差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
  g6 M& p! x, e
2 r! I5 q+ r7 K
5 b% G0 X2 f; g5 c% _, n
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
5 l" W) }2 n( G8 g/ A# m$ S
n 阶常系数线性差分方程及求解
) `6 h! k- R( b7 \/ A" v
& f0 m. d3 G( w9 }5 C0 g
6 J) @2 ~+ F2 G- E% y
8 c  \0 v* C" t

两个例题




. P" I6 Q8 K# p1 v4 z
9 q+ _" o  g  ^3 N解的稳定性
/ _+ l/ u+ ?6 d* q
4 F2 ~* q" u5 y' g$ @  a, g: m

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。


: E; ?, I8 B+ J/ S
( E- i) \5 \9 f  P! o2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
8 L4 o2 h, X6 w# ~: J常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
/ O& @* ?5 P& e. y

3 k  @5 C3 `9 l: Y) Y8 a1 f
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
- B3 j" Q3 Q8 {6 r3 O  Z

" T) P* h" A* l- ^# U2 V
" A8 P5 A! ^% R  @+ Y7 T（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


. u1 [, j8 _) q; A- Z- ~5 m
* s$ o( b+ H: \（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

% O8 J+ F" n, ]( P$ v

2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

5 A' T! u, D! l

: n! c  m0 R0 U, ~& E/ ?- S) w（ii）平移性



& A3 M4 C3 C: `3 d例 3  求齐次差分方程



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; V% S. k! ]4 F4 G* P: z8 J% J