数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

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数学建模十大算法漫谈
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* @4 L! S5 Q5 D) P2 t. G作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
8 o7 V' `1 A) U0 ^8 yIII、维基百科
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博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
, A* {5 v4 K% W& s4 h5 o2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
  D+ X2 y% g, T4 _; ]7 Y; U毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
1 ?7 w0 `% C% y9 K若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
" D% G2 O7 J% Z8 k谢谢。
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. B- p: x. s, ^8 d: [* k) K一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。


( g9 e! z/ U% e; [9 x' q" E此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

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0 e* O5 v8 w& p3 Q蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
5 b7 |+ X4 b# P& f  q
' h1 w" t' {% E* U- _法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

& l0 @. [; W8 i8 H. W为问题的解。


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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
( ^$ R8 N  u2 u3 l假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
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度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。


, h: [* r: r) h! b1 F蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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8 C$ t/ h5 a9 K( w+ L5 J拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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近似解。
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
( ^5 ~( o1 n: r" w- ^3 VIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
/ [3 q& z. @# V等等。
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5 X( w) ^* A8 Y: i, `9 G, B; A! Y此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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1 w4 I8 [: Z7 y( C; L- @吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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' `' y) r4 A  n& p三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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$ L/ D/ `' z: R+ o) m1 M. {、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

4 E9 U1 n& R; f# b7 e9 F& H完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。

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四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


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/ j1 L: I0 o. \- C% N& I( y关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
  d: U, h& s9 d' z同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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! C' F! D$ x5 X/ q- g7 Z经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
' t& f0 h  f. m7 H/ ~http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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* o. |, s, B6 c- f' @0 i, m1 l更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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* l+ H  a% |5 {; L. h& Z8 \" q6 E: h五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  f" G- w2 }) r& U% B在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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5 u4 q5 h" y1 C这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
% Y8 P/ ^' U' V9 c8 F/ B7 K推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

- G5 w% D6 }0 \/ R在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

1 |1 y8 l5 R' j' Q. _  J% S& n以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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6 j9 a3 q+ a: h1 T5 _另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
7 {. D, U" K' B$ @, V% w" phttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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3 ]- U4 w; Q! [; f$ P: h
, m3 e* j& o2 m: ~其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

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/ f) x0 Y" d, O1 ~% U# Y# [七、网格算法和穷举法
0 g0 h5 z2 Q, w* E网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
9 D0 K9 |* O1 T6 i: p1 c, T3 o比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

) E* I' A7 @+ W那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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4 r$ \* _# i" `& s  p在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

/ K7 i7 P$ F8 n4 m/ Q- N* c7 G快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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八、一些连续离散化方法
, `& M: u, G3 l9 J) j) q* ~大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

+ B8 B" l0 g9 t. W( I中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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6 r" v- b* _6 g, w& c+ U* Q* D5 J九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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! \0 p' e" \3 A5 U& S. `算法。

9 ]+ ]; ~! M  D& r4 K如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

& i! Z$ S6 v, ^: X1 `; w函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
6 L# ^2 y- o; V" y1 F, A因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。




十、图象处理算法
  }8 t  C# ~6 Y/ K8 `1 g在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

8 I' @. n% E; ~+ [# Y1 d计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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9 T6 |9 `9 F! P* [  x; a因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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- w3 _2 T9 ?( }9 H- ^- I: O作者：画面太乱了
# c3 _' |1 C! q5 O来源：CSDN



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