数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
- _( \+ ?, M8 `& g: e数学建模问题总共分为四类：
& Y9 m% e5 M4 E* `- d. P+ J1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
, T* T, v$ C  u
& ?+ R& V! U% i6 I一、粒子群算法（PSO）

  D0 o5 [( m& \6 Q* {算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
! h; g% w1 J! u5 c+ _PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
' s+ P2 X1 J$ l: S2 X6 p5 _
基本PSO算法
: R- k2 K0 X$ [; a1 }6 V) u
9 J5 v& ]+ G9 K" o# q+ fD维空间中，有m个粒子；
/ U* H2 H9 }6 y: k4 E! a粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
) P; G% r' d; J' n6 B群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

" |6 ?; X1 I% l4 ?3 y! ?6 X$ B
二、模拟退火算法（SA）
  Z/ D" E7 y$ F! Q$ G- S5 K$ x
模拟退火过程：
6 `; Z$ |# r- F- w# V/ |设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
0 F( g# `, ?; z! `热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
. C/ e* |1 U( `$ e0 g' J: ?降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
! W7 R8 C9 c; h; v+ O
% i+ P/ }& h8 m三、遗传算法
3 s( h3 L1 {. k1 k
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
( o' ]1 i$ [. R# D
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
* }  H( ^, F& [! \- X适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
, ~3 h! M/ f6 H: o& Y遗传运算，交叉和变异
2 D& W7 t+ @3 ?. o+ h; ]( Y7 X选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
. S+ C) [) _2 w$ I1 o停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
* o2 w, N: _" q/ J6 D
& @) J, I; `/ a8 b7 L% @7 W1 J四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
1 ], V' e. I2 E$ b$ _
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
" _6 L6 v, b! d3 B7 g/ _& K3 ]+ p1 ?* T1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
0 g0 \/ U) ^7 S3 J; x2 b, a缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
! L, L3 q% t3 g9 }+ Q2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
" L  s3 ]3 U9 d7 s0 u( O8 o
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
! d3 w5 @& N  p8 ~8 ?& W$ L可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
' h+ v: x$ M( U(3)移动邻域
# L% |1 @0 T: m移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
- ^( L0 B1 l- e(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
9 E; g+ u! @+ f
六、蚁群算法（AS）
3 P( A/ p, S6 _7 ~8 H' V# x
# J, _8 M! ?* f1 t+ L
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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  o7 x- V8 P3 ]" u
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