Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
从最简单的开始
* h! Q5 ^+ ]$ c- b, g7 |让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：

方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
( z& z/ h9 ?, Y
可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
  z8 z6 Q2 ?1 u
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

( ]" ~5 M( `2 b" q3 u0 j
% d: d0 L) x& w* K  F  Y, {接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：

正八面体

- A& j) }8 ^6 ~5 i3 D

求正八面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
1 t# n6 ~: L, V
然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
( z* t: `1 I& F# w

正十二面体

正十二面体的法向量：

9 F+ s0 y/ o7 b6 i
2 F1 e. _- i1 l' e. F化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：

为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：

3 x; l1 m: n" `0 G, k

十二面体

5 G4 |* v" m! I0 z$ `# A* y  f计算各个面的法向量：

( f" u3 i; N  h) G

化简并去除方向相反的：

8 J0 A; H8 z+ }  g, s0 r
得到方程左侧表达式：
' `9 _$ o' O. d& ^( N9 K为了计算方便，取近似值：
: W' y0 I2 H% [. I
$ b2 I, o, y+ r* M  L# N8 Q0 f

绘制正二十面体的曲面方程：

/ |* ^2 j0 [2 S

绘制正二十面体的曲面方程：

: s2 a; m7 S9 S9 o" N3 R  Q1 a

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
+ g$ L3 i, h, V7 {2 q

正四面体

! v  H! H; L0 U计算正四面体的法向量：
- W# d8 [9 J, ?( C

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
; c( h" w6 O) L- D; W3 p! }( k
而改用指数，则可得到如下表达式：
" s- C+ b( w7 L! _+ T
以此作为隐函数果然可以画出正四面体：

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

9 j- L) j% {1 ]: _' h# X

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
- G4 b. {9 k" }7 Q$ D# j
; C  K1 t0 V. c4 Q9 x1 P, ~% p观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
8 Z3 \. a$ [3 h1 ?/ p+ r  _2 Q
求法向量，化简并分组：
4 a4 S& e6 T2 Y; k
$ g& z+ j3 ]. [' T" Z4 x得到两个指数和的表达式：
6 ]7 I5 p# @- @& a( F
分别绘制可以看到两个正四面体：

如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：

可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：



6 ?( Z1 @$ [: f8 u% n$ G

五复合正四面体

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

' h* b, m# s& i5 r/ J+ J得到方程：
5 M  k; J% V( U' G# }
/ v% }0 i9 y0 S) X

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

- w: C0 K; n  d8 v7 }9 @2 H# K

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

, K& Y/ ?2 ]' X2 S# s! v
1 }" G* r% U; P5 e# Z" X. X

更多的复合多面体

! z0 Z, K. S/ ]1 Z" i只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
% ^0 w" @; Q* t4 X- q* I
5 K" a# J$ E& F8 G$ J8 w/ b
对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
, r9 R  h1 ^/ {( `/ Omarket@asdoptics.com
www.asdoptics.com

5 |0 |, m* X+ J2 @( Q; z

宏心

变幻无穷，无穷