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[建模教程] 偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的案例分析

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浅夏110

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发表于 2020-6-8 16:35 |只看该作者 |正序浏览

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本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。

表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相关。

利用如下的 MATLAB 程序：

clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
matrix=e0'*f0*f0'*e0;
[vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
val=diag(val); %提出对角线元素
[val,ind]=sort(val,'descend');
w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
beta(end,

=[]; %删除回归分析的常数项
cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
for j=1:num
t1=t(:,1:i);f1=f0;
she_t=t1(j,

;she_f=f1(j,

; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
t1(j,

=[];f1(j,

=[]; %删除第 j 个观测值
beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
beta1(end,

=[]; %删除回归分析的常数项
      cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
      press_i(j)=sum(cancha.^2);
end
press(i)=sum(press_i);
if i>1
      Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
else
      Q_h2(1)=1;
end
if Q_h2(i)<0.0975
      fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
      r=i;
      break
end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,

=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对它的解释能力均很低。

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
ch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')

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