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TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
群组 : 2018美赛大象算法课程
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Matlab数学建模学习报告(一) ' N+ L! {# x, z# b: t8 s
一、学习目标。 (1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。
(2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。
(3)掌握Matlab数学建模的回归算法。
( C$ s8 j3 Q3 z2 r1 f5 _ 二、实例演练。. ]8 d. i2 `2 T! x- E6 F/ ]
$ d4 d. W. h; z$ O 1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。
+ \- E ^- t1 y
3 Q3 g9 T0 H, C Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。- \! J0 r) c- A% y
7 M# {' q' G- V; u- M& G U8 X 人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:2 \* @3 D1 i/ i# `: D1 H+ ]
, N! C- q$ `, `+ V' u8 o! G7 W, N
(1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。
& K$ Z6 V, X1 r. T5 A' E
9 }$ G, o g+ |( G- a. t3 w (2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。7 K& w& ?: m' O1 \4 z
$ {; O! P$ i2 G! H (3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。
/ t3 h+ a1 {) \ # k5 u9 N. K0 V8 j% _
正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。% a9 i( G$ a9 p$ \
: S" A- l4 }3 `( y 数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:
- N$ D6 }: ], E: y: a! p& @ * J+ H7 ~( |& S
要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:
5 o- V& N4 H1 J9 U: [/ D 5 m7 B" [3 _; l* f9 ~0 e4 `0 m4 L
1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;
* x( V% L7 \3 W' n& f1 H$ W
1 ~9 O6 s* d, ~9 {& p 2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);
7 W( A% ]+ W' H d% O% \2 s
7 q' u" [1 y! B% j, I G( A 3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;' B# \0 V" T* a9 m& Q
3 d% Z' F/ z$ y( q( B Y
4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。 % ]4 q; x+ a2 ~2 _+ s+ v' P) H
1 c4 |* u, o( v9 v0 g
要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
* V% @& W& ? }* i5 l. Z0 G
% u+ j5 ?& C) `0 N" _$ b3 F 2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)1 Y' r* p1 q* F0 Y$ H
3 z, ~9 I0 u0 w
解题步骤:
& |3 p4 v! y% v; | - N. b! T* ]# w4 h* C$ r
第一阶段:从外部读取数据! r/ j! `+ c$ d( X
: r# u. P* s1 ~+ I. E" d Step1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。
6 z( `5 m; ~1 A' M+ e6 j/ O
) V2 V. L7 m. n+ W9 t
; f! k- Z, d6 t9 V# N5 s2 ~; z
' z3 a. }) B: C. } 图1. 启动导入数据引擎示意图+ v( c) I& j B- a& K! ~
' w4 o' A" _ H- x8 f0 b
Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。( m7 V. j0 q/ Y
- X0 E6 Z$ z, _$ u9 N' s
- s: R% D( r$ l
6 x. V3 w9 k3 ]! u: c 图2. 导入数据界面' v, m2 U4 ]& v& V6 z5 w
' d+ L* T6 c: P* w9 R Step1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。6 w7 k* Y O& m- T' [, [
# [$ [3 [. _1 _- h - |3 }) w( k# e; z. A- v
. h# z5 \8 d6 V$ Q* @% r8 @. [7 ~# w2 w+ N
第二阶段:数据探索和建模; p( H' Z K8 o7 Z$ N
7 u: a! n; l. H5 f6 a# R 现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。
! d; f, u5 T5 k. v5 R ; m+ K/ n* k2 }1 ]6 ^* U" s M
Step2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。
, `- l1 l& T* R4 o2 ] K' q; d( u% h$ G" n' y2 q
由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。" }) o+ t0 Y8 C! i! E# z
6 \! m* Y" G6 [* `$ `; U 对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。. B& b$ x7 I' }" {) Y
* M' l5 F3 z4 W# \& {
( r* k9 G. j* {; d/ B
+ R9 a, y2 }9 R- N3 d( y 图3 MATLAB绘图面板中的图例( R8 W5 ~4 Y$ T* c x8 I, \, C
2 _2 W! o2 W* I5 W1 q
要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。. \+ E, h1 d3 |1 V6 A C* R* T
( [0 A( |" x) I: _
Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:
' {% M( n* e9 w. E& [7 t8 z
2 |( {# r% _. p _/ [0 Q >> plot(DateNum,Pclose)3 H7 Q4 E# _3 r2 A: h+ Q$ z
4 K- ^7 L3 X4 q8 d( E0 D0 Q
$ l* o) F/ H N+ x6 e6 A
. v: e. O! W$ m# `8 M6 L0 m
图4 通过 plot 图标绘制的原图
' r/ s% j/ i4 s6 S8 @
3 [, ?! y* L5 w5 Q 这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:2 r0 k/ j; r Z, p" H3 @
/ B' |: e" t% w" \: q (1)曲线的颜色、线宽、形状;
# J6 x* W, P# O
9 W( g! _" a# S* V3 \ d) W A. @ (2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;
3 H6 I g1 ~3 E5 ~$ A 0 {1 U9 Y% p6 P8 u
(3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。1 C% v" Y ^! n8 L
, _" b# N3 ]7 t4 `5 m0 I
此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
; e. k4 i) n; I: J+ c
# F% m5 f3 s- w: t4 w6 v 接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?; x1 b" v3 g3 M B3 w+ T/ z/ w0 l9 P. r
, O- `2 ~8 [. d! [ Z0 s
对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
5 t& I8 k4 s6 X9 ^+ N; g
8 t' G5 I# i6 r9 w 对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?6 E+ j% p& x3 R* B/ @( n
9 X- N4 a4 g- {1 i9 [$ O1 S" K$ E O
最大回撤率的公式可以这样表达:9 ?/ X8 p; Z# J. s$ ?
