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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
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签到天数: 17 天 [LV.4]偶尔看看III 网络挑战赛参赛者 网络挑战赛参赛者 - 自我介绍
- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
 群组: 2018美赛大象算法课程 群组: 2018美赛护航培训课程 群组: 2019年 数学中国站长建 群组: 2019年数据分析师课程 群组: 2018年大象老师国赛优 |
6 Z9 g. p: g6 I7 t5 k' [数学建模之图论概览
3 H( ?! ~8 i: ^) C: S7 ]! S4 H- c- F4 z; `* ]" \
问题引入与分析
. J$ L7 l/ J+ v9 h9 f5 u o0 J8 s: _图论的基本概念# }7 M% l' p- U& `5 I
最短路问题及算法0 Q8 V* Y8 X1 V/ {+ P8 O$ x9 ~
最小生成树及算法1 |1 d' w$ g$ Y% A( a
旅行售货员问题
) v1 h( N! _* Y7 B9 F! c模型建立与求解
) \/ w* u, _8 [1. 问题引入与分析
( K5 {! W/ [ G/ \7 t5 L) z
4 M, [" S. W$ e0 h1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的:$ X7 k: q5 a3 m l
+ K. L) _% q$ s! L4 G今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线.
. |8 g7 o# c9 Ia. 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。3 M* z1 F% o* |9 k$ D/ Y
b. 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下最佳的巡视路线.& U' M4 A( q& t( h* {7 c: {0 ~4 Q3 N# O
1 j+ g. z5 E. Z+ p9 X F1 Y& w![]()
8 D+ k/ Y8 I% h( k9 ~公路边的数字为该路段的公里。
8 p7 n: H0 ?8 v B
1 [. e# ^3 n) I2) 问题分析:. u) l6 J8 q$ p5 c
$ i& Z5 i+ ~# x7 D
本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线.. |2 s" k' A5 w" t6 I
将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次
1 b- E) k" |5 Z7 O4 h6 k# S+ U2 r* |再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.
3 q- r1 z+ A! K/ |; l; U( Z/ t# m2 O7 H4 E- _
本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.0 k/ h1 w7 {! f" H
本题所求的分组巡视的最佳路线,也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链(闭迹).
& ]' d7 C( Y7 k0 E8 K2 L* o& j如第一问是三个旅行售货员问题,第二问是四个旅行售货员问题.; H- t* M( ?3 v+ ]% x
众所周知,旅行售货员问题属于NP完全问题,即求解没有多项式时间算法.
2 r) b9 v+ A6 `8 S; J; G5 p显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法,想找到解决此类问题的一般方法是不现实的,对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
' M2 m- X9 M3 y8 p+ P$ b, y0 a1 d( y. \7 _' O# \0 p" L; s
2. 图论的基本概念6 f$ r' _# ]3 H: W p" y- R
9 K7 P9 ~! P! F: w9 I7 S
图的概念
1 }' H, J2 V5 q% ~1 S+ g8 C* L9 G- o赋权图与子图
- X) I0 T; |, A3 S+ a) i I( d' g Y图的矩阵表示1 q4 t+ s9 I$ D, X3 T8 L! y# Z- ^( c) C$ Z
图的顶点度& y4 j b3 Y$ R- K
路和连通
8 h) S: m$ G$ n$ N4 @' f1) 图的概念/ W5 m- F" }, n/ W# ]; ]
![]()
% A/ K6 y" Y' s' N. S. P$ D( f1 N8 e3 Q+ c7 p
) a, W+ E4 w. Q1 F W
% L' N) F( B- } i' a4 O9 q7 g
![]()
6 v* e9 x+ ~/ m+ o: ~4 q: Y4 C4 [5 w
![]()
9 O( T4 H6 {. {0 [3 ?6 H# I. N
6 M5 J& P& R0 _- ~4 h* J+ `![]()
7 S3 T* E4 k/ }8 z
3 N# U) B9 d" n5 V. X' \/ ], S7 B![]()
