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数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值(笔记)

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杨利霞        

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    发表于 2020-4-3 15:23 |只看该作者 |正序浏览
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    数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值(笔记)
    1 Y+ p4 k# P' W" _
    - Z; }9 q, K% ?& h% j今天学习了插值法的matlab实现。3 y* J" Y0 K- {4 s2 h2 A2 O6 R
    我们接触过五种基本的插值方法,有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值(三次)。
    1 `/ z3 q- H9 G6 j# x- s: ]! r" h& |# e" w; U1 w1 U: n3 K; v
    插值法在数学建模中的应用:数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求,这就是插值的作用。
    : z0 e$ s- o7 o$ F3 J; k7 z9 s" h# d8 q8 N3 x! o4 h& W, ~  @
    一般来讲,数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
    - T) Y2 O0 S; h* R) z而matlab中都有对应的函数(感慨一下:matlab真强大!). ~' ~" X* q% y: Z
    这两种插值的matlab实现也是本文的重点。2 S  O6 z2 D/ h7 P. j

    / p3 [% [4 S$ I0 I2 @接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人(便于理解): D. _  e# j! r
    1)分段三次Hermite插值/ e7 }9 J3 }3 L; I: |
    ① 埃尔米特插值多项式:插值多项式要求在插值节点上函数值相等,有的实际问题还要求在节点上的导数值相等,甚至高阶导数值也相等,满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。  M# m7 u1 G6 P- T
    (直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高,也存在龙格现象,因此在实际应用中,往往使用分段三次埃尔米特插值多项式)/ {. @. U, o% ~& \7 G5 N7 j
    ② 分段三次埃尔米特插值:6 E. v* O4 y' i: W( f
    3.png
    / L9 o' e% Y/ G/ U- }* Y0 Q. `5 p! H. B: f8 ?% n
    2)三次样条插值函数( b9 w; q1 z; t: }" B$ j
    4.png / |+ _, ~; b) U- ~4 Q
    其次,再用matlab分别实现两种插值法5 I* L7 W6 e$ a" s) z0 ?
    这里应用背景是:MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理# c' C, ]+ m4 k/ T& R. P
    这道题中,附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次,数据量不足以用于建立合理的模型,因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下:
    4 M8 S) e$ t$ s; I, W, C% Q( q8 b 5.png
    * x' g: Y3 m  {7 |2 U1 d接下来用matlab进行数据补充实现(注:叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 )6 y  T5 O/ e, T# j( m3 A& M

    2 L1 H. ?9 u2 T) ]$ q2 I这是我写的代码:8 v/ }6 m* G% E+ Y" J2 G  ^8 r; E, S
    1、三次埃尔米特插值(spline函数):
    & N* T7 ~* c9 y0 \/ E& n% n7 O(1)代码部分:6 g4 S# s; a8 B; w
    6.png
    - }. H" |& @( c, {) s0 H(2)运行结果:
    # f- Q% a+ Y2 Z/ Q8 A1 E 7.png ( s8 l+ n& f# p% q0 G' E% f
    ( ]) m, ?% D7 s5 p, [' z
    2、三次样条插值
    , h7 d1 H3 Z5 x/ x) y(1)代码部分(pchip函数):6 c. @* U/ R& y2 ?1 R) y- V
    4 \  G" c) B4 Q* c! B3 p
    8.png
    # V0 b7 @- y8 Y7 p2 K: @(2)运行结果:6 K0 A+ e2 v7 J" j
    9.png
    , @, ]- n- [4 K$ S* n
    # ?* j6 _2 N5 m经过两次试验发现,大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似,三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程,因此这两种插值都可以使用。5 U" I5 z' e6 _" M

    . P/ N& {5 z  Y; J8 ~注:以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
    : V5 n2 X, V% m, _8 o原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
    ) e* b2 B0 m" K" n2 b; F  E2 b
    7 n- h0 J6 X4 u4 x6 s3 L
    , [/ @% |, ~( U) w
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