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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
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签到天数: 17 天 [LV.4]偶尔看看III 网络挑战赛参赛者 网络挑战赛参赛者 - 自我介绍
- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
 群组: 2018美赛大象算法课程 群组: 2018美赛护航培训课程 群组: 2019年 数学中国站长建 群组: 2019年数据分析师课程 群组: 2018年大象老师国赛优 |
Matlab数学建模学习报告(一)
# S! y2 q8 v. J2 q# w4 ^一、学习目标。(1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。 (2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。 (3)掌握Matlab数学建模的回归算法。 * r+ \. S: g( A) x+ e9 U& t+ L( C1 A N6 ^
二、实例演练。
9 Z7 l, z" z! O1 w4 U. u9 f4 n
' ]% Q' z, s5 ] 1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。
. s/ Y; j; `1 k- L1 m4 w: k' r' c: o9 C: X, h
Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。
6 E: `; H9 |. r; E3 y6 c8 V. K$ M7 l) d1 m$ J
人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:
* h% d4 u% }9 O+ H" t* B. Z' t& v5 C) @5 @, ]* Q) i
(1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。
' e, ^1 b1 [% Q% B7 ~
- @% _7 f$ V( B7 a( O! j6 @(2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。
8 h8 T5 C7 j0 g( f5 |1 R0 R
; R# t/ H" z' c& S, l( O; f7 Z(3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。" h) ^: @2 _+ Z' M' W( v. v" T
8 W" m/ |& K9 B
正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。
$ G4 I" _; H2 l3 L, \% V
?5 M6 u" p& \7 E 数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:
+ q' R6 k1 a$ n3 o4 F8 r6 b8 V8 R0 b; y( G! p
要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:
6 X" P; F8 a: m7 s
" I* w1 T* F% A1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;
+ ?2 E: u- O4 A& `
7 k; p& z3 i9 c) c9 ~! [2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);
% p/ i! Z% x4 V( R. C7 j7 y" i& l& f, Q9 ^
3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;( @6 x* _+ }" w) S2 r; a( Y
& ]4 U K/ E' C: y
4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。
2 h4 x) _" R* r: X
2 j2 I c' h; ]1 {1 O4 ^4 ~, D要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
- C- s) z- y3 z; A
0 x+ P- h, A4 a a: _4 r9 x 2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)
6 H. I" s6 y& y9 E7 L o7 a0 \6 Q8 X8 _/ @% w
解题步骤:" @5 N* ~* g" H$ H: N
3 y4 B5 K7 g3 e( E" k; ?第一阶段:从外部读取数据) q4 X9 O9 O+ t8 ]
0 U5 X. E; I! y1 x, W9 N- b+ Y1 t+ S
Step1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。3 _/ `; j6 L/ d% z, g
' N0 D% { O+ a* l7 j, w' r' M
, T2 T1 p' o; a7 H; y O# D- A* e' k! B9 D. E: m
图1. 启动导入数据引擎示意图5 U& O2 N- v: ]
5 t# t( m$ N- c; Y5 ~( {) `1 X' m0 Z
Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。& k% T. Q$ F! i+ `1 Z; P2 W: Y9 R
, J' A- q7 u- B! ]: `0 N
3 z. k% {$ g6 E$ ~7 Z' i
. n0 g* j; ^& j* d( x9 J
图2. 导入数据界面
# R* b6 {# K% F4 {; y$ x( J7 _9 j, K6 T+ c9 S5 ?3 e+ i
Step1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。
f' ] }$ K+ |; ]( A. w4 ~4 T
( m" O" |% O2 n2 ~3 s3 n5 X( M
5 h. P+ ~- t# t, S6 H$ u
# q" D) M0 \+ v; e+ P+ ]2 F第二阶段:数据探索和建模4 v( g$ m* |: P( \/ O* X
7 V/ c# ~9 ~6 M+ K/ U" Z$ T$ E5 ^3 h
现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。, ~! c/ _) z5 g1 c
/ B i+ ?: g, [
Step2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。
# T% L w* _; G( l" ^' s; S( o
0 P# [' n7 B2 X8 s# Z! I由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。
% Y0 i" o8 p" `5 t, H
" v; s3 ]$ V5 O: y* } u对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。
4 x' \. }( C) m$ \! @3 y5 @, A8 z8 G6 R3 e9 d& T# @4 m
3 {6 O9 K% Q1 B5 l
: J& O* T* h; i5 z: M$ b 图3 MATLAB绘图面板中的图例% k3 o9 e3 W1 }( d
+ T' |9 V8 F) S; B# Z% G2 e要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。5 X _4 w( Q8 T& c, Y
0 m: C' ?4 K# h) u/ q; g% G$ s( b
Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:
2 r, V/ C9 i( h9 u' Y) A- F+ Y! q; K0 Z5 a' A) U0 z. u. \! V% _
>> plot(DateNum,Pclose)
0 F$ z; G3 @0 T: ^) N! Z3 l& _& V) C3 E
- [! C8 x' w3 T; z. _- x0 n7 m
% [. U+ ^* X, |: t9 k7 O
图4 通过 plot 图标绘制的原图
4 v6 M* U# q7 V1 Z# i) W9 {1 I$ P4 K. G. b$ l: p
这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:. A$ C7 W+ v& n6 T- N
- C0 `' g& ?8 @8 q7 c(1)曲线的颜色、线宽、形状;7 R0 w2 i4 _5 d. w
2 p: d" J4 Y8 \# U% S
(2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;
7 u2 {: _1 O& s4 G' v; D5 T7 X/ s. x
+ W0 N9 e& @" M' J' G(3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。
2 {4 S1 I6 @% q3 h- K' @$ ~
; l% i% O) B5 G$ o6 y此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
" O6 Q' }, x0 W% B' f% ~- [: q1 S% c
接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?
