偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
2 o& ^& s( _1 r( e

# L" g. M: x5 ~2 y$ m5 H1 e0 m

( f/ g5 Y) v! r# t5 n( u* F$ N

1 ]5 i% r& h9 M9 d: u表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

8 X2 x) C+ b% G
0 {( O( K5 @7 |2 S% \+ \. l
4 `- N" \, K! y2 d8 }利用如下的 MATLAB 程序：
9 e% C+ o: ?: ~& e1 \
7 b# _/ G. a5 s4 }& @clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
6 i, W/ l5 i, u1 Zrr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
3 r" B8 t- R6 D3 q5 _data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
( o; d& m+ R% U7 M& b, p+ Ax0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
  T- M; w- N; \. We0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
  o& d1 D3 v7 n  Qchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
. y' @7 n, g* }7 efor i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
% |' T* v9 U' ^; I7 g" l    [val,ind]=sort(val,'descend');
3 I2 j. K+ l& Z" P; w2 \6 [    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
, g, E: O% W8 m( y! D    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
. u2 L2 }: g# F1 I; B) M9 ]    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
' I4 }8 O6 M3 T5 `& ^5 j. e    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
3 y1 h  c! D' T9 K  y, I( r! v    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
$ i& V  v, Z$ x) p4 C" g    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
) Y3 ]8 K/ G$ l' ]%以下计算 press(i)
. ?. h' [# N  m+ b* d6 O    for j=1:num
* o) |" v0 s% k/ ?, H        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
; }3 Q8 U1 y( k5 q/ B, e4 d4 a        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
$ O& n# h+ ?, I+ ^        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
7 i. S+ K  V2 B" X5 ^$ R8 I        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
1 L. b4 q! J+ K5 n* B4 m        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
    press(i)=sum(press_i);
# J5 Q3 o8 d" r! y! M; }! G2 t    if i>1
  K5 x& y: [9 x) K        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
- M( q8 y" {7 m    end
# R2 E; `; E3 D3 c    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
    end
end
, ?7 P& }& c; {# ?& L. n1 bbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
2 y# [. _7 Y4 ?  t# cbeta_z(end,=[]; %删除常数项
0 ^. ^- _2 L$ l5 Z( y; R! p- B; Dxishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
. b; z  w( g/ A) y每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
$ f/ F0 ?4 B8 ofor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
  X/ c! O- X0 l+ t* v7 Y4 Z# H$ ]$ Eend
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
. a9 i. E4 b3 D* N2 I+ L5 S/ X3 Asol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
$ B, d+ ]/ x" v6 Csave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

, Z# q. i6 F# g9 k/ l
" V7 O' C* U1 d$ w

从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。


  o8 w7 H1 g- q" n. W2 p3 Y. C+ z8 Y5 I

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
% L6 D$ u) z& e# |7 f$ fnum
9 N! X- [' d! @( o' T) Sch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
2 v( |+ m, U8 G& i, p( Q) e- Ay1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
! N% u9 s9 s  E5 g, gcancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
' x) y- C7 G& M5 kplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
0 t$ b8 r, s6 j4 d) z1 r0 b: zsubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')


& L3 v2 r6 `9 v9 }! o————————————————
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4 W9 d, _* z! |原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273
8 x$ {  Y" Y( z0 q  G- R

* @2 X0 y3 |2 B: x