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[建模教程] Matlab数学建模学习报告(一)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2019-4-10 15:18 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    Matlab数学建模学习报告(一)' N+ L! {# x, z# b: t8 s
    一、学习目标。

    (1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。

    (2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。

    (3)掌握Matlab数学建模的回归算法。


    ( C$ s8 j3 Q3 z2 r1 f5 _二、实例演练。. ]8 d. i2 `2 T! x- E6 F/ ]

    $ d4 d. W. h; z$ O   1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。
    + \- E  ^- t1 y
    3 Q3 g9 T0 H, C        Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。- \! J0 r) c- A% y

    7 M# {' q' G- V; u- M& G  U8 X        人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:2 \* @3 D1 i/ i# `: D1 H+ ]
    , N! C- q$ `, `+ V' u8 o! G7 W, N
    (1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。
    & K$ Z6 V, X1 r. T5 A' E
    9 }$ G, o  g+ |( G- a. t3 w(2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。7 K& w& ?: m' O1 \4 z

    $ {; O! P$ i2 G! H(3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。
    / t3 h+ a1 {) \# k5 u9 N. K0 V8 j% _
            正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。% a9 i( G$ a9 p$ \

    : S" A- l4 }3 `( y         数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:
    - N$ D6 }: ], E: y: a! p& @* J+ H7 ~( |& S
    要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:
    5 o- V& N4 H1 J9 U: [/ D5 m7 B" [3 _; l* f9 ~0 e4 `0 m4 L
    1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;
    * x( V% L7 \3 W' n& f1 H$ W
    1 ~9 O6 s* d, ~9 {& p2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);
    7 W( A% ]+ W' H  d% O% \2 s
    7 q' u" [1 y! B% j, I  G( A3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;' B# \0 V" T* a9 m& Q
    3 d% Z' F/ z$ y( q( B  Y
    4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。 % ]4 q; x+ a2 ~2 _+ s+ v' P) H
    1 c4 |* u, o( v9 v0 g
    要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
    * V% @& W& ?  }* i5 l. Z0 G
    % u+ j5 ?& C) `0 N" _$ b3 F  2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)1 Y' r* p1 q* F0 Y$ H
    3 z, ~9 I0 u0 w
    解题步骤:
    & |3 p4 v! y% v; |- N. b! T* ]# w4 h* C$ r
    第一阶段:从外部读取数据! r/ j! `+ c$ d( X

    : r# u. P* s1 ~+ I. E" dStep1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。
    6 z( `5 m; ~1 A' M+ e6 j/ O
    ) V2 V. L7 m. n+ W9 t
    ; f! k- Z, d6 t9 V# N5 s2 ~; z
    ' z3 a. }) B: C. }                                                                  图1. 启动导入数据引擎示意图+ v( c) I& j  B- a& K! ~
    ' w4 o' A" _  H- x8 f0 b
    Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。( m7 V. j0 q/ Y
    - X0 E6 Z$ z, _$ u9 N' s
    - s: R% D( r$ l

    6 x. V3 w9 k3 ]! u: c                                                                    图2. 导入数据界面' v, m2 U4 ]& v& V6 z5 w

    ' d+ L* T6 c: P* w9 RStep1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。6 w7 k* Y  O& m- T' [, [

    # [$ [3 [. _1 _- h- |3 }) w( k# e; z. A- v
    . h# z5 \8 d6 V$ Q* @% r8 @. [7 ~# w2 w+ N
    第二阶段:数据探索和建模; p( H' Z  K8 o7 Z$ N

    7 u: a! n; l. H5 f6 a# R现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。
    ! d; f, u5 T5 k. v5 R; m+ K/ n* k2 }1 ]6 ^* U" s  M
    Step2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。
    , `- l1 l& T* R4 o2 ]  K' q; d( u% h$ G" n' y2 q
    由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。" }) o+ t0 Y8 C! i! E# z

    6 \! m* Y" G6 [* `$ `; U对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。. B& b$ x7 I' }" {) Y
    * M' l5 F3 z4 W# \& {

    ( r* k9 G. j* {; d/ B
    + R9 a, y2 }9 R- N3 d( y                                                                                 图3 MATLAB绘图面板中的图例( R8 W5 ~4 Y$ T* c  x8 I, \, C
    2 _2 W! o2 W* I5 W1 q
    要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。. \+ E, h1 d3 |1 V6 A  C* R* T
    ( [0 A( |" x) I: _
    Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:
    ' {% M( n* e9 w. E& [7 t8 z
    2 |( {# r% _. p  _/ [0 Q>> plot(DateNum,Pclose)3 H7 Q4 E# _3 r2 A: h+ Q$ z
    4 K- ^7 L3 X4 q8 d( E0 D0 Q
    $ l* o) F/ H  N+ x6 e6 A
    . v: e. O! W$ m# `8 M6 L0 m
                                                                                           图4 通过 plot 图标绘制的原图
    ' r/ s% j/ i4 s6 S8 @
    3 [, ?! y* L5 w5 Q这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:2 r0 k/ j; r  Z, p" H3 @

