偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
. `9 }& i: M8 [5 I) S% a. e; b
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

/ K4 V% ?0 j' p( w  s& k: z（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

, j- y5 P! O) L在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。


; _; O6 ]8 [" Y! {2 l. W
2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
' p  n6 B5 U: i9 x1 c
（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
3 f) u% |2 S  Z& t# a- w( q0 A
6 k- L/ ?, v; B+ s（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
' w, n) u& O! S# s" x$ `1 r6 I
) L+ s# r4 y; Q3 {' E4 d（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
* t. d& s) z% L2 d0 Y1 J
* x9 W; S1 n) x1 N4 I9 i（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。
; y6 b8 `( H9 t! F' H& K& @3 t
（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
, b* r% G' }. X: Q/ ?) N1 b0 s; A

+ p* R" `- u4 \


- u3 i% a8 d7 F" u3 s" X8 B6 V, q! Z! [4 [
, h/ G$ `. p# I' R4 [/ F+ A. g& y7 d

) }. P* M/ s; d( I6 L4 I

) T, W5 B& n8 ~8 R! z2 ]/ v注意：

! r; p* H# B& ~5 W  k$ f/ [9 g1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

4 A2 v* y( o" P' J4 P( J+ Z

2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

6 d6 ?  c! d- `$ D9 q" q( L3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
: K, C% u& o* p% D" I
. J. a' p$ O4 K  F) C3 G（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
9 i% M5 }: i, Y' R9 S
（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
  C  ]3 K) @. u$ n0 o
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

+ o9 h1 b3 G/ e7 z/ X7 X  @, C+ q                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
( N8 t& m* U) ?  u
2 |5 w1 ], Z0 L. @1 R% t" \
/ V* ]; O9 C; M2 c
- Q2 x+ V2 ^, r  N边界条件为Dirichlet条件u = 0。
3 c+ a. I4 Q1 P* s
0 Z. Q$ c; C, R$ W解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

: a' }' h6 [% P. l1 P6 U6 @9 [2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
$ M) O  x' o# y* @
) [$ _! [. |: `( g& i7 q. y- G7 _3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
3 @7 J1 @9 `7 A2 d! Hix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

2 V9 W% v! Z) k4 N初值框中输入：fun1。
: }6 t8 H! c- Z0 t7 d
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

/ g/ Z+ M: [1 _* j# ~( \7 Z2 u5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


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