偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

1 ^& [" i, X% g# E% c1 }（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
. n* A+ b( l9 F/ V( x' a& k
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
  Y+ J  d1 E. f$ t+ F% R! s
1 S) K1 T7 F- c) f+ q1 Q4 u在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
/ T7 }) i  O8 T" H' ~
8 s) q6 F- a* g

2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

, n3 ]$ x% }/ E3 P（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

4 ], B6 S6 f' P% o" @2 s# K（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

5 E: I+ ~+ p6 ~- ]  O4 r3 l（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
3 j" h& c8 ]; \: X- C
' {% M1 R+ z" C3 H（2）在 solve 模式下，求解。

9 m. H  p+ s  k: I9 E（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。





, y' D/ z. q6 \( y; g
9 k6 E& g# T+ W' o  G



注意：
" Q* ?8 c- s0 H
* p: t6 Y8 [! Z& e3 x: ~7 H8 E1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

/ t% P/ X% ?7 A; e% H
) h* ^% n7 \/ F+ T& q
8 A6 p% S# a' f! c8 R2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
: q: t# b9 [* Z' N9 t
: `/ B' `# [) Z: L4 P3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
' Y( n/ e2 f9 e' m1 k
4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

% _! g) c+ x  L. |2 r+ k- _（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
+ P  ^7 m! I( O1 v; A
（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

9 l5 k' B. P& @0 Y: P8 W例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



边界条件为Dirichlet条件u = 0。
# ?3 ~6 _& u  S4 \4 V
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
' b, Z- i1 q  n% B" a' v& ~
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
# [4 I1 U& W( ~+ v
3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
: Q. j% H7 q/ F8 h: v3 r( P8 ]8 j! a
9 J# L9 R. U, Dfunction f=fun1(x,y);
$ o6 N) {- x% b' M. P( V1 df=zeros(length(x),1);
) V2 l' e: [9 a% x9 R* R% mix=find(x.^2+y.^2<0.16);
/ D- {1 L4 P  l, U  |/ ~. }8 tf(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

* n2 R& J0 M3 z. @$ D3 V时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
& Q' I$ X. v" p$ j& U8 ]
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
5 H) n) d: I0 T4 L6 r: R; _6 ~
* Z4 `% i) F' R+ _
————————————————
) V9 l- R8 w7 {5 }版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
% |+ R, B: |' \5 {' ^& |- S8 ?
7 V' u. Z5 q3 p2 ], [( j: t
" x; T  g# g* ?  {3 K: B