数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

  i5 |6 Z# y4 _5 X6 L: z+ |4 Q& _数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤

# M. s, [. w; G1 u) Y2 ~" i

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
; O% \0 u8 \2 U
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
5 B; U% X3 Q) E$ w
2、数学建模问题
: l$ o4 ]$ Y$ U+ c5 h; w* B6 w: x
( N3 w6 {9 W/ E1 C, ^6 N& K/ ]  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
) q: o+ z/ M0 \
（1）数据处理问题
! g$ j8 S' h$ S" ~
•①插值拟合
- s  K3 f- U1 F& P7 u; F. D
; W1 J/ X+ Y, v* t' g+ Q•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
  S, w5 T2 d' R0 H
6 m: {& W( A- A•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
/ X( B! l2 _' \
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
7 i# v# o7 [1 R% @1 m
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
2 g6 Y, U5 Q; v& [
; {# C4 ^5 Q( }9 m6 \7 D! {
, d) J4 Z* \3 `$ W0 S
( q: R" w1 x, ~0 H1 u0 w0 J6 k（2）关联与因果
# O. ]) ~2 z2 k+ c
. n8 j; C$ u" x•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
' v2 k8 C7 S: X" d) _. l
( R' j5 O( G- W+ ]0 U) C; ]•②Superman或kendall等级相关分析
, z9 C1 X* D9 V: o( B" ]: g
" o) e  v# f/ |$ C- r- d•③Person相关（样本点的个数比较多）

' T, k/ L, W% K1 F5 p2 E9 h•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）



（3） 分类与判别
* ^( T$ H  I3 }* Q; U' ]
  G* ~3 ~. M/ J4 E3 G; w. w•①距离聚类（系统聚类）常用

/ r' a, R% \* X: z3 O7 C•②关联性聚类（常用）
7 e/ m0 \7 W6 x
•③层次聚类

•④密度聚类
# _1 K: i- [- z7 b* X/ K9 I/ C$ w
•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

6 i6 r7 N' s8 K$ }" ^/ j9 e•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

! f: d  c2 R* p, v  i4 k. g8 c•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）



1 W' K4 x% `0 C# S% c* R
+ m) ?  ^  M2 a5 {) l6 I
: h1 s5 E% ]9 W: z, c（4）评价与决策

/ Q8 O# m6 a  ^! P' I6 _6 w: X•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
% r3 R, z& J0 P
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
. F' k: p9 {: \: E
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
. E( z8 u- C) x9 ^4 T/ b$ I% [
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
  M: Y6 J) C: v; A; A5 k" K( Z; S, l
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

, d9 b# a# h# b4 x  T7 H( d•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
; W0 c: {) r/ ?" a  n% E
! `; G# Q+ }* Z. t7 t•⑨方差分析、协方差分析等
, l, ~: v+ u& w( T+ D
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
8 X7 ~! `0 N( k1 ~/ F+ B/ i) S
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
: z, Y! K/ X2 S2 D5 j8 \8 ]
+ _) p  ~5 {/ a! T+ _% M0 ?


- h% p: d3 Y2 T5 v) c* ]0 B
（5）预测与预报

! v; O$ {3 _6 i+ h( E/ q8 ^0 W
6 Q  ~+ E- h8 `* S2 T% s
•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
% |- p9 w2 X. a7 W4 y
•大样本的内部预测-逻辑回归
5 T" o. l2 a9 I; v0 E  o, h
1 @: w2 O- i( M5 [•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

6 x" A0 e' |3 P: f5 g. a•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络


" G$ p# u) v# U. B
•①灰色预测模型（★）

4 X) W' X! k1 Y( t•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个
1 N2 U2 W- ~& @* _6 f! D+ r
•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
$ N. i3 P1 Q! |; i" k1 i

; _7 b1 _6 _/ K, |8 O
•③回归分析预测（★）
- D# }) J3 h! }1 U
8 m+ Q3 W; x5 b; ?" e•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
/ Q; g( I) e1 n3 b( e4 f3 s
. r: U8 ?( G1 K5 d# v•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

2 Q$ `1 D+ y4 H# V  j! s& w•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
' d/ _+ G% l- w2 |! C$ V
7 [* F" s: h7 q+ P4 y•  c因变量要符合正态分布



, d7 A' E, J1 `! p' K& J•④马尔科夫预测（备用）

+ g6 T* ~9 j4 C7 j•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率


. T3 `* g1 h4 u% S* t) @
* |( V6 D* b% Z•⑤时间序列预测（★）

$ j6 {7 K  X% Q6 W4 b! T1 F•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
6 {9 o" x8 F1 B& Z- H! h9 m
" x  d. h3 N0 X+ F! O5 S•⑥小波分析预测
# S7 L) U* b) B$ E& h/ W& j& A
  I1 b$ |  x% T! c# I9 Z•⑦神经网络预测

7 P5 |8 z6 v% k* H- T  @+ s•⑧混沌序列预测

) L/ Z. u8 v2 x8 n( N
1 c; i; s1 W) N4 W1 P# w& L
$ m- Z- g, P+ }8 D（6）优化与控制
) i, `- _) B* @6 d% _% D
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

1 \  o* H0 ?0 e# W* E•②非线性规划与智能优化算法

+ N. K4 H9 A. {8 u9 A: y+ ]•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
) {0 n' s: ~+ @. D, B+ w2 Q4 C
•④动态规划
$ j! x) r- J3 a' ~; @
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

5 Z5 d* r" N: ?7 \& E9 `7 q•⑧灰色规划（难）
- I: p. n: W) c( h$ F

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作者：ItsL
来源：CSDN

- s7 l* `7 ~2 R5 C# Y6 Z