Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
8 \# x; p$ x0 k从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：

方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
; u$ G, Q9 a8 f" n- C
可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：

这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

" J  T  s  c" d7 z8 ~

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

# U0 A+ z! H* f; a- y2 Z
$ B% A2 v; Z& R. D9 c接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
6 O2 D' \$ r6 F  I

正八面体

( e# x6 w. G* M/ {! }% i+ D+ R7 e

求正八面体的法向量：

! O- E/ }1 i) c( ~: e6 l$ a$ ?化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：

* {8 \! g, @/ P8 u然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
7 n' N/ ]3 N0 I: F* Y3 c6 A  |
0 Q( w7 V8 L6 I8 u  i

正十二面体

+ ?0 U, d$ m+ E" h5 Y$ b

正十二面体的法向量：

0 N1 ^! O% ^# q; R9 P" k& g- n
1 G9 e8 A( J9 B9 G& P4 g. ^2 S化简并去除方向刚好相反的：

& Y4 @+ u! Z, M/ p

隐函数表达式：
! _: u! W% }9 T0 H  ~

" I+ g* E2 V8 \4 K  G) e4 Q0 r
为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：

, \4 o  F: I' G

十二面体

" x3 n& W1 |& H9 |3 h% ^计算各个面的法向量：
+ x& Q" _' q- R0 }# H

化简并去除方向相反的：

$ |7 }" j( @1 c3 k3 w
得到方程左侧表达式：
0 o( d( g8 N* k% d# d为了计算方便，取近似值：
$ L0 m3 N0 y3 x
& a; w* I, x2 ?- B9 e0 M  T5 x

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
9 n- L8 B+ v+ K

正四面体

  k6 D+ A$ M0 \1 s5 X! L计算正四面体的法向量：

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：

) n: w- I9 u" Q3 ?! e9 X) ^而改用指数，则可得到如下表达式：

& Y7 m: F0 K5 E7 b& s以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
! T. Q: o8 W- I; ~& t( G7 I# `
& D! E3 V( b% g- E/ K

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

1 X. ]2 D$ o+ E+ F5 N

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
, ]7 y/ x) E7 B6 O* a' r9 t; P1 c
观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：

% B' Z3 R2 L9 Y4 E求法向量，化简并分组：
; x' d5 @. t# X* Y' |; r6 a1 \
' J+ s; V& X6 E1 Z8 u8 b6 }! r得到两个指数和的表达式：

分别绘制可以看到两个正四面体：

如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

5 L6 y" J( N; R) X4 ^可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：

, k+ a! s# m5 m; P' d可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：

1 g( i  `+ f' i  t$ m

" \7 ?: I3 s& H9 {

五复合正四面体

. m# J* q5 @; A& b

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

6 ]) u) L6 c2 F

照例求面法向量，化简并分组：

; w( |8 W; b, o! ?6 |) t) u
: ?: P7 o) u' u8 t- k得到方程：

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

* X; J" n! R$ [% U1 u  ^

/ v8 \3 j- j9 K" f$ j; S

更多的复合多面体

只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
& ^" F* b" V- e+ |$ p# `
) a% |+ \8 `- q, K9 q
对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
! o$ r1 H& }! U- Ymarket@asdoptics.com
www.asdoptics.com
1 c  J0 }5 i. v
* [* V) M* k" w9 q

宏心

变幻无穷，无穷