差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。


9 j! u8 R, t& _) a3 E; ~* E- G
& K6 G5 X# b& O1 @例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

- D  P2 Q. c6 f+ J3 A2 ^! S（a）假设
令n = 0,1,2,...。

  [! D. U4 G/ Q6 O: K/ V" R
, a, G! P! G* y

, j! K2 P2 K' `
& l9 f  Q0 L, T3 {! O! r9 O（b）建模
5 g, p' s$ Q- d! w, W

, B& k% W' P6 b! K! S& y
1 k* f# s6 k' g+ l- m7 w/ o1 ^
# F/ E8 Z4 M4 W/ n& q6 G
& j$ f0 x5 z3 ^) u( ^  z
编写如下 Matlab 程序：
  L. j& }. P( z: W. p) z
syms n a0 b0 c0
5 w  F  u. W, UM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
/ n; M+ ]$ G% D6 s[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
' }# I6 r6 p( C5 U+ jx=simple(x)
  }$ w6 Q: Q/ j5 ?
. y3 `5 t1 V5 E; d) z
# d' j, N) ]9 a* F
: v4 z& h, u4 G% R+ S

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
/ T& o' D7 d# U[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
1 ~4 ?4 P' _$ M  Z9 p7 i) px=simple(x)

& ^5 ]) j/ ~2 P

2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
9 x- @+ k6 q2 p0 c
: m1 K# S5 W, j4 M0 d（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。


: b; v9 E/ S( [0 {, J( s
（b）建模
4 W* o$ ^) ~7 X  E+ J

/ |4 o* }! {( P' c' C8 V  O; W
- Y- q7 F! G8 [' L+ J9 U
1 c0 ^; d9 w# C( M6 M

（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

/ O; S7 K$ V0 y9 L0 P& f
& V- ?# z+ S% g5 q: ^+ _
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
; O+ ^) U. A& a& C8 {; ^1 n# z4 O
3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
* e: o, G, r$ ~( C/ w
5 o& g, @4 A2 f$ {( }4 Q（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
( E3 ~. T' A1 C$ G: `
  I; N! d" m) l2 g& {0 ?5 S% ?6 L& z
. H3 j- m4 ]1 j; r
- y& T7 u  z' D



3 h: A- k+ ~% ]2 k0 Z; K
7 L9 ~2 G/ {4 `编写如下 Matlab 程序：
6 N6 c8 E1 x/ m% w4 d8 l, K; w- f! p
8 g" }4 x9 F$ X- \0 Msyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
+ t/ t# }+ _- U6 s, xM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
# l: ^& f; e8 ]" P* N* Mx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
# u4 `/ Q& o9 v7 _
由上述程序计算结果可以看出
& M8 E2 C6 T; |: F- X- E! t
2 r3 M/ O" S8 @; q/ W7 {4 k8 V

习 题
1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

1 t1 U1 H1 N, ?' _( o3 U0 M. Q2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。
7 \$ `/ ], }4 M% a- u8 W, x* C

8 Z( F# v# S* y( }

- n" _6 g# O4 S, D# N6 g————————————————
% a1 K. V9 j: O2 n0 S; W+ H4 S版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
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