% M7 b/ M/ X6 ]% |
- A) s* B1 H3 I' \5 E, { 对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
) P/ J. }6 M! Q6 u: p5 N6 w0 Z! K7 m! M# M
对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?. o5 U- _* M- R) D8 a
# B" b' G( u$ n4 Z3 e 最大回撤率的公式可以这样表达:' ~ N0 ~4 n2 ]2 n% R' A* t
2 y( a* E }8 T1 v$ G+ U% B: G) q
D为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值8 G5 ?3 t5 }1 `% }; V
7 N- `* f: d( b5 F9 mdrawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。, o6 j/ z1 e8 q( L% R
' o, i% g1 I1 [2 m+ r' m
斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。: m4 A9 i+ H V. T5 `4 E
7 m$ K7 E% B+ W+ j
Step2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:' x9 j7 A; I- ?# Q8 c; X$ c& U" P
& N5 v. j2 _% a- i>> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
' z+ m5 C! p" z5 y
5 C0 R5 ]4 @% \; r% a>> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
: i, Y6 J- b0 m) n$ Q# \8 m9 `1 _! f, z$ t& M( T
value =
& s5 w5 ]$ h! B$ W- H' U" T) s5 V) _+ T
0.1212
3 D) E- ?2 Q9 a) T0 G" g
8 J- @8 W: q+ v+ U7 ?9 P' l1 T; P代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。( _& ^5 {1 a& b2 [: S( R' T
1 J9 C5 f7 |( x% Y4 i3 X4 l4 IStep2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:# Q2 Q% |( [8 B( E# n8 d
. }' J$ L; q. u! P) x9 o2 |
>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤% r h4 X3 n9 G. h7 b
. C" r0 P5 b; k9 h# o>> risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险
1 L6 N$ C% L2 A4 W# a. i% {
$ a* e9 R$ u8 C* F% c0 G% Irisk =% N5 t, d; H: Y1 [5 b! n
3 i3 {3 L2 a9 A" i# V) z
0.1155% c9 m* M. ~. c$ d* h$ q8 T
4 W3 s9 B }- G, P8 q代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。) G, f, J% H$ R- [
7 ~; [4 ^$ V9 P到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。: f! q- P: F g7 n* T
J$ o; y0 e! M+ \2 p
Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。. Q9 ?7 J! W- r5 m. G/ g
! Z; \( t l3 ~6 m5 Z/ {脚本源代码中有些地方要注意:
) x1 |( A2 k6 U% \7 r: U8 q& J. ]4 n' X! g8 v; y3 {/ L+ |
%%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。* p& f2 k/ L8 a. `' A- g4 e# B
% ? {- n* i6 E, b
%后的内容是注释。- o3 z* R7 \ h2 P' `
$ n* K4 C6 C, x
每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。, L, c& M3 S8 C8 r8 n" F$ N* @ O8 c
4 P- T" `% b/ }( ]2 ]2 [6 H! B脚本源代码:
! U' ^4 D% S. M3 o) I2 R; p% Q/ [6 U; r8 J7 x! f( L: s7 y3 }: z
%% 预测股票的价值与风险4 w& t. h+ B9 c0 l/ r* A1 o
# A B7 {. V( S8 d%% 导入数据1 R& v4 ~7 C( b" ?: \- ? }
clc, clear, close all& p) r% l5 J2 D& R3 q% ?( j" M
% clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响 % z3 u4 k8 x2 z, {
% clear:清除工作空间的所有变量
0 C% T# K. r$ z9 w- S% close all:关闭所有的Figure窗口
7 [8 S" ^0 P" N$ x7 b8 e$ N8 Y) l
% 导入数据! Q5 T( _" d% y, h
[~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');! j& }& X7 u# a- g" B
% [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值! S0 g$ `7 R9 H8 f6 U* V
% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围+ I+ x3 D7 s% c4 A2 D& P; W& Q% @
" j$ ~2 Q: Z# a( U6 V/ h6 j% 创建输出变量
) @2 R: O4 L! ~4 `3 Gdata = reshape([raw{:}],size(raw));
! h4 p6 r% L0 W5 k% [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
" M: V3 W; r* N" \4 Q- X2 K1 I
6 T; L6 C# I9 Z% 将导入的数组分配列变量名称
