数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

7 d- A$ K9 v* F4 m8 ?4 Z7 ? 1、建模步骤
1 I& ]; {8 i* D) d6 G0 S
* }0 l; q  {/ \1 W+ [. J
1 |6 i8 @$ W! n7 S* X; d# N7 H
# g1 H# p/ ~! B1 @  r( E6 U模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

1 n* U8 C0 Q8 j( b; m8 T模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题

•①插值拟合
' t6 p9 y* S2 N7 b$ n& W" H
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
( U" y' d: c7 n$ O
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
! b* L- [) ^- l  l' C3 r
9 V: a" r3 i: J•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

$ C! e# T! o+ {! }6 v7 Y4 ?•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
' E5 b: m; k$ ~, a+ p
8 s9 d/ A5 K# V6 M0 H! j! H/ O
2 F( f& j+ E6 d' X) G
  c- P! G5 \5 R- h1 @（2）关联与因果
7 N$ h% C& |( R2 j: U
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
0 i! X% v* U$ g
•②Superman或kendall等级相关分析

' y" x- ^: X3 j) O: Y+ |; t3 [7 K•③Person相关（样本点的个数比较多）
8 {, o. G6 M4 H* U* m
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

+ W8 \0 \# G4 p+ u•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）



* L; A5 A! Q0 r, i1 r5 t. Z（3） 分类与判别
3 J9 `# d" _4 e& q8 ^  r! m& i
•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）

' N; ?8 A0 t! l$ Q, D•③层次聚类

•④密度聚类
, i  V  r2 T6 O5 n: S+ ^
•⑤其他聚类
# K  Z; l+ F% A, O' V, i6 R0 D
" D/ A( T$ ^: ]2 s2 m2 c•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

+ C% ?8 |& [' ]+ D; z' A% W9 d•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
5 d6 a# n, `4 C! I( u9 s
3 f8 U6 b1 s( n•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
  V- O/ n5 Y& f' M: K


4 G3 q6 T% P( J# i
! w: s8 s! d/ i7 E- P
（4）评价与决策
' ~( g) K' T# y. a8 v7 Q
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

; Y2 b; D- f9 e3 m3 x•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
! O& v& q" n* O$ q, I
9 \  ~! ^; F& K3 ^, q$ i0 z3 N& h•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
) o$ D3 D( l1 C" L; K: |& g
5 Z# W% S' J- E. \( ^•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
1 n/ f  u& Y. d" _$ L
% D0 f" u" v5 k( }; n* }2 ~: U! b$ i•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
  E) R9 r- x8 Y: _, h  I
! o* F& D7 ^4 w. A( `•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
: L. Q% n5 n8 ~/ E
: R5 t8 Z& D! _* x•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
5 |7 h. p/ C! Y7 j$ J' q, x' N
5 W/ M- _1 Q5 a5 K- |0 F! {8 g( x4 n•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

4 ]2 t3 a, i1 s% }•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

& N; `* A: D6 s  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题





（5）预测与预报


3 w! g( M3 X- [
9 F2 W+ F: b/ v' w. i; d- d" y+ }3 C6 A•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

# `2 N+ l4 y; o0 T- N) I•大样本的内部预测-逻辑回归

7 T, v' |* S0 }2 Z•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
- x4 l; O0 g. S' V
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
1 q( b2 X& n5 t  w( }$ r


•①灰色预测模型（★）
- t1 ^) e* H* y* i9 y8 C: K
$ q: O  j/ E4 t9 E•  满足两个条件可用：
- _. d& j: o( q2 e# y+ U
•  a数据样本点个数少，6-15个
8 ~- v. l3 S  _; M* m. s, J
•  b数据呈现指数或曲线的形式
" G3 f+ s8 {% x- m5 H
! T5 f2 b! B/ B# t' |* f•②微分方程预测（备用）

. ]2 |2 ~" h1 q- W6 Q0 `" t( W9 f• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。


4 J: e: L3 U$ ^* C  j
•③回归分析预测（★）
" V; G5 T, j0 f( k% W
! e) f+ |: T/ G" w- f2 v•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
# F' ^8 f4 ~, s6 r
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布

+ y; Q$ X3 W& q" }4 g
. N, Z! l1 @: M. p% f4 D
•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

- C  ^) `/ L8 ]$ V7 \- A% l

6 {" A0 \2 O3 @•⑤时间序列预测（★）

* D/ E$ s1 |; B8 `3 V0 }# R•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测

4 D  d7 I5 \( `- y* [•⑦神经网络预测
7 j- p: ]. |8 L5 _. W2 [; Y$ D
( J/ R' M3 Z7 W6 G/ V' @- L1 T•⑧混沌序列预测
. E' ~$ K) K: O# T1 E: z& J
& k2 q# a2 o) f& H

; E; C' [2 W1 V( D, R" A& P2 @（6）优化与控制
9 o' a8 x3 _- v
; @/ l) F5 U, r1 h8 l•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
, u& a8 c% e9 @8 R; _; U
* p8 C/ R+ z* \) n& j" |( J6 X& R•②非线性规划与智能优化算法
! |# }7 ~& i. T9 y5 D% X) T$ ], P
+ Q% h) r" ~# ]; \) q) A9 v•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
( P4 O* `# n  Y8 @/ s
. z" t/ Y& V2 j•④动态规划
4 t8 {0 {$ ^% ~! k3 m6 ~5 B
$ o+ @. m# _, s1 \; ]& \•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

) {6 l& N" c2 w•⑥排队论与计算机仿真
9 J2 d7 k5 ]7 ?6 Q  E
•⑦模糊规划（范围约束）

* q9 ?5 ~  c$ j4 ^( v7 W7 b•⑧灰色规划（难）
* h& y9 Q/ T: r. ^& Q4 z


9 Y6 T) k2 i- C6 f5 L: c0 w( M