偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
$ x' h, s: r+ J对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
- w: M( h6 G3 G& Z; o( t
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
2 P3 M* @, q% o3 D4 T7 @
: \3 r. x2 P6 f( T4 W（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
' [7 p: Y$ D, }7 @* v. I9 E
% v% P0 `3 S+ |9 {6 [! [/ y; J- f8 d（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。



0 I3 J) J4 c, d$ k& p2 图形界面解法的使用步骤
& ^1 g+ M! Y% m3 E8 r& S要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
! J! p: }/ L4 H" {$ J# H
（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
, S9 g5 G& v  n& f2 r& V
（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
* D0 O& y  c) I. s
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

" }) |- ]( `# W3 r2 N（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。

, \& N, K  O. e/ X3 b8 T（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
8 a- m( |; n- O- ~3 i! G


. x( @7 v. q) b+ q
) g- V( b* S/ @' \$ D3 m: X6 ~


7 M$ S& V) ]3 h5 k$ _' G


注意：
: Z+ E. d; `0 _0 R  M( M
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

4 R4 h5 j. c9 e

: B8 P: p% m  M/ n# S4 w2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
% U: C0 f. I2 d+ }7 \# h' V
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

( d) a: j0 K2 ~/ t9 X3 B（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
+ c' O% Q. W/ W9 [9 K2 u0 \
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

- Y% P$ A. T! W6 Y                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

2 A. B1 a& W- u
% ?" t0 K, x2 g2 e- U( V4 q& g
边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

3 c8 ?* g2 l) }; G$ \# E1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

+ f4 M! M% h9 r. \: F- M2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
! ^. p0 O" A9 D5 f8 Q% ~
3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
9 y* D0 T" Y  y/ M0 `
function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
- O3 }& U5 j+ ]2 u  {8 Cix=find(x.^2+y.^2<0.16);
: I$ j; l; M$ F- [f(ix)=1;

, R1 s9 r* j; z0 S3 d$ V其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
% Z& N7 P. v( A' k  B
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

. c% o" O; I6 L; v  l! A初值框中输入：fun1。
$ h! s5 p% N7 {: z4 M( n+ G# M
  B4 K( t. r, W. Y4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

* Q8 k# ^! i. z* N5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


' I+ v6 m0 V5 E! u/ \% a% D9 I————————————————
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& J2 W* J- A9 B; S( U

% n6 ~* l- E5 ~# D