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数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值(笔记)

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杨利霞        

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    发表于 2020-4-3 15:23 |只看该作者 |正序浏览
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    数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值(笔记)4 w; A- Q# O1 z8 f5 P( D2 r0 A9 K5 L

    - _$ O/ [! J2 Z+ `1 x, H/ z今天学习了插值法的matlab实现。! \! Y; Z% k+ R0 O- E  @
    我们接触过五种基本的插值方法,有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值(三次)。
    : Z3 Q, e9 y6 [
    1 E+ E0 h% K# e; T: z6 d插值法在数学建模中的应用:数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求,这就是插值的作用。4 d% e4 U' h# K+ @0 N7 A
    ( T& E7 M  m: U. P+ L. R
    一般来讲,数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
    4 }& C+ c  ]* n- l, Z# i而matlab中都有对应的函数(感慨一下:matlab真强大!)- n6 d& c4 f' \/ I% P
    这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
    8 [( Z: L! n* h& `
    8 `7 @, D) b  ^1 b2 n接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人(便于理解)3 i) o' }0 y5 t" `! Q7 \
    1)分段三次Hermite插值
    0 `4 J) h! A) o% G: g9 ?( u5 y① 埃尔米特插值多项式:插值多项式要求在插值节点上函数值相等,有的实际问题还要求在节点上的导数值相等,甚至高阶导数值也相等,满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
      M+ f; H( D. O9 [& Z(直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高,也存在龙格现象,因此在实际应用中,往往使用分段三次埃尔米特插值多项式)
    & ^, [# ]5 X- G7 n② 分段三次埃尔米特插值:
      R" t( [& t5 G/ W! B 3.png
      v/ j' @7 c: E' E: `' n4 |' T4 K# Q# v7 V3 a/ e2 _
    2)三次样条插值函数
    ' }( N7 q: n* u' e& P6 g 4.png
    9 r' O" ]3 d5 n0 n" b& R其次,再用matlab分别实现两种插值法4 H2 m! k- y9 L
    这里应用背景是:MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理  d: e" }$ I& y# ?% }1 J8 f3 U
    这道题中,附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次,数据量不足以用于建立合理的模型,因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下:
    . {' e: j1 K- w4 f' {- O0 q( K" I1 z" z 5.png
    1 E" h. ?1 o  z接下来用matlab进行数据补充实现(注:叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 )# E3 b" `, Y( Q" k* y
    4 }) y$ V, I/ ?
    这是我写的代码:
    - E4 d/ f" O+ L! ^1、三次埃尔米特插值(spline函数):5 ?( B( W* P0 R7 A' C
    (1)代码部分:
    ; Q) y3 f2 R0 J+ u! x# u5 ^ 6.png
    / w: @2 _( }# q9 C& M(2)运行结果:
    + E: N- L+ r' Q0 M3 a7 g- ^ 7.png
    % _- g; b& c, N
    / _6 G% D1 l- E2 Y6 N2、三次样条插值
      G$ p" g  f5 `& m: _(1)代码部分(pchip函数):4 _5 n8 `* A9 ^
    / ]1 K/ D' ?  d2 D. o
    8.png
    / y' ?4 c0 I" j& ~. m/ R+ b, P(2)运行结果:
    6 W* M- d- E7 O2 H, L3 J 9.png * \8 e- F8 z# Q! I
    9 ]- S" p, a7 F- [# i0 H
    经过两次试验发现,大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似,三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程,因此这两种插值都可以使用。7 ~% @- ?6 T( \) F

    % j. L- ^6 o  J注:以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解: J1 ~6 X  V# ]) w- k' w3 [
    原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616% ?/ _+ U! b3 t: j

    ) L& U+ }# m4 {( D+ d
    7 W4 e5 f) o, i5 f: o
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