! ?7 B% ?( u* o. s2 s$ Y5 l D为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值- N& E) D" w! R& I8 X
: ]+ q4 }0 U0 x2 Q& O6 Y" F drawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。2 T3 D: b2 b/ ?; o7 h" ?0 R
f; M2 f8 c, \1 @6 ~7 i! z! U
斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。4 G) U( @ X1 m V5 G
7 F, V. i. U7 t: C5 B! S% A: t Step2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:& v8 n) E' z5 B3 {% L" m3 u0 K! V
& b& P R" b! h
>> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
, H* }% o0 x/ d. u6 x 0 ]3 z5 N0 b' Q& ]' V O
>> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
7 L* h6 U% f6 p/ h6 y9 k) H ' m4 }* T" R' U2 K9 i f9 |
value =
5 ]7 U* p- b% K# L- L; O
( o3 P2 V5 O" A9 o' J 0.1212
+ f: \* S8 S: v( _ 9 s" i% S6 F3 p8 l8 B4 w
代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。* A5 U8 X' i; z% s0 O0 H5 N2 M
+ X a* V* `7 l% ~3 N, y4 w, J' s Step2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:
/ W; `4 l X- ~- ^: X" I
6 d! Z* p& @4 c7 E d5 u) O >> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
8 y5 j; @' u' D6 T: R
! T! E* S( s' E3 L* g( w# T >> risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险4 B& \5 W$ d/ }- P3 S
' @% ^" W) V& Z2 u risk =
# L2 Q3 m6 S7 D( O& p $ @9 W, g( j9 z- B1 H* J
0.1155
/ o9 c/ O2 o) [# r, m- U
5 k- G; @0 g5 P A- R9 H/ O 代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。7 k) S: P/ c5 f# u: y6 @
, ~; x% X2 H9 d- ] P 到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。& B# ?, M7 v" M2 _8 |; A
2 ]/ C+ R+ k) E) D) f
Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。# o$ `% a( w! {5 u
8 T/ r* _0 q$ m
脚本源代码中有些地方要注意:
4 { ~0 `) a. ?& k G1 K' w % |4 X, j+ H% s$ ~# ^7 W
%%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。
" C$ M8 u4 F& [1 T5 p
; L! ~( r! e" ~& P( m %后的内容是注释。' I" P6 N2 ^; f0 ?7 Y4 D% Z) _- k
" o5 B6 R2 X5 c: |& f
每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。4 V! l4 Z& Q H- b5 t3 R) X
8 w. J4 S2 F: o- E
脚本源代码:
& @6 X' K( D* c* l" g+ K; B 5 s. l. q6 c. j9 ]8 U
%% 预测股票的价值与风险" f- u9 l8 [ O: g( f4 \
2 Z0 k( v3 F1 H& }0 Q8 R- Q %% 导入数据/ e$ y8 Q! z# x# ?% U* |
clc, clear, close all
' u% O. ]: g h- V. g- t4 Q& X3 d % clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响
, F& e$ k3 _. M8 l9 b9 S% L % clear:清除工作空间的所有变量 * n- c+ m6 n0 O: {* D% o& e
% close all:关闭所有的Figure窗口
% k( e. X1 a* q" r* q * Z+ F4 V* q: a# c
% 导入数据' d8 {; G/ F# V
[~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');
6 e0 q& x6 Y3 z1 N& O) t % [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值
# ~, [5 j/ a" F# v/ Y6 d2 i. T % xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围
- ^3 |4 g% Y' O o- Q; K& y : z) V% q- T$ s7 s# m1 s+ G2 U- M
% 创建输出变量
+ U" m* n7 G1 d( ~% x& B* S data = reshape([raw{:}],size(raw));- @+ S, L; D% I6 S
