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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 图形界面解法简介% i" V/ F, B. H* B8 [. v7 f
对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:
. `9 }& i: M8 [5 I) S% a. e; b0 A% n/ W3 U. J, ^: o* F/ U
(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。6 X! z: C+ w) S" {
* j( y9 ^, \* n2 {: Z
(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。/ \: j, y6 z e: x1 w5 p1 L9 L
/ K4 V% ?0 j' p( w s& k: z(3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。- A6 o+ b# E1 j# T d q5 \
, j- y5 P! O) L在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。$ R. [( Q8 D. X! z7 j5 B4 s9 [
9 [% C# B9 P9 B) x
![]()
; _; O6 ]8 [" Y! {2 l. W; Q7 H! ]3 _$ g) ~0 \/ F1 u Y
2 图形界面解法的使用步骤" j2 \9 u% `* X* t
要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:
' p n6 B5 U: i9 x1 c1 p! F' Q; s' J" Z8 Y
(1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
3 f) u% |2 S Z& t# a- w( q0 A
6 k- L/ ?, v; B+ s(2)利用 boundary 模式,指定边界条件。
' w, n) u& O! S# s" x$ `1 r6 I
) L+ s# r4 y; Q3 {' E4 d(3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。2 S5 Z. c' f3 e+ t9 p
% r! r, H1 ~3 x/ m. b( v t# A+ f
在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解
* t. d& s) z% L2 d0 Y1 J
* x9 W; S1 n) x1 N4 I9 i(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。8 q% {7 \. [' ~% t' H6 \/ }% B
6 g9 f9 E1 ^- z& `! w4 k
(2)在 solve 模式下,求解。
; y6 b8 `( H9 t! F' H& K& @3 t. c* J1 Y9 I% O2 B- J2 h/ Q
(3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。
, b* r% G' }. X: Q/ ?) N1 b0 s; A# j+ @( q& _ X7 G# w8 {
![]()
+ p* R" `- u4 \7 z3 A* V3 h3 V* P: z
' ? h' D4 X4 b0 W- L1 x( l# L* \
- u3 i% a8 d7 F" u3 s" X8 B6 V, q! Z! [4 [
, h/ G$ `. p# I' R4 [/ F+ A. g& y7 d : L0 Q \8 ~' T! _/ [! ?
) }. P* M/ s; d( I6 L4 I : W5 Y+ ]( ~* |9 i- \6 Y7 b# J7 @
) T, W5 B& n8 ~8 R! z2 ]/ v注意:7 o0 ^/ y, W4 G9 l- J k: d
! r; p* H# B& ~5 W k$ f/ [9 g1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。" H8 l2 \6 T+ C. _% V/ D2 B9 U
4 A2 v* y( o" P' J4 P( J+ Z : G# V1 l' |" Y
% `# T( J$ t3 U4 J5 p
2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。' g& X7 j |3 o8 F) v4 ?1 k
6 d6 ? c! d- `$ D9 q" q( L3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。/ b& s% E6 Y1 K7 ?
& s$ [9 i8 v* ?3 y
4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。
: K, C% u& o* p% D" I
. J. a' p$ O4 K F) C3 G(1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。
9 i% M5 }: i, Y' R9 S7 I6 ]. q1 B# z
(2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。
C ]3 K) @. u$ n0 o @# x2 s3 u7 C) ]
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。 M7 [" o8 ?. i W; D+ i6 i
+ o9 h1 b3 G/ e7 z/ X7 X @, C+ q 例8 求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
( N8 t& m* U) ? u
2 |5 w1 ], Z0 L. @1 R% t" \![]()
/ V* ]; O9 C; M2 c
- Q2 x+ V2 ^, r N边界条件为Dirichlet条件u = 0。
3 c+ a. I4 Q1 P* s
0 Z. Q$ c; C, R$ W解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。) i" W6 j- f% ~ U7 W
3 Y0 d/ r2 c f! l1 d7 t$ {, A8 u
1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。, l& P7 X& t U6 c$ c
: a' }' h6 [% P. l1 P6 U6 @9 [2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。
$ M) O x' o# y* @
) [$ _! [. |: `( g& i7 q. y- G7 _3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:8 H6 s4 T a i* g+ V9 }
0 O$ ?# ?: B$ J! C# W9 e2 T
function f=fun1(x,y);; \. g; A# j" X1 S
f=zeros(length(x),1);
3 @7 J1 @9 `7 A2 d! Hix=find(x.^2+y.^2<0.16);# O- h4 d, ^! j4 x& s g
f(ix)=1; 8 [) l6 G% q& ]/ q
; X7 v. z0 i* x" R. L: z9 |
其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:, ]0 Y/ d, X& u/ Z+ {, Z* j
$ E# G# ~. k' E1 T( e" {
时间框中输入:linspace(0,0.1,20);9 f5 W$ `, m/ I0 u+ ~
2 V9 W% v! Z) k4 N初值框中输入:fun1。
: }6 t8 H! c- Z0 t7 d- m7 ]/ y8 Q# d4 F, w
4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。8 C5 S) H4 k) X) V
/ g/ Z+ M: [1 _* j# ~( \7 Z2 u5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。5 A& f9 `" U, Y/ P2 ^: _
* M$ R3 q5 R E! A. E1 x/ `
9 f) _ @7 Q4 J5 U" z/ A9 @" C, C
————————————————; S, u' l& s+ C( _7 {" y0 U$ ~
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