偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
; a% }7 M: `* U  E# R% _; q) r对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

3 [; c6 U" q) N# ?（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
! _, O. }3 u; z* a8 b
在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
2 [. f6 H4 Y( x. H% w  z

, d+ Q2 j& n6 g8 f) d$ ?
2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

/ c1 k2 H+ s. I% m- n6 Y（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
) B$ R2 b6 K/ g" O7 w* r: h
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

/ }# D0 F* L8 y5 B) D" c  V! v（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
: t4 `5 m" J8 v+ S7 x" j' s
2 s+ O: t8 |4 V% H( \7 |
+ T2 s2 D9 K! [. H3 a


, G/ I- }7 T) \9 j% K

6 t5 u9 h. Q  K) {/ A
" v8 }! u* n7 y  o" J6 U8 R) q  D; }
( C4 A4 |. Y) d, U2 a8 r9 r5 p
注意：
: ?, [0 Z; g  ]4 {/ ]. i2 n& I4 ?8 _
$ @- |9 W6 l' `) A+ P* d% O1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

: m2 Q4 E$ m2 W4 M5 x1 Z
5 ]* w5 T* @# [- d! A
# p* l0 ~3 t! B6 h$ I( @2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
+ @, t6 A5 L1 e/ |% ~
8 {6 R: U/ N4 c  L1 f, k3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
- c7 g  J7 d$ r. W, L/ a- [
! r( P9 q; r' E- b  ?4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

: k  v, _+ m6 A; C/ s（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

9 ^. X: V4 [; L5 P5 o例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
+ r3 ]% W1 n. y6 F- R3 m  q" {6 H, h$ r
  k9 r3 \) |9 T2 r8 F                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

2 Y- f. P6 z/ r+ [

8 `9 Y6 B7 r& c, X$ y4 W* z) Y9 I边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

* {2 w, J4 ?: s: D2 X6 o- X1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
  V7 G+ U# e; L" l$ A
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
7 ^) W' s, o4 m3 }! _4 F. ]* x
function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
7 m: f! ]/ l9 `+ tix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;
/ ]/ g1 H" l( n# [5 G
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

' `3 j: s9 h) {2 R" Q时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

4 s; W# C( A; n0 }5 R5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
0 [- r7 e. L6 r! {% J
' ]' F0 _: R8 A3 b! ~6 ]1 ~
. _4 h; p# ^6 x! Y( t7 L————————————————
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) K0 d) V4 s! p. V5 Z- D# E8 S0 A7 Z# s原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
. L3 b/ K2 r0 O8 D1 l9 f

5 t% G; v* T; g2 d! u" o