U* `; q" O
       -1.4646, q! q( z; m& ?/ u5 C5 [3 s: V& `
        0.8032
    7 s# p0 p8 ~: `& `, T8 K    1.6301, J/ r9 H5 E: S& G% Z1 m: P6 S+ X
    + \: K. @% C; ~9 x
    , E7 {% U- m: V( S' _* x: M* G) M
    rint =" a7 f8 C. ~3 N. |" B
    % [1 m/ T+ V$ n8 t2 j+ M
       -2.7017    4.0580
    + F1 U* z9 H% d* y& ]) L2 J  W   -1.6203    5.4461* U/ z& y7 }2 y8 P% N8 o# T7 m
       -3.6190    3.3951
    3 I8 V+ d& I5 r; m    0.0498    6.5729* v' y: \# }+ L) C
       -4.0560    2.5712
    4 j# U$ ^  ~2 x   -2.1800    4.67179 U# _- _) P! ?
       -5.4947    1.2902
    ! m8 m0 y+ G% e( r+ P   -1.3231    5.2531( Q# M  n. p4 w& ^
       -3.5894    2.9507
    " @/ y' J2 ]6 ~5 d6 z& E6 F   -1.7678    4.4609
    $ O- n: B8 q0 \   -2.7146    4.45297 \6 `( x! |6 i: S9 a
       -6.4090   -0.1183
    # Q; N# ?3 G; {+ g   -3.6088    2.5859
    # f4 x/ y" V2 `6 @& Y  x   -4.7040    2.3575
    - }$ a( a. V+ C* G* `. g4 Z4 \   -4.8249    1.84297 Z0 ~' y, E" N5 @
       -3.7129    3.1185
    . T- o8 t6 Y7 y4 b2 W+ u   -3.0504    3.39072 A4 U. s7 r' P" ~
       -2.8855    4.0453, l! A. x5 h; N: Z7 @
       -6.2644   -0.3067
    $ s: g1 o0 H1 p" n. ~   -2.1893    4.4630
    8 @9 i2 o0 B  o' s+ p   -4.4002    2.6273. i9 c: Q3 ?5 p& r4 E
       -4.8991    1.9699+ Z6 |- z5 ~  o8 M8 u. P. Q
       -2.4872    4.0937) b" x0 p: z* s: B2 }
       -1.8351    5.0954# R' ]4 Q4 \7 D% |

    , ]% ?/ A/ Q5 E5 d3 s( n# F* D& H/ G! g4 R9 H
    s =
    ) r- T8 V! t, `9 p! n1 s+ R" @0 M1 C: R
        0.9106   67.9195    0.0000    3.0719. Z7 N8 }3 P) x% g' L
    看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。
    % ^4 D& z- O" ]! V1 ^% w! J/ D) n$ m1 z1 e; W
    在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:
    5 g+ }" r) U, P3 F6 e/ Y+ K1 T) }4 r
    b =+ P/ ]  H) n5 n1 J" d

    4 U1 M6 |. {7 S( P6 R6 V$ ]# E   18.0157
    2 R5 |% E8 _( s0 h* \    1.0817  Z# z0 j& l; m5 {) l
        0.3212$ P& W2 E8 W9 j1 m( @4 m
        1.2835
    ( N6 \/ n5 K% P# k  t. ~& G0 b% b& A
    3 {4 [  E, J: ]' ?s =, x5 L9 u8 r1 o0 N7 j' ]' g

    * e: h" n+ c! a' w    0.9106   67.9195    0.0000    3.0719( N  D0 i+ k! K& c+ U
    回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:
    . T: B% M( `7 h" \  e+ z: A0 o: N
    9 V$ t- P7 S) H" r2 m* _0 R8 j( U
    ( B' A" f$ ?: H8 }- `3 m
    根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:
    / Z; e2 u! l" f2 j/ g
    ) V5 D) l' Q* `, Y8 Y& m4 z  k
      [. }5 A2 _$ `) t" x% D. a! o3 s4 I" l% B) m
    如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:( Q$ V, e# |! x% Y6 l( q

    / z+ v: h- |$ u! L0 I8 G" {! F( \1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。& k$ V; W0 R: N6 k

    : B, f  g  m7 L- `2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
    6 A: k. \0 Q1 G8 z: Q8 T' ]6 S4 y) G# G$ Z8 v) _9 n
    3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。! D5 h. \2 H5 i1 |* Y$ V

    4 ]) U, @* y5 e! M6 C以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。& Y3 b1 }  A* R0 Z$ O

