数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈



作者:July  二零一一年一月二十九日

; @& s' g2 c) ^1 x6 l4 c6 ~本文参考：
5 t, m' `% }% k0 j. l7 w0 e  _I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
0 K6 D# N: j  ]. i" h- C. KII、 本BLOG内 经典算法研究系列
- ]& G; D8 B0 i$ s% g0 EIII、维基百科
" H/ J0 @' J7 o
5 {) }& f9 J, C1 }7 ]" S, |$ F------------------------------------------
% {' W: Q; V/ F) a% q* J; p
1 n# m! j' L" z博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
  a  k+ B2 D2 s5 c0 e; ?. L4 h' B这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
- o  I- e; ], ]' [8 d& c6 {8 q2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
1 I) g5 a) `# i% p( t+ n' |/ f7 j且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
/ J2 R! Y, R% r7 b& x( ^若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
3 `4 Z4 y; q; s$ s& i谢谢。


4 S5 r# M- n" l' n8 F9 K# W% _
) `. p: Z( L+ k# T- C$ K

" G; y2 w' g; o9 z一、蒙特卡罗算法
% Y2 G4 g% ~3 t7 R6 O; @1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
0 k0 f$ p% ~# t; y1 `$ z- `共同发明了，蒙特卡罗方法。

- k4 }; G( k% d$ _6 h2 C4 R
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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2 m7 ~( Q, q# S
, b4 E6 p% }5 u+ R9 H* X
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
3 W  S, p% m, Y, d3 ^( i
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
# ?" a7 b$ k5 t+ e& N/ f" \
+ f( W) i0 t% [% u  h: l3 R* q法。

* p3 i+ m5 m2 U$ }( N+ O4 n

- M& r6 @' d& N4 m3 M; k& I) ~  q; X由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
# X* R6 f1 g: ]: _
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

$ G% H, z3 Z1 f  i, L0 Z' O蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
" N+ C" V! c: N; [3 M: N" g  B3 Y当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

& X* a* l. x' ?* R9 N' t, d0 m为问题的解。



, u/ v2 @$ q4 c$ Q' v- e: G有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
) G/ K7 `8 b- h* h假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
0 D' f' ~3 P; |6 G

- I+ g* [- y7 G3 S; s蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

: g3 n! i5 D. [- g拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
5 X/ S6 ^5 ?0 |# L( |
* y- z$ {* y6 W. i近似解。
. g: k! E. G2 e: ?4 J/ W  r0 z
3 C6 h3 B" d2 h* c
; u% g! r/ [/ b; ~
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
+ Y5 J  Q4 P! T& B4 F8 q; w
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
) s* M3 b4 L* O2 \5 yI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
1 N" i0 ~0 J$ K' NII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
  Q$ J8 n; u! |& R8 O2 d7 O0 d等等。
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1 Z2 R# U& H/ C$ R此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。




2 J* W, I0 v. g# k/ Q# G二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
+ D. j  c! ?( R8 s2 g5 c
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
  M3 @. ]0 M9 u+ D# `5 z
0 W) r9 P5 D5 q吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

- [# `1 I0 I& \9 j7 O+ Q/ A
  p* L: |/ r. D3 v  g8 h! ]9 d
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
4 \) ?. J# u  g8 D3 X
; y% O/ x5 n& Z+ o) i1 t. X& C

% V+ @' g( z. o' H0 s/ G2 Q/ _3 }3 A
+ Q" c! [2 i! T; J% d# I三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
2 g* M$ X- O8 b: a4 v数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

3 `: c# [! [5 ~% n8 ~; B! U/ U$ k+ r完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

0 f6 Y* `8 [" I; i* w需要熟悉这两个软件。


( ]' i5 a; T8 [0 x
5 c9 q' |- d2 p$ A$ M) X9 G5 F# X
5 `0 H$ o. S8 ~四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
; A+ F* a7 Y. [0 u! \: p
) C9 A/ s$ M" @" ]6 u
, h6 b" S4 o% S0 W( L( }" H+ C
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
) d! J5 [: k- [0 _( l( W0 ^# k' U同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
0 b* I+ e" k3 z9 ]-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
2 c. X' e3 W7 jhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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0 F& y) ^& T2 E4 t, M

" ?$ Y- p, l6 q! o
7 x) W5 E1 n7 T6 m, S, J) ^6 Q$ ]" S五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
9 n% T) B. b: J  k+ q此外 98 年 B 题体现了分治算法。


这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
& L7 l) g- @0 }( ^推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

5 R2 W, a. x3 c& k, f; ]/ X: O" G说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
2 h$ A' r) n1 H5 V( p03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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; C9 F$ k( M/ A" \3 T& Y
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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7 `, Q# _  E' l  ]8 V# U经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
% O( Z5 D4 x1 y
+ @: S5 h& Z' [' S9 T+ D5 V; Y
6 D3 [4 H$ e7 U7 {( n4 Q
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。




/ M; q6 \' f) b- [# B七、网格算法和穷举法
% V4 Y# k7 ]0 B7 o6 t5 A网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
1 B  p" H1 F) o7 e, O比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

% u! x& K* W1 P, Y# `+ J! ~+ e- P那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

# Q- N* n- J7 T4 P
1 T+ v5 `, L' a0 `1 B在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
7 Z- x* {5 o; T0 @
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
! ^+ o7 a1 @. C5 l3 L$ t
; D' P. J5 @4 R9 W- P: i
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
3 t2 I1 O2 ]3 s& F$ M事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
# B0 }' `5 [9 t* C' [

0 w( N- t0 H3 J2 A! C% A

1 p) T) g* G. l6 ~  v, b* o; \九、数值分析算法
5 c+ N  }# q$ ^" p! P. \0 `数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。
3 }4 {: I& Y& q9 s; K) s9 y+ j% u- u
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
0 j( {: Y6 a0 J7 S6 v( ?. h+ I
6 k$ C0 P7 D$ G) P" ?函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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- K  F/ _+ n& i8 ^3 k9 p: Q十、图象处理算法
! Q" w( `2 u/ ~8 d8 x$ j* b- x在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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) c2 r4 p# }7 N8 `0 K作者：画面太乱了
& f9 B2 V  l( ?8 a3 j* G, i来源：CSDN
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