    / B' |: e" t% w" \: q(1)曲线的颜色、线宽、形状;
    # J6 x* W, P# O
    9 W( g! _" a# S* V3 \  d) W  A. @(2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;
    3 H6 I  g1 ~3 E5 ~$ A0 {1 U9 Y% p6 P8 u
    (3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。1 C% v" Y  ^! n8 L
    , _" b# N3 ]7 t4 `5 m0 I
    此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
    ; e. k4 i) n; I: J+ c
    # F% m5 f3 s- w: t4 w6 v接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?; x1 b" v3 g3 M  B3 w+ T/ z/ w0 l9 P. r
    , O- `2 ~8 [. d! [  Z0 s
             对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
    5 t& I8 k4 s6 X9 ^+ N; g
    8 t' G5 I# i6 r9 w         对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?6 E+ j% p& x3 R* B/ @( n
    9 X- N4 a4 g- {1 i9 [$ O1 S" K$ E  O
             最大回撤率的公式可以这样表达:9 ?/ X8 p; Z# J. s$ ?

    ! ?7 B% ?( u* o. s2 s$ Y5 lD为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值- N& E) D" w! R& I8 X

    : ]+ q4 }0 U0 x2 Q& O6 Y" Fdrawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。2 T3 D: b2 b/ ?; o7 h" ?0 R
      f; M2 f8 c, \1 @6 ~7 i! z! U
               斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。4 G) U( @  X1 m  V5 G

    7 F, V. i. U7 t: C5 B! S% A: tStep2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:& v8 n) E' z5 B3 {% L" m3 u0 K! V
    & b& P  R" b! h
    >> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
    , H* }% o0 x/ d. u6 x0 ]3 z5 N0 b' Q& ]' V  O
    >> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
    7 L* h6 U% f6 p/ h6 y9 k) H' m4 }* T" R' U2 K9 i  f9 |
    value =
    5 ]7 U* p- b% K# L- L; O
    ( o3 P2 V5 O" A9 o' J    0.1212
    + f: \* S8 S: v( _9 s" i% S6 F3 p8 l8 B4 w
    代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。* A5 U8 X' i; z% s0 O0 H5 N2 M

    + X  a* V* `7 l% ~3 N, y4 w, J' sStep2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:
    / W; `4 l  X- ~- ^: X" I
    6 d! Z* p& @4 c7 E  d5 u) O>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
    8 y5 j; @' u' D6 T: R
    ! T! E* S( s' E3 L* g( w# T>> risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险4 B& \5 W$ d/ }- P3 S

    ' @% ^" W) V& Z2 urisk =
    # L2 Q3 m6 S7 D( O& p$ @9 W, g( j9 z- B1 H* J
        0.1155
    / o9 c/ O2 o) [# r, m- U
    5 k- G; @0 g5 P  A- R9 H/ O代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。7 k) S: P/ c5 f# u: y6 @

    , ~; x% X2 H9 d- ]  P到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。& B# ?, M7 v" M2 _8 |; A
    2 ]/ C+ R+ k) E) D) f
    Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。# o$ `% a( w! {5 u
    8 T/ r* _0 q$ m
    脚本源代码中有些地方要注意:
    4 {  ~0 `) a. ?& k  G1 K' w% |4 X, j+ H% s$ ~# ^7 W
           %%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。
    " C$ M8 u4 F& [1 T5 p
    ; L! ~( r! e" ~& P( m       %后的内容是注释。' I" P6 N2 ^; f0 ?7 Y4 D% Z) _- k
    " o5 B6 R2 X5 c: |& f
            每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。4 V! l4 Z& Q  H- b5 t3 R) X
    8 w. J4 S2 F: o- E
    脚本源代码:
    & @6 X' K( D* c* l" g+ K; B5 s. l. q6 c. j9 ]8 U
    %% 预测股票的价值与风险" f- u9 l8 [  O: g( f4 \

