差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
3 F1 U& K6 f  ~' d常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。



* Q$ K! u* H& j& }# k- X3 d9 ?例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
( J* W! S- l$ y; @; O! y6 |9 j1 T
" v6 i. l8 c4 y1 i  V  R, m' V  S（a）假设
令n = 0,1,2,...。

2 y  T' S8 p0 J
- ^" i# R8 a; b# W
) W: h; P: m& _/ \
3 U7 T( i& D+ U$ Z0 f# B8 Y
1 y9 Z; k6 o9 h( h, k（b）建模
5 e: ~( X  n6 z2 P9 S1 _& }! j& ^! ~



* f$ e8 p% W8 |! F) Y
: O6 b; h% s2 S9 A; X
; {2 m1 J/ f! R  l编写如下 Matlab 程序：
9 T' ?4 M" g: g
syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
  M! l- I$ v/ w( u9 f[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
3 d; u  j) V$ W# C2 j

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

- D6 e3 \2 J: `) b, h5 l& Osyms n a0 b0 c0
6 T0 w" K" F, MM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
0 P4 n1 @5 ~2 m8 g: b" X7 zx=simple(x)



2 常染色体隐性病模型
, B, Y% P; x) i/ v现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

6 [5 c* }  }( ^* Z4 l（a）假设
! h5 J! `8 r; Q" O$ v（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
+ x8 a4 z7 d: k2 F1 @$ K5 x- ~


（b）建模



4 j$ i- E  j' [


4 X  y. C( x7 |. s, P7 o7 g（c）模型讨论
6 I6 s7 m0 \% z. F+ X研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
$ i' P& c+ Y9 z1 v; Q


下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
, d; g1 g7 x; ?9 N+ V( N
; X( b2 G7 J0 M1 |$ Y3   X − 链遗传模型
) D8 h; K" }# K( G7 {, WX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
: I+ q0 ~3 b/ \  R; H
* V4 W3 }+ H6 A/ b1 x  G- A（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
$ M* t: U" Q3 f4 {1 n# Y
（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
5 V; x" Z* Y4 F- y
0 m8 t# R' T( u+ ~
: w* P2 k. r9 \* |& |
4 [5 _0 V4 w' i* l6 d
+ Y3 [; G/ P7 B# k( }. V* M0 W, h7 X, ?
; e4 w9 i5 p3 q- Y3 i0 k' w4 ]! I$ T+ b
; M& f( M& D1 b  X3 E/ F& A( c
' H5 g4 y; Q. W; q' I; c& p+ G
编写如下 Matlab 程序：
9 A+ ~( \, t4 y7 v' t
8 `5 d- Z8 I( K+ `( I6 Rsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
+ z& {0 u/ w. O+ \7 p- L" SM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 \$ R; G; a( b" K- E 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
  R! x7 c! Q2 r1 u4 i( y" l[p,lamda]=eig(M);
1 o2 e9 Y# d4 _$ s( \. {4 E7 gx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
. e: W  b* P/ d* @! I9 b! F9 R# Jx=simple(x)
7 {* M2 B+ W, Q8 m0 |+ z
由上述程序计算结果可以看出
0 e" x* U" w; w% m+ }
4 M4 u0 u4 v& S
/ [3 L* T  x' [
. Z' }+ w7 n7 i习 题
# E8 z' \# r+ P9 l' X1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
" ^/ B  ]7 H; |
; T6 y+ K# J- h* K/ ^5 H2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

: w$ j1 X# J: b& _! R* n3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。
! Q8 u; I0 I$ Q) D- @5 S5 |


8 t$ h0 z) D' A, ]  }
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