数学建模--数据拟合

杨利霞

数学建模--数据拟合
% Q$ k! R" F1 y! ~5 N; S# G
7 r# g0 U, N# ^% s# S9 A数学建模中经常会给出数据，然后进行拟合，matlab有cftool数据拟合工具箱，但是我还是习惯于使用拟合函数。
6 \7 `# s6 w  O8 K5 Z% \" U5 ^1.多项式拟合
4 g% n; C0 K3 b& R, r拟合函数:
P = polyfit(X,Y,N)
1 X8 T0 r+ G& c2 t$ g- n% n" K[P,S] = polyfit(X,Y,N)
[P,S,MU] = polyfit(X,Y,N)
0 z6 \- _: d' k' b- j5 t# y%参数解释
1 U* B4 f7 k9 P9 ^9 B* C2 m0 E' T%X自变量数据序列
+ d; V( Z. l7 j* {6 e3 F  t* w9 r%Y因变量数据序列
%N序号拟合的多项式次数
  C, O% _; q2 `' }
%P多项式的系数向量
%f(x)=P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1)
%S是一个结构体，我们主要关注S.normr，是残差
' ~8 m: n2 H" Y: [% K%MU(1)=mean(X)均值 MU(2)=std(X)标准差

例子
X=0:0.01:10
Y=2*X.^2+1
N=2
9 ], i5 W  P7 Y0 `! f[P,S] = polyfit(X,Y,N)
8 T/ H- _1 [7 W, N& t7 u
>>
3 B; X# D" F- qP =

- @1 d) _/ f2 b. _7 l: D* ~1 j5 c    2.0000   -0.0000    1.0000
: Q9 k% B  h9 G- b, s
# A( }5 `8 C9 }& O4 u
! U% I# j* L, s9 ?, P" ?S =
. c% u; L, r; t2 f. I2 B; s
        R: [3x3 double]
       df: 998
( o! e6 n$ f0 t% t9 l    normr: 2.8477e-012
2 K* d1 X; ^0 m' B$ ?+ B
一般多项式拟合还会用到polyval函数，该函数是根据上面拟合出来的多项式模型进行求值
+ ?+ X8 m! Z( \! q0 J, F: a+ W
) i" \3 D. l- q% ~  l- x( d5 WY = POLYVAL(P,X)
%P是polyfit返回的多项式系数
5 m5 d) B- n: I3 ~- p%X输入值
3 D; M) {) @; p6 |; l7 A( N% I%Y是预测值

2.自定义函数拟合
, l+ w) n: `# |& T5 S: N3 E+ n除了上面的多项式拟合，matlab还支持自定义函数拟合，根据给出的函数求系数。lsqcurvefit函数利用最小二乘法求系数：
8 X+ l# S( h2 ~" i3 QX=[3; 1; 4];
7 l% X4 ?; K8 t5 E, c1 cY=6*exp(-1.5*xdata)+3;
1 s3 g" ^2 v6 B, \, \0 Ja = lsqcurvefit(@(a,X)a(1)*exp(-1.5*X)-a(2),[0;-1.5],X,Y)
>>
' c5 w7 O& j% ?7 q! v, M  a=
2 l  s; j# M1 P& ]   6 -3
1 X% M2 r+ {1 ^' N%a是拟合函数的系数

lsqcurvefit还有其他形式
3 W9 y1 y5 V; i( |' [$ ^4 K[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG]=lsqcurvefit(FUN,X0,XDATA,YDATA,...)
%X0是初始解向量
8 |( E9 V; ?5 {4 G%resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和；
%residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差；
%exitflag为终止迭代的条件；
; m. ~& }  q  I  q; s' ^%output为输出的优化信息；
%lambda为解x处的Lagrange乘子；
%jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。
: c& [' h* a( O$ ~( b

柠檬草lll

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: I, @2 \! g( b