" _, I7 b4 q" {: A1 w4 QDate = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列$ U1 @* z, l' c. P+ y4 L
DateNum = data(:, 2);: b' r5 s! x! ^5 e
Popen = data(:, 3);% G" J! Q) l, U( d5 t" [# U
Phigh = data(:, 4);0 F4 R, w! N2 a2 k7 Y8 d% d; h
Plow = data(:, 5);! Q3 O* a( d" V, r- T& j
Pclose = data(:, 6); ! n5 u. _0 q4 e5 p+ G. @
Volum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和' G- H0 [" F; j" R# R
Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股
?7 ?) K- r0 H \6 y3 ?
N: f3 j7 {0 V7 [% 清除临时变量data和raw
4 L7 z! H8 F; _+ U5 tclearvars data raw;; Z+ D7 M6 K, @4 j3 O
* e8 z5 A: B, f4 `8 x& n" ?: o8 ^
%% 数据探索
! [$ y+ f* a" O9 }8 k9 K! x' D: I5 j2 ~: [( h; \/ j3 L; c/ l
figure % 创建一个新的图像窗口" F8 e, U5 }9 N/ x$ Z
plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真
\0 k) q3 C8 f! y8 a3 W6 Idatetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-270 R6 G3 n. h8 \+ y0 E, P6 Y4 M7 a
xlabel('日期') % x轴
! W, o2 u5 f& G& U% e( Xylabel('收盘价') % y轴
! t2 Y- ~/ T+ V6 T B" Lfigure7 s+ A5 ?( [& l5 M* I
bar(Pclose) % 作为对照图形
9 K8 I1 \3 v- \. K: `9 U8 J5 r/ J5 H9 O; L H3 ?8 J5 K- J
%% 股票价值的评估
* {/ p6 p" k/ K- G' m& i( c- Q( t$ K
p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合
$ w4 f& k- V* a. j8 z. F% polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列
+ A; }( ]& e6 n- y' YP1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果# j2 e ` k- N% f
figure
w/ e' ]6 v% K N; x/ V, ^plot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*4 J( P2 q% A. E& ~
value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数+ g5 B/ b% N0 s& S. Q, S9 M1 w) S
, F% U0 Z& X/ }5 F9 H
%% 股票风险的评估9 R$ T9 {5 u% v2 w: B1 H: K
MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
, R. v+ ~: k( v' N+ Prisk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险
0 L8 G$ K' H& ~& R1 }4 u 3、回归算法演练。+ }" C c z c/ [# x4 U8 P$ ?
* s% V0 n$ x* R" v9 ?0 t" k
(1)一元线性回归
, b/ m- W9 {+ h3 l
2 k( U0 h+ J' }9 T2 r[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。: K( i& J- N& i
7 R" |& g+ Q8 h. Q4 L. O" n( s
7 m8 ?! n; J7 n5 ?5 C7 B, \0 o& @4 M& |. X
该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:2 F4 a8 h1 w% ]: I! J* O* U' ?# H
$ o0 D w9 ~( I. S% K# \(1)输入数据
+ D/ c5 z) Q9 u
( F/ |$ e8 W7 h) q( P7 q6 E%% 输入数据 P/ x: w7 h& u" l
clc, clear, close all' n& Q) |: u' G/ Q# C* F
% 职工工资总额
# Z2 U7 H3 A/ a" P3 s% ]x = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];
8 v1 h! E5 q2 E+ s# g% 商品零售总额 r! w$ t8 s/ ?' \; _/ l
y = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];
/ ]1 T D; q- w6 v% w7 x3 a) D2 ? }(2)采用最小二乘回归& w; B0 B) T6 U3 ]7 ^5 j
# B8 S9 H( t- z( [# \%% 采用最小二乘法回归
" p O- h; |) k: a. I8 M% 作散点图1 g4 A4 ], a+ Z- g* u6 C
figure
2 n7 L. B; H0 \9 b7 oplot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色
5 p( e3 Z X( J: }( a# ]* |xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)4 [# o' K6 a: r7 V
ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)) B$ p6 B; H9 c. Z
set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2
- [$ s5 {4 f$ M- ~4 W( f z8 h
8 b7 P) ~% \3 o4 Y% 采用最小二乘法拟合; @4 U. u, j" Z& @+ d
Lxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同# ~) J6 H/ Y2 T8 e5 }
Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));& P% B. C" i8 y& u5 ]" }+ L( d