    2 Z0 k( v3 F1 H& }0 Q8 R- Q%% 导入数据/ e$ y8 Q! z# x# ?% U* |
    clc, clear, close all
    ' u% O. ]: g  h- V. g- t4 Q& X3 d% clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响
    , F& e$ k3 _. M8 l9 b9 S% L% clear:清除工作空间的所有变量 * n- c+ m6 n0 O: {* D% o& e
    % close all:关闭所有的Figure窗口
    % k( e. X1 a* q" r* q* Z+ F4 V* q: a# c
    % 导入数据' d8 {; G/ F# V
    [~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');
    6 e0 q& x6 Y3 z1 N& O) t% [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值
    # ~, [5 j/ a" F# v/ Y6 d2 i. T% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围
    - ^3 |4 g% Y' O  o- Q; K& y: z) V% q- T$ s7 s# m1 s+ G2 U- M
    % 创建输出变量
    + U" m* n7 G1 d( ~% x& B* Sdata = reshape([raw{:}],size(raw));- @+ S, L; D% I6 S
    % [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
    9 Q; |, n; N2 k: h$ B  Z8 s: _5 p8 W: T1 x8 j( g% Z+ O- w
    % 将导入的数组分配列变量名称9 j+ g& f# e5 K/ Z9 Z" l1 X/ W  J* Z
    Date = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列6 b, c7 ?: N# u6 i$ J9 x
    DateNum = data(:, 2);
    5 T% h) H" M9 M5 PPopen = data(:, 3);
    * X+ h/ |/ N: D' |2 ~& `; zPhigh = data(:, 4);) U/ t: L$ j# q
    Plow = data(:, 5);# O' |9 p1 z; M; ?% h/ ~( z7 n
    Pclose = data(:, 6);  
    - M# d1 f5 S2 `" J& C7 N4 \+ t. lVolum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和4 g0 H9 W1 C5 ~) f
    Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股3 V" ~9 _4 N' I' b7 o

    0 u& v2 u$ v5 {- F! j8 g% 清除临时变量data和raw
    / v: G; N' V. cclearvars data raw;; W+ r: [$ m, ]0 f3 X8 B+ a

    / W% n) k" |5 `) ?  j- C2 q2 \%% 数据探索
    : b, \* s: T& i
    & a8 ?; D, p* q' `figure % 创建一个新的图像窗口8 v5 S! ]1 J2 M9 G  f& H
    plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真
    0 T5 n7 t+ P1 I5 Pdatetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-27
    - c  b( i8 f6 r8 g9 r" e1 Pxlabel('日期') % x轴
    7 d0 R# q6 R* X$ h" M! U# G2 R* vylabel('收盘价') % y轴
    2 x9 j6 G9 j. u3 ?2 E/ Jfigure
    ; D& y* n' T4 f: u6 Q) }# ]bar(Pclose) % 作为对照图形
    7 T7 M+ F0 V& f. t9 I1 ?0 z: g, Y% M0 B
    %% 股票价值的评估+ ?# o+ @9 ^- b, r
    ! {3 O. r) f& \
    p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合. d, Y0 P* _8 H
    % polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列
    ' o; {% O: \* s- Z; x) |P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果( E  u% b5 d, T2 }  T
    figure1 k/ x% p! e+ S' h; }
    plot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*
    , P' W- W% {9 F$ l7 ovalue = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数& e$ H, v& i; w3 B6 y- C4 f

    * \9 B4 d$ n& V8 M  N' D: X, r%% 股票风险的评估
    2 I3 m" ~: b. m, c3 k2 YMaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤5 B+ N: X; n+ f9 o( T( H
    risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险8 H; v, {. l2 I  r/ C
      3、回归算法演练。9 ~' r/ C0 w2 U! O, G
    5 p$ X0 T! s5 J
    (1)一元线性回归
    & G% I5 q7 g- q5 k/ e
    7 v: z: Q) \0 F& P4 V( S[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
    6 w& p& w. w3 G* e) }+ k+ p" y) f# Z) a- i, x

    8 s( P+ {3 Y/ }- C$ v
    9 a9 w; S, p! c3 m1 U) K4 ?该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:
    0 {) X( B9 r3 F7 K6 ^$ @& ?0 d; [, A& `1 p. q  L* n; X
    (1)输入数据
    , s$ S7 n; T( B2 I4 e4 q( s+ b, r1 w# c$ S2 @( \6 W1 j
    %% 输入数据" c# [. m1 n  r2 @
    clc, clear, close all$ U9 y' F. U4 Z( {: I, y9 g' s
    % 职工工资总额
      F" X: B( w* Z9 Kx = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];
    $ {2 s/ `; p( P% 商品零售总额
    5 Y* D# |# s6 K; F1 d' I% fy = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];# B$ M* i3 g1 {. @5 V/ @) }
    (2)采用最小二乘回归: m2 o. n/ s4 f3 D( p

