中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
微分方程问题
微分方程建模
/ A5 A. z1 w: v8 a1、根据实际要求确定要研究的量。
% _- P, Z3 e3 i2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
8 t+ |. t) G* r, R2 g" h( h常见的列方程方法：
% x: N( \( |1 ^" O" [3 s8 N（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。


1 L2 M0 o, V* ?9 G: U( O& g' k几类微分方程的应用实例
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
* R# Z' [2 p# `3 m2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
( Q" d) N4 i3 V/ H, m$ ~例题：

( c! W% _; N& H
第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
( ^$ D4 n" l8 k4 v9 l  _
  n# ^4 n! U. L- ]( I
0 J/ h3 P8 z9 h$ I2 s+ cclc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
x=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
% A' Q1 n% {* B9 Kt0=t(1);x0=x(1);
* t+ K! l9 R% v8 O& x. Wfun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
9 g1 b! V9 O8 \6 n) E* A8 y  Vcs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
  X6 f3 @4 o9 C8 ?6 p1 X6 k6 fxhat=fun(cs,[t,2010]);
1
7 ?& H5 y3 b% ]4 Q, S- h2
8 @% ~7 Y! o: X4 Z3
4
5
& Z8 {) x5 z% z3 m& b7 N6
7
8
9
8 J) n3 }3 e6 P2 g第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
5 z9 _( e+ m( m6 I


2 e& _4 K& g; m* g
clc,clear
; \6 d' M- o4 b: q2 w# W1 Ya=textread('data4.txt');
- T- b" T, f2 h$ i6 g# lx=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
" W* Z& k8 |8 j' q( T3 L% Z* s( Ja=[ones(21,1),-x(2:end)];
# E0 u$ S" f; n  S" z4 {8 Mb=diff(x)./x(2:end)/10;
cs=a\b;
. H! ^+ Y' x. O. X% K# Y% i" R: f2 br=cs(1);xm=r/cs(2);
9 s6 y! Z3 B# r" ^% C# r1
5 C# l1 F& s# R. M2
8 P# D* X6 g0 N) W/ Z! g  {$ B3
) {1 |9 p, }' Y& E, j  D4
% P5 o+ O" z: T5
, a1 d" G" M4 s  v5 O0 h' h6
7
8
7 u" h! O# \0 R& o" X

  Y: k. g  ]1 N1 V2 \6 i. R

) J' c6 g* v7 l4 g. b0 \clc,clear
" Q0 c6 W; ]: H, E' k7 p8 ta=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
4 U% P! W. k% U9 @+ ft=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
8 I% a% l& n" F# cb=diff(x)./x(1:end-1)/10;
7 {7 z8 W, Z0 ]! V; Gcs=a\b;
8 q1 I# ]1 Z! S- q$ a4 hr=cs(1);xm=r/cs(2);
1
- L/ W. }# s6 X* _2
3
6 r) G4 V& R. [7 @1 L4
5
6
7
8
# U* `9 \& c2 k: @参考文献
: ^1 h! }; k- `2 _9 G  Y1 V% ^- F司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
: W! |$ e% s/ K2 o- X: V$ k————————————————
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