数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

/ I$ h6 a( ~: C! _' X线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
5 i3 \1 u9 ]  Q; s5 I4 u+ u2 j1 简介
9 a. S+ @  A. @' E& f. L
- `$ `) O8 P1 \+ ^1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
& ]+ A  Y+ b$ ?( O为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
+ s3 g1 {2 k% g4 t, |5 _/ W（2）优先等级法
8 ~9 ?) ^% o! r将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
* u' t/ q; x! h" d（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
* h% t8 J' J2 @/ I1 Z1 u7 ]5 q* M
; S& M  z' O7 b9 m' k1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
  G  _$ S: V8 H7 F（3）优先因子（优先等级）与权系数。

' ]# e! k: [7 V2 m5 S. p- S1.3 目标规划的目标函数

6 D) a( R/ `/ L; d目标规划的目标函数基本三种形式为
9 u/ L( Q& `$ A9 m; t4 G（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

- C( I" M& b) H7 |; R（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
9 n1 G- u9 n9 ?5 V/ W0 ^
. t5 @- ^6 Q* g) _! u: [6 s+ `+ ^
. @1 S; P$ X) a! v& f+ `, D/ P1.4 目标规划的模型应用
+ [- K$ B! s$ v- u
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
! L3 F' w+ w) b3 C$ {（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
5 e+ I6 B/ K0 y9 k
2 目标规划的一般数学模型

- w: I4 h$ [, Y设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
, q# j$ N# l  u) R! G1 _7 j. \
7 A/ i. y" q; u
5 P* X$ M' i8 H' |可用序贯算法求解目标规划。
4 O5 W0 B  |; G' X3 y* S
% b5 `4 Y5 L. ~3 f& a+ r3 数据包网络分析（DEA）
' T# v, d" I' a, C
3.1适用范围

  L$ J% v" N6 H- m8 r7 zDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
" j) t5 w. C/ t1 b( i
: O$ v1 Y# p( J: O! l9 ~7 ^$ N3.2 数据包络分析的C2R模型
6 E! R% n+ b5 V& s& R4 e7 L# d
% C  |; h  d' C, ?6 Z设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
6 D1 A2 ~& V! z, z1 Q定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为

  ]& r# t# \9 W) _! S) V2 |: H
对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
# Y, n& X/ P0 f- ]# w（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
7 r! P5 _2 p8 h" _4 u, F4 a" R) K& R
% b: p2 U/ }& t" S' r4 w. u5 y( B
( q5 A' C' {! F3 }; ]# a# Z. Q7 P9 }


0 I, O& J' Y, Z- P6 e1 }2 q- ^1 e
8 p. `/ F- R1 Z  d; l  R6 D6 z