数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

# p. d9 Z% z* Z$ {* X数学建模十大经典算法漫谈
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( q( D2 }0 C: U9 P& A$ n
! f+ R% |, Q1 p) Y$ z. w  W; E作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
0 Z4 g8 ?; i, j5 d' n7 ^: {/ TIII、维基百科

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9 k" E9 q' T3 k) d博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
: q1 y+ F8 m, e. @* I6 U6 O2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
! ?5 j& U' K2 D同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
# j  X& s: c) {! t3 u+ r8 A; a1 {毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
+ W6 J* T9 b) b; _. Y3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
) R: Z& c3 j4 b谢谢。



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; h, q2 h8 T. j7 d1 c2 P/ T' q
一、蒙特卡罗算法
4 |$ X1 j* e2 O+ E/ d) T+ i1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
" |+ k* `9 m4 }' Q) b6 u* b共同发明了，蒙特卡罗方法。
$ l( u8 U% l* _& j1 s$ \2 W' B
" l& N9 Q# }9 D. J$ {% U
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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7 ]- k- r+ r8 t# e* e3 O
* N) ?% f3 V4 L/ G2 {0 j蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
5 S# Q6 ^  S( u) \1 c# @
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

# F5 E) v6 u$ m4 m( Q7 E  p( ^法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
4 M+ L8 f# U0 c1 u, d1 V
: _0 J. s& u! _3 l7 b3 f+ o蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
% m5 Q& Z6 i! T$ o8 n$ H+ ?
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。
+ Y, @" L9 y8 x5 g

: F) W) o+ b9 a; e, V
2 x0 I* L, B; w  L有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

% g* e8 m; U; q/ G; e9 n度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
! S0 Y  y! W/ ?, ]  _
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
) H1 M# t. }" S
  q9 V8 P9 a+ j6 z: _7 V0 W，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
" e8 H+ H0 b* M! C0 i4 w
4 r" b. ^/ F$ Z- J0 @2 D
& T6 |+ _, \, e  m  m9 q- Q  r% e蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
3 [: O( `. _. l- L, o
% h$ O: G6 _+ q拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
1 \8 O6 F" `' r: \
+ j% F- B3 Q: U# I- D; K近似解。


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$ w6 `( @: K3 V- V蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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9 N4 o8 E  F3 Q! Y$ m$ e" P蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
7 h* ?5 f% t8 r, L; F: }- h" @4 wII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
6 W3 d! Q/ i: ~4 h' d0 Q% [III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
/ U" Y+ `: ]) b* N( n等等。
, T2 o8 `. _) o2 }, o+ R- L- b+ Z
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

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  M" `8 K  W- _5 o' u' n: Y
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- i9 ?7 x6 F/ ~( c% d# q7 N5 |二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
" O3 j! z- j& Z' a1 i我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
6 ~- w  }; h+ w  G7 d- {
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

6 P. i' ]( p- e: A学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

" K9 w! i/ R7 p& T$ t
2 q' K- G+ G. Q; R
9 z' H9 h; o; L此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。


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. R6 a! j: G3 X# R三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 s! y; H: `' ?, S- a5 u2 D数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
, D( \7 K+ i+ {% V% c
$ |  C" L8 }4 B+ u7 @( m、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
, m% D$ M  U: q7 n4 O4 W
6 A2 o' i. s! a9 c完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

- \2 A6 e) Y2 e! @! P& p( _需要熟悉这两个软件。
( U) a1 r4 L  \( B/ ~. O/ g

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" A3 D# m+ n/ b7 L, ^4 v. x四、图论算法
这类问题算法有很多，
; O' I+ a% n4 P: S1 F0 f2 ~包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
  G4 h' T' d0 S/ u* C" k6 A
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5 f/ ^2 h5 ]8 e关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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$ r) ^7 n. {! d# q经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
6 F' L/ i/ ]# Yhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。


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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。

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' X+ U( C# ^1 h; O; Q这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
3 \" f# C$ o9 U- y' f推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
( a6 ^6 M/ g- z1 g& T% ]
) q- Y0 R3 @7 S4 ^; _* P在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

* E8 h, B) p1 q0 w2 q6 m以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
$ W" S% P5 S4 U2 g" s6 Y. W03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

* i' I! Y- y1 Q, h3 ?

# t! g0 G. a# E. Q. o$ K+ x另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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( t  d6 ~" i4 E% `3 e' r! R0 e: G& F经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

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% G9 ?" t: ^  y7 c
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
* U2 b3 W/ N% r0 l# a1 H



七、网格算法和穷举法
7 ?6 e! _4 l% d网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
6 x8 O7 Q& s! r比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

/ ~6 M  L" P" e% B, \1 n
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
3 F7 b% }/ R8 v6 q& u( z
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

9 E" w, A3 U- t$ H/ w: @+ y$ P! e穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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! o3 ?5 W$ Z" Q# k  R八、一些连续离散化方法
, J1 P/ y7 N' W/ y" n% Q3 D9 c大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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- D7 h8 i- |+ @) T* k0 F9 ~中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


* c" P6 r& [6 p; Q: L, W& ?2 s% H4 V这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
0 B& J* X! S0 }% Q4 W, I  Y3 Q
( @( C% M6 V4 t$ o


. `7 Y& |, f1 U: d九、数值分析算法
0 m# P( ?7 a3 x! H4 G5 t3 z数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

; f, o' s( ?4 Z/ @$ I! L算法。
- @9 T4 i8 T' o7 I
5 q$ @1 \- B# i* `; e( ~  A如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

2 H* @  q: X/ `; S3 r" B7 s, j. r这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

0 g; D  L6 S0 a* L) Q


十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
7 y8 g2 |" L5 i/ O6 j2 O6 w; h来源：CSDN
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