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数学建模方法(一)预测与预报

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2020-3-15 15:57 |只看该作者 |正序浏览
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    数学建模方法(一)预测与预报7 g6 c1 y5 p1 o4 h8 n
    (一)预测与预报
      D2 h- |9 v: F% A) {' Q5 s8 N3 ^. H6 |. V* {
    灰色预测模型(必须掌握)
    . l" ]! B1 b7 l, {% o9 |$ C8 K' c9 s6 T
    满足两个条件可用:
    7 a  _5 D1 m$ [1 H5 I/ k①数据样本点个数少,6-15个
    , B. }  m9 n7 p" S②数据呈现指数或者曲线的形式' m: ~1 C3 J  Q& r" ]5 x, J

    7 [0 d3 E' H# P2 |概述. \9 l2 }: J2 V
    关于所谓的“颜色”预测或者检测等,大致分为三色:黑、白、灰,在此以预测为例阐述。1 v# j1 n1 V, Z9 y# B2 k
    其中,白色预测是指系统的内部特征完全已知,系统信息完全充分;黑色预测指系统的内部特征一无所知,只能通过观测其与外界的联系来进行研究;灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测,一部分已知,一部分未知,系统因素间有不确定的关系。细致度比较:白>黑>灰。
    % k- S! }# H" m. u. o: B0 i9 r8 ]5 {1 |0 N# Z8 ?0 g$ }3 W, S8 o
    原理; N6 u; `4 I8 r$ }  U, ?
    灰色预测是通过计算各因素之间的关联度,鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型(Grey Model,GM),即对原始数据做累加生成(或者累减、均值等方法)生成近似的指数规律在进行建模的方法。! I, ?8 Y8 w& Y: g
    ! U9 a* c; k) S- Y7 C
    分类及求解步骤9 s0 e5 c1 ~9 s+ O. N7 `) C
    1、GM(1,1)与GM(2,1)、DGM、Verhulst模型的分类比较:& |. Z. d6 F1 }/ p

    ; p1 k5 G) J2 R# f8 x8 G% _* N/ G' W" ?" e1 v6 u+ d% A

    8 J* F0 e3 l0 h1 H' Y2.求解步骤思维导图:4 r: v6 W$ N' N1 s- B  X
    1.png $ f0 q4 q3 l& j* H3 [- v5 o7 S; S6 s: O

    9 M8 V/ H7 p( ~# I/ h  b1 _
    • 实例9 E' n; s& f- [3 z; n, Q/ S
      1.使用GM(1,1)的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据:”

      + f; T: ]5 r0 Z/ M9 R

    见下图:

    ! i0 x$ g. R! q. O2 d
    ( P% ^7 ?3 Z  E
    2.png   X% I; m: G! a5 b# L9 c, D+ R, |
    2.使用GM(2,1)的MATLAB实例:
    5 y- z6 s0 O* c- t/ M9 j 3.png
    ( N8 X* s* C  l) _# }8 k' v3.灰色预测模型GM(1,1)3 ]! R6 T" G% p6 R. b4 n4 E
    GM(1,1).m
    5 `6 a+ {+ X5 b% O, G, c  Q
    7 X4 S4 N- n: ]! M/ b# B# f4 E%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)) G( U2 v) S$ y
    syms a b;( y2 a% \, F7 X* z, O
    c = [a b]';
    # ~: g9 w1 o. `/ }  P
    ( p+ @2 J5 H0 [* @: c1 @4 A; j%原始数列 A1 r8 c1 `6 F  T4 o% G2 D* f
    A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列!
    4 W$ j/ g' N2 B% K) Y! ?0 ?n = length(A);
    / Z0 }( L1 k) D  H9 m; }4 K
    " Z% ~' |; w- v" K$ h%对原始数列 A 做累加得到数列 B
    7 l8 j7 T9 x: I3 J3 qB = cumsum(A);
    * L! j1 L& y, ~7 A# Y; p
    0 l, J6 D8 l! x8 A- J%对数列 B 做紧邻均值生成
    9 C: V% Y% L1 ^' ~for i = 2:n7 i2 B% k% t9 I/ O3 z1 F
        C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
    5 K, D( s9 }  U8 Jend# [. r% r: L! M( {4 _& X# X2 y2 p8 e
    C(1) = [];$ S7 I% E8 j$ j: O, ]. A; j4 h
    ; g: q3 _( E. V( x+ c' U
    %构造数据矩阵" Y9 k- A; h* m6 S. c" Q
    B = [-C;ones(1,n-1)];
    : ^0 V3 p& r9 F- [Y = A; Y(1) = []; Y = Y';1 k! H+ C* @6 u. z" @
    8 c& p# x( F+ P! c
    %使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)4 T1 w2 r: I$ F5 U! G3 Z
    c = inv(B*B')*B*Y;, R' F/ J  w3 Z3 A7 q! Q3 Y6 K
    c = c';+ ?0 o, t7 C! m  ~9 u3 i
    a = c(1); b = c(2);4 b# R) m4 W6 X

