数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
/ L8 i% w2 j: A! O+ N4 k1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

, {+ M- A. X- o: W" L一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

! V4 W3 ]  H6 F8 F( |基本PSO算法
0 y/ \* h7 G/ q- i0 x8 `
; O, S) S3 p) y' T: }5 ZD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
2 L7 ]& w5 m' x  ?6 D4 g4 @. G, [粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
7 K+ s7 v1 U, R' R) Q/ i7 p: T粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
, A2 S2 c9 u+ k: e4 Q; ^" i, U1 f) {

二、模拟退火算法（SA）
  i- U2 q( r+ X& o
0 m. O- J) v+ a- }' ]& m模拟退火过程：
% ~4 j& L9 e0 M+ C' ?设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
2 d( o3 G1 h: F9 l8 e热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
9 a4 N. f! N4 `5 y, C1 k降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

2 b' N  @: E% p. P( n% B产生一个初始种群
0 b4 j* I% R6 z' ?根据问题的目标函数构造适值函数
' |7 U$ l  a) X1 R; p根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
7 e7 I" Q0 `% g+ Y/ r2 R遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
% j' {7 I3 B# Z( ~. e停止准则
8 |; t$ i, f& ?0 c
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

3 s! W6 R% Z: a) j! d* _0 W2 m. @0 P四、神经网络算法

. \' {  r( c) I/ V. X% X; n7 `# h和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
, |, ?) z; h$ ?4 Q/ h
9 o% o6 x5 ?) l7 w4 p- c五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

3 Q! t& W8 p( Z( o, C又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
+ m9 X/ d7 ~" w( F/ w5 Y1 N$ m! j优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
) I6 `1 z' L$ L& e6 G! x1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
9 }5 h. o7 l. T- ?2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

* j/ f0 z% B' b+ `) F# B, w! L$ F* r将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
  `/ s* c. T. h. E; Q! Sa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
) _% a4 e; G! O9 h4 y可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
  y; ?3 K( U+ s' D5 [' a* C4 V从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
  U6 r/ W( s* z9 ^8 i& m5 X: X(4)禁忌表
$ i$ v9 z: P9 Y) k3 e3 Q- M禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
- y& i" k7 v8 Y% M+ E4 z( Z6 ~A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
2 f# v+ e/ S1 R( A6 _* @2 o
+ I% {/ K: J4 S* T  _六、蚁群算法（AS）

% N7 ]9 S6 A- T* c' M* H  Q/ h
0 |7 F; U& b+ m参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
) q$ P' }  [, s2 s( p' G# W---------------------


- A* Q8 f. B3 b6 f: E* n7 h
: b' X8 a6 W. ^. O  e. ^; L8 G
: s, C+ s4 H! A4 H" D) [