数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
+ M  D( F( X$ d
- V! Q& Y7 }( A/ y, ?  @线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
- _9 p- M& Z' T7 r1 简介

. n* l9 g" r& F/ {2 ~  _1.1求解目标规划的思路
5 [& L  x, ]( |0 [( i
（1）加权系数法
0 c8 B7 f" m/ |( v' j: [为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
8 I. P; i/ h, k4 c# C（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
) Q7 C) B2 }/ s" ]/ S$ Q0 l（3）有效解法
! J1 v3 C( v# {# U寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

& p8 |; ?3 t. R3 O8 U1.2建立目标规划的条件
2 i8 W% N  y" O1 m& E( k8 W
1 S* H# A+ T6 }（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
, g9 D, O+ }/ F% b
# o: X; [) S$ r; O" ~* g1.3 目标规划的目标函数

7 M. P; _, y( ?! \9 u目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
  I( N1 N/ A# ?' ^
0 m) i2 t. _& M$ m! G3 F& h( _（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
  d2 ]$ o/ V2 w; M( D
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时

0 q4 e) b- h; R  Q5 s' x" `0 |, l. A
1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

- @" x. o- T  h0 `7 V: H4 B2 目标规划的一般数学模型

- ]5 s1 i; R1 c设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


可用序贯算法求解目标规划。
. a) p# r( T9 ?
% h! l8 d8 Q7 t8 g; ^, c4 Z# X3 数据包网络分析（DEA）
- n$ M& t" V$ w# H3 Z: w3 H9 v( ?
1 [. T$ t* [8 J, B" H* _1 h2 W3.1适用范围
3 {' ^$ v- Q; @- B5 b
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
; y, |( \% m- p  j" `$ n
3.2 数据包络分析的C2R模型
' V, p  O5 k- m3 M* }9 Y( _: W
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
( ~" n+ i5 N( H向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
2 [% [$ J; ~  O9 N, M6 ~$ [+ [* s评价决策单元效率j00的数学模型为

0 A0 |* w5 E" o: ~# B5 M3 j$ R
对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
% @0 l7 K5 l2 @  t（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。






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