数学建模之图论

杨利霞

6 Z9 g. p: g6 I7 t5 k' [数学建模之图论概览
3 H( ?! ~8 i: ^) C: S
问题引入与分析
. J$ L7 l/ J+ v9 h9 f5 u  o0 J8 s: _图论的基本概念
最短路问题及算法
最小生成树及算法
旅行售货员问题
) v1 h( N! _* Y7 B9 F! c模型建立与求解
) \/ w* u, _8 [1.        问题引入与分析
( K5 {! W/ [  G/ \7 t5 L) z
4 M, [" S. W$ e0 h1） 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的：

+ K. L) _% q$ s! L4 G今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.
. |8 g7 o# c9 Ia. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
b. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.

1 j+ g. z5 E. Z+ p9 X  F1 Y& w
8 D+ k/ Y8 I% h( k9 ~公路边的数字为该路段的公里。
8 p7 n: H0 ?8 v  B
1 [. e# ^3 n) I2) 问题分析：

本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次
1 b- E) k" |5 Z7 O4 h6 k# S+ U2 r* |再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
3 q- r1 z+ A! K/ |; l
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题.
本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链（闭迹）.
& ]' d7 C( Y7 k0 E8 K2 L* o& j如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题.
众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，即求解没有多项式时间算法.
2 r) b9 v+ A6 `8 S; J; G5 p显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
' M2 m- X9 M3 y8 p+ P$ b, y0 a
2.        图论的基本概念

图的概念
1 }' H, J2 V5 q% ~1 S+ g8 C* L9 G- o赋权图与子图
- X) I0 T; |, A3 S+ a) i  I( d' g  Y图的矩阵表示
图的顶点度
路和连通
8 h) S: m$ G$ n$ N4 @' f1) 图的概念

% A/ K6 y" Y' s



6 v* e9 x+ ~/ m+ o

9 O( T4 H6 {. {0 [3 ?6 H# I. N
6 M5 J& P& R0 _- ~4 h* J+ `
7 S3 T* E4 k/ }8 z
3 N# U) B9 d" n5 V. X' \/ ], S7 B
" L6 q4 O7 X* X& {; @% x! _






0 r' T* v  Z% x; v
1 s( q  O% ?2 ~
- n' Z) w" m: T/ b& q5 n8 `# z+ P


# [# h# |. J/ m. x8 C+ J& F

$ t- T) C6 H* Q/ ]0 t# o2 A+ Q
0 q9 v6 _( Y( K) S5 x6 H8 S
/ l, g5 ]' I8 o

4 s  J4 ~+ K0 M: O8 Y
3. 最短路

Dijkstra算法
) @# i  m3 P9 V
2 k3 S0 m5 k0 p& X/ g7 y% L4 \0 k略
# {' H) V  h% ~* \; _# d
2 l  C. E  g9 k' ~Floyd算法
; n+ d. {3 O3 i- f4 s. j
- V* y5 u6 m& S/ t% e' d8 f+ L算法的基本思想
& |" |' P# m; w' ~4 e
' |# a9 g5 R; \. R& |3 Z2 G直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν)，使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵，同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
% Q  j, q0 V$ Z7 ~! y' D- ?9 T- q（I）求距离矩阵的方法.
（II）求路径矩阵的方法.
（III）查找最短路路径的方法.

% S5 A2 m* Q' Y" V0 ?Floyd有两个矩阵，一个是D矩阵（代表距离），一个是R矩阵（代表中介点）

0 Q# l5 n3 v8 s7 E4 m

+ @* F2 ^' H: H8 Z7 l: ]2 g* x
在这里相当于v1 v_1v
1
​       
被打通了，此时v1 v_1v
1
: @: B+ [8 V8 n( K! C7 u/ ?​       
就可以作为中介点连接。
9 t1 Q9 ?0 Y: y9 g于是遍历和v1 v_1v
) i! D5 A% G/ J+ M1
5 M5 v& ~# j4 O( `​       
( ~" V3 _" v4 T0 ^ 连接的点，例如此时遍历到v2 v_2v
) f+ R% ^' B3 W2 p- B) c2
​       
+ ^0 @3 p. t+ U2 h! v  | 。
3 K9 ~9 |0 L' L% s  V然后再以v2 v_2v
2
' E& V6 U8 ^& E- o# {​       
为基准，遍历和v1 v_1v
1
6 ]1 A, `9 r( o* y1 ~# `​       
连接的点。
' J5 d  K! T3 H2 V/ h所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵，如果可以变化，那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。

& b3 F, S- d& t* A; M
8 U( O% G2 ]4 D; g, X* W* c

  Z. c1 p4 H4 J
0 p& a; X9 g* E+ q3 f



这里的逻辑是这样的:
. S# M+ F* {, ]) W# o最小生成树
% l+ x& u3 b$ G0 o- E) |  C/ U
1 Q: \" ~9 t+ d9 O" l) }! z（略）
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% V$ l( L' v+ G, e4 n2 k

( ?& G7 D; K) M8 {- X4 _- a! A