数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

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作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
- o& q2 s! U. \I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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- L. d$ \, C6 p; k
博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
* z, J% q7 f* Y( D; u2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
3 m& C) N9 a7 l; @同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
7 D; X5 ^" K! b9 A毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
9 L6 O! y  G" C4 O' Q4 m  r谢谢。


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1 V) D; H# ?/ e' p5 }  }

一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
) [4 E" C2 k9 Q8 x: L; A- G共同发明了，蒙特卡罗方法。

1 k8 f1 l" ?% g+ Y
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
" l* e0 \7 g+ F3 O9 }) _! T- _http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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( F* ~+ n& S' d: H$ [
+ S/ `1 I: b8 o# Z& p蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

# B- Y2 s: |2 I1 r) L的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

( n4 p' Y+ N' m7 f; C1 _0 h( }法。
2 R9 D7 @, P3 p8 h! ~  [& ?


! z4 \2 N$ @" S; B由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
7 P. V% r' L1 a- g1 X5 }
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
+ K. ~) w. h" Y( |) ^( T
% q4 G7 R5 Y7 D& s6 u为问题的解。
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; L, X. X$ m) i0 Y: @& G
" h6 T+ h2 E- ?/ G. V
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
0 Q6 _* f, u& @
9 l0 s  ^  e2 x* ]% }+ p: b# B- z后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
4 G* s. B5 v5 C* }  _
，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

2 e& t# h' c9 B/ Y  b拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
( R7 f) M: |- e
/ G/ d: a4 w% f5 ~- o! T% h近似解。



蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

6 I( _& z/ H! |* D, q6 A" J蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
9 n) ^) |1 y) Q9 W7 nI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
( k/ I9 ~# o( E! O  }" p, w4 h等等。
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$ [9 M3 e. w  z6 x0 @: `% M此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。


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* m0 s7 j! M3 m. U. X/ G二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
! D; |9 t  G. S- h- _9 M2 d8 d9 v. z我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
; m$ S& O" R( m$ P6 ]
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

/ ?2 Y- S$ Y: f9 [吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。


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1 l* d/ ]$ `6 i此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。




( _+ Y- I7 f8 o: x8 n三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
) ?) U# w( e" y! g( F
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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1 K4 _$ Q% H- K) ~2 G( k需要熟悉这两个软件。


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四、图论算法
: j  K% l0 n9 z% p5 V/ H& G: A这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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4 D5 S! P" r* k2 |5 r
, l- v: S: m3 }" k% H) s2 v
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
& r! [1 \& m& ?+ t5 x- E6 k# r同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
0 F9 M( b! d' i3 a/ Y0 p
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  g9 G/ R3 z- ~在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
7 [& @% s  l! @3 s此外 98 年 B 题体现了分治算法。

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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
* R7 W) w/ Z. H# B* C推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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* p  Y1 X  K! B+ P
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
. S1 t9 @! P% e2 h, R这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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8 V0 }2 n5 ?. }. w1 q5 ]
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
7 R8 s0 G5 G" u$ h! v  yhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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4 P( f2 E" H* q6 L

! \/ w  W* Z6 o. I5 k其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


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七、网格算法和穷举法
5 X1 g0 \4 B( F网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
1 |% {: j  ~3 B% U- P比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
0 \6 d) s: M% y) P0 ?  k# U" z比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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( s) i* D* |% `  E* S八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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+ T6 Z/ _+ f, T: i. ?; b, a这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
/ S& \8 d2 E% N: |( b, N( p事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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4 a: r+ I: h; _, Y" V9 Z3 J6 z九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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算法。
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/ U4 _: n: {. G/ J如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
/ r7 d) S' i' s' b& k+ |* E因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

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+ {! F0 n/ R# c7 s
十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

) F- x8 }" G1 Z" a' ~计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

8 {2 n  ~5 o) c# W; P* A% v8 b因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
0 z& F; k  Y- V6 h. C& W: y


- |' W# [* y: m0 ^$ S  S  x. ^( h此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336
: X. B. b# M3 y1 ~; j* i1 ^

, b: j9 C; H6 q' @3 h; ], t! a7 C
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
; @9 v$ Q/ r6 U& ^3 V日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
0 S3 k7 C1 C1 j9 s) j完。



* i8 e+ H$ p/ N0 b; K

作者声明：
) j3 Y( A9 ^: J' f, n本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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谢谢分享，总结很好

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总结的很到位，言简意赅