% [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
9 Q; |, n; N2 k: h$ B Z8 s: _5 p8 W: T 1 x8 j( g% Z+ O- w
% 将导入的数组分配列变量名称9 j+ g& f# e5 K/ Z9 Z" l1 X/ W J* Z
Date = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列6 b, c7 ?: N# u6 i$ J9 x
DateNum = data(:, 2);
5 T% h) H" M9 M5 P Popen = data(:, 3);
* X+ h/ |/ N: D' |2 ~& `; z Phigh = data(:, 4);) U/ t: L$ j# q
Plow = data(:, 5);# O' |9 p1 z; M; ?% h/ ~( z7 n
Pclose = data(:, 6);
- M# d1 f5 S2 `" J& C7 N4 \+ t. l Volum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和4 g0 H9 W1 C5 ~) f
Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股3 V" ~9 _4 N' I' b7 o
0 u& v2 u$ v5 {- F! j8 g % 清除临时变量data和raw
/ v: G; N' V. c clearvars data raw;; W+ r: [$ m, ]0 f3 X8 B+ a
/ W% n) k" |5 `) ? j- C2 q2 \ %% 数据探索
: b, \* s: T& i
& a8 ?; D, p* q' ` figure % 创建一个新的图像窗口8 v5 S! ]1 J2 M9 G f& H
plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真
0 T5 n7 t+ P1 I5 P datetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-27
- c b( i8 f6 r8 g9 r" e1 P xlabel('日期') % x轴
7 d0 R# q6 R* X$ h" M! U# G2 R* v ylabel('收盘价') % y轴
2 x9 j6 G9 j. u3 ?2 E/ J figure
; D& y* n' T4 f: u6 Q) }# ] bar(Pclose) % 作为对照图形
7 T7 M+ F0 V& f. t9 I1 ? 0 z: g, Y% M0 B
%% 股票价值的评估+ ?# o+ @9 ^- b, r
! {3 O. r) f& \
p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合. d, Y0 P* _8 H
% polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列
' o; {% O: \* s- Z; x) | P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果( E u% b5 d, T2 } T
figure1 k/ x% p! e+ S' h; }
plot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*
, P' W- W% {9 F$ l7 o value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数& e$ H, v& i; w3 B6 y- C4 f
* \9 B4 d$ n& V8 M N' D: X, r %% 股票风险的评估
2 I3 m" ~: b. m, c3 k2 Y MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤5 B+ N: X; n+ f9 o( T( H
risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险8 H; v, {. l2 I r/ C
3、回归算法演练。9 ~' r/ C0 w2 U! O, G
5 p$ X0 T! s5 J
(1)一元线性回归
& G% I5 q7 g- q5 k/ e
7 v: z: Q) \0 F& P4 V( S [ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
6 w& p& w. w3 G* e ) }+ k+ p" y) f# Z) a- i, x
8 s( P+ {3 Y/ }- C$ v
9 a9 w; S, p! c3 m1 U) K4 ? 该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:
0 {) X( B9 r3 F7 K6 ^$ @ & ?0 d; [, A& `1 p. q L* n; X
(1)输入数据
, s$ S7 n; T( B2 I4 e4 q( s+ b, r 1 w# c$ S2 @( \6 W1 j
%% 输入数据" c# [. m1 n r2 @
clc, clear, close all$ U9 y' F. U4 Z( {: I, y9 g' s
% 职工工资总额
F" X: B( w* Z9 K x = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];
$ {2 s/ `; p( P % 商品零售总额
5 Y* D# |# s6 K; F1 d' I% f y = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];# B$ M* i3 g1 {. @5 V/ @) }
(2)采用最小二乘回归: m2 o. n/ s4 f3 D( p
4 d- `$ K, J9 F. H: i %% 采用最小二乘法回归
$ X& {5 K& D: A U/ q h) r % 作散点图' `) s( k; o3 `2 `' p( Y
