数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
: E1 \" s' X7 V数学建模问题总共分为四类：
. U( J2 f- w" B" c5 B$ C1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
2 A# V5 C7 k: A  f. i" n
* z4 k  H6 Q, @! Y一、粒子群算法（PSO）

+ T4 O9 K2 T& [" u, r% d算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
* {  W) p" _0 Z; _/ C
基本PSO算法
: f5 A' u: v4 R$ U
7 W) S9 }1 X4 c) K: g9 K% sD维空间中，有m个粒子；
$ E' I, Q) f' m粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
- `) {  d0 K! i/ \9 ]粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
0 f& C* t6 V8 k$ T6 a2 @粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
7 o, }) b# E* q
/ v6 e$ o4 `4 B7 j
6 x9 n; b% V* V$ r* H二、模拟退火算法（SA）

* I! P* p2 O! q7 |& ~1 n模拟退火过程：
# ]: V3 t9 R/ o7 ^* f设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
2 g( ]- r5 Z& ]9 b热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

+ S" G) M6 z+ O8 C三、遗传算法

产生一个初始种群
6 j8 m/ O* P+ g  B* P" T根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
" {3 f/ t1 S* w2 f% J( @若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

0 p# N9 s! \4 @) p9 n& w四、算法步骤
2 e$ o$ r" h- |, _) W初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
; e) m/ _! u! s4 d5 N! c' V9 j适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
# r( e, O" X$ e' @5 x7 ]选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
, T2 U) }/ V  I( F9 @4 P停止准则
2 V/ \; |  j% f) r
5 T9 J: A, D( S2 [参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

; H* [, G3 y  b2 c7 |; y$ i和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

( i  p; {: O* _/ q0 D, f& T五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

# ?' s4 r& q. x; D9 r9 n' c又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
0 ]2 B; \& |) z1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
6 }' S8 ]+ `' z7 [) K$ D  |, C1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
& V( r9 O2 X+ a4 B5 D; s可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
. f( T8 V6 r( l& O- u9 f3 a(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
* Q$ W" w2 `4 F8 m2 ~' c从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
: q3 ~5 Y" u3 d+ m8 a
六、蚁群算法（AS）
6 O! g4 A5 N" {8 }, W) f, p: ~

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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  b; j+ Y7 {* p! i1 [$ b( U& H
+ C7 D" Q! A7 |) b* t* j
7 {! z4 Y8 A5 C' t1 W0 J- D  s
5 k$ Z8 i: b9 S! _/ x( M1 A( o7 D