偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。



/ ^1 |* B, r' `; A# u) n5 F


表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

7 l, e. _1 ~: ^* T

利用如下的 MATLAB 程序：

6 [+ n3 q* J( E( k3 h  `. \clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
! F; ~' G1 g& m4 o' g$ ^mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
. o9 o8 I3 o; z/ Ae0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
: @2 d" q; N" F%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
2 C' |% ]5 L4 q5 q    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
% p4 n" n: |3 C3 G. G    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
1 J! C, q* {, r; q+ Y1 a    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
: _$ i, d4 \6 q2 t4 j5 v, Z    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
- l$ C+ F: {8 t7 R+ v    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
9 ^5 i" k# {# x3 y6 M" Y3 b        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
9 Z) J0 U# J6 |- a) C0 G        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
$ Y- a) m1 h, m5 Q9 r        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
( b  W, W2 E9 `6 s% T' b    press(i)=sum(press_i);
! j  _% v# @: W! r    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
( K2 M9 z1 `1 Z  L7 h* o    end
/ G& f3 W( ~4 q    if Q_h2(i)<0.0975
$ F' f/ J5 E8 l" T9 H        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
' q7 E- v) F' ?% x3 t; A        break
, H, z7 Y% f% I! Z6 Q8 K# s7 H    end
: m& C  H9 y! z( fend
5 y# W; M; x- y* L  dbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
" h" V/ N2 j3 A7 Cbeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
( u: M- A4 R% t! Q3 Q  d- N每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
9 M, F. T: C. G' z/ rfor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
/ h# @/ C8 R: F1 [/ u  ]8 O/ _end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish



) ~/ h, n2 j, ^
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

) _- n2 Y9 V7 E* k
/ S; c- A3 w/ G' B4 T( m- C

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
ch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
1 g6 b: q# p$ v) Jy1max=max(yhat);
0 e- T: u* u5 o, C& R% c7 Xy2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
% P" d3 ]  G% R7 |6 }subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
6 X+ M( L5 w4 p0 o' D8 Zsubplot(2,2,2)
8 R9 y9 Z8 F- `3 dplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
9 ~. R" a3 e) n/ M( l/ Msubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
7 h9 N. p2 ?3 y1 Y! l
$ C5 D" d8 G1 S1 G% |8 p" j
( Y" U" J* j: p& Z————————————————
% u5 r, ~; }6 W+ |9 i版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
+ u5 u1 L( F+ Y8 v; R! X9 H原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273
1 c- Z: I* |" K$ Y" {- U4 N+ |
. s7 |- U. I* q# r! \: W" V" h