figure5 p9 ]/ q& F! ~8 L
plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色) Z8 \' z" T( a
xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)* r5 O& G% Z. o- {8 o2 P
ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)
5 \$ B0 J. s C% m: J1 n set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2
3 T3 c8 u9 F( Z9 u/ |
" z0 \" I7 S4 J* _: y % 采用最小二乘法拟合) i. w# `6 ?. J% G
Lxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同6 [9 F" c V% N5 z* ]$ e
Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));. s! W( X; G$ C0 F
b1 = Lxy/Lxx;. {9 M @5 K: K( z E" |) _
b0 = mean(y) - b1 * mean(x);
- f, z& b! Y. L% p" Q9 j( S# u6 J! b y1 = b1 * x + b0;1 x7 _0 R3 Q- f: ]$ K
8 {! j. p' N( V) B
hold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存
' |9 i- Q3 ~+ D. b6 }4 D plot(x,y1, 'linewidth',2);5 U% w1 Q7 H4 n: z1 a
运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。
7 k6 `5 V& g; d0 n N
0 q2 I+ A" g! |8 T) P
/ [* ]# e1 W( g. K% R% F + z. a% Y) T, x
图5+ d$ e1 Q& u3 A; F, E+ s
" T6 p% R% S; A I& l (3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
& [% {7 q" v3 c: G0 |2 q 3 W3 t3 U3 _5 V' ^' ^' u/ W
%% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
4 z8 H, S) a. g8 u m2 = LinearModel.fit(x, y)
3 P3 [% U5 f1 i' h& x 运行结果如下:
( L- h( k% [, O( c/ k# Q- N 5 [. D) D9 V# x9 M9 T m
m2 =* V6 p7 ?! R( O& Z/ R
; t/ ]3 j( c! c# n% Y! u8 q
Linear regression model:
) L6 p3 p+ E( m2 s: o$ V1 q
2 g. ~* J9 t! Q" Z/ U/ }, U2 A8 Q y ~ 1 + x18 ~$ W) G# Z9 W1 X) G6 h+ n
Estimated Coefficients:+ L# q4 m+ l& g+ D4 C# Z
- }1 ^7 u# f- @2 Y6 n5 `; z& ~, n+ u Estimate SE tStat pValue
" s! x3 r( r3 s# [$ O
" R* z3 l1 ?1 @/ \+ K) E8 p (Intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215 b5 e6 h% v' |5 Q1 u
" I( e+ P* T+ z6 c- Q2 _
x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-09$ R) g. d! r) X: f" `- q
( ^7 V$ R% _4 Y- K
R-squared: 0.987, Adjusted R-Squared 0.985
0 B' j% C6 K& x$ \0 R1 w! |, e ) @+ ~ K' E3 | V7 @& H
F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09. i( w, H5 T% x! J4 r
: l$ `, `8 K$ m7 `, i
如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
4 @/ e/ g2 ]' L+ Y4 S% x8 q 6 Y; {! n. M# w* G! n$ h4 q- }
, `, H: Y2 F+ V4 s7 j$ ~ 1 f8 J% w7 n9 n( U# F
4)采用 regress 函数进行回归
' ?# s4 t6 v+ V+ P# l5 d5 H8 L0 p
: Y5 K3 E9 e6 M% y( ]4 | %% 采用 regress 函数进行回归
3 f8 t2 u5 v' G2 G. e Y = y'7 \# n; X \4 P7 f* z3 n' |) }
X = [ones(size(x,2),1),x']8 `5 X" R x4 ~* L. V( q
[b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
1 r `0 {' K$ X# z5 k6 _ 运行结果如下:5 C U& x/ c4 z2 R
2 T( j* ?9 j, Y. R" |0 M! ` b =. T- K: |: ] a; O1 B5 m, L
* l' X1 t; A( q8 @8 \; _
-23.5493
( y0 m1 d' {" {+ k" R* |* N' ^ 4 p y2 d) t9 n' i L$ z9 L
2.7991
! Q9 [ k2 @7 k' L + [/ x0 D$ B! O' i3 [
