数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
( ~. n" E  [; J% a1 a
' {* j$ o; J. a# W 1、建模步骤

$ g$ P+ X5 Q; D$ f4 v& Z1 a4 I

8 w4 N! v3 [  O) \模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

/ u5 w5 C( O7 \4 K( O模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
" r* u) ?2 B. m3 t5 D1 }, D
2、数学建模问题
2 ?8 B# {$ l$ b) Y* {
# }* Z* z8 X9 ]" a% n+ N) e' h! @  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
( W# c# J" h  i, `2 n3 i
（1）数据处理问题

•①插值拟合
. j  W4 ~9 R0 p0 M
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
/ x6 L" W( ]$ I5 C- I8 G
# V7 Z- z* `7 ]+ o) v4 c•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
, r2 K! F9 _3 Y/ ]6 z
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
+ n8 v2 ]% ]+ d3 G6 T
$ \+ c, l0 Y1 N% k•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
+ M2 S1 s( z; G# z
5 e& s$ w- y) ^, x( k( f•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

6 q' u( E: `4 X- S0 l; u2 t6 w•主要用于数据的截取或者特征选择
0 p6 L6 r" ^7 ], l3 ]9 I" t

( c' ^9 c5 G2 K1 S
（2）关联与因果

6 P6 H# |( W9 Y7 L: j; p•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
  M+ u7 T( E# N7 P7 @
•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
: m8 Q" ^) U7 f" J- w
0 V0 o& t. ]+ \* y6 N•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
- Y& _- Z5 D5 D, O
8 p3 m' v5 r/ J: I- }+ x4 L•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, o: X$ a9 q1 j, K$ R: U
% K- k+ P; x+ T- i' x
$ X& I" u- Q0 P- O
" ]% ]4 I. t9 j/ C! L- T（3） 分类与判别
, m3 Y7 |, a3 w0 ?5 @# c
•①距离聚类（系统聚类）常用
: r6 P, a% R0 |; z+ \( A: }' E
•②关联性聚类（常用）
) z9 j# T8 A5 z$ P* q2 J! @
•③层次聚类
. K8 X. ?8 k) ]6 G* T$ m
! c# g: J- o( c% T0 B3 k$ R" v% _•④密度聚类
) H% |" K  |5 u9 O
•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
; k  N$ }, o  g* q/ c
' [: i0 x9 c4 m8 _9 d5 O•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
7 F- l. ?6 U' f6 v) j
7 H+ E) x* C% T8 k+ f3 e7 `•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）




8 g9 G) n! d- \4 ?" N$ R
2 \6 s5 c) t* J4 g. H0 b+ H3 x3 ~3 Y（4）评价与决策

* G; h8 r3 v  ?; X8 m- l% R/ M•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

( {7 C% I* x. E6 S4 }•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
  |$ h9 \: ]0 g0 n7 [; O* t
, O7 \  }8 n9 Z! k  |2 |& y2 u•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
; G4 h  Q9 d8 K7 d6 M8 K* S* G
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
/ S" L0 r, s: {, V
% G* Z7 w* }) A, F6 D+ I•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
! v! d& ]- P/ R9 I  y
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
6 h& w. w# ?1 v3 H; m/ n+ ?6 _: l
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

% @$ l. D0 C3 I& ?4 ~7 y& M



$ C" Z  B8 n6 x+ e/ n（5）预测与预报

( L& V: k) T4 K# J

•主要有五种：
7 r! X6 l/ l7 q! t
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

# d4 ?1 W3 u& `! E: l•大样本的内部预测-逻辑回归
; a5 n' M" v% Y3 l4 ?; |
+ Q! x2 O4 I( v# b•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
' O( u- H5 x, W; p7 [
; Q8 E' O8 t; C; r1 Y% F•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
: Z$ P( S0 F3 s' x$ s
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
( O+ z; L$ t2 W) s; }
, `/ \1 q3 ?5 q9 ?2 x, S) y

•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

2 w* q, F2 ?1 I: H6 E•  a数据样本点个数少，6-15个
4 c9 x& _# J3 F
•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

# Y9 w% V3 K9 i% L1 @$ F
* o' B5 m5 Z& g# @3 E- g; n/ k0 d2 A' L
. E6 L5 O3 _4 k; w* O5 ]5 U•③回归分析预测（★）
2 i$ ]/ C" N% T9 i9 Z9 I
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

* ]% W3 D8 @' P% e. ~: r•  样本点的个数有要求：

  I, @/ ^" v! _' M6 }•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
* w, W( H( Y$ {* h
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布
0 N, G2 {2 G, t- `& D- j

+ K( z. j6 H: h9 s: z, f  W
: y+ d1 W, U+ \" @- U" ~1 L# A+ V•④马尔科夫预测（备用）
4 U4 z  J0 D) n  C8 T" {
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
6 H1 R3 t) J# G" ?8 P5 b9 T. T2 p


•⑤时间序列预测（★）
. `* I$ x' t7 O. d! \, t* n
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

# s6 k/ {; F9 I8 `4 x! _•⑥小波分析预测
9 i6 A5 U5 ~' e) ~
9 L7 Z- y+ X4 F0 k. ~•⑦神经网络预测
* d! J+ A7 m" e- V2 }
•⑧混沌序列预测
& s) \6 ~2 b! y2 K& B: |


（6）优化与控制
  v* D' ~0 w9 P5 r" B. ^3 R
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

! S- J) b/ ^6 D1 c/ {2 Q•②非线性规划与智能优化算法
+ y6 Q4 s9 w8 C
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
2 y% @6 r1 ]6 q. ]6 H; _6 U+ j
" H0 S) Y0 W: V1 \$ J+ @•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
6 D- Q5 B1 L$ l+ C/ \7 P
% f& w$ B  k8 C5 c$ ^- w* f•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
; m. C8 I5 J/ N
•⑧灰色规划（难）


. t; }# {0 K' }* f# x7 L6 f
: i( O" \& d# T$ @& N5 e& o8 E' w