数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
. O; E; _3 W9 p3 a1 Y' E/ A8 u9 y% P 1、建模步骤
( J" Z+ U, }  c; q3 X; G
: y% l! R* P- A  g

. T8 x0 I1 b8 N( Z$ @3 q& g( o  ^模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
6 b1 N8 d) {$ @+ g
/ e% E6 J9 r( ]( ^  c模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

1 U! ~1 h" N( {1 ~: C模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

- g) D+ o% N/ F2、数学建模问题
. c7 y8 p5 ~( P6 Y5 J! q% w& n: Z2 G
  c% \7 N7 H7 _8 p# W* p, j! i5 _  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
8 Y. ]" g( L8 q# U/ B# Y
（1）数据处理问题

! x! q5 Z. l4 @0 m- S•①插值拟合

, t) D: N; c0 z  f•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
( b- V; F% B" ]6 E# j/ x0 `
1 T7 P* |$ ^) Q& I( U4 V& q•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
. t5 |" p- _. ^; t
$ j: s: U$ @. J4 k% v•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
/ f  l, K( R* B" }& p7 d7 s! A- z4 D
0 J& o4 N. q0 K2 h- T•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

. ^9 }6 u! w9 V* d# U•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
$ x+ F$ R% e& G6 V9 s


1 K1 H7 @3 z; B! w（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
3 f8 N8 t' r- h, [- B% M
•②Superman或kendall等级相关分析
1 j* W+ \2 s# Z6 K* k9 [( Y( F
•③Person相关（样本点的个数比较多）

% J& O2 \1 K2 Q•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

3 d3 I2 y' c1 d, u  d8 Q1 ^, `( ?•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
) M9 U4 P" [7 C  P7 j3 j

; k1 F% R* I; N# k1 p6 t' d
3 [( V* j+ a8 B! c" E（3） 分类与判别
9 }) f/ C% E6 V3 ]; r: A
5 R8 g# u9 f& c# r•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）

6 c5 M+ _) E" W; a/ h•③层次聚类

8 N4 f2 h1 C% F0 W5 \* Z•④密度聚类
- @* B$ _% O, P3 a9 O3 d
•⑤其他聚类
. Q9 t. }$ A0 ]% I+ V' j$ N7 g
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
0 e8 j1 t: |- _7 g% U
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
- S2 \- N+ }- r
" u& }, b# |! x+ A. W, Y% S

) `4 \9 r/ C7 `, i6 y2 U: M9 N. ?
/ Q2 \6 R$ c6 C5 f0 r$ K  U
% `: C7 e; T7 `: c" j（4）评价与决策

: b; m' q6 }7 h. P/ z$ g•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

- c4 [& y! j  Y% W! d0 N•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
8 \% L/ G# {  a( C7 K( |2 `
4 _% r4 K% c* D! y8 {•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
1 b9 X* P2 p8 u2 C
0 f$ c( s3 m+ t  ]•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

# \" }; J: m) H  v: G; s•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
6 Y8 h8 }8 H8 t8 S" k# G# h
8 q- R# T' {  V; x% [5 Q•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

6 c" f$ X: N1 d/ ]. |•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

( ]( ?5 s% q1 _8 l0 ^, j% |* m* t•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
* b8 E/ K1 c  N, I0 h& l  Q- E' G
# Z) A! `7 y0 b6 B0 i
! D- w$ A) i# ]
$ I; z* _% l- W) C: ]- f
6 q" [& p3 U' z- Z# T
& s) K& V* S% i- Q7 W" j& M% m（5）预测与预报



•主要有五种：
; u& s) I  ]( K- {, }  x: _
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
8 ]& g* A9 S" _$ }: e8 R4 U% I
1 M# i# u3 a# W% S) v•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
7 `' X. j  G$ J) T9 Y


/ O1 Y' U8 a; X•①灰色预测模型（★）

' M& I  ~# G8 y1 L7 e# J- w5 l•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

/ s* @7 G3 y: P9 W•  b数据呈现指数或曲线的形式
- r) P  z/ J' ^, V# q
•②微分方程预测（备用）
: A+ g! d, R6 q, u
$ K! Z+ D6 ^; @  I4 D• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
8 H5 ?# w! }: U) z8 s9 Q8 ]& e5 u
7 l1 J; X4 C* O* e/ J

•③回归分析预测（★）
& d0 k6 b+ u9 \: C; v$ s; c+ T  l
- J- X" k" |1 ^( N•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
1 X* x, _$ Z7 x( ?1 y+ Y6 r$ v. M
•  样本点的个数有要求：
" R  O' J: `( }
9 O' y: {9 N: {' ^! [- |5 h( B5 @  J•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布
! n& ]3 t; I# @0 A* j1 i

. X! I8 Q7 M; `
•④马尔科夫预测（备用）

$ Y: b% N8 J; v& U0 D0 {* [•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

9 P6 }9 \1 X2 e1 O! [

5 p& `3 n$ o. T+ A1 G; P5 P  }•⑤时间序列预测（★）
4 U  ^+ s/ t+ G% L; H  S0 m% v
% d% f: k5 F9 l% ~4 J•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测
1 {- Z* k+ O5 v8 i5 E3 L
) S" U; R9 t( c6 {* j( l- ?  ^•⑧混沌序列预测
4 |1 L% _. N/ ]' x* R


5 s2 o3 Q8 a( T9 {, s  b0 u（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
" s- s, @' H/ |/ u; X
" E; O1 X% v* b$ e( p•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

( q  O6 g6 ?8 l+ v5 F•④动态规划
5 G% I5 l. |) Q# j# k: q9 Z1 M1 J) }
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

4 ]6 ?5 h" N# z' g5 l/ M' \6 }•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

9 l" Z. i9 e/ U•⑧灰色规划（难）

: Y/ l3 B3 f& Q1 J% _7 T
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作者：ItsL
$ O6 `% v) p' M/ K! h1 e来源：CSDN


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1 |5 I( x( ~; K8 Y