数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
* E1 O+ F  M9 h. I# s% ^数学建模问题总共分为四类：
0 e! T7 R7 r( d: R1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

9 _9 B% l/ R; {) l4 c# c6 Y一、粒子群算法（PSO）
5 Q# c- n. L9 w  {" Q
0 c' a/ B4 Q; L$ d' U0 Y4 K! G算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
7 X3 o, Q5 W6 Y: V" _8 `% a# t' R/ t
5 D* r# S7 U" R: U( S( N1 i基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
* o( H6 ^  V2 j+ R9 b( f粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
. `/ V+ n) j. V. j- ~. Z: M3 w3 M粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
! b$ M0 c% r9 ]4 n, R' ~+ ]粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
% C& c3 o. f8 ~( t& ?' g

二、模拟退火算法（SA）
  P) ?9 R& V8 \  c: ]& L0 P
模拟退火过程：
: k8 p6 g4 ?' C# J+ T/ l设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
3 e% U2 Q; u# V' t降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
. _1 ^' R" y) ~2 |+ n$ K) q. u
7 A# ]4 ~* V0 o$ M+ A产生一个初始种群
8 A8 v# s/ e' y, Z根据问题的目标函数构造适值函数
: {5 e) i% ^- Y& r: d3 n" K$ K2 b根据适应值的好坏不断选择和繁殖
6 z. G, J/ T0 }若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
" N; N* h0 c# I4 z) Q2 ~7 Q
四、算法步骤
初始种群
3 h! }1 l) H8 S+ e3 F编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
2 ^- K) D/ W0 H' q$ g* ^/ s适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
2 |8 C# o0 [' M& d& k1 h选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
! |- U; d7 }$ T$ l) l+ }停止准则
$ |+ C$ C0 A% Z- W/ c
' {, a) K: R: l& f4 X: d/ i参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
+ M# v; a. h+ V
+ M3 f' q6 j- p4 {四、神经网络算法
' p3 R+ s) N& g
& X2 e$ x* `4 ~+ e% j和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
! T6 X* O( `5 d
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
) N# A5 m5 |9 Z, u; C7 a: O  P% }
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
/ `" S  L  P7 J( @9 g+ o$ X$ t1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
# ]. y8 i* f  p' _$ Y1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
& u* N# _$ s+ g2 F! I
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
: q3 P% J" ]0 d7 p8 m# _! Da、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
* Y! z4 G8 Q4 Y/ pb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
2 N+ Y* S* v+ X: M& ?/ n8 [5 I可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
4 Z) A% U' }: f# {0 e5 \移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
2 v9 D2 p8 b# f从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
9 S6 ?: G+ k+ g禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

1 B6 k; W% U% x* G% O
& }6 c' h& U# K+ e) o参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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7 O  A' ]9 v  c- h- O
8 h. ?: v& M& [, B. R& S8 t