    4 d- `$ K, J9 F. H: i%% 采用最小二乘法回归
    $ X& {5 K& D: A  U/ q  h) r% 作散点图' `) s( k; o3 `2 `' p( Y
    figure5 p9 ]/ q& F! ~8 L
    plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色) Z8 \' z" T( a
    xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)* r5 O& G% Z. o- {8 o2 P
    ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)
    5 \$ B0 J. s  C% m: J1 nset(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2
    3 T3 c8 u9 F( Z9 u/ |
    " z0 \" I7 S4 J* _: y% 采用最小二乘法拟合) i. w# `6 ?. J% G
    Lxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同6 [9 F" c  V% N5 z* ]$ e
    Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));. s! W( X; G$ C0 F
    b1 = Lxy/Lxx;. {9 M  @5 K: K( z  E" |) _
    b0 = mean(y) - b1 * mean(x);
    - f, z& b! Y. L% p" Q9 j( S# u6 J! by1 = b1 * x + b0;1 x7 _0 R3 Q- f: ]$ K
    8 {! j. p' N( V) B
    hold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存
    ' |9 i- Q3 ~+ D. b6 }4 Dplot(x,y1, 'linewidth',2);5 U% w1 Q7 H4 n: z1 a
    运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。
    7 k6 `5 V& g; d0 n  N
    0 q2 I+ A" g! |8 T) P
    / [* ]# e1 W( g. K% R% F+ z. a% Y) T, x
                                                                                                        图5+ d$ e1 Q& u3 A; F, E+ s

    " T6 p% R% S; A  I& l(3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
    & [% {7 q" v3 c: G0 |2 q3 W3 t3 U3 _5 V' ^' ^' u/ W
    %% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
    4 z8 H, S) a. g8 um2 = LinearModel.fit(x, y)
    3 P3 [% U5 f1 i' h& x运行结果如下:
    ( L- h( k% [, O( c/ k# Q- N5 [. D) D9 V# x9 M9 T  m
    m2 =* V6 p7 ?! R( O& Z/ R
    ; t/ ]3 j( c! c# n% Y! u8 q
    Linear regression model:
    ) L6 p3 p+ E( m2 s: o$ V1 q
    2 g. ~* J9 t! Q" Z/ U/ }, U2 A8 Q    y ~ 1 + x18 ~$ W) G# Z9 W1 X) G6 h+ n
    Estimated Coefficients:+ L# q4 m+ l& g+ D4 C# Z

    - }1 ^7 u# f- @2 Y6 n5 `; z& ~, n+ u               Estimate      SE       tStat       pValue
    " s! x3 r( r3 s# [$ O
    " R* z3 l1 ?1 @/ \+ K) E8 p    (Intercept)    -23.549      5.1028    -4.615     0.0017215  b5 e6 h% v' |5 Q1 u
    " I( e+ P* T+ z6 c- Q2 _
        x1           2.7991     0.11456    24.435    8.4014e-09$ R) g. d! r) X: f" `- q
    ( ^7 V$ R% _4 Y- K
    R-squared: 0.987,  Adjusted R-Squared 0.985
    0 B' j% C6 K& x$ \0 R1 w! |, e) @+ ~  K' E3 |  V7 @& H
    F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09. i( w, H5 T% x! J4 r
    : l$ `, `8 K$ m7 `, i
    如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    4 @/ e/ g2 ]' L+ Y4 S% x8 q6 Y; {! n. M# w* G! n$ h4 q- }

    , `, H: Y2 F+ V4 s7 j$ ~1 f8 J% w7 n9 n( U# F
    4)采用 regress 函数进行回归
    ' ?# s4 t6 v+ V+ P# l5 d5 H8 L0 p
    : Y5 K3 E9 e6 M% y( ]4 |%% 采用 regress 函数进行回归
    3 f8 t2 u5 v' G2 G. eY = y'7 \# n; X  \4 P7 f* z3 n' |) }
    X = [ones(size(x,2),1),x']8 `5 X" R  x4 ~* L. V( q
    [b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
    1 r  `0 {' K$ X# z5 k6 _运行结果如下:5 C  U& x/ c4 z2 R

    2 T( j* ?9 j, Y. R" |0 M! `b =. T- K: |: ]  a; O1 B5 m, L
    * l' X1 t; A( q8 @8 \; _
      -23.5493
    ( y0 m1 d' {" {+ k" R* |* N' ^4 p  y2 d) t9 n' i  L$ z9 L
        2.7991
    ! Q9 [  k2 @7 k' L+ [/ x0 D$ B! O' i3 [
    我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    7 W  z4 d2 u$ j; c
    $ F# ~3 f! z9 X, S7 }(2)一元非线性回归) H3 R! T$ B, L) z+ a

    % S( c1 m8 Z9 v& Z5 {[ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。- l! O: Z/ h4 R
    - @: ?! p% m+ r) N5 R# L

    6 i% P6 q, S# y2 s2 X7 R; [1 |
    ' z" D" N1 ^; D, `5 z* k, O" `: k& |! ?. H; {- m/ z5 e1 M