b1 = Lxy/Lxx;) n. Y8 B$ v' s" B A! {; w
b0 = mean(y) - b1 * mean(x);: K) X. `% ` w. C# j
y1 = b1 * x + b0;7 ?$ K2 U/ Y, Z+ o
4 F* ?& Q: J& ~3 z3 }( l( o* thold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存& } d9 c- h: ?+ ^' ?6 ?
plot(x,y1, 'linewidth',2);
9 G/ h. W$ U1 s0 l% J运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。$ x, }4 W1 ?7 C: }: {* E- {
( ~+ U' }% p. h4 l) z! J- [. Q' [9 _4 B/ d' x/ w+ Y& [' n) P. R
* j& j9 H8 q5 D3 n. z9 c
图5
- U! g0 }8 D* E, V; e( y5 ?1 k. N J* O- r- ~
(3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归/ V7 G! l; g4 s+ l
* {. e7 E( X4 c% h: A5 u# {+ _4 u: k%% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
F) l8 V8 X; w, \/ z- fm2 = LinearModel.fit(x, y)
$ @! g6 ?# u0 |, \+ S运行结果如下:0 H1 S! A6 _% m( P+ z
+ y3 _ s7 Z Y! gm2 = _' k& b) a* t0 s6 y/ I- n
, H/ L, f# A+ K9 VLinear regression model:
4 _9 d9 X3 \5 A1 s8 B7 q
: w$ v6 W C& ?5 w y ~ 1 + x1
# ?' j- r1 j0 [Estimated Coefficients:
! U5 H7 V- D' e$ W' c- T- e0 y2 i- v% g( s
Estimate SE tStat pValue # a! c$ w" @& [% a
! q$ T& d3 v% |) B, b
(Intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215
+ D* y8 D1 W5 j3 O: _- h; |0 h
' c% I6 k7 b7 D% D x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-094 T4 V4 d. Z* L4 p9 [1 O: \% `
, B H0 c* ^. N' @0 F4 U1 D2 o8 T
R-squared: 0.987, Adjusted R-Squared 0.9855 O' ~( c6 K& U* y- R
- L# V) x- O$ k- M7 y3 y% C: B
F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09
5 ~3 M9 z- N3 R$ j4 M/ R7 \+ l- j0 a' i( j! M/ L- Q
如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。* @; m( v- F& S2 S/ q
( _) E# W# |) ?% U5 p, R
3 m8 A" e9 Q. ^) }2 F+ d8 U! E, B' f$ P. r
4)采用 regress 函数进行回归
) k2 j* X2 d4 R8 @8 H- D; M6 t( {* C- d( _+ ?
