数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
4 m: N7 {$ a# r1 G! N& @+ X
* J+ T" \0 a- K& P) `今天学习了插值法的matlab实现。
8 o- G' G4 q4 G0 G4 E; k我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

# y& G1 U) G+ s, [5 C插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

) u# @: {/ F0 d' w+ p% h一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

% j% j0 x0 k5 @接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
0 E1 X' x" W: i# y7 q7 r: b1）分段三次Hermite插值
0 h. L3 b2 ?0 a. G3 \! Z① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
8 _+ \; Q& V# u) L（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
' \/ I- B1 ~4 X! u4 {/ l: @② 分段三次埃尔米特插值：

  |  @! V  j# I3 o
+ ~$ {& h# s. {7 p' J) d2）三次样条插值函数
1 y5 }9 x+ i0 f# |; ~( d
7 L& l/ `( W- W2 @7 _5 i其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
2 N% W1 N7 m  }* F
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
8 J' }  {" {# F# A  i
9 P' W% D" L9 h4 A这是我写的代码：
4 T$ d! C9 p$ `, G: t3 I1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
* n9 @3 B$ f9 i9 {1 u) p  I: K  B（1）代码部分：

（2）运行结果：
! H: Y& Z/ k5 `2 a- ^5 O  q5 @- T. I

2、三次样条插值
: W% e# r1 ^& B: \8 S+ T（1）代码部分（pchip函数）：
$ I. y& ~: @2 g/ h

（2）运行结果：
, B" s, v: D  Q0 O  E* B4 e. n, E5 O

经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

9 l8 `6 L; P! v0 a! L% v! K7 k注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
, C6 Q1 Y3 m2 J; O$ h4 \' [原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
% z, B0 f& Q* y5 I

xiEnqing

听说回帖加体力~
$ O$ Q  ?# ?5 A9 e

张迪迪.迪丽热巴

发表回复

张迪迪.迪丽热巴

发表回复

chace

谢谢分享 努力学习
: n/ E- c5 R6 }" U