偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

* R5 ~5 S  j. M! G2 l! a（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

0 ?5 ?3 r: G1 r! Y  O/ A+ d6 j（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

5 m. ?6 a" L# t+ r- z* T2 c7 x- x（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

# Y+ A9 V3 N6 m在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。

3 {1 D* j) F. H, N/ U7 m

3 }$ t6 o2 u$ M. T' D$ z2 图形界面解法的使用步骤
" v3 ?' ?; N. x# j( F+ Q! _2 c要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

4 P' D% f% M9 Z9 B& b& p$ y$ `（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
+ O( m8 Y: Z- u& S
（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

; X- S- x( x; N2 x) V* q5 ^. X（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
/ }) j8 p5 c6 ^: k. S2 D( G2 s
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

) L5 H" ?# l4 a6 ^" m. A% a. v  C# p（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

- }3 X, ?* G) g2 @# y: c（2）在 solve 模式下，求解。
& [( q1 A. S6 Z
（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
" g7 G+ c) g5 u8 P# P# t$ H$ U4 \9 O



4 P! b; h" {4 J1 N! R% q
) v" \8 P6 i, O9 d( }

4 T4 w+ |+ s; p  a5 f# C1 f

9 u6 ?3 W3 p1 D/ v( K
+ H, y; N* T% H. [) S& p) e注意：

! g8 M. n, X, J1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
/ ~. D1 b* _5 C0 u; y6 Q& R9 v


4 q$ Z- ]/ @5 }+ e3 F- ]2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
( Q& X% ^0 ^$ u3 H. [; k$ e
3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
! e  A% B( {' R8 `% o
8 M( y3 z. L( W) O例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

& A8 I3 X% m* d# l  j0 J                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
: D, X  e  d7 y0 g5 x( e


" d! G0 x! h2 ]( @+ ]$ V6 M# V边界条件为Dirichlet条件u = 0。
  s/ H% p. a2 l% E) ]- H7 W
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
  E4 f9 H! |2 G. D
+ o* B* h! a% n1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
) \2 c# s$ ^4 N; _' m" n: U
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
& [) U" L& S6 }' o
- ~6 p: ^" f* S9 p6 f' c3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
- ?5 ^. _# M! t  [8 K
function f=fun1(x,y);
. Y% J7 d/ H4 l* z$ df=zeros(length(x),1);
1 F- _/ ]& a% r5 wix=find(x.^2+y.^2<0.16);
5 Y& q5 H7 I$ K; ?7 mf(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

4 L6 F% b, I# }+ W时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

& t8 y! O2 ]* [% i+ x/ {5 m初值框中输入：fun1。
' x' p9 l' H  ?* s1 \! h6 n2 l
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
# x- Y0 }% J6 @: M$ ~1 i6 y" G. G  [2 [
/ M6 P7 N9 c; q5 f8 a- L5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

; g% D) F6 m' Q; v
. U% y; l& T; |————————————————
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