    / K6 @8 T5 m0 R# A        为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:
    : g/ o2 D8 l- O5 B% h& I+ y5 `
    . H2 T4 H' i$ K. }(1)输入数据/ s& s" e' O& Q% {5 \- M. ]4 G
    ( B* @  m3 q! L9 e/ H* }
    %% 输入数据9 J; W0 h8 x$ }! d8 I6 F
    clc, clear all, close all
    ' J9 J1 ]% B, `# z/ S& cx = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];
    ) a2 ?, T6 l7 o- t- v: H, qy = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
    ; ~9 ?- g, p- `. Oplot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小" }2 v( W2 |9 P9 @1 c: |
    set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2
    # h8 x$ w  Z* Z! q* i0 h8 v6 oxlabel('销售额x/万元','fontsize',12)% V; r7 o# c- a0 u* u4 A0 ?) Y9 z
    ylabel('流通率y/%','fontsize',12)( [( h" H3 i! B1 Q
    (2)对数形式非线性回归3 ~% |0 P# \0 _9 A" p1 N
    5 j! [( K7 P) @( e
    %% 对数形式非线性回归
    - b3 B& h& Q) rm1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);
    $ [$ E# T% v( J3 i2 U( k" ynonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])) s' W+ ]7 J8 o! _! u
    b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;
    % J5 |9 x2 V8 P, zY1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);# Q' a( E0 R. N) S' I
    hold on 4 `* I- P6 U7 W7 D+ L- @4 N
    plot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)1 o4 B$ D" \( w  @; A5 q
    运行结果如下:) D  R& ^' M% R5 i+ c5 i

    - y* _$ I2 V) R. e4 ]nonlinfit1 =7 Z( K& V- f7 X8 ^; R

    - Q4 l8 I9 B6 N- RNonlinear regression model:
    : y' z$ `* U4 q' h3 A% P, _- A1 p9 F7 ^8 D; v
        y ~ b1 + b2*log(x)
    ; I: A1 F/ Z2 I4 A( d+ y) e. a
    3 H' I  T! t9 C* H; a# \# Y2 p6 P( kEstimated Coefficients:% }: O3 k! P# U1 C( _
    " v# O5 o' B" R! |0 s+ D5 ?
              Estimate      SE        tStat       pValue 6 V3 n! ]" s, V* i8 o: Q# J# y

    , f, }% U' J8 I- O& {    b1    7.3979      0.26667     27.742    2.0303e-08
    5 i! y& |! J; D4 d% g- d  F0 J4 n+ a* F5 M/ {  Z) R3 A! W; c
        b2    -1.713      0.10724    -15.974    9.1465e-07
    ( `2 ^; A2 H3 K7 X
    % ?: n- Y4 o! |- ZR-Squared: 0.973,  Adjusted R-Squared 0.969: w  B- F+ g* e, K$ h2 q

    : G6 A/ [- |+ S# o- ^4 XF-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07( d) G) J4 v2 r0 a
    * F8 `: `) R3 l
    (3)指数形式非线性回归
    # Z) k% e$ n* A$ S5 O& x( x7 A1 y
    . @7 r, ]2 x+ M%% 指数形式非线性回归6 q3 M  @) R* l9 |' L0 W
    m2 = 'y ~ b1*x^b2';4 Z3 L# M1 K8 V$ O6 M: H0 e2 q
    nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])
    ! G" C* q' \% t1 \% }$ _$ Zb1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);" ]6 m0 W, O+ d% B& h; o
    b2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1): R7 G6 x8 y5 a. F6 ]# I
    Y2 = b1*x.^b2;
    9 N& q( }7 N2 J& b$ ?9 uhold on;. E. \+ u0 T6 j5 @
    plot(x,Y2,'r','linewidth',2)4 t9 H% i3 d+ J8 J+ a3 @
    legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例9 G- N6 S9 l( m1 v- U7 V
    运行结果如下:; e* U' U  W6 L% u6 W
    % s3 q  s  k& ]8 g& B4 [  z, T
    nonlinfit2 =6 a) |. }7 h. }. \9 R0 X7 a4 o! T
    9 H, J, l' M1 H4 |. |" g
    Nonlinear regression model:$ ^% T& L: m8 w& w) |( l1 l
    6 |$ n' V4 }& N" ]
        y ~ b1*x^b2
    & j' U. s9 D; M0 |2 i; q( S7 i1 B. t# K' g
    Estimated Coefficients:
    + `& J. f' N& K8 U
    ) }8 g4 T  P2 r- [          Estimate       SE        tStat       pValue
    9 Y3 P- R4 m) `5 Y4 L3 u
    % v+ e  H5 q9 |7 e3 d    b1      8.4112     0.19176     43.862    8.3606e-10
    $ g8 g7 M) P" j0 `( s* Z2 N1 K6 h' G& i/ }  D3 {$ X
        b2    -0.41893    0.012382    -33.834    5.1061e-09
    6 M1 y# y' D5 }" D1 q- b+ u- D  S: k. R7 G7 [" ~
    R-Squared: 0.993,  Adjusted R-Squared 0.992' V' ~& m* s1 Z8 R8 {
    & [' o# t2 _& K) ~& v* I6 V1 o
    F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-118 s; i% ]6 w8 b! A" m, S

