数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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- Z; }9 q, K% ?& h% j今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
1 `/ z3 q- H9 G6 j# x- s: ]! r" h
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
: z0 e$ s- o7 o$ F3 J; k7 z
一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
- T) Y2 O0 S; h* R) z而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

/ p3 [% [4 S$ I0 I2 @接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：

/ L9 o' e% Y/ G/ U- }* Y
2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
4 M8 S) e$ t$ s; I, W, C% Q( q8 b
* x' g: Y3 m  {7 |2 U1 d接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

2 L1 H. ?9 u2 T) ]$ q2 I这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
& N* T7 ~* c9 y0 \/ E& n% n7 O（1）代码部分：

- }. H" |& @( c, {) s0 H（2）运行结果：
# f- Q% a+ Y2 Z/ Q8 A1 E

2、三次样条插值
, h7 d1 H3 Z5 x/ x) y（1）代码部分（pchip函数）：


# V0 b7 @- y8 Y7 p2 K: @（2）运行结果：

, @, ]- n- [4 K$ S* n
# ?* j6 _2 N5 m经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

. P/ N& {5 z  Y; J8 ~注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
: V5 n2 X, V% m, _8 o原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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xiEnqing

听说回帖加体力~

张迪迪.迪丽热巴

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chace

谢谢分享 努力学习