数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

1 p" y: x% ]5 [; }- O作者:July  二零一一年一月二十九日
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5 R( X+ j5 U% p& ]$ f! ^% v! k- a; C本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
6 ]" r  C( q. d8 fIII、维基百科

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博主说明:
# [) a# @, L: l  {1 Y4 Y  A! U8 o1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
0 e7 ]/ I/ E3 V' I: I" E" D* W. m0 B$ P2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
' Z5 ^# U% |; o  X# Y5 p同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
+ V, R0 `/ {: ~# }% ?8 x  Y4 B且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
) _0 _9 l  q9 G* C& y) I若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。



0 |. A) s1 g7 w4 }6 y+ {
0 `0 ^% x+ K' i3 L
一、蒙特卡罗算法
+ ?7 ]' @: H" ^# A2 @1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
: V. Q! n* ?& z' P6 I4 d5 f. W8 P

0 W5 Q' B7 {8 ?( Q此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
2 b5 V: u# [& Rhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

6 b( }0 ^+ X2 }; X$ l
. o. q& Z  Z& E3 x2 X
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

7 Z& l2 O8 e8 `! @6 U! R2 t的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
& l. m& X* w0 Q* r3 Z& E
法。



6 x0 }, k* T# K. K1 `由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

. a: ~8 c* S$ K  A% ^实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
) b6 X" O4 \* E- Z3 a% d1 ^9 k当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

: E  v2 A& G1 [' n, J1 q4 ~为问题的解。


+ A/ o' ~0 |0 B6 T6 M+ y8 s4 m' A" }0 @
$ X( Z& j/ B" t4 J5 K: K% u有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
* H- l* v) @0 n7 p8 F' H* O
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

8 K. ~$ @4 d5 }% z5 `" s后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
2 ~5 {: L& g( H- p; W
- o; Y/ k) e" X' L) m，结果就越精确。
0 ]& X- E! A' z0 }, x2 g2 P4 @% P* ]在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
: |( N9 c7 ?. h4 s) f9 B$ R( j
, @( o. L& A% r! _5 ?& Q- k# Q9 }: v
5 V# T+ ~8 _% K  M+ ]蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
. ^2 x1 O) j3 k( m  u% ~; _
* ^& I6 i; m0 R8 H拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
# N; z* W, [0 k% H
; x: B, M2 B0 ]9 }5 q近似解。
2 X5 s) r: w: }8 p6 Z) [! m


蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
+ w$ I- R3 e2 @) V9 y3 SII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
% `9 e1 o* @1 t* g: m* A0 L& b. L/ pIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
5 t1 h, H- L- y4 F等等。
: |! Z9 X+ m( c8 W8 N" q* x4 u
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
0 W0 x/ G0 a& Q8 G9 W. M8 D3 _
& n! z' i/ D  c& S2 T7 S/ R

6 r' D- h0 x$ `: g- }
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
; P9 J! W) Q7 a2 u3 \" _* i8 E' y; r
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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, S& q+ l( ?7 ^$ d; k! @1 j3 w$ o+ N
# K0 O. c  g0 ]- u4 Q此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
* v6 Z! G' H$ W: m9 D4 @* R
# u" j; n3 Q2 R% h& K8 j( N- J
: K/ O" U4 {0 Z5 U

; Q! |4 N% S$ R- e1 p6 U& l三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

  V% w( Z% {) ]* Z* M9 u、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
, y4 w1 l" @6 b; o2 }
) _! _9 B0 ~0 N! {0 k& |完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
- E8 L" L9 O$ @& ], Q/ V- x: [
需要熟悉这两个软件。



+ B, x- S/ y) }: u( H& H
四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。



# N' L! s' _/ |2 ^: T/ a' N+ i关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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9 R9 l8 ?2 `. e$ D- l经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
  ^' K$ j- Q. thttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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, L% p, H+ u, n+ H2 m+ S7 u* U
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。


这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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+ _8 V+ }+ }0 k; z1 @; E

六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
; Z0 {6 m$ O; Z4 K6 w, _/ l/ k6 L
( U1 b' [# B0 j/ r# T3 Z在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

. e/ V8 p2 G0 G1 n) ^5 W8 E以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。


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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
4 n1 o* G  Y' u: U) h+ k8 y+ S( thttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx



1 m- N+ i1 f; `! ]* M% V其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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, B+ o) {# ~( Y3 A
' h3 P# i3 m& b' ]) T+ M
/ m; _9 _6 m+ A
七、网格算法和穷举法
5 R1 B% n/ _9 D2 e# [$ L1 G网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
' [- b& \# p  l! |' w5 g; D9 f比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
, @; k; E& t) C2 J1 [: M

在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

; l, k8 ?* b. [" ~& F穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

# r  e5 \8 k9 v' \. u
1 I; z" S' T' U
; {5 v2 z. c2 J+ p1 B
9 e. Q& o2 ]! K8 e八、一些连续离散化方法
- W7 N" G1 u0 f9 P6 j: C* {( }大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

8 ?$ u2 \0 T7 H4 _8 {6 T中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

+ U! g; Y( r: S8 w3 [# X0 p  K' o
& A3 }' M) ^" }这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
0 M# ]: h% u( Q5 E" V

' U2 z+ K2 l/ f, c& c, Z( S
) B+ v9 ^7 b; p; J! w+ v" M" q& C  v
. ~* ^! Y3 k! _九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

) J  ]- y4 s9 K算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
$ C  d  }8 A6 K因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。



# e7 @- X& H5 h7 \
十、图象处理算法
0 `9 Y3 z& @# |7 H) ^在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

$ c! q9 E/ R! p计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
/ T7 H& A7 s, ~7 z7 G
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

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此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336

) K- H! p) O9 v
& g1 }9 w. m' F
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
* [* Y$ ?0 T% I, p日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
0 p+ }: u: l5 G: t- z( [3 K; n完。
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+ L6 s2 d, c5 q  t6 h- U/ f7 A
! Q. m0 l3 N1 p& Q

9 e1 z, g. u) W) ~7 v+ ?
" w$ [7 @9 j1 ?( U  _- }9 i' ~作者声明：
+ [8 n& Q: b+ d- |本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
, {2 @# C- }; J/ O3 O$ W转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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# m% O- B! H$ s2 I  @原文链接：https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6168683
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谢谢分享，总结很好

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总结的很到位，言简意赅
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