%% 采用 regress 函数进行回归) @: T- z' D" U* {' j- `
Y = y'
8 O6 x% P" w! c1 S; P+ _X = [ones(size(x,2),1),x']1 _: y6 S: D" U3 w
[b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
! M. y) z* Q2 \% W* p运行结果如下:
0 c' A- p. v% N9 L4 s: R
( C w F% F' Qb =* [# [; M/ n+ S! H
6 E( Z4 f8 R) S1 k7 V -23.5493
& O9 p' f1 M% D/ D1 k2 @# s% W" F3 c
2.7991
4 E q. r1 X- d0 I: P( D9 o. O
3 u9 B2 b e7 _; y& I我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。* x2 p( t/ |3 W* j ?% \: C5 G9 y
) Z2 X* T9 V- |
(2)一元非线性回归: ?8 E, H5 S5 o8 M7 q' C
$ F! H3 ^& O9 V5 B[ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。
! f2 ~& W4 e/ Z' N: X# [# A. V2 V2 }# _! V1 d2 ^
m9 H# s) u* N7 o+ [) _% S0 @ W" `7 k" u9 ]
& f/ h* {: B3 a0 r
+ |7 D8 }, w' r
为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:
! n, p0 C# {, b) [& O, ^8 m6 {: n' F6 j* o1 X
(1)输入数据" x/ M# J. R1 H' |# Z
" N2 n6 ? r8 N2 d9 l4 H6 g. ^7 R, ~%% 输入数据
3 a* u, }9 j- P; o2 c1 kclc, clear all, close all# w. Q3 p5 N* s. d: J4 \8 y
x = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];! c/ k* S6 x' ^3 t. D
y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];+ ?+ S! f3 R5 O) b
plot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小0 p9 Y4 X. r- u" n) p' E% ?4 I$ S
set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2
$ b' T7 l9 n' ~2 g/ J% r) H; A5 Bxlabel('销售额x/万元','fontsize',12)
0 W: A/ @6 C, n, r) Uylabel('流通率y/%','fontsize',12)9 d+ f8 g4 n0 V$ f, i4 h; x
(2)对数形式非线性回归
, [. w9 b; Y, u' C/ ?4 }5 Z! |# {* m* a( p2 \% N: @8 U* @& L1 d1 V" N9 p! ^
%% 对数形式非线性回归2 x' K0 T. t; o$ T" B
m1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);
) x5 k3 ?* a. Q1 Z: v$ K$ z, Mnonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])4 U T1 A( K% V8 x
b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;& J v6 T6 T3 k' }
Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);
+ j9 E6 h) K9 P. g# v1 qhold on ( p% d- x. C) a8 E: P
plot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)
3 r+ H5 A5 C8 M/ |运行结果如下:
! K1 W# [4 b: u' K# K) N
6 t" y* @; \& T3 g( znonlinfit1 =
* O' O$ d' q% f6 j# E0 T8 ~
; M5 {; w% m# H& S! tNonlinear regression model:) L( p! s* E/ q' b# d8 ?. E
6 h; h/ C# f/ j5 p2 ^2 T' i$ G @
y ~ b1 + b2*log(x)7 m; }; r9 S1 @8 N
( s6 u% y! t/ _
Estimated Coefficients:& v; l: l) y4 D6 l, H! Y7 m
6 j, ~8 `4 E/ Q" ^2 |9 | Estimate SE tStat pValue
+ a1 _& Q& R4 s" w a, _+ h
9 q- x$ ]1 @( v& _; W- |) q ~ b1 7.3979 0.26667 27.742 2.0303e-08
% O- J1 L# [: m1 o) y6 O; W2 w: L. V( ]
b2 -1.713 0.10724 -15.974 9.1465e-07/ ^' d. z1 S" f2 @! T6 [, M: `/ x* _
$ P3 A) k& M/ T; Q# t' ]
R-Squared: 0.973, Adjusted R-Squared 0.969. i: \; D2 ?, R0 g
$ P' E+ w( o a! {- t' R1 T; {
F-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07; h9 p! ?, _( ` s" q0 E
0 l8 ^( }7 X- R+ w# a) ]& {' X4 w(3)指数形式非线性回归
$ F8 T- {) ~! J1 d) j1 C; x
7 j, ^! ^: K n3 N. }6 v( `* u%% 指数形式非线性回归
) X5 G3 G7 F. Z9 Hm2 = 'y ~ b1*x^b2';2 C( j( o, B9 z0 n# l5 E# b
nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])( ^- a# b* G4 g9 w& i+ A' k9 l n5 {
b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);, J+ l6 s# ]8 p! C2 d7 Y
b2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)/ _8 L7 D* W& U+ T. j+ \. J
Y2 = b1*x.^b2;. H7 D# g; \7 k, m4 F) ?