    . d  D6 I. g6 O  x在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。8 @( k8 d% a( o5 E( o$ j4 E. B; x

    3 p0 t9 g4 a1 {% W2.多元回归- q5 C3 C4 h* L# M

    ( ]3 r+ T& g6 Z. d+ Q0 k/ }# W1 \1 _1.多元线性回归
      I: L: B0 d4 Y* r" ^
    & X" _4 M; m- {[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。6 h! \+ @! j; W. F; L0 U

    # m/ a2 o7 l" T8 @( y' H& S
    ( }3 h. }0 ?8 E5 g
    - @) V5 ~5 R* @7 W$ l1 v该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:3 ?, l+ z# V' E; g6 Z4 A7 D

    & D. ?7 O- C' r7 {, a; O- R, [(1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图0 M( z# S0 J2 Y8 S/ i
    , I, X3 R, k& z6 [0 J8 y
    作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
    2 D" W0 J3 B/ u. w" _- F. A3 d8 f. R% q1 [% w4 v* H& t
    %% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图
    + b4 ^" V6 }4 \* t% x1,x2,x3,Y的数据
    9 N7 _6 ?# K( w: D. r+ O2 H( Yx1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];
    / q4 \0 b( h! n" Q6 K' Xx2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];
    ( H; P6 l& d0 {" p. Z' d6 W  Z6 |x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
    $ t: u# a  j: P0 B5 d: _; X: `Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];- D8 S" E: p: j  Q3 u! a9 Q
    % 绘图,三幅图横向并排3 r$ f- c7 T, t2 w4 U
    subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')2 d% ]9 i3 p& ?7 u5 y
    subplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')7 a# J( m6 \, T
    subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')
    , w. X( P# t; I/ l  m& c绘制的图形如下:" l% V) p9 @+ J$ c
    ) Q9 O0 u: G1 x2 T; f8 u9 X  y- Z! q
    : I4 z* B9 s* s  w6 M& C3 w, h6 [

    + O4 ^4 H/ k4 v- y2 U0 }- D(2)进行多元线性回归# A( x8 H) y9 A# ?% n+ z. d
    0 K) k2 a1 A% H7 N- T+ Q
    这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:- I1 s; K; x. l9 J# L

    ' H# F8 ~4 x$ e9 f7 D& N9 {4 G: ]%% 进行多元线性回归
    / ~% I- C- B+ ^- D3 r$ j$ h" K" Tn = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量
    & M/ ~( y% F$ e: FX = [ones(n,1),x1',x2',x3'];
    5 Z9 O4 p8 j2 e[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。3 H& P: C5 L, ]  u
    运行结果如下:
    3 g+ J9 ?  C) E' T6 Y5 {2 [& e3 n4 ^* J
    b =% F5 m' N7 ?% n; d' O8 e6 h
    9 Y" t; ~+ p* ?/ O) }
       18.0157
    4 X# _. m3 V" f1 N    1.0817; ]3 @+ F2 x1 _% z& r
        0.3212
    ! x. H3 t5 W* B8 N7 F5 X- ^; i    1.2835
    # d. x* \, R; S' i+ |" m! @( p2 y) ?4 A9 @6 p$ O1 [
    ( S' c: V, u/ H! o7 X# u
    bint =
      t+ p$ Z. L2 G, Q5 W
    1 p+ D9 D  a) l& h5 K   13.9052   22.1262
    7 m5 M0 C3 s$ f: l/ G  t    0.3900    1.7733( R! B# V' S4 U4 s
        0.2440    0.3984
    9 |( H8 N* }4 _; q( n  P6 d    0.6691    1.8979
    * g' O5 r6 l% y( Q1 P* C; P
    : t, X9 t( R, a4 k8 M: f, T# {" A+ |# n9 _$ R% ?: J
    r =
    : E4 q/ a; C# \) w" ]6 p' x# ]  a- u' G% y3 e
        0.6781
    ) r% e7 Z4 ]7 Q  H1 s* W3 v    1.9129; r, W9 @/ i0 M: G4 _" X+ Y
       -0.1119' {: Z9 ]$ u. g; @) o; Q
        3.3114  R, y' j) R0 M: `0 C$ M
       -0.7424
    2 T) b* Z: z# Q+ I% F8 J    1.2459
    * i% d% P6 A/ ~( M8 J   -2.1022
    ! N; s6 y1 I: {  \8 E9 c- M! {" q2 d    1.9650
    + U, w* e! Y; L6 |8 |   -0.3193
    + ^; B8 ^( }/ i6 w+ f    1.3466
    # Q$ A. ?: N2 G2 |1 ~    0.86917 J; B2 D$ u, N2 c2 b
       -3.2637! }7 O- I( `) P2 T
       -0.5115
    6 j/ s; _! \% V$ Z; [   -1.1733
    2 d# [! ~9 C4 Q1 w) F6 P  t+ T   -1.4910
      f) Q; r0 h! O5 i8 T3 g   -0.2972$ m: e8 C( M4 B0 p- U' [9 @
        0.1702
    6 J0 W% s$ ^, W2 X' R; d2 c$ ~    0.5799$ y  r7 ]1 L2 n
       -3.2856
    - O. C/ x" b: k8 S- {    1.1368$ u  n" v3 L' P6 x
       -0.8864
    ; h+ ^7 ?! u+ ?/ X8 t; }) l2 \- I   -1.4646
    9 b# B2 @8 q1 Y! q5 T5 N    0.8032
    ! I: |. `$ ], d4 }, M0 n0 W7 o    1.6301  O3 w( w/ D1 R3 ?7 W3 Q( B
    0 A1 K  j" D( ^/ ]