    3 J1 W5 l* Q  b7 w" ]3. 逐步回归0 {  b- y4 a0 w( C% V7 Q6 T

    / `% O0 @- `4 \  N7 N; Q! z[ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:# ^' B* e  }: n+ P# p

    ; Y) Z# \1 v* p4 @. A) w
    3 y3 \, b* ~& P& ^( L$ Q" i6 b! o* A7 V
    在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
    0 ?, W' w) l7 L6 K8 h! r
    7 y  Q3 S; z- r! f& m, `( H4 |' C1 F  X" P! M. P7 m5 @

    # @# \7 {3 U+ i' r! |对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:; k& S. h' F) Q0 R8 w0 U
    ) ]6 ^; M& |: [
    %% 逐步回归7 A2 W" U4 N, {% S1 S
    X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12];   %自变量数据9 O; B+ i/ e6 a+ Q. |- h
    Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3];  %因变量数据' H, @4 y- B  u- V
    stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中" o2 T! L" G+ l& T) G4 t  X# v3 ]
    程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。6 m( P9 g8 k( C( t1 k7 ~! v& R

    . p; [2 `! [7 O4 E
    $ B) Z/ y4 W( O! X
    , G, m- i5 ^( G+ l. G                                                                                                             图4
    & v' D6 I' y0 y1 ]/ M4 @2 `6 B
    ! R* ?& g! G$ n) Q0 m; i4 z- ~在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:) w9 {- q$ l) K' D9 T
    + N$ q. @% ^/ G+ p" u  I; R  ~# \

    ) s0 ~4 p/ P/ y0 q0 g- }; x6 S4 Z& U/ ~+ R
    4. 逻辑回归) l" S& E: Y' c1 J7 p

      k9 _" F8 J. ?! Z[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。
    ) z; V+ }2 p7 c+ X8 W5 N
    8 `8 Y/ ?0 Z" Q. v# j* e) ~# }7 ?8 K: r7 X5 _: n) o

    & \# w; F8 b8 y8 b对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:3 B# E+ l3 U# b  |% w$ K
    4 m9 A  K% e  V9 U
    程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92) g8 V0 d2 Y, S- J
    . h/ z( \. K" \2 t- z  R! y* z
    % logistic回归
    + z1 [& z* T! f. }5 @1 z! H* x* F* i. i! i
    %% 导入数据
    # Q9 Q6 M6 T4 K) W6 pclc,clear,close all
    4 Z8 B9 A1 k5 r# X/ W4 o- mX0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
    & G( H& \  e) E/ V) ]Y0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D221'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出+ P  _+ u) d# t* ^/ N
    X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入( b* h9 a, e" z" X- Y# {
    / r! G, ]& b+ X6 i. w
    %% 逻辑函数+ r5 {4 U& u* p4 M) R' ]
    GM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');. D8 y, }" H5 e2 c; V& C& q: t3 b
    Y1 = predict(GM,X1);
    1 n( I) J& J$ ]& b! b3 |9 B! ~1 Q* n: X3 l, P- a; A" T
    %% 模型的评估* N' n4 @8 E  H( c5 _' m
    N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]
    8 _; f% b* S% V9 D4 c  T- tN1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]
    : s1 j) C+ J- r, P  Y% K( i1 oplot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果
    $ Q" B, |9 X7 ~5 b% a6 G% plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号
    0 @. R. z; N2 h9 n* A1 ?1 uhold on;
    . s( t$ m( K8 }# p+ Qscatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同7 L# {2 ]; u# T5 ~
    xlabel('企业编号');
    & \; M( p  |+ y7 Cylabel('输出值');
    6 `4 l9 X5 }" I% ^( U得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。9 G& m& z3 A3 \4 u
    1 Y) N0 Z. H% Q9 e+ B4 m  ~5 i

    + v8 m5 \  ?0 F4 C: z* ~- h. Q
    ! ]9 D8 @6 ?1 Q$ v" ^                                                                   图55 g9 j" U! ^2 ~/ C8 S

    % G3 b/ j$ y- |3 [3 Z三、总结与感悟。 2 V& w6 Y6 k7 D* P2 S# B" `

    ( ]4 O- f& x) s2 T. `- q0 c        总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。
    ( h0 N) d5 b* R- i$ W  O  ~5 y; E
            感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。1 V/ V- \, o' @' u( l) ]" e0 U
    7 J! j/ w7 ^: `9 y  h6 d. m

      P& Y! ]5 `+ v" _$ j1 r4 K
    zan
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