数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
& [3 |1 f; x6 x& D; A& v9 s8 e数学建模十大算法漫谈
/ J) @2 ?7 I% M, H0 C- a


$ @* i+ i) p! M. Q3 j' U. M! r作者:July  二零一一年一月二十九日
) b' J1 f" m& P) n$ G( f  d
4 c4 s- P* r% y, h本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
6 B! ]/ K# ~" x. z2 J7 h( z5 u; lIII、维基百科

" W+ s1 l+ H5 B5 |- ]: }' _2 M------------------------------------------
9 ]" `/ h3 F$ g) ]% r3 U8 ~+ V; S
博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
, d% C0 h7 m- N2 O1 D2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
3 Y- u! x# F" x' @  \( b同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
8 K" V* j: \) q: c3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
4 d; ]$ Q6 O( b3 D8 h若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
6 B! M5 h8 M+ J
0 T+ c7 ]' q& H- G- Y
' \% b+ y2 q% _6 m5 a, F8 R

. W6 r$ \7 g! r  J4 |$ N
一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
1 h* w& y$ F2 i- P0 j. }% R共同发明了，蒙特卡罗方法。
5 T2 u' [5 _2 S7 X& A

; q! v  V8 |, z7 Z0 I7 g此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
$ B/ q5 E  Z0 [6 |http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx



蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

7 G% r. D2 f. C" E( n' B. ^法。
/ M: t  O( l* j9 l/ e+ T0 f

; i; W1 q7 Q" e. Y  f$ q
  T8 i* i. z5 `" z1 T. U  Z2 E1 x由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

! k4 N% P* a' H! H实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

/ ~6 Y- q3 S2 F$ V1 T  ?5 u蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
9 }8 m# p* ~1 G( O/ [4 X当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
/ Y& P- |: J9 I5 d5 `' r' G( B0 g
, b( s3 L& K' t& |# Z，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
/ ?5 s7 V; |/ ?7 h4 J& I
为问题的解。

& j. A' p2 K& R/ [0 u

  u; a1 X0 X7 B0 ?! |* y  }. l有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

5 q: i0 p% M5 L; v  R+ l后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
* n! p' V# ?7 R* p3 f
" A' K4 l# T' `- Z，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。


蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
+ C- K: k( I  p
% j; W# _( {3 u  s2 B拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。
$ N% u7 a* b, }5 g; V& n


# f& N; p  e& y: b. {! v蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
/ _; G, r1 T: L1 i  h: a( z0 l" n4 x
8 o7 x0 k! I# [蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
& N' p) w/ j' I) R! b) E+ jIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
' v/ @0 b0 \& m  j3 r
6 R/ k9 n4 {5 c; l$ a" s此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

" I. R: O. W0 x8 w
, R6 U# ?5 e3 d2 j, E, \6 f; v' z

1 n4 S5 j! O. g6 }二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ W* E9 H3 G$ [; ~8 B1 X% y我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

+ @0 x3 Y2 C$ Q" f% k数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
  i) c, m+ ^% R( G0 B4 s0 h5 m. o* c
2 S8 I! i3 M; g) N学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

4 l: ?+ w7 T$ x" x吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。



此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。


. ^% [/ j4 s3 q

三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
, l: C) z: D+ Q" d% s5 X2 ?9 \
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
$ H' c9 T' H- H$ ~
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
7 M( u: v% p; l( B' t
需要熟悉这两个软件。
7 F6 V; @4 i4 Y$ \, F, C  W
; s6 E+ s  u: [" n. \( s1 \+ n' r

* B$ r, m0 j5 ~) K
6 u$ ~& M2 f. I/ }; W/ V四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

  s! c/ @. ?$ X6 d

关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
  f' ^4 I+ J* W  u/ P  p7 t9 O+ E7 v同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
2 c, r& X& E0 u& r: o* E2 V* F" g-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
4 S$ k6 Q. |4 }
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
* z' _! M4 \5 ~) n% l

: s4 J# i4 W8 I9 |( W

0 n7 r' V) _/ t五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
: ^8 g- X9 M9 x
+ e: B! K2 j: V) m
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
! [! C9 i2 C: G! b推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
8 K  M5 e( y. q0 |
6 c% [# t" ]9 \: _' A

$ q" H. B4 Y% T3 e6 P( N7 X( f2 @
- M# |6 \+ h- y2 n9 s六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
3 t) l, e7 n+ }1 m% {0 O
; v3 N# K9 J" E在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
4 U  ?& C8 F0 x! b3 K* Y1 y8 c1 a3 y. f
9 ~) `8 M6 o8 Q7 d4 T* Y4 h8 W说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
3 \5 q: \- Y. j5 ]# V

& _! Z+ L! o0 b8 A$ }" d
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
----------
( a* L$ Z* e& w  `6 m" }经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
. o. D. G6 B# I; `+ S% V  T0 Ihttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

" }% A- h2 r7 n9 f1 Z8 c: y
6 D' Q# h/ E. `- W5 A
2 x9 H; l% x: Y1 i- e  W- l- F, @其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


- V! {5 E! x/ n& {( p4 g

" k& a. q' i# N# ]* u' k  _七、网格算法和穷举法
/ p/ \# ^+ u% [  F$ V  c; G% f* S网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
; V- T& G! n3 L比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
. X' r0 {" q* P2 G比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
7 _/ ?5 ~& r. T# d/ H
. E' o& i+ K. E" ^1 w那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
' n& h6 V$ z0 U! c, r
2 K% r; n& e# G. \
- ^2 `# ~1 Y7 M: r0 q! x在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
4 Q3 r7 B% g& X/ u. `
# o0 `; J1 K9 u! M1 h穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
* J; O: z' p* E0 o6 Z0 k% q* q



八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

2 d. m% K9 [- F1 U2 o* }中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
3 C( I  n( b3 }
! I; P- e% m+ g+ q8 K1 w
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
4 E3 g# a. L5 `; D5 G4 I$ Z事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

* j' S' {2 U; |$ n. l9 L7 ~; z' X
" D1 o% B' y) S# Y

) g; v- y, x% u九、数值分析算法
1 g) L1 C2 j5 `0 L* P3 @6 i数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
& {0 f; K: G0 h* `7 B9 T* P0 ^8 |- V9 \
算法。
! o: _- D! ?2 B: S
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
2 O- K- k1 u( B: H2 d2 `  [+ N
4 X( j' \/ l( c函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
) y' E4 l+ p. c% R6 \
2 X1 w2 ^6 k. }! ]/ g3 q这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

4 x+ d$ \' d9 p, Z
& [! Z- P" G' b  R/ f8 i; H
& H; l, U* X; C0 _/ X2 E# y7 T/ w
十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
---------------------
  M6 c% K& _' V' A  S作者：画面太乱了
来源：CSDN
( a" H8 g; l# w


4 d8 Y2 N1 H+ ]4 a# ~( _