hold on;0 T6 X+ H) R* q6 N6 B# M
plot(x,Y2,'r','linewidth',2)
0 N6 ~) A/ y G; ~3 H9 @6 Hlegend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例
( B$ P# K' ^8 H运行结果如下:0 E' O. c* v( A
& K$ C( _% U/ I) A3 A6 F
nonlinfit2 =# i( u' _$ Q! ^8 a- ]
7 C/ B* N2 ^. _$ q/ }
Nonlinear regression model:* P. Q" }3 C5 F% t) X
Q7 [: B- M; y0 X+ G0 t y ~ b1*x^b2
% g2 S6 Y$ L) e! N0 F
9 k8 ^1 a( W" g1 F* d5 o. @Estimated Coefficients:
2 O5 G) @4 V7 \; `) f% w: U/ M
4 {" C5 U2 G- g: D. p- a( h Estimate SE tStat pValue $ d, ?/ |; t. _: B) J
* J: c2 W4 o% M' M0 m' M b1 8.4112 0.19176 43.862 8.3606e-10# n9 `$ i: m8 D4 b' A- B
4 s( {7 O. e, h- O0 l
b2 -0.41893 0.012382 -33.834 5.1061e-09* o& {- y- W' q8 [; d" x
+ y* y' z- ~1 n
R-Squared: 0.993, Adjusted R-Squared 0.992
0 N; X3 K$ }- A5 w+ ?4 j* E
$ l) F6 t: L! [* c. f4 A) ^F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11$ M/ `$ m6 Z* {2 A. T' Y! G; K- K
, I% w" i8 o8 d0 D) d4 p7 u! y& V8 j
在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
6 j. ^' b! b' K, I' U5 R) V; ~
7 p% i3 X4 i* d' `' z2.多元回归; N- C" l3 u E' e; X
$ O# v2 f c; U3 ]" X& Y5 J8 R1.多元线性回归
" G; X. ~& P& e1 V! O v, L1 B$ A! i: a4 o m+ x$ O
[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。1 q4 b3 V& {9 R' s
. r' @! o, b* m u. O, l
. ` j+ }# P- ?9 r8 I7 d4 k& G+ w1 j8 C. \5 ^+ b
该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:1 L% }5 a* b$ B3 `* @3 P8 C, Q% Y
V$ x) g% t% g$ y3 i! c(1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图( A0 R' F* f' |+ P9 C$ Q* I4 v& V
7 u, e; B& z3 H6 u1 E作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
+ c- d8 ~! f) c0 s. B: A2 M9 Z i( d: C% {+ E0 O1 g( \5 ^% V/ U2 Y+ M
%% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图
% G- t! J- `; J* s" u9 ~5 d% x1,x2,x3,Y的数据
9 g! j4 T X- ^! U0 J: Sx1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];3 e0 n) z1 @! w$ c# C7 I1 _
x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];6 L* Z- a0 J' m
x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
" E2 e' v, D. w7 g$ d) H$ j5 m5 U2 l( v1 AY=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];. ^7 S |) a6 d9 I
% 绘图,三幅图横向并排
$ r* W2 T) P9 C$ Nsubplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')
}' n3 r3 ~& d2 R! E% N8 Vsubplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')# J8 ~7 @- i7 L: ]& x! [! W
subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')6 P4 u1 F' |, ^: b& @+ {
绘制的图形如下:
1 n- ~1 y1 u$ l, }+ J0 T* V
" P* U2 a# q& C( k4 E: J) U( d: K1 H* X+ Z! W, j6 t
" K' Q8 T, g3 p. \! F! Z
(2)进行多元线性回归0 Y# U& Z- U: M7 I2 B2 X
- E. d$ m/ Z. Z* X2 j: d% d3 Z
这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:
7 u6 M$ |) R/ C! `" V0 t t
, I5 f1 ^6 r: b, m; U% B. O%% 进行多元线性回归
" e0 T0 k- [4 w4 a( E0 ^n = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量
0 o$ b$ {) s# R8 n5 W H' qX = [ones(n,1),x1',x2',x3'];
5 K2 ?$ M' X& X+ R6 ?7 v[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。2 G6 a: v- a. B4 ]- s
运行结果如下:: a$ e& o Y8 s4 }3 L2 ?% P
7 P# L' `8 w- j6 q9 p% ib =9 F( e" y3 ~! l& g$ D) J6 X$ x
8 l2 n y0 M8 T; S6 f! g& W7 X
18.0157" r3 R2 y( r$ I( Z