我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
7 W z4 d2 u$ j; c
$ F# ~3 f! z9 X, S7 } (2)一元非线性回归) H3 R! T$ B, L) z+ a
% S( c1 m8 Z9 v& Z5 { [ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。- l! O: Z/ h4 R
- @: ?! p% m+ r) N5 R# L
6 i% P6 q, S# y2 s2 X7 R; [1 |
' z" D" N1 ^; D, ` 5 z* k, O" `: k& |! ?. H; {- m/ z5 e1 M
/ K6 @8 T5 m0 R# A 为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:
: g/ o2 D8 l- O5 B% h& I+ y5 `
. H2 T4 H' i$ K. } (1)输入数据/ s& s" e' O& Q% {5 \- M. ]4 G
( B* @ m3 q! L9 e/ H* }
%% 输入数据9 J; W0 h8 x$ }! d8 I6 F
clc, clear all, close all
' J9 J1 ]% B, `# z/ S& c x = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];
) a2 ?, T6 l7 o- t- v: H, q y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
; ~9 ?- g, p- `. O plot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小" }2 v( W2 |9 P9 @1 c: |
set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2
# h8 x$ w Z* Z! q* i0 h8 v6 o xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)% V; r7 o# c- a0 u* u4 A0 ?) Y9 z
ylabel('流通率y/%','fontsize',12)( [( h" H3 i! B1 Q
(2)对数形式非线性回归3 ~% |0 P# \0 _9 A" p1 N
5 j! [( K7 P) @( e
%% 对数形式非线性回归
- b3 B& h& Q) r m1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);
$ [$ E# T% v( J3 i2 U( k" y nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])) s' W+ ]7 J8 o! _! u
b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;
% J5 |9 x2 V8 P, z Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);# Q' a( E0 R. N) S' I
hold on 4 `* I- P6 U7 W7 D+ L- @4 N
plot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)1 o4 B$ D" \( w @; A5 q
运行结果如下:) D R& ^' M% R5 i+ c5 i
- y* _$ I2 V) R. e4 ] nonlinfit1 =7 Z( K& V- f7 X8 ^; R
- Q4 l8 I9 B6 N- R Nonlinear regression model:
: y' z$ `* U4 q' h3 A % P, _- A1 p9 F7 ^8 D; v
y ~ b1 + b2*log(x)
; I: A1 F/ Z2 I4 A( d+ y) e. a
3 H' I T! t9 C* H; a# \# Y2 p6 P( k Estimated Coefficients:% }: O3 k! P# U1 C( _
" v# O5 o' B" R! |0 s+ D5 ?
Estimate SE tStat pValue 6 V3 n! ]" s, V* i8 o: Q# J# y
, f, }% U' J8 I- O& { b1 7.3979 0.26667 27.742 2.0303e-08
5 i! y& |! J; D4 d% g- d F0 J4 n + a* F5 M/ { Z) R3 A! W; c
b2 -1.713 0.10724 -15.974 9.1465e-07
( `2 ^; A2 H3 K7 X
% ?: n- Y4 o! |- Z R-Squared: 0.973, Adjusted R-Squared 0.969: w B- F+ g* e, K$ h2 q
: G6 A/ [- |+ S# o- ^4 X F-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07( d) G) J4 v2 r0 a
* F8 `: `) R3 l
(3)指数形式非线性回归
# Z) k% e$ n* A$ S5 O& x( x7 A1 y
. @7 r, ]2 x+ M %% 指数形式非线性回归6 q3 M @) R* l9 |' L0 W
m2 = 'y ~ b1*x^b2';4 Z3 L# M1 K8 V$ O6 M: H0 e2 q
nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])
! G" C* q' \% t1 \% }$ _$ Z b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);" ]6 m0 W, O+ d% B& h; o
b2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1): R7 G6 x8 y5 a. F6 ]# I
Y2 = b1*x.^b2;
