中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
微分方程问题
微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
* R. F. W8 M/ q7 }2 l0 R4 {: y2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
+ m7 v  m, ]2 f7 Z常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。


几类微分方程的应用实例
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
! V, e8 {: ^& g) Y" E  c例题：
7 C1 f' r, |5 D- l

第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解

# G( P5 s- ]4 r, p& m. w, o
. m) R: v3 P. e7 M0 b* `: g) Y! nclc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
3 K# T/ k8 N, I; T# l! `; dx=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
8 {: L  _$ J# @4 r2 j' Q# i4 Mt=[1790:10:2000]';
( T, x% H% [  _+ x. a" x, U4 o0 Bt0=t(1);x0=x(1);
% {6 t$ Y9 D. g) W/ z: _, ?6 s0 Efun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
: I3 R3 v. O4 V& U1
6 Y; P" J% ^# f! D. E* u  K2
" @- ^4 L4 v* V" |+ z3
1 b/ |5 |# N6 J$ ~- Z+ O4
5
6
6 i/ M. i6 p+ S! c7 D7
8
9
  }. }) u2 s0 `) a5 m9 C' K第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
; Q! [' t! [& Y/ Q' o3 V/ ~( o7 s

, D! c7 v+ t5 O5 {. s  n

clc,clear
9 Y( x, y- g" n* D) `( Q. ?, ja=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
: g/ T/ q9 B( e( ?t=[1790:10:2000]';
7 n  R7 R3 b* Q4 B+ b# ra=[ones(21,1),-x(2:end)];
5 e5 \7 s. r  Q5 y0 Xb=diff(x)./x(2:end)/10;
- X% y7 O$ z& s/ c; Qcs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
2
3
% A& @$ {) G' [9 G4
5
. |* t1 g4 b5 x! q) |% O7 V. J6
* C. v# Q& q# w4 z3 V. n8 z+ c4 o7
( Y1 r: J' S( C% b/ V) c- h8


7 a7 Y" L+ p% }& \2 s
3 e6 ^4 E4 y& ~* o4 d6 [2 |# `& I. x
clc,clear
- J7 Z* w9 B7 B% fa=textread('data4.txt');
' G1 {( H& @& Y* E: y( H' `x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
' {0 m" P& a; B# W  |a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
7 S) g+ t- Y: ]% G# Y- ?7 \- C+ C8 m+ h( g% Gb=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
5 l- R2 p, @: C8 s# x2
5 b* L7 G/ N/ A5 Z! ~% c3
6 R+ K: m! C/ M0 T! W0 U4
5
$ U  z7 K1 c, d6
7
8
参考文献
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
  v8 _8 r" [& {' B————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「小白成长之旅」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
2 D" e( N; Z; u+ J原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_45813658/article/details/107780619
" P# ]) S; X1 ^% X
; `4 a5 ^9 t0 X# t# \. b