数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
  v2 i. V( b: n/ y8 E
; [2 Z* t- \% r2 Y' Z* q: R 1、建模步骤


; b- I. Y4 \5 k6 K0 [' I4 [
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
/ k' D) v) \5 V  W6 p" E8 j4 t
# ?. u0 s! ~1 O: ?8 z1 @" ], i模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
( C4 \  J! @* I& N  Z: J
( W6 R9 ~9 G* t, g- G& s3 d模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
% c9 Z" M0 p4 [: b
. n3 m" H! u8 p2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
1 b' T9 w7 h  A9 B& j0 }. |4 `
（1）数据处理问题

5 W6 s& }6 t) b- v% U•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

. A) ?/ P9 u( z•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
- t/ {$ ?* \. ~: T! F6 }
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
4 z( D8 e: |0 v8 k" V; p
' q, F3 a2 G: l5 X# `. v•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
& \7 X0 J' I4 E5 h
•主要用于数据的截取或者特征选择
: R0 P7 _0 X# a9 ?
2 F: m) C$ u7 |- j9 s6 M5 k( f
4 @: l7 g' E: e: o+ j2 y  |7 Y% u
（2）关联与因果
3 J' c& T$ {% e: ]/ L
+ w5 Z+ P: E+ L: I" r; W* K$ T•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
2 t5 n' }$ M# D" U" A3 O  U+ e) c
•②Superman或kendall等级相关分析
; B2 `: ~0 k2 v' x, K
•③Person相关（样本点的个数比较多）
7 @, j2 ?6 c( K* O
7 ~! u) }9 g( w0 S•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
% H6 O8 r% ~( n) K
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


2 j6 a* \# M0 [8 Q' [) F; I8 ?' K
（3） 分类与判别

# R0 j6 j" i) x; u% z0 k' l•①距离聚类（系统聚类）常用
. f; x, F" F) Z% H  ~- T) ?
•②关联性聚类（常用）
# j! D& ]; H( \* I
- c0 i+ z6 K" Y0 v•③层次聚类
# j% S  ~7 Q' i) ~5 O* \
1 m8 N& T% q! a. e) S•④密度聚类
( W; \5 Q! d, a- f. ^$ |$ w5 ~+ `
' q' Y6 g8 Y1 S+ ?•⑤其他聚类
! x4 i  r1 \' J4 s* ^8 X4 V6 }
8 `! h5 y# ~. |1 d% {. [: ^•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

* S  X( v3 B. ~% O% d8 c•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
- y. \+ u# r( i; Z
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）



9 ?7 G) T8 N' l1 V( `$ k
  i. Q, a6 B( u  g2 {  G. l
（4）评价与决策
( p. {$ `) x/ M3 S0 V) U. K6 R- M- m- u) p
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

4 x) r: Y' s1 J- m; _6 }, K  c•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

, [9 P& y* {4 S9 d# `•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

  P) k0 v& f6 }" U. X( f•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
& ?3 y$ X9 K. c- {. N
; X$ N; `" X( l4 e. m•⑨方差分析、协方差分析等
* f" J: p( T+ A! Y* G% s' E; q
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

: R7 I2 l. s/ k2 ^6 n+ a: R  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
: Z# r7 w, |/ t3 n6 e4 U" }  C0 K5 Y5 ]


; w. s' W# S2 x9 W

) ?% @# O6 X- B- E) o4 d6 Y: E（5）预测与预报
" R7 R1 f) D0 R1 D. O- y; b, ^


•主要有五种：

  u& @4 t( v+ [% v" r# I•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
5 H0 G2 F- Q9 \% v) D1 _
' O, K1 V; X* n! |# K6 K) C! a•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
! Z5 n+ U% |# D
% g* p6 {- D: \; B+ a1 W9 ~: s•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络


# k- k# Q8 B- @3 c) g) W
•①灰色预测模型（★）
7 I9 t  y" |; H7 F! X7 U( m$ e: p
. h% B/ V; @0 d7 J; ^' s: U. L•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



6 T2 g% w6 h! p8 |•③回归分析预测（★）
, B! F/ _& i9 X1 O/ ^5 }) T
& u3 t0 J: ^7 @•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

7 \. d/ `9 ]" L( B' ~4 d•  样本点的个数有要求：

: G6 n9 d3 g3 d. r1 b/ G•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
8 O/ D; W2 z( h. x
1 g) N  q( k1 K2 D•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布

4 R* k6 ?! n0 O/ o/ ]

8 ]- H5 |: h& j•④马尔科夫预测（备用）
' w2 ^) e4 y* V. c& i+ P3 B6 v
$ ]& [4 ?2 X% z1 L•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
5 r+ O* u3 J" J0 u


•⑤时间序列预测（★）
/ W' c& v& E3 y. Y! A1 c/ Z5 ?
, B  {7 U' c0 p+ R* A1 y6 H•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
) |1 H: `( \. V, V4 X
•⑥小波分析预测
2 p( S# j+ t% ~
•⑦神经网络预测

% M" v4 v5 g' \0 I  X8 A1 |•⑧混沌序列预测
2 P2 J1 ^* o4 g9 B( c

$ X% j* k8 t/ i
（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法
6 `: \% u9 s( ^  J% I( C
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

+ C7 L+ E; u6 A2 U4 v4 w7 p( B•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真
& P/ P! H* L/ `3 n$ p
$ n. o% I. w, ^( t! X6 D: O•⑦模糊规划（范围约束）
+ a* ^! M1 M/ b1 U6 C( C
•⑧灰色规划（难）


3 B* M/ ?* c) D9 T0 N

$ C1 s3 Y" U' O, M5 O# J3 s