偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

) I* U" o/ T$ n* H+ k/ i! v) Y（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

5 _# g0 w: ?, x5 m（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
7 Y( e" w  N7 `6 G' @: u
% @+ P( N9 ?+ L) S% k（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
1 I  K2 Z' p0 F0 o+ T1 ?3 V
) a$ p+ t3 ^2 T0 |4 {, O在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
# }( s2 p5 T, W3 d3 A1 j+ X' z
$ I: t: f. p2 w" q1 E7 I3 ^
/ z+ R% a( Z8 K. S" q$ a
2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
! X4 a5 Y, O. V2 ?( E7 n% K
（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

8 [# C5 ]" v$ R* W* A! Z+ Q, Y（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
. g# c5 i! i. n
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
, y8 o; z& A4 U6 o# A! g6 ^
' J; M! w- K7 ^/ {（2）在 solve 模式下，求解。

1 ^' i4 E: B& c, a（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
2 H, w/ ]+ i. P4 V$ p! h
1 n* M, @/ W' G& j; C) Z
# C6 F; y/ W& z
' N5 l- m3 j/ C! O




( @* ]7 `3 y" O" c( {
+ ]; R) `  E9 s- ^
7 M1 |( @* P! h( b, y8 X注意：
% j+ |! ~$ `3 l% p7 _
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
$ ^- J& o/ K) b, s
  M5 J/ c- J$ W0 \4 d) P5 h, _0 F

. J; \4 k( L" x7 _9 d2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

1 Q, M9 q; r$ |' X4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

" e4 g& I/ h6 x& D（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
( q: Q: p0 C) Y6 V
5 ?. T" X$ v. q) G% \: e. ]. J4 {1 x5 f例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

4 v7 Q% i9 z+ r5 d4 |3 K                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程


, @& G% u8 t3 K1 m8 k2 _
1 L6 a1 `/ P4 W8 |- S$ Z  f边界条件为Dirichlet条件u = 0。
6 x2 M) z) f4 b) L" t. Q
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

" B# N% k* ^7 ]" ^2 u8 f6 k1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
7 N- W9 {: t* x4 P. {
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
: I1 O8 B3 q8 e8 J2 V' C
6 y, n, M2 n& l& [" F$ d3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

% N* c3 I$ O. ^function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

) j; {- j0 G* ~其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

% Q* G+ H$ o5 K时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
0 x( y% t+ A+ v* x5 F
# q# s. S. I8 w& w  y2 `初值框中输入：fun1。

% v/ S' x3 V3 N! d  f% S4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

6 C8 _3 m' K, s) E; d5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


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8 O  a2 r9 R4 u' Q5 R原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
4 Q. c% @1 `! Q
% J# g( V5 Y0 b2 q5 i1 S7 @4 }% T
7 E* l8 h& u( _8 j' }* C