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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
|---|
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1 图形界面解法简介; {) F4 W3 S( j
对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:9 a9 I; A+ R* B
1 ^& [" i, X% g# E% c1 }(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。8 X# Q! y6 t$ _! e- e5 A0 e
3 O* I! u! b# A Y" p
(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。
. n* A+ b( l9 F/ V( x' a& k7 |, g1 o9 Y% N2 I& @
(3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。
Y+ J d1 E. f$ t+ F% R! s
1 S) K1 T7 F- c) f+ q1 Q4 u在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
/ T7 }) i O8 T" H' ~
8 s) q6 F- a* g ) a7 e) ]; J6 j
x+ {5 R6 e5 t" P
2 图形界面解法的使用步骤. r9 d8 |: m' z- i8 B4 |2 ^
要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:% \( Y8 H' [3 N" \1 G
, n3 ]$ x% }/ E3 P(1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。; Y% D/ h1 z: u9 i4 }4 |
4 ], B6 S6 f' P% o" @2 s# K(2)利用 boundary 模式,指定边界条件。) U: ^$ [. U/ Q/ k% m- I
5 E: I+ ~+ p6 ~- ] O4 r3 l(3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。$ B/ z, F: R$ ?3 q
$ l5 r. P7 i! R6 R! b
在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解8 R) w. Q+ A% Y
+ I% F, O1 l$ Q9 g% W0 o b( U
(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。
3 j" h& c8 ]; \: X- C
' {% M1 R+ z" C3 H(2)在 solve 模式下,求解。& G4 {, G1 ]- y1 }
9 m. H p+ s k: I9 E(3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。/ _8 @& l* I, C: [
) v" ^# j6 ?; O
& j+ ]0 R# d/ c4 e! h& H. l
( Q+ y' ?: v( M& c: D) D# C
; n/ h1 D/ |5 W* |
, y' D/ z. q6 \( y; g
9 k6 E& g# T+ W' o G p. G1 n! T; a) n: \( d
$ E# {+ f6 n- V3 q% E- ~. I3 Q- @1 U
6 ~' ]2 _' s: B" P; T S
4 I7 }; Y- k& ]/ V5 B$ {) _
注意:
" Q* ?8 c- s0 H
* p: t6 Y8 [! Z& e3 x: ~7 H8 E1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。3 l+ R e- ^4 b/ x* c9 N- B
/ t% P/ X% ?7 A; e% H![]()
) h* ^% n7 \/ F+ T& q
8 A6 p% S# a' f! c8 R2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
: q: t# b9 [* Z' N9 t
: `/ B' `# [) Z: L4 P3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
' Y( n/ e2 f9 e' m1 k# f) [, o* Y, O' _9 \/ B8 T
4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。9 M% q. {% L4 I. M
% _! g) c+ x L. |2 r+ k- _(1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。
+ P ^7 m! I( O1 v; A4 z$ `5 {4 G8 j. h9 x7 y( n7 N2 f
(2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。' n l; g# A( ~2 |1 l* c/ @
9 l5 k' B. P& @0 Y: P8 W例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。0 Z: N, i! ^% m5 d
! I+ h6 w/ _$ h- c
例8 求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程; Q" B+ K, S. \
3 t) n) ]* [. ]# F" v: h: I" D
3 x* j+ j) G1 V8 U6 R. e. T
% k* n4 |. _$ G0 n: i
边界条件为Dirichlet条件u = 0。
# ?3 ~6 _& u S4 \4 V" _ E* f s X6 J0 C
解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。. H( V( q. p4 I( o7 d
; N, G* R9 p7 d! W8 j
1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
' b, Z- i1 q n% B" a' v& ~) B! q0 i: `7 Y4 p I
2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。
# [4 I1 U& W( ~+ v$ @3 p7 {7 o# h$ ^
3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:
: Q. j% H7 q/ F8 h: v3 r( P8 ]8 j! a
9 J# L9 R. U, Dfunction f=fun1(x,y);
$ o6 N) {- x% b' M. P( V1 df=zeros(length(x),1);
) V2 l' e: [9 a% x9 R* R% mix=find(x.^2+y.^2<0.16);
/ D- {1 L4 P l, U |/ ~. }8 tf(ix)=1; : w. c/ ]. h) Z
; q4 n! c3 g- T- C9 G4 D
其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:5 o( K. E7 c4 A+ s( e9 L: [* Q
* n2 R& J0 M3 z. @$ D3 V时间框中输入:linspace(0,0.1,20);$ p ^7 {- P% E- A8 [9 x3 u) ~
( W1 _3 L$ z" K
初值框中输入:fun1。: r3 h4 u K, Y9 ?
5 F* k h1 R0 Z; y e/ `3 D. v
4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
& Q' I$ X. v" p$ j& U8 ]5 C2 l5 X3 R( z6 C! A- |
5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。
5 H) n) d: I0 T4 L6 r: R; _6 ~
* Z4 `% i) F' R+ _1 u. `6 l; h/ \0 h/ K
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) V9 l- R8 w7 {5 }版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。4 w1 a. h. R: f1 S8 q# f
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% |+ R, B: |' \5 {' ^& |- S8 ?
7 V' u. Z5 q3 p2 ], [( j: t
" x; T g# g* ? {3 K: B |
zan
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