数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤

" F9 }4 c  x# Q( e4 Q, ]
- k# p1 y8 G: f3 g
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
" u7 O) R, X* C
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

, f: {' |& M( Z( ]( ?7 Q模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
2 b" Z) m/ W& _! I
7 X. W; G1 Q5 R# _0 d2 A% y3 n. O8 A2、数学建模问题
9 D3 K& O5 p* D" _5 \9 H
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

8 H6 s5 ?! q; D3 H9 [( ~（1）数据处理问题
+ @7 I" _$ z9 x* d% m
•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
8 t& s% Q! f( f: T# v
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
- J+ ^8 a1 l4 m, o, }$ M* I
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
! Y5 X5 o: Z5 B' Y8 y) _
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

9 t+ k3 Z  w  K% ?( e0 F! c•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
3 ]) j* v- M+ T* l" L
! _; m# l5 L0 L2 \) C0 y% b  o* r•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
$ B( Z! t" j7 [4 Q9 L: r- j
4 w, a1 n# k+ a
1 R2 ~, L) M3 `( ^
+ T# x4 O7 E7 ]（2）关联与因果

& p2 }  v9 M* K6 W# b0 }•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
% Q( Z8 u5 U3 y0 D( _
•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
0 G. L% j; Y* C' K6 G; J
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

2 }) V/ C" b9 ?, b7 J; Y% v. m* [
  w8 j% _. |8 `& H
" ^% d8 @- Y, y# W1 |3 X（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用
7 U8 H, E7 r3 q0 G1 G* e: [
•②关联性聚类（常用）

" t9 @% s2 @: l- a7 m9 e•③层次聚类
9 R. z: Z# W3 ^: k2 p: S4 X
, v" d* V7 K9 V•④密度聚类
9 U6 B- I2 ]  `; K
•⑤其他聚类
0 A3 u  R9 P0 \! z
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
* M9 f3 d# P1 j+ v, k- q  j
- r1 J; Y2 F0 g•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
$ T( E/ M) w6 Q2 s- F- W8 F, @; V
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
3 l* e7 {* n% y+ E# o
5 ^  Y9 ]4 u& N: ^

: ?( T' z) ^5 m" [4 P% p. F% c
2 a' s" R9 N( n" f
9 ~1 t9 X3 M- i; E6 S. D（4）评价与决策
) Q+ l( U, o5 {
$ M+ m! u8 J& l# R•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
3 J3 v/ |$ i( t5 a
8 n. X0 M6 q5 D/ b•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

: `- X7 N; B6 E: S0 Z•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
7 j3 S2 Q% g8 ], q2 Q
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
2 l1 F  J8 m: T: H# Q
) Q0 P% @; c0 M•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
0 d2 C5 P) J  @+ b4 `) K
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
2 L( L* k7 C2 z7 t) J
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
0 ?( ]! V9 Z1 K* W" ~) ^



* F2 ~, ^9 x- D* W) [' T& p( S
（5）预测与预报


8 Y6 b- c' U+ R) B9 Z, z1 A5 i
$ ]) ?4 y! v: v/ ?1 g+ u7 @0 R5 k•主要有五种：

4 I; K7 ]! t. b0 ]+ l& M•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
2 E- X# z. U9 p# c
% I9 S: L4 ~, G: r+ K  U# T' e•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

7 }/ N& A* a0 Z6 H  L•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
3 [7 A+ w# @* d


! U/ a. X$ W# W) H5 S/ e•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

) f$ {4 f, t' a  f% P3 x•  a数据样本点个数少，6-15个

7 f6 G0 x  l7 N- J•  b数据呈现指数或曲线的形式

" g1 T1 q- ?$ }( j/ N  Z: l•②微分方程预测（备用）
5 r4 w, W0 p! T4 {
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
& D5 W; Q" U$ |4 |% {
8 z# j- X/ k9 o4 L" H•  样本点的个数有要求：
/ E, j+ g# m1 T* t+ q
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

8 M7 ?; @6 v  z. l% a# U•  c因变量要符合正态分布

3 l8 t& Q& }, F$ d6 R3 S6 ]! Q( r
, ?9 w! R% e) C  a  f
•④马尔科夫预测（备用）
% a  F0 l% Z. {! d9 S% I* a& _
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
4 K9 G8 a1 Z2 G
& x$ m$ a% O8 ^+ ]1 H& _5 z) a* _

3 ]- ]5 S6 U; J•⑤时间序列预测（★）
1 X$ m2 J/ j, G2 Z
; B% [* M& x; y; W•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
& k3 a7 B  d( f
•⑥小波分析预测

; f1 s, n: T' `% ?+ [' V& z•⑦神经网络预测
6 F. `/ c, D5 j/ C: f( B4 P
6 @* R: ]' w; x; c( H$ K# f5 O•⑧混沌序列预测
3 `% \9 _, Q* M, ~7 M

- ]+ {; y' P- T: M& p$ o
+ w+ G& [7 B4 g4 [  ^7 S（6）优化与控制
/ s9 ]* J8 F3 E7 m$ t# w
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
* s! K9 y6 m* _% q
•②非线性规划与智能优化算法
- A5 Z( Y0 s7 B
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划
& O: @  u! D& F
/ D' c0 p% K2 W; B•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
% p! F* c0 h# [  F5 f, `6 @
0 s) O! b' t4 Z4 Q9 h•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

5 {' X! f4 o) r) `4 J3 E6 Z•⑧灰色规划（难）
1 R% ~; J+ J2 {4 d' r
% d. U# B/ z9 p+ X5 W