    : q) T2 `$ _) Yrint =
    / Y& w2 I& X+ r# d) z3 a! e2 V1 }# V3 t
       -2.7017    4.0580
    2 D) P" H% @6 _  h- ]9 v   -1.6203    5.4461
    4 Z8 a  d! V$ e! L8 s/ H   -3.6190    3.3951; j. O# L, a/ s5 M) H4 N# r- j3 v7 M
        0.0498    6.57292 ~1 N; \$ T* i6 p: M
       -4.0560    2.5712; C8 m: Q: Z1 @" |! ~
       -2.1800    4.6717
    : v2 ^# @9 J& _3 ]5 ]   -5.4947    1.2902
    / m. M9 m9 y3 ]9 V" ~. g   -1.3231    5.2531
    / ]+ U8 p0 U0 f2 O6 i8 V2 w   -3.5894    2.9507
    1 n0 A# {* o  R8 G& I- e) P   -1.7678    4.4609! x# \( _4 u# n9 c# E/ v
       -2.7146    4.4529
    $ ]* q0 d, x, X  q   -6.4090   -0.1183! ^+ t4 s+ \5 H1 |6 u
       -3.6088    2.5859$ s7 E# S2 }* B
       -4.7040    2.3575
    : c' [6 h+ K9 `* v& N/ e; R- B. {) y   -4.8249    1.8429
    " p: H* {9 A( T% O4 ]( @   -3.7129    3.1185
    * D( m8 X- `( L6 o/ I; t   -3.0504    3.39077 V, w  t9 O1 ?2 [/ A. q. \
       -2.8855    4.0453
    * n; Z; z% r4 p  V1 X% ?6 A   -6.2644   -0.3067; L1 Z" R% }8 Y& e
       -2.1893    4.46303 N5 b6 ^' t0 o( _; A
       -4.4002    2.6273. S1 x: q6 I; ?2 z8 j
       -4.8991    1.96994 E8 x9 M: N' v2 ], O9 h8 z& b
       -2.4872    4.0937
    % S; w  R. h& f! l   -1.8351    5.0954% X5 L+ ]. A+ L7 s* h* C& C

    1 b6 j" I( u# b5 ~3 l1 \5 z
    $ Q( r, D6 E. O4 ]s =$ i0 Z  v2 A$ B: A& E6 O; t
    $ E7 p4 K, [( L% b# G
        0.9106   67.9195    0.0000    3.0719
    ; X: D; ^5 x6 R: C' P看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。6 m4 \- q. g2 H+ `  |5 o3 ]( ?
    ; J# D& R8 t; [  Z
    在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:  n8 I# |4 d# S0 b

    " m5 T6 P& g) K9 _9 j8 k. ^b =" d* |+ T6 _# ~/ b' \3 x, w6 P4 }
    ! u# |" u) ~$ C" h
       18.0157
    / k! m5 x) o) ?5 w, t    1.0817$ q) W2 ]  Y  [' t1 W; E9 {2 t
        0.3212
    / R7 g% @2 t5 q    1.2835
    / }5 f8 L( U9 C4 D0 X- h0 N0 D# i  X, j& ~* g  p! F1 s' P
    s =
    ( i5 `1 t- R5 M5 {
    3 R- C1 r% d% b' K: L3 ]1 j    0.9106   67.9195    0.0000    3.07195 _3 [4 a2 s, m; H& e1 L
    回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:
    # C' e4 t/ Y; q6 r7 L! }  V% D3 B3 j+ y! F
    2 I+ U+ E. ~* Y: K( Q
    " v$ c) }2 s7 U/ C/ U
    根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:
    4 X% Q& e4 ^) V
    4 E( w) J6 t# N4 q0 U% {! O
    0 j! E! t7 T" E& M  u' b- G6 b% M! Z' U
    如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:
    8 G" e; ~# f8 h$ |- o& P( S4 Z5 s5 M0 i- b' h
    1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。' O( U, w* x/ b( B* K' x
    7 m& u9 c9 j3 ~) T
    2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
    1 ^4 E( y3 a. }+ p8 b$ N+ ]7 J9 F- J/ v. \: J7 M$ H
    3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。) ~$ t8 r' g$ |1 h
    & r! X4 F$ W8 b8 r7 _
    以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。7 [& `; ]. o1 V+ x3 f+ @