9 N& q( }7 N2 J& b$ ?9 u hold on;. E. \+ u0 T6 j5 @
plot(x,Y2,'r','linewidth',2)4 t9 H% i3 d+ J8 J+ a3 @
legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例9 G- N6 S9 l( m1 v- U7 V
运行结果如下:; e* U' U W6 L% u6 W
% s3 q s k& ]8 g& B4 [ z, T
nonlinfit2 =6 a) |. }7 h. }. \9 R0 X7 a4 o! T
9 H, J, l' M1 H4 |. |" g
Nonlinear regression model:$ ^% T& L: m8 w& w) |( l1 l
6 |$ n' V4 }& N" ]
y ~ b1*x^b2
& j' U. s9 D; M0 |2 i ; q( S7 i1 B. t# K' g
Estimated Coefficients:
+ `& J. f' N& K8 U
) }8 g4 T P2 r- [ Estimate SE tStat pValue
9 Y3 P- R4 m) `5 Y4 L3 u
% v+ e H5 q9 |7 e3 d b1 8.4112 0.19176 43.862 8.3606e-10
$ g8 g7 M) P" j0 `( s* Z 2 N1 K6 h' G& i/ } D3 {$ X
b2 -0.41893 0.012382 -33.834 5.1061e-09
6 M1 y# y' D5 }" D1 q- b+ u - D S: k. R7 G7 [" ~
R-Squared: 0.993, Adjusted R-Squared 0.992' V' ~& m* s1 Z8 R8 {
& [' o# t2 _& K) ~& v* I6 V1 o
F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-118 s; i% ]6 w8 b! A" m, S
. d D6 I. g6 O x 在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。8 @( k8 d% a( o5 E( o$ j4 E. B; x
3 p0 t9 g4 a1 {% W 2.多元回归- q5 C3 C4 h* L# M
( ]3 r+ T& g6 Z. d+ Q0 k/ }# W1 \1 _ 1.多元线性回归
I: L: B0 d4 Y* r" ^
& X" _4 M; m- { [ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。6 h! \+ @! j; W. F; L0 U
# m/ a2 o7 l" T8 @( y' H& S
( }3 h. }0 ?8 E5 g
- @) V5 ~5 R* @7 W$ l1 v 该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:3 ?, l+ z# V' E; g6 Z4 A7 D
& D. ?7 O- C' r7 {, a; O- R, [ (1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图0 M( z# S0 J2 Y8 S/ i
, I, X3 R, k& z6 [0 J8 y
作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
2 D" W0 J3 B/ u. w" _- F . A3 d8 f. R% q1 [% w4 v* H& t
%% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图
+ b4 ^" V6 }4 \* t % x1,x2,x3,Y的数据
9 N7 _6 ?# K( w: D. r+ O2 H( Y x1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];
/ q4 \0 b( h! n" Q6 K' X x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];
( H; P6 l& d0 {" p. Z' d6 W Z6 | x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
$ t: u# a j: P0 B5 d: _; X: ` Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];- D8 S" E: p: j Q3 u! a9 Q
% 绘图,三幅图横向并排3 r$ f- c7 T, t2 w4 U
subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')2 d% ]9 i3 p& ?7 u5 y
subplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')7 a# J( m6 \, T
subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')
, w. X( P# t; I/ l m& c 绘制的图形如下:" l% V) p9 @+ J$ c
) Q9 O0 u: G1 x2 T; f8 u9 X y- Z! q
: I4 z* B9 s* s w6 M& C3 w, h6 [
+ O4 ^4 H/ k4 v- y2 U0 }- D (2)进行多元线性回归# A( x8 H) y9 A# ?% n+ z. d
0 K) k2 a1 A% H7 N- T+ Q
这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:- I1 s; K; x. l9 J# L
' H# F8 ~4 x$ e9 f7 D& N9 {4 G: ] %% 进行多元线性回归
/ ~% I- C- B+ ^- D3 r$ j$ h" K" T n = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量
