数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
5 X: @' @8 Z5 d5 X+ s/ a7 X
7 i5 |& S' E0 N: @: t: f) F今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

2 G7 N( h# Z  Q4 a, o插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

7 C# u; O2 l2 f! i一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

$ X) E0 k5 ]: H! L$ R1 d! u( G接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
7 f/ `) M7 I3 x3 z3 F6 ~① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
% ^  J9 s5 y( F9 P1 ^（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：
5 t3 [6 ~9 r' d" y) _9 m! P

& g' E' H2 `9 V% \' X' w9 {  V6 V2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
9 f8 f. [5 Z2 V+ G8 l$ J7 d1 A这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
% o4 O2 B' p- r" M1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
0 U2 I7 R% s! ]7 m- y（1）代码部分：
. X7 |8 ]! N3 j; P2 g
（2）运行结果：


  B1 A' w3 S7 `% u0 A# q! J2 b# v" w2、三次样条插值
% M$ z) e$ m' l( K% a' E（1）代码部分（pchip函数）：


（2）运行结果：
# H1 n* q0 s4 K0 [
4 r, o' M/ ?! B3 X9 z
3 Q& J, X& ~$ ?' }+ K0 ?经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
0 F( f  h5 t& I" }; v9 A# d' G$ W4 p8 ]
3 ?/ f3 C. M- d1 U5 T7 _注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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xiEnqing

听说回帖加体力~
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张迪迪.迪丽热巴

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chace

谢谢分享 努力学习