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数学建模之图论

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2020-3-24 16:31 |只看该作者 |正序浏览
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    : Z7 S4 w; D$ L# M; Y. J; J数学建模之图论概览
    ! }' j0 w; Q7 k# `( b! ]- c+ F1 u3 g$ U( `% _7 k8 z1 f/ s
    问题引入与分析
    . ?  Q0 v  x2 f: t图论的基本概念
    ' p3 ^* L! E! f% B( N2 L最短路问题及算法3 e  n7 ~3 m( {8 H9 ~/ w# _
    最小生成树及算法
    : F* }; H; m  h# S旅行售货员问题* `! R1 ]- A- `/ i  n8 I- ?
    模型建立与求解3 p) T) k4 `+ f$ {
    1.        问题引入与分析1 M* D/ Z: v5 B$ W( ~; D( ^
    5 Z$ m+ Y$ x2 {0 ], i
    1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的:: g& ?2 M+ d$ \- ^( e
    6 }) p+ Y) Y- e; i3 y: A
    今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线.
    + G- {! }2 u& y- m) i6 Ca. 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
    + V) e2 R2 X/ D" q1 Sb. 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下最佳的巡视路线.
    6 G  `: j% ]3 s9 X8 }7 j
    + {/ [0 ?5 N2 @- `( A
    % E( q6 F% `" r2 |; y公路边的数字为该路段的公里。+ j$ u. V: W0 @- a; b! C' ?
    8 H9 L/ P8 L" n0 r$ K1 p' }, ?
    2) 问题分析:$ z  s( s/ ]# X( k: g7 [

    * Q- d) l% w, w+ K本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线.1 ~, t7 U$ ]/ O0 Q# H
    将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次
    1 ]1 @0 z. l3 I4 `/ j再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.
    ' C0 W! g4 U3 l& T' K
    ( F" ?4 o, w0 V$ Z1 v. k. ?本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.7 I4 R  x! G9 R" t. K' v  H9 }
    本题所求的分组巡视的最佳路线,也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链(闭迹).) {: Z  E3 l* |. v+ O) P2 H& G( K
    如第一问是三个旅行售货员问题,第二问是四个旅行售货员问题.1 }; q1 `/ A' Z+ ~: H& {
    众所周知,旅行售货员问题属于NP完全问题,即求解没有多项式时间算法.
      b! N( T+ C% j" ]& k+ t+ R- V. a1 F显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法,想找到解决此类问题的一般方法是不现实的,对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.5 _2 Q' E% {- y% x1 C0 Z

    + `; }& @6 G5 j2.        图论的基本概念
    4 p1 f  R0 s+ x8 A3 e# I. X5 ~9 ~) T* Y: x. G
    图的概念
    . \: U" G: ^+ ~- C赋权图与子图
    7 n1 y3 e  J1 P0 l/ o% S& G3 X图的矩阵表示/ T/ k1 j' Z5 T
    图的顶点度: b3 q4 Q8 R1 E
    路和连通
    ( o: Y5 U* u% }7 }& o* g1) 图的概念* P7 j/ \7 V7 ?. X

    . I; n1 m# q) C0 t4 A  x
    " X  M! _  J, X8 C* k+ l+ U
    % d+ l; d; d* k  _/ i! D$ X# O; h( o% a. a2 U

    3 j0 ?1 A5 ^% }; n3 s) j. h2 y
    ; k1 M* ^$ X+ S4 |" x; F9 O1 Q. m& i2 @+ ]. n
    $ ?0 k- n0 ]4 [9 w' U6 ~2 Q

    , Y) O- m2 p# `' g2 w) K( U
    ! H" f' i; L5 j6 L4 h
    5 |: q* j8 G9 Q  x; c( X9 a5 a" I% @0 }% p  T( \3 e( N

