数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

- _$ O/ [! J2 Z+ `1 x, H/ z今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
: Z3 Q, e9 y6 [
1 E+ E0 h% K# e; T: z6 d插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
4 }& C+ c  ]* n- l, Z# i而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
8 [( Z: L! n* h& `
8 `7 @, D) b  ^1 b2 n接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
0 `4 J) h! A) o% G: g9 ?( u5 y① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
  M+ f; H( D. O9 [& Z（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
& ^, [# ]5 X- G7 n② 分段三次埃尔米特插值：
  R" t( [& t5 G/ W! B
  v/ j' @7 c: E' E: `
2）三次样条插值函数
' }( N7 q: n* u' e& P6 g
9 r' O" ]3 d5 n0 n" b& R其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
. {' e: j1 K- w4 f' {- O0 q( K" I1 z" z
1 E" h. ?1 o  z接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
- E4 d/ f" O+ L! ^1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
; Q) y3 f2 R0 J+ u! x# u5 ^
/ w: @2 _( }# q9 C& M（2）运行结果：
+ E: N- L+ r' Q0 M3 a7 g- ^
% _- g; b& c, N
/ _6 G% D1 l- E2 Y6 N2、三次样条插值
  G$ p" g  f5 `& m: _（1）代码部分（pchip函数）：


/ y' ?4 c0 I" j& ~. m/ R+ b, P（2）运行结果：
6 W* M- d- E7 O2 H, L3 J

经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

% j. L- ^6 o  J注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

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7 W4 e5 f) o, i5 f: o

xiEnqing

听说回帖加体力~
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张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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chace

谢谢分享 努力学习
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