    " X( @) C9 [4 G7 A3. 逐步回归4 }; F5 S4 q) u0 U7 w$ T
    / T9 e* g/ B- L4 n( L. Z+ c$ Q9 `3 s
    [ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:
    * B2 S: P% `6 m
    : E2 j7 }6 [  j5 e, C* c% U
    ! P% g" T7 B# y: U1 r3 Y7 ~6 E8 \8 R% y( r
    在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
    ! u9 F& X3 a: B3 k/ q, x; V6 r! A

    ( X' i9 w" o) |% d& `
    # ^" C! e/ ^1 p0 Q% i  c对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:! b1 u; A. e: ^9 d% y2 ], q

    2 J- [$ f* [# h* M: N* f$ p%% 逐步回归: z) Z$ d1 `- D1 G8 G
    X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12];   %自变量数据
    ) f' ^3 }7 J6 ^4 s* ^( [1 G7 tY=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3];  %因变量数据
      e, L2 \  I, Z+ f& bstepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中7 C0 `; T5 b8 A+ h! y
    程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。
    ) d  _, [* S# @# @" a. u; ?3 h0 G
    . B" \( M, F& b& f
    3 x& ]6 D, R! _+ n
    0 @, M# W$ H& `5 [( b2 I4 G7 @                                                                                                             图4
    % P, ?, d% p( _' a( V
    + `2 l3 f( y" V* ~在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:
    2 w! o% i& v" x" B+ D; I8 S
    ! J$ T: J7 {3 R- z# {
    ; i' C4 ^; N% m# J% f  }
    0 g; T0 j+ D6 ^4. 逻辑回归
    $ L+ d# u- G8 O1 b$ o2 m! r/ L. e0 U
    [ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。
    ; }5 X  q  y2 U6 m6 J$ J3 w$ Z3 Q5 C4 Y6 p& v/ W* l

      y9 T$ b3 N! _7 r
    8 R; R! a) K) i! M; K对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:
    ! X. g3 ?4 S) M& ~. j5 V9 Y, g$ y, M, L4 r  v" _+ \) M% R. c
    程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92
    : d( Q1 G4 \  ^, B; ~; l5 Y4 A: I0 ^$ K/ D1 _
    % logistic回归
    . O( m3 q1 Z* t+ T
    % B. P8 ]0 Z; U2 g2 [%% 导入数据
    5 ?* h3 H& t& J2 W: n2 Eclc,clear,close all  b# X4 G8 r8 c
    X0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
    0 c# E6 u9 c  X0 eY0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D221'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出
    5 q7 V0 L6 ^4 G# o, x, u1 V( gX1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入) B" ^7 h8 G( U. D

    ) u3 ^% w; E% |- |5 ?; i%% 逻辑函数
    - u* d$ t- v% c& E) G8 rGM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');
    ( a2 Z' V9 M2 W$ y, }% qY1 = predict(GM,X1);  X: F+ N! \4 H, L

    # m0 w- w% x4 F: {%% 模型的评估
    ! u5 d8 k! U5 s3 x0 G. c# `0 qN0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]
    % ~  J9 d, \) IN1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]( C  I/ U5 g( z' f
    plot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果1 Z. S$ i& c' v  s+ [; j' e
    % plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号* ~5 S( B" d; D$ c, x
    hold on;( ?- @1 X: k6 @% A5 U8 ]% }) u5 }
    scatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同
    ) j2 ~) I) b* s; rxlabel('企业编号');
    2 b( v; p# @/ v7 jylabel('输出值');0 M/ F0 y, j) B( S5 A) |
    得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
    2 ?+ \: k, S$ n# ~0 q9 z+ h
    " D* i, p' H: E6 |2 K6 N
    6 z/ ^) G. P4 G! c& x, O3 a# }
                                                                       图5
    5 j. e# F  p0 s, t& f) u2 e# E) v; _* `
    三、总结与感悟。
    $ d) @- g: U  O' S6 y3 p, z/ V1 w# X7 X- ]3 T# y% u4 h
            总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。
    5 |: `5 v3 R4 O# _8 D3 X* G, R) R5 S& a
            感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。7 y. x) h: F' r
    / N8 ^" S4 I% J% C/ W" ]
    ' e7 O2 {( c$ y9 i' m6 |5 ~
    zan
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