数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
; W) J, d1 x6 v( U  k（一）预测与预报

灰色预测模型（必须掌握）

满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
②数据呈现指数或者曲线的形式

6 [+ X! B# }5 H$ c- T' ^' l概述
关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。

原理
; b' O/ P( l  T+ {灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。
3 R4 @7 r* ^3 m* G
分类及求解步骤
( z8 S; I# q, \: |1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：

7 S9 L2 U* R9 J! P1 G

* ~) p4 }5 g6 L6 ]$ T# k2.求解步骤思维导图：
0 d; ~) S7 W, `  Z9 e7 M* ]
; e2 _# R# G8 u, u/ D# f! \8 Q7 D

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  ( X5 H' ~% j; C1 ^

见下图：

/ d. B. g! y! v0 y
3 @; E& m% u2 Z& S% c2 D+ x% w
2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：
) G, b* z2 ~! v! E
1 D; d0 g; t( D5 A0 {2 M3.灰色预测模型GM（1，1）
! M9 `, O8 A2 {" F8 ^$ QGM(1,1).m
5 U- \- G, S. v# K
%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
% k3 }" B6 H9 t" L; psyms a b;
7 P% }4 ^( u0 L( z. Bc = [a b]';

/ c# X" ?! y( i9 K2 X% W* q( V%原始数列 A
! Q' n+ y9 N* P* h) e9 m* |A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);

/ S" M4 _* u1 o  k%对原始数列 A 做累加得到数列 B
3 n1 Q: u9 Q9 mB = cumsum(A);
5 I" H  s; a4 c- f) O3 ^* q
%对数列 B 做紧邻均值生成
for i = 2:n
    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
: J: u6 b9 K* g6 q% r7 _  XC(1) = [];

%构造数据矩阵
- Z9 z( \. O! QB = [-C;ones(1,n-1)];
Y = A; Y(1) = []; Y = Y';

%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
" L4 c- D1 H0 R' A8 `# k; sc = inv(B*B')*B*Y;
* D; f# P6 y, R+ K5 cc = c';
; }! T3 v# V# ba = c(1); b = c(2);
. J: m& l+ g9 r! C( O
; @* c6 N/ D& v! `%预测后续数据
% h- a) V  u+ I# M$ C( H. n9 GF = []; F(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
) @5 M" J  k2 \% N/ h8 l! p" T. }    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end
5 \; s# D' a4 Q  q. G
%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G = []; G(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %10同上
. J( ^8 k- ]* V, k* e4 Y    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end
9 U* L% `7 |; c! B; o# a- k; E
- d; s) N7 G. b5 Pdisp('预测数据为：');
G

%模型检验
9 y1 k0 F* ]# |! D, F' l3 y
H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
$ b$ c$ O+ p$ n5 V; g8 c%计算残差序列
, b% d8 ?: n  m: B2 yepsilon = A - H;

%法一：相对残差Q检验
%计算相对误差序列
delta = abs(epsilon./A);
%计算相对误差Q
disp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)

%法二：方差比C检验
: t' F$ I2 I( f7 q4 b  R, V0 Zdisp('方差比C检验：')
  P5 s4 D* y1 J  Z+ p7 n6 i4 jC = std(epsilon, 1)/std(A, 1)

%法三：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
  D, ~: j, j4 O3 o" |9 r8 T! otmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
disp('小误差概率P检验：')
P = length(tmp)/n

0 {5 m2 E7 w' n4 r7 p; t" j%绘制曲线图
9 m/ J3 U7 M6 e4 bt1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...

plot(t1, A,'ro'); hold on;
plot(t2, G, 'g-');
xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
* r. `6 u8 }  U( x3 b! L! stitle('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
grid on;
. [6 I2 M) \: k+ }


1 k& u9 k  ]+ N6 G

$ I+ m( @- M& n9 G: y$ }/ K