    1 ?0 q+ I8 t1 n; O+ w# d8 x0 m% a  F! F% w% `" i% P

    / T6 l) F! Z8 K1 R5 u) r: U4 M, J0 F, G& e6 ]& T

    4 n5 h8 Z3 y! W; B% O* C; p" j: ^" V) x5 l
    4 O* _) @7 L7 ~

    3 V" Q: D0 `% R1 Z. f6 i
    0 X4 J7 [0 Y5 ~- @$ T! M$ {1 Z& p
      Y2 `5 G( x2 A: t% R7 v$ q

    9 F+ a4 y% x  ?- B* E% l% X6 f+ F. R; ?) p* e  x% W2 H9 x1 }
    2 c2 ^% R$ P4 `0 I" @) _8 |/ v; o8 \4 M

    / h2 y( }6 w# G' B5 O2 ?9 k5 }9 v4 ^7 ~* e, i
    8 A- @2 ~* L; \$ X$ _1 L
    & B0 b- [9 k' L  J. k7 E
    3. 最短路( Y/ x0 E. C3 ?9 {6 u$ I! c
    ) }1 k5 X  y3 L0 g' P8 i
    Dijkstra算法
      h2 |4 f% U9 p$ w. X6 j" ?. l/ n, \& q7 _
    / D* _0 x$ p1 f/ h
    ) @: G. e+ T4 F% n) v
    Floyd算法
    4 n2 D/ Q5 b" ~6 R% {) r7 t9 [5 D4 B! O
    算法的基本思想
    / ?+ c& Z$ I( H/ D% c3 O' w' c* q! V8 b2 P
    直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν),使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
    9 U6 o& t) n) K0 w(I)求距离矩阵的方法.
    ) X! s5 ^3 I3 O/ C. z(II)求路径矩阵的方法.
    , R$ @$ a  |0 Y1 ^3 J& R(III)查找最短路路径的方法.! [* a0 y. [7 S1 D+ r: Z- t- G
    8 B% S1 |6 @& N& L1 w7 r* l. ~
    Floyd有两个矩阵,一个是D矩阵(代表距离),一个是R矩阵(代表中介点)
    ( T1 o" U! M# z1 k" ]% r4 v# @; `& d& }
    ; m- \- I" o/ M2 M& q# N

    1 i4 K" M# q9 K* A+ U" F, r5 a
    ' d: }! B, c+ g7 I; l4 ?在这里相当于v1 v_1v ' Y* e+ n# }- }1 h0 S4 J
    10 _; ?, x0 ^$ l* M3 E% m4 q* s6 W2 c
    ​        : A0 B- Q( ]" D3 C
    被打通了,此时v1 v_1v
    ( Y/ o6 v3 b1 R' d! k1# f2 E9 _1 b% d% X- k
    ​       
    4 q0 x' U  p# A 就可以作为中介点连接。
    * @! {* J8 w* D于是遍历和v1 v_1v
      l% g. n; L* P2 z+ l. E1- q9 G6 v; q5 i) l
    ​       
    5 d1 ]/ t& P" m" |0 P& Q* T' I% U 连接的点,例如此时遍历到v2 v_2v
    ' X, |; t5 I0 j' }* x# w$ k25 r2 _. u0 L3 A9 R
    ​       
    ) s9 D7 u7 G: G: O: [: E# c* @! r- ^' q# O" i& m9 X
    然后再以v2 v_2v * H( k8 b; J5 q, R  z" ^
    2& ?' k$ n* W( b* F
    ​       
    & O+ H5 ?$ {( ?; L7 w% ^1 _5 M 为基准,遍历和v1 v_1v
    / g$ B/ L4 t1 d1 f1. b( {7 D3 H- Z* V1 l
    ​       
    * A6 K  V) |$ Y7 t2 A1 T' L 连接的点。1 p7 `2 `  B8 v5 S2 R
    所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵,如果可以变化,那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
    9 F' Y9 b) j8 S5 f- Z* u- I3 |* K3 i) u% _/ n! {

    0 j& S' {3 L: D% f
    0 L* {  Y2 ~% u4 s) S5 ~8 C
    & k8 E! A% q6 ^) j3 i& N3 _% _* |8 |* {$ L$ X

    , }& L# H9 D" W) ]! v0 i! \; _5 B6 O; m
    + Y6 [+ `0 j) X- X' Q; G! J

    " {6 ?' O5 \/ d$ i4 r这里的逻辑是这样的:3 ]6 [9 n3 \, T1 d  X3 x
    最小生成树
    $ N: e0 Y7 ?6 Q7 N3 Q) Q# T, B
    ( A0 q+ ]' h* G( Z: |2 s(略): P1 p) S6 _, c. ?# n$ @
    ————————————————2 W$ J3 r, e- ?  L, }
    版权声明:本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    + ^! i9 G" U4 l3 F8 [# |/ m原文链接:https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/100022182
    1 u/ b' u$ v3 b, e. I% D$ y- u* @+ H& n1 O; O0 s
    ( c7 e( [. _+ v, E1 R! [: r
    zan
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