偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。


7 R& w( `" g4 V% Y5 i

6 V9 l& T! \: m9 i/ `3 l
3 n) Q) c( w' I& R
- `6 h  B5 P4 k$ ?" F" z表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

+ o, o4 _, q3 U; y, M! N
: a2 }# X+ w8 N2 b3 }& u
) _- q' e- Q& D5 g( [利用如下的 MATLAB 程序：
# u" _; P& G6 b% w% ^3 K$ g
clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
/ ^* e* v5 }, v) _mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
3 C, x. ?  ]# g2 R0 zrr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
4 B; ?" m& z  r- Q1 Gdata=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
" |: @+ H, }/ i7 R/ W' Lnum=size(e0,1);%求样本点的个数
1 n) D4 C1 J  o3 |! Qchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
, S% T( s% ~8 s9 _; ?%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
1 B, `/ y; u8 e    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
1 j8 S( q" j  a4 y2 y: s    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
" s2 b4 g. g, @. e9 p! v    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
" p% Z8 M; ~& ~5 @    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
% b7 J7 i/ D5 S# K& ?. a( j    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
# K* _2 {1 m% z% _  g/ Z9 }    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
& z+ d& Z% ]% [2 Q. G$ u( W' I/ O$ g        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
3 _" ]7 D" q5 ^* r1 C& Z        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
& p% }$ B6 H* O        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
- \* s+ _8 ^8 u2 d* ?7 g        press_i(j)=sum(cancha.^2);
2 W+ U5 m6 O7 p$ o9 Y1 w    end
    press(i)=sum(press_i);
; B8 c' H2 J9 }5 `0 j" a/ h7 q    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
9 O  x2 h8 p& V! D    else
2 I5 ?5 K7 i& d/ Q) L& X6 _        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
% A5 G2 m5 G0 h, e* A        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
. E8 a" s6 ~- I% a7 R  {        r=i;
        break
    end
, w' `7 Q5 E& y) E7 w" f( hend
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
& @, g3 ]; \$ `1 j+ o" V0 wbeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
/ u7 u7 ]7 @+ \+ ]- {- Z0 i$ \sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
3 Y! T% _8 e( s2 Mend
* ?5 p* y# i& x. W3 T/ pfor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
8 h5 l& l, k- D7 jsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
$ R9 W. v, k+ R+ g3 V
  s: f1 ?$ N& g: N" Q: o


从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
! I+ o: f+ c/ V9 M1 X8 R+ q

$ w; B$ w+ w) f5 t! i

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

# L' O* g) @* Hload mydata
num
, Q" m/ l$ q: Gch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
, U* V* P2 g" U# A: b1 j8 ^# _7 [y1max=max(yhat);
0 H4 l4 f0 W5 ]5 S3 z( C- F; K) Wy2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
: m0 H+ K* j6 Q* a% s- o. }$ ^& hplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
  Z4 o3 B6 x# a! _subplot(2,2,2)
+ E& q$ U5 H- T' T. {plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
; L2 H9 B6 x. v. N" L2 Y! Tsubplot(2,2,3)
7 {& u4 I1 c3 Uplot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
/ g1 B- i3 Z( F) r1 R

% J; U4 {; Y; Z7 ]( Q$ V6 Q) {" I————————————————
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) t' Y0 F* z- q2 t3 V* t/ e% |原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273
! x6 ], `7 V  S5 x+ D7 E
/ t; Y3 @- z# V$ s7 R' t