& M/ ~( y% F$ e: F X = [ones(n,1),x1',x2',x3'];
5 Z9 O4 p8 j2 e [b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。3 H& P: C5 L, ] u
运行结果如下:
3 g+ J9 ? C) E' T 6 Y5 {2 [& e3 n4 ^* J
b =% F5 m' N7 ?% n; d' O8 e6 h
9 Y" t; ~+ p* ?/ O) }
18.0157
4 X# _. m3 V" f1 N 1.0817; ]3 @+ F2 x1 _% z& r
0.3212
! x. H3 t5 W* B8 N7 F5 X- ^; i 1.2835
# d. x* \, R; S' i+ | " m! @( p2 y) ?4 A9 @6 p$ O1 [
( S' c: V, u/ H! o7 X# u
bint =
t+ p$ Z. L2 G, Q5 W
1 p+ D9 D a) l& h5 K 13.9052 22.1262
7 m5 M0 C3 s$ f: l/ G t 0.3900 1.7733( R! B# V' S4 U4 s
0.2440 0.3984
9 |( H8 N* }4 _; q( n P6 d 0.6691 1.8979
* g' O5 r6 l% y( Q1 P* C; P
: t, X9 t( R, a4 k8 M: f, T# { " A+ |# n9 _$ R% ?: J
r =
: E4 q/ a; C# \) w " ]6 p' x# ] a- u' G% y3 e
0.6781
) r% e7 Z4 ]7 Q H1 s* W3 v 1.9129; r, W9 @/ i0 M: G4 _" X+ Y
-0.1119' {: Z9 ]$ u. g; @) o; Q
3.3114 R, y' j) R0 M: `0 C$ M
-0.7424
2 T) b* Z: z# Q+ I% F8 J 1.2459
* i% d% P6 A/ ~( M8 J -2.1022
! N; s6 y1 I: { \8 E9 c- M! {" q2 d 1.9650
+ U, w* e! Y; L6 |8 | -0.3193
+ ^; B8 ^( }/ i6 w+ f 1.3466
# Q$ A. ?: N2 G2 |1 ~ 0.86917 J; B2 D$ u, N2 c2 b
-3.2637! }7 O- I( `) P2 T
-0.5115
6 j/ s; _! \% V$ Z; [ -1.1733
2 d# [! ~9 C4 Q1 w) F6 P t+ T -1.4910
f) Q; r0 h! O5 i8 T3 g -0.2972$ m: e8 C( M4 B0 p- U' [9 @
0.1702
6 J0 W% s$ ^, W2 X' R; d2 c$ ~ 0.5799$ y r7 ]1 L2 n
-3.2856
- O. C/ x" b: k8 S- { 1.1368$ u n" v3 L' P6 x
-0.8864
; h+ ^7 ?! u+ ?/ X8 t; }) l2 \- I -1.4646
9 b# B2 @8 q1 Y! q5 T5 N 0.8032
! I: |. `$ ], d4 }, M0 n0 W7 o 1.6301 O3 w( w/ D1 R3 ?7 W3 Q( B
0 A1 K j" D( ^/ ]
: q) T2 `$ _) Y rint =
/ Y& w2 I& X+ r# d) z3 a ! e2 V1 }# V3 t
-2.7017 4.0580
2 D) P" H% @6 _ h- ]9 v -1.6203 5.4461
4 Z8 a d! V$ e! L8 s/ H -3.6190 3.3951; j. O# L, a/ s5 M) H4 N# r- j3 v7 M
0.0498 6.57292 ~1 N; \$ T* i6 p: M
-4.0560 2.5712; C8 m: Q: Z1 @" |! ~
-2.1800 4.6717
: v2 ^# @9 J& _3 ]5 ] -5.4947 1.2902
/ m. M9 m9 y3 ]9 V" ~. g -1.3231 5.2531
/ ]+ U8 p0 U0 f2 O6 i8 V2 w -3.5894 2.9507
1 n0 A# {* o R8 G& I- e) P -1.7678 4.4609! x# \( _4 u# n9 c# E/ v
-2.7146 4.4529
$ ]* q0 d, x, X q -6.4090 -0.1183! ^+ t4 s+ \5 H1 |6 u
-3.6088 2.5859$ s7 E# S2 }* B
-4.7040 2.3575
: c' [6 h+ K9 `* v& N/ e; R- B. {) y -4.8249 1.8429
" p: H* {9 A( T% O4 ]( @ -3.7129 3.1185
* D( m8 X- `( L6 o/ I; t -3.0504 3.39077 V, w t9 O1 ?2 [/ A. q. \
-2.8855 4.0453
* n; Z; z% r4 p V1 X% ?6 A -6.2644 -0.3067; L1 Z" R% }8 Y& e
-2.1893 4.46303 N5 b6 ^' t0 o( _; A
-4.4002 2.6273. S1 x: q6 I; ?2 z8 j
-4.8991 1.96994 E8 x9 M: N' v2 ], O9 h8 z& b
-2.4872 4.0937
% S; w R. h& f! l -1.8351 5.0954% X5 L+ ]. A+ L7 s* h* C& C
1 b6 j" I( u# b5 ~3 l1 \5 z
$ Q( r, D6 E. O4 ] s =$ i0 Z v2 A$ B: A& E6 O; t
$ E7 p4 K, [( L% b# G
0.9106 67.9195 0.0000 3.0719
; X: D; ^5 x6 R: C' P 看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。6 m4 \- q. g2 H+ ` |5 o3 ]( ?
