数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
' F+ v5 n! ~$ F7 a6 ^% }
1、建模步骤
% S3 r5 S. G" E/ g: a+ p
3 B! F! g; J' T# Q; K

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

% ?0 i( o; R# l# ~* K$ z* i模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
4 Z8 \3 M8 ]$ b* _/ i
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
. L: J. R4 Z! i9 r0 _1 {- f
4 O+ w/ ]" C5 U7 u& J' Q2、数学建模问题
" ~/ n" L7 ~" U$ r
! o2 v9 h: [" S' `/ L# W. ]  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题

•①插值拟合
- ?0 R. l7 P, _: X  q/ H  f
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
( j5 _1 L, J7 A8 N, r) s
2 h  l7 {5 Q6 i# s# O9 L3 _$ U•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

, y+ l6 O. R! @5 H" e2 ?+ `! h8 m•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

8 L, @: V% p7 c1 q•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
  U* z7 n/ Q* n& I% x* _- N
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

  d: I! m3 o. g- ^" |•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

1 W+ O# Z0 d- s9 L7 i/ F4 n•主要用于数据的截取或者特征选择

) L+ B6 }# A) E

（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

6 R' v  i6 `8 B. F9 ^0 b& B  D•②Superman或kendall等级相关分析
+ m( i9 \! e, f0 D
•③Person相关（样本点的个数比较多）

/ R* U2 i" d9 o) B) K•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
% |+ x- {" T3 s8 S" `/ u" B
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
  Z: o5 g. i- j7 t$ p% _
6 g) N7 O) y- ?7 B$ A  y, Z: h
  h. B; c# Q- ~) C1 _# M
（3） 分类与判别
( q- e2 u9 x3 E2 M
3 X8 V# L0 \0 g# f) B  E# O. q•①距离聚类（系统聚类）常用
/ j' ]! X8 Q  X3 K% H
•②关联性聚类（常用）
+ ~1 g* q2 H5 B3 G) F& M3 e
7 E8 a$ f6 ]6 ?" g•③层次聚类
* S9 s% J6 ^$ x9 N8 z1 Q$ Q
•④密度聚类

•⑤其他聚类

* R( M1 g( f* h8 T( `" Q, t$ B•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
' Z2 S, B( z: S- ?( v/ h8 h
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
# V5 @+ i! d4 X3 {- p4 L4 N
# e/ {! @" y" b  ^- I•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）

8 F  {; E0 W5 Z1 I( Q2 |! \
1 Q% d# S2 A$ m* L) |" `& g


（4）评价与决策
' Q2 _5 A/ C! s. G
/ S6 q% S, l; R1 _( |•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
  k1 l9 X  A! w# h
' ?9 h8 v2 K6 j* C8 ]) W% E•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

' ?9 c5 ]' D% f1 d" X•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

$ l) Y$ T& ?. Z8 Y•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

% M2 l; G8 Q2 U- C' `) z, Y1 P: w•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
9 v0 s, s3 H& F) b' i
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
) T( N, S9 b$ z  I
6 g' r" v6 S: r0 M/ a  W" x•⑨方差分析、协方差分析等

0 e& E$ @8 n* l9 L0 A! @( t•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
' E! c/ E: D2 W: D4 m: R
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
( S# R4 S* z  k( |




（5）预测与预报

5 I! U8 Y  y1 @8 b

•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
9 a; |% p  p/ t8 o4 p" \
•大样本的内部预测-逻辑回归
! i+ X" N% p+ E; X& g
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
/ K3 T9 P+ S7 B" t5 I
' W- C. a, B. ^& B$ V* ~7 ?•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

  G( e% A; E. L: ?2 c5 [  Y
& S( P! l3 B& O0 w
•①灰色预测模型（★）
$ p; e" r0 f. h  C* L% R6 Z
* l: W. d; d( b$ t•  满足两个条件可用：

% a, O  w, @2 `3 j/ ^8 z/ z; |•  a数据样本点个数少，6-15个
1 X) w; |( A& j+ T6 S$ m
•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）
: J3 T: S/ ^9 G
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。


+ i- R0 b: y" A2 J2 V
2 p4 W( G: r8 R- G  @: p# M) q•③回归分析预测（★）
2 F9 F& ~: Z+ ]6 _0 ^2 |# t, f
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

4 y; e1 S! c* B" G: j; ^•  样本点的个数有要求：

+ u1 d1 `' G$ a" z/ K•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

9 H- _8 q! u0 O; w0 m+ C) |•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布

% T1 v( J- v$ s
4 k. w4 }% Y9 o$ j4 Q* v5 s* @
6 ]8 k( F! ^# X( T. @•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

* D/ T; L' n$ l# k! M6 t

•⑤时间序列预测（★）
* E& a7 X  U9 J
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
* t6 i& t5 H) Q
  ~0 j2 ^) K$ F0 j4 I+ h•⑦神经网络预测

% l5 V. m& |6 c: w$ {: U! e* L•⑧混沌序列预测
; @& x5 t% N5 l# K: r# b4 _/ x
% N" S9 ]. S: @8 A
; o( h% Q* D0 O! w
8 a9 y- Q* A. ~0 g" n" D（6）优化与控制

: n' F" J+ [+ K8 ]. c  h' v•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

* z5 S- T! H4 o/ w$ g0 W$ W" e•②非线性规划与智能优化算法
( |. h0 E; q: D7 ^7 B
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
) t! d5 E( [7 o
/ c' m/ E/ g; m•④动态规划
8 |0 v  g8 d& S6 c0 T% V/ U# O
  J8 J5 `) j4 M2 ~8 ]& R+ g•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

" k# M. p4 L7 S% W! Z" P6 t•⑥排队论与计算机仿真
3 M3 E, i" l- Q
  |1 v% y* B% W) b. \  F$ r6 M  \•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）


, `$ X# @0 x% s* D