    ) B; k/ J- W0 b2 W; M%预测后续数据% J* a1 m) V2 X
    F = []; F(1) = A(1);
    7 ?8 m: w/ t) b% ~7 ?6 bfor i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目,如果只预测一个的话为1
    * k3 x% e1 r9 @% w7 D    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;1 R7 h0 s, W- g9 u, m+ e, W: g. {
    end
    / _. l9 Q0 P8 I6 {6 ^& D7 O7 @% H; e9 X  l2 e
    %对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
    % |% }$ [3 S4 O6 k1 ]; {/ H* B8 vG = []; G(1) = A(1);4 N  b& q0 ?$ j& U5 k6 B6 z
    for i = 2:(n+10) %10同上
    * q4 A/ n: h8 q# Z: [; B    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
    : R$ h0 z) E: c6 Vend
    ) i7 r1 x2 ~3 E; n% p/ }5 N& z0 a1 @1 d1 g$ C& n5 K
    disp('预测数据为:');( J+ K; R0 q) Q$ j9 W# p
    G5 {$ M% X  M$ ?

    + @1 i7 p8 x- N! E" s4 J%模型检验. T7 M1 b: _5 u2 o
    % B7 G% J# ^& c& B+ b
    H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
    6 S9 @" [! \2 a9 r%计算残差序列! J$ Y- M9 B) g4 F! I5 L
    epsilon = A - H;
    6 n. M! L. Q5 ~  [+ N  W3 a
    / w4 o" k: W8 j6 i  l4 g2 Q/ [%法一:相对残差Q检验( h9 q- j, c" M
    %计算相对误差序列& Y9 V2 u9 D' L* q' W5 K* f
    delta = abs(epsilon./A);. M: _. s6 K- e- [, m7 Y) s
    %计算相对误差Q
    $ X0 q  t1 `& x" adisp('相对残差Q检验:'). K. c& ]. |& ]7 h0 v* m' l' Y
    Q = mean(delta)
    % c0 H; ?5 O. P7 ~$ `7 }3 V
    * d& G/ r( k& M% T* R4 c! M%法二:方差比C检验$ r8 f( T. ]% l2 C  a( x# ]/ ~" P2 K
    disp('方差比C检验:')8 y8 A0 B/ e7 k5 G' @5 x2 J  U
    C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)
      u# l+ V' G/ K/ \; |
    % q. o& W0 `2 K  \" \%法三:小误差概率P检验6 T% \4 I- {2 x* i1 }
    S1 = std(A, 1);
    , C% x7 ~  D; H2 W) Ltmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);0 Z- O& X4 R+ T
    disp('小误差概率P检验:')
    & r; g' C# _; }* W! ]P = length(tmp)/n# ]& T, p1 j4 Y7 @8 Z6 l
    ( e  r4 ~- a: t: z
    %绘制曲线图3 Y5 d1 ?6 _. X+ s8 r4 U
    t1 = 1995:2004;%用自己的,如1 2 3 4 5...
    * w! d, h7 Z& y$ M; E& X* lt2 = 1995:2014;%用自己的,如1 2 3 4 5...
    ' w6 b- ]7 s0 }& w/ h
    6 V6 K1 w2 t5 l0 H( ^5 {plot(t1, A,'ro'); hold on;
    3 q* f. m8 x) E, O/ [& ~9 \plot(t2, G, 'g-');
    ! w9 o* m  R0 g2 `: {, H2 e) ixlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');& J9 \1 R6 t9 ?
    legend('实际污水排放量','预测污水排放量');. i* j" F; q" b6 {! v
    title('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
    4 B. E2 _/ x3 G  U, Zgrid on;9 w3 h( o9 y: b2 j  _, |

    2 y# a5 \' N( W3 k
    # c' M1 C$ u. \% O9 W5 S7 L* ]& w3 L7 a9 Z
    0 V# X9 O6 M3 J/ M, l
    4 b# I7 n. U' f2 v' q: }
    zan
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