中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
微分方程问题
微分方程建模
2 N2 B1 J4 j$ L: C  f( n1、根据实际要求确定要研究的量。
  h8 |8 }8 D  V# j5 L2 t2、找出这些量所满足的基本规律。
) a" R; \6 W1 F7 f- j6 `6 E3、运用这些规律列出方程和定解条件。
常见的列方程方法：
( U) P" u3 C: C* p0 K' I4 J) ]（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。


几类微分方程的应用实例
' n0 G5 n" J' n2 C' [& D1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：

+ r# R2 G" f. j7 e
) R2 p7 F4 s9 v  a% |第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解

4 a( l' B( F7 _: G. `$ v
! \% ?9 s! u& b$ j% s) K" d6 D8 @clc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
+ X! o6 d$ F, j5 b6 I* {x=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
3 V" i6 a) a- ]% d: F! Q  B( {8 i2 r- {t=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
# N/ J6 y8 q$ P) j% Q1
2
  o2 D9 m& ]+ H' D$ s7 \3
3 c9 c+ l+ C+ L2 B+ ^4
5
6
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9
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
$ K% b" e3 w3 v8 g9 r
7 m3 j) P1 k- S9 m% F5 B
$ K) ?2 F% w6 Y0 c0 n
7 G! g7 o& l3 q1 u5 {" R1 l! n
clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
4 ~: C  q5 j: o- c7 r2 _cs=a\b;
& `$ T& E  G% I) wr=cs(1);xm=r/cs(2);
1
3 @+ G, q- G# p3 S' Y8 M6 `- Z& d2
) d% n1 S% @/ R1 i4 c$ a3
4
3 b5 g0 b* V5 q; q! U5
6
7
: v4 z$ i$ ^( i4 }& k9 j8
+ J+ B2 V# z$ c) |


3 v4 h; v1 N7 C: \
clc,clear
  r- p! ~# }9 x- Xa=textread('data4.txt');
* t: D2 {3 j2 u; j( s5 Sx=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
6 n) a* E  y: \  fa=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
2
. F! I7 d8 H7 N3
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参考文献
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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