数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

4 ^6 o$ K7 F& ?2 \1 B. o今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
0 L4 |- \4 |( I! K, K7 y
) K: \, \4 b1 t插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
& g$ U) J; i; I, t. `. Q: C
2 _5 z4 R0 V- |. L" q' r: r5 Z一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

  K: q& S( _9 S) h接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
" f3 R) S2 w2 q! ]① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
" i+ G; `* s- i* w② 分段三次埃尔米特插值：
. T1 U. W5 c8 U9 T( Z9 @  Z# z
% s7 _) n& n( v5 t
2）三次样条插值函数
, `: K  L2 @8 i2 b; G/ V+ x
# E# e! P: w5 v; f4 x! k其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
. U# G& u$ p, I3 v
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
6 a' e5 L6 T; Q" r& W1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
3 z* w7 n+ G" J" b4 B
（2）运行结果：
3 @7 d1 ^2 B+ x$ C1 O

" j: r# K' ?5 K: }4 i2 v2、三次样条插值
, B4 K6 [1 k7 ?9 j（1）代码部分（pchip函数）：
% t8 L2 [4 s' g9 R4 c3 T* W
. Z( M$ K5 _) d& P
6 Y: J2 M2 k5 H6 _（2）运行结果：


经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
! _3 y  M( `3 L& M8 {
2 e' c1 a; s: u' Y( P1 b% K: x( p注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

4 z( o5 p* }6 @

xiEnqing

听说回帖加体力~
7 p, q4 u+ j# `

张迪迪.迪丽热巴

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4 q# W0 w. Z6 g+ R1 t5 R( w1 F

chace

谢谢分享 努力学习
  H6 [1 X. U5 _6 w0 c. T8 X