差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

' B8 M/ g; @$ w$ N
2 X1 M- d! h: J5 ~+ G
: ?' @- s+ f/ Y" a. P) a: q# Z满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
3 i# N6 l2 s, ?( U: G
n 阶常系数线性差分方程及求解

5 H4 c8 z& O$ C, F/ Y. I



* p$ _( m1 W, x两个例题
: K: H0 w4 |$ E6 m1 f* l' n  N
1 d+ ~. g2 ^5 b( v0 V

5 g( d' ^" ~/ ]. [6 }/ g7 a2 y
- ~, i# L. e0 T4 M& Z$ G
解的稳定性
8 o3 m: G1 s4 X$ b0 U


程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

  Q( n% T0 C5 z2 ?- B  u
: j  b/ D  f7 i2 }
1 N+ O- P; T% g+ o4 t# I2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
4 L% r, h9 @( o1 v% T常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。


* V$ _: z# w& J$ {% u+ h  Q
  j: `; {- @4 @7 ]5 R2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
9 {+ e& ]- k8 c6 |
2 ]& l5 N% z- L
7 W1 |7 D; r+ r
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


- p, @/ \* B3 E1 ]: c# Z& }
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
& P4 O, n8 w6 M2 j
  g8 H7 K8 r: A

* N7 ~5 ~% }, N5 X8 ?' k0 R2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

# u; m) Q; f" e  a, `7 }+ t4 p
* D$ {6 H  q6 j/ V
（ii）平移性
. B( B/ ]" m! k& L7 g( K
' i; V  U( ]& |# D* y6 z' I

例 3  求齐次差分方程

" i- @, L( p' b' @( j6 ]( _2 N

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