1.0817
( q. R3 i6 B0 ^$ J s2 { 0.3212- U* L' v9 R( W9 a) u+ F9 F. g% `
1.2835 s: O7 Z; O2 \4 f/ U' U
5 I2 D& r( U! Y
& ?& ^5 }! B4 U- @+ |$ kbint =) U% H, F+ o9 D1 x8 I: j' [
- d. I! C* C. p, \+ k1 m
13.9052 22.1262
/ I8 z2 f1 J: f X% W 0.3900 1.7733
0 f: `& C# C! I, t: I/ U8 H3 v 0.2440 0.39845 r% O, S2 K% _" G
0.6691 1.8979
7 m: d- g7 I- f" n0 j
1 c2 l: [# F0 J2 b, r4 l* `* h. \5 y0 D' F1 Y9 }5 q3 n
r =7 q6 U; b8 z& m
4 I6 m$ q& Y! h8 `$ q
0.6781
- C& O5 `4 }1 Q, o0 M3 O 1.9129
, [2 H; A2 _ P4 n% f0 y# p -0.1119( {0 p/ h: k' O0 s, s [2 R# S7 @
3.3114
6 p; X' }, h7 c+ @: E: f -0.74242 T- }' y: T. u3 ]4 D$ w. G1 J
1.2459
" z6 z% R; {! P8 d5 M4 x/ E- {6 X -2.1022
/ `1 q4 }4 k" y- R' y# i 1.9650
" z8 z. w! Z$ L0 a2 H: P. b -0.3193
/ ~: X8 K Q0 Y2 O2 W$ Y 1.3466
1 V, F, m: A# w1 a. H% B: S 0.86911 ^, u1 c3 F7 k7 r. v
-3.2637( R$ {5 y! a) g5 j
-0.5115% o& S8 D( m) ~; l
-1.1733
" I1 j/ O" l5 z& O* X -1.4910
9 u5 j1 z" t* x -0.2972
C f i- p( C! @ u( @ 0.1702
- S0 g, T6 z d8 h9 q M 0.5799
( ~" ~- g3 k" b% J) K0 [5 z -3.2856/ [2 \4 [6 V( n
1.1368 L3 Q3 T9 D7 X$ j E
-0.88648 y1 L; r7 F# q/ y; v
-1.4646/ i3 R& c0 g7 `. J7 [
0.80328 m: F* x; m9 V7 c
1.63017 a3 Z" @. K+ K+ H' E
6 C; ?9 |' |: R* n
3 B, J5 O8 ^3 T5 n0 l Krint =; f# b# n% \8 J- C# U
2 _% i4 E. Y; }+ b2 g7 o6 l -2.7017 4.0580- F* O: I4 _$ B' u: G
-1.6203 5.44614 {- b; x$ M+ ~+ R& g( N9 t; m
-3.6190 3.39510 H) M. y* o+ m. w
0.0498 6.5729
# K" S! x4 v6 Y. Q -4.0560 2.5712
% G$ }4 U" \ o% D6 Z, j+ L7 w( X -2.1800 4.6717% R3 z9 P0 D/ T- v
-5.4947 1.29028 M) w' t/ \% C+ A
-1.3231 5.2531
7 }- V, D# u0 I" E) T -3.5894 2.95079 T$ _' }: B: s4 p0 E
-1.7678 4.4609 D3 ^4 N6 w7 G+ C7 e4 Y
-2.7146 4.4529
8 e* ^4 ?8 s) H -6.4090 -0.1183
- p* e3 B! W! } h9 A2 {: B -3.6088 2.5859
( w/ `7 h7 ?4 G" N8 z -4.7040 2.3575
0 H" k; j, P7 N+ c; X7 N -4.8249 1.8429. q% v; B# P) G1 T
-3.7129 3.1185
4 _) ^, Y; s' Q1 U0 S' s8 q -3.0504 3.3907+ B7 Y. X) r: y
-2.8855 4.0453
& Y2 K$ V7 k2 f; } -6.2644 -0.3067
U* \; m6 P l; c; D -2.1893 4.4630) S& q& j9 L; ~8 j+ U1 v% D. B
-4.4002 2.6273
% q5 Y' ?3 C3 W1 G -4.8991 1.9699
' r: }9 a" S K v0 y+ u -2.4872 4.0937
7 F2 h: D2 p* k -1.8351 5.09542 z9 F8 O' O; |% ]
- B% }& h8 `: X) l c' y2 R. }' U5 H9 t- j8 R; T
s =0 A: `! h, m' ^ M# [ q
5 V( u) V" G! K/ `8 R7 z; U6 O
0.9106 67.9195 0.0000 3.0719" t5 x) ]8 q& ^' T k: K2 i& w
看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。4 D* K' ~6 K4 Y {: [. m
6 A2 a* u% i7 ~3 _, a( p在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:# q# U7 I& n, B9 S& G
: A0 p' [+ `$ N/ B/ g+ g5 ob =
" \! ^9 R' v+ |+ w0 Z+ D; S6 {2 O( l0 [2 P! N# I
18.0157
! S8 m' p- s) r: l 1.0817$ g7 |: ]9 y9 q3 K
0.32122 m0 c5 u4 w6 h' D# |
1.2835( O- S0 B+ `# ^1 ^' M1 h
$ R+ |* l5 b+ m+ Hs =
s% m! _" y- h* ~% I
; t# n4 u, e2 p0 Q- v) _ 0.9106 67.9195 0.0000 3.07196 g0 n6 `& W$ A- D6 ]3 s/ B/ V
回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:4 K( T9 R; E, Z' m
6 E, m- {8 ?9 P" E. ?& d
' X+ C! x; @* W% p) o+ X
0 l) u, Y! Q2 D% b! D根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:0 r! j: H7 M" P! j
% x; v: m1 q/ K1 u# C4 ?
