差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
' l+ E4 P, }. j& t# r/ S7 B


满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解


2 S" A) a4 f9 T7 j3 Q  D1 z
! B4 q4 v1 `8 u

' O# ?1 S. r1 v4 l5 z1 y9 [1 S两个例题


/ P/ C2 Z& t2 ]; Z, _


解的稳定性
4 S2 x( ?- x6 A! Y


程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
  Y: T9 Z; I6 [4 O( G6 Q9 N9 @3 \


2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
4 n1 z' A( S- ~/ b" g' @  J9 m常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
  y9 ^+ J3 v4 f9 ^4 S

' n0 H3 T& N, g6 h$ j, M
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
/ P5 h# h2 f- ?  r3 `8 S& n
, q3 S( u+ T( p3 b" @9 V" U
% H( o% k5 ~0 a+ ]# K
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换



（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

3 a# L% U, \) r7 C
8 }. Q+ d' S5 P# c/ q1 e( s
2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质


( k$ [' I1 p/ K7 J- g, |
! ]9 C) o# P( i5 [5 n7 O（ii）平移性
* P- `$ N" d7 O
$ L8 H, n8 H6 h! @! a5 ^( o
' |1 ^- f/ ]% R) k; B
例 3  求齐次差分方程

5 D* q  E3 K0 M4 P7 l+ _9 \
# z0 n$ K' Q0 R& O5 S4 R* i: @
/ `) ]) b) e0 N5 W6 H/ M" i————————————————
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