" L6 q4 O7 X* X& {; @% x! _9 f6 ~" y/ i6 N& L3 B f
6 P# T6 T/ }5 U3 V' _
: J+ l s& f z# n6 b
9 H' H7 g; W$ \, y U6 ?- J) m
: O! H2 y9 F$ v- {& x& k
4 E" \7 r F- i5 W% A' |
![]()
0 r' T* v Z% x; v
1 s( q O% ?2 ~![]()
- n' Z) w" m: T/ b& q5 n8 `# z+ P/ v6 K; I/ V" s2 d. r' D
. t g* g! {9 H9 R' k+ Q, Q$ Z% R
# [# h# |. J/ m. x8 C+ J& F ; [% J/ e$ t' u; Q/ m
$ t- T) C6 H* Q/ ]0 t# o2 A+ Q![]()
0 q9 v6 _( Y( K) S5 x6 H8 S
/ l, g5 ]' I8 o1 X1 M/ u# w, [ I; Y
4 s J4 ~+ K0 M: O8 Y# |- ^% ~) \/ Z
3. 最短路& B: N. {. D8 I; {- s9 \. W
t5 m Q9 h/ S& Q( B
Dijkstra算法
) @# i m3 P9 V
2 k3 S0 m5 k0 p& X/ g7 y% L4 \0 k略
# {' H) V h% ~* \; _# d
2 l C. E g9 k' ~Floyd算法
; n+ d. {3 O3 i- f4 s. j
- V* y5 u6 m& S/ t% e' d8 f+ L算法的基本思想
& |" |' P# m; w' ~4 e
' |# a9 g5 R; \. R& |3 Z2 G直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν),使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
% Q j, q0 V$ Z7 ~! y' D- ?9 T- q(I)求距离矩阵的方法.6 Y7 y6 e: K# D% q% S0 @
(II)求路径矩阵的方法.( g2 U; C5 T& _* k q
(III)查找最短路路径的方法.7 N3 M; V3 b5 ` u7 V: J$ k- C1 m% s
% S5 A2 m* Q' Y" V0 ?Floyd有两个矩阵,一个是D矩阵(代表距离),一个是R矩阵(代表中介点): Z6 C0 L, G3 U; b9 w
0 Q# l5 n3 v8 s7 E4 m ! N! e7 e: F! M2 s
+ @* F2 ^' H: H8 Z7 l: ]2 g* x m4 b" p5 c: k3 \
在这里相当于v1 v_1v ! X$ U! }8 }9 r1 Q& L3 }; K- D
1/ C- U2 Q$ P7 |" b
+ g6 `6 m4 j0 L" H! L/ j+ E: L
被打通了,此时v1 v_1v ( T: _/ o8 ]* J. N. x
1
: @: B+ [8 V8 n( K! C7 u/ ? $ q8 P9 N8 K2 j" C
就可以作为中介点连接。
9 t1 Q9 ?0 Y: y9 g于是遍历和v1 v_1v
) i! D5 A% G/ J+ M1
5 M5 v& ~# j4 O( `
( ~" V3 _" v4 T0 ^ 连接的点,例如此时遍历到v2 v_2v
) f+ R% ^' B3 W2 p- B) c2! ~0 f) M) Z; Y, c5 R- m* U
+ ^0 @3 p. t+ U2 h! v | 。
3 K9 ~9 |0 L' L% s V然后再以v2 v_2v 0 B" k6 W1 \7 m5 m
2
' E& V6 U8 ^& E- o# { ; J k# d' B3 Y
为基准,遍历和v1 v_1v ( R: s S2 u" b/ P" p
1
6 ]1 A, `9 r( o* y1 ~# ` % c# l9 y; z8 B0 D( q* c
连接的点。
' J5 d K! T3 H2 V/ h所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵,如果可以变化,那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。6 C9 |7 ?& ]; c; [4 F1 H9 N& |
& b3 F, S- d& t* A; M
8 U( O% G2 ]4 D; g, X* W* c # A2 u$ t( y' H) H: p$ }
Z. c1 p4 H4 J![]()
0 p& a; X9 g* E+ q3 f( G# K. w9 a( j+ m
; {) ]* _! T$ r8 j! s
" x( w! Q+ Z4 M) \7 B. F
& w" i+ i, {5 |4 t6 R& y4 c
这里的逻辑是这样的:
. S# M+ F* {, ]) W# o最小生成树
% l+ x& u3 b$ G0 o- E) | C/ U
1 Q: \" ~9 t+ d9 O" l) }! z(略)1 ]; h) ^8 g: B0 {3 }
————————————————( F1 Q- v1 l+ o Z: Q
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% V$ l( L' v+ G, e4 n2 k$ V7 {1 n* K d- C) L' r' X; J2 F
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zan
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