【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

8 D0 x8 _, l5 J) k; w. `* d! {【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
一. 模型
! c6 i0 k/ y9 i1 q: E1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
  Q- D) y( Y! ?8 \; ]0 @( f+ H       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
8 j  i; ?9 ^' E2 w! ^1 z8 F2. 建模方法
; \. o. J& ~! @. E$ S, P$ r        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
& s- I8 [3 U3 k' V  a, ^3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
0 A% A- T3 ~( ]4 e4 p) D: [

4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。


5. 模型分类
( _! ~% z7 n" o# b; C        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
6 J9 h4 m" h6 x: @  L3 R" Y; a二. 系统辨识
( _& M: Q, p5 }+ p1 B$ Q        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
- ]  G( v9 \- h        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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三. 机器学习
+ [/ x+ q/ W- Q( c0 S1 u" B7 W       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
0 Q1 h9 C  M; \$ H4 P  V用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
  d# x  @# F- f3 F( P

        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
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/ D! b1 H" M8 i* Z1 ]4 K% {
& Q5 K  P% O( a8 `: g# n参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）
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* G3 e3 ?3 \6 m2 l9 e 一. 模型
+ E% G# n# t" [. V) t1. 原型和模型
: f! _& s! T; p2 V        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
" t: k; Z& Z! w# j" h6 ~) u2. 建模方法
: S' |+ L: ~" \% b7 `        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下


4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。


5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
( s9 ~( Q: D) y- J9 s4 K8 u; X        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
$ N# C  W( Y- g5 _% f, {9 m) Y        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
9 K7 g, e+ v4 k9 N        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
/ i& K1 \: w( h3 O9 g! q0 {        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
2 [& z8 F4 f2 |9 T1 i        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
* R# X3 C- W8 j" O: G# S4 ~' ?        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。

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三. 机器学习
8 A  V* j$ o$ B( w5 Y+ C5 