; J# D& R8 t; [ Z
在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下: n8 I# |4 d# S0 b
" m5 T6 P& g) K9 _9 j8 k. ^ b =" d* |+ T6 _# ~/ b' \3 x, w6 P4 }
! u# |" u) ~$ C" h
18.0157
/ k! m5 x) o) ?5 w, t 1.0817$ q) W2 ] Y [' t1 W; E9 {2 t
0.3212
/ R7 g% @2 t5 q 1.2835
/ }5 f8 L( U9 C4 D0 X- h0 N 0 D# i X, j& ~* g p! F1 s' P
s =
( i5 `1 t- R5 M5 {
3 R- C1 r% d% b' K: L3 ]1 j 0.9106 67.9195 0.0000 3.07195 _3 [4 a2 s, m; H& e1 L
回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:
# C' e4 t/ Y; q6 r7 L! } V% D3 B3 j+ y! F
2 I+ U+ E. ~* Y: K( Q
" v$ c) }2 s7 U/ C/ U
根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:
4 X% Q& e4 ^) V
4 E( w) J6 t# N4 q0 U% {! O
0 j! E! t7 T" E& M u' b- G6 b% M! Z' U
如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:
8 G" e; ~# f8 h$ |- o& P ( S4 Z5 s5 M0 i- b' h
1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。' O( U, w* x/ b( B* K' x
7 m& u9 c9 j3 ~) T
2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
1 ^4 E( y3 a. }+ p8 b$ N + ]7 J9 F- J/ v. \: J7 M$ H
3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。) ~$ t8 r' g$ |1 h
& r! X4 F$ W8 b8 r7 _
以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。7 [& `; ]. o1 V+ x3 f+ @
" X( @) C9 [4 G7 A 3. 逐步回归4 }; F5 S4 q) u0 U7 w$ T
/ T9 e* g/ B- L4 n( L. Z+ c$ Q9 `3 s
[ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:
* B2 S: P% `6 m
: E2 j7 }6 [ j5 e, C* c% U
! P% g" T7 B# y: U1 r 3 Y7 ~6 E8 \8 R% y( r
在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
! u9 F& X3 a: B3 k / q, x; V6 r! A
( X' i9 w" o) |% d& `
# ^" C! e/ ^1 p0 Q% i c 对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:! b1 u; A. e: ^9 d% y2 ], q
2 J- [$ f* [# h* M: N* f$ p %% 逐步回归: z) Z$ d1 `- D1 G8 G
X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12]; %自变量数据
) f' ^3 }7 J6 ^4 s* ^( [1 G7 t Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3]; %因变量数据
e, L2 \ I, Z+ f& b stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中7 C0 `; T5 b8 A+ h! y
程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。
) d _, [* S# @# @" a. u; ?3 h0 G
. B" \( M, F& b& f
3 x& ]6 D, R! _+ n
0 @, M# W$ H& `5 [( b2 I4 G7 @ 图4
% P, ?, d% p( _' a( V
+ `2 l3 f( y" V* ~ 在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:
2 w! o% i& v" x" B+ D; I8 S
! J$ T: J7 {3 R- z# {
; i' C4 ^; N% m# J% f }
0 g; T0 j+ D6 ^ 4. 逻辑回归
$ L+ d# u- G8 O1 b $ o2 m! r/ L. e0 U
[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。
; }5 X q y2 U6 m6 J$ J3 w $ Z3 Q5 C4 Y6 p& v/ W* l
y9 T$ b3 N! _7 r
8 R; R! a) K) i! M; K 对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:
! X. g3 ?4 S) M& ~. j5 V9 Y, g$ y , M, L4 r v" _+ \) M% R. c
程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92
: d( Q1 G4 \ ^, B ; ~; l5 Y4 A: I0 ^$ K/ D1 _
% logistic回归
. O( m3 q1 Z* t+ T
% B. P8 ]0 Z; U2 g2 [ %% 导入数据
5 ?* h3 H& t& J2 W: n2 E clc,clear,close all b# X4 G8 r8 c
X0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
0 c# E6 u9 c X0 e Y0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D2 21'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出
5 q7 V0 L6 ^4 G# o, x, u1 V( g X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入) B" ^7 h8 G( U. D
) u3 ^% w; E% |- |5 ?; i %% 逻辑函数
- u* d$ t- v% c& E) G8 r GM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');
( a2 Z' V9 M2 W$ y, }% q Y1 = predict(GM,X1); X: F+ N! \4 H, L
# m0 w- w% x4 F: { %% 模型的评估
! u5 d8 k! U5 s3 x0 G. c# `0 q N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]
% ~ J9 d, \) I N1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]( C I/ U5 g( z' f
plot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果1 Z. S$ i& c' v s+ [; j' e
% plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号* ~5 S( B" d; D$ c, x
hold on;( ?- @1 X: k6 @% A5 U8 ]% }) u5 }
scatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同
) j2 ~) I) b* s; r xlabel('企业编号');
2 b( v; p# @/ v7 j ylabel('输出值');0 M/ F0 y, j) B( S5 A) |
得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
2 ?+ \: k, S$ n# ~0 q9 z+ h
" D* i, p' H: E6 |2 K6 N
6 z/ ^) G. P4 G ! c& x, O3 a# }
图5
5 j. e# F p0 s, t & f) u2 e# E) v; _* `
三、总结与感悟。
$ d) @- g: U O' S6 y 3 p, z/ V1 w# X7 X- ]3 T# y% u4 h
总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。
5 |: `5 v3 R4 O# _8 D3 X * G, R) R5 S& a
感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。7 y. x) h: F' r
/ N8 ^" S4 I% J% C/ W" ]
' e7 O2 {( c$ y9 i' m6 |5 ~
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