o' ]5 k- c3 O: z" a, P5 F' @6 P- s4 ]5 t0 C7 a, [
如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:
7 U0 O" s' c6 t6 O9 Y, M* A/ f! ^$ T$ }3 H" U" K' D
1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。
1 O5 y/ Y; l5 u+ @0 x b7 a
9 d% d4 e0 A- m6 @# ?2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
# ]1 r1 S- e2 ]8 B- R' t6 ]- Q& n7 x; m0 [/ {0 d
3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。+ d& Q) w+ X/ [* }
+ M$ S6 C: h+ g3 @2 T以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。
x9 Q$ O2 e) v/ ^: s7 G6 ?. T7 K) e5 {6 o
3. 逐步回归
# z2 g7 w/ _; W8 r: u6 r. }4 f. M# }. q6 I
[ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:7 E: Y6 F8 ]% j! K& t2 B. H8 \
6 f4 A8 p, ~9 f' d% \7 I! r2 G) ^7 D+ A# @5 _; @5 X w
* ?! t. V$ c( n8 W
在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
2 B, ^9 O* k: v0 \6 r- ^1 ]: Z! e% G6 q
% Z* a0 \4 S- a5 M
( y3 o+ e) M( F- c1 L对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:
1 ~' ?+ x8 Y+ O% p B6 m2 y6 N" _( _' U* E' b4 ?& v+ ~0 ?
%% 逐步回归( w. i3 l9 t/ B2 F$ D
X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12]; %自变量数据 O" C* _ J+ a- V
Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3]; %因变量数据3 ]3 e) w+ }3 ^) M, F: w( u
stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中 u2 U) q+ q# R3 T" ^+ m! e7 l: B
程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。3 b& Z8 \) o2 P* D
2 d" X: l6 j& Q% r7 K1 s5 H L0 p! V0 c' K2 \
0 K, A. J S' Z, }6 v4 u 图4
! ^3 q z6 T2 c5 K2 _. b# U
: v+ g, M1 f+ l1 O9 J在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:4 u9 p7 d1 p$ d$ E
' @0 ^. }& [5 S
0 o- ^1 [# M9 a2 D8 ?* j
$ C/ ^+ H8 I& P4. 逻辑回归# S5 x, Q/ x' Y0 S) F/ U) ~; ^
% c; g7 V( o4 y[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。6 Y0 S; X# T Q$ L: s
# J+ [* x* p9 W; d
( c7 |9 a8 f1 e( q% U
2 C- W# v+ u/ j对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:
c+ M' @+ q- T- T3 P7 Z# u! D1 c0 S7 `
程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92: R8 a( D3 Q3 W/ g! ?6 p4 o2 g( Z
5 C. p( q* {% `! u7 v/ R' R' y% logistic回归* }6 U' g) ~; G
% b b) Z5 E! e+ w%% 导入数据
2 g/ X" k5 j' s; O' xclc,clear,close all
& ^; Z/ _4 d) D; Z+ p) |X0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
+ @* H; ~# q0 h& W7 BY0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D2 21'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出/ Q. h4 M" \' @) p9 y
X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入
; W7 P# V( M, Q* n
& Z' q4 w" P) h. |. i%% 逻辑函数1 g; ]& o; l* ~
GM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');
& P9 W! t5 o M A, W* @& C) FY1 = predict(GM,X1);4 O8 M/ Q" x% P' F6 i: P' a
& B* `! i; E s: E
%% 模型的评估" [7 l6 T2 B" d
N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]0 g; {' Q0 o% ^& }# T$ }8 Q
N1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]
5 j) n3 J6 H# ]3 |1 Hplot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果
0 ^! e) I/ {+ k1 T8 Q, [; I+ Y% plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号5 y: G- J( ]& T
hold on;
1 @/ {5 u5 L( X4 ~- Gscatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同
# s9 Z3 L0 b( k0 d( exlabel('企业编号');
/ U$ J) C' ?. fylabel('输出值');0 G& @( b( x4 \) ^1 U5 s
得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。" I& }$ y$ A6 y; k3 H& S6 P
5 s/ I. {( L# s( R/ t$ R- L4 o! i. G: E6 ]) ^7 |- K( M
8 y' h8 \" z7 L) o 图5
- {1 T% v% m0 r9 t4 ~. T& C9 G% X' d9 x1 v
三、总结与感悟。
( n! `( i/ H! s5 v& v3 o* |9 f! }. ^5 r$ \& H" q
总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。
6 ?. q8 q1 L$ O" t8 {8 s ^
* w+ m6 h- @" Z8 d. n 感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。6 G8 m' \; b2 J; ^! S* V
& `( \/ i3 u3 D: V6 r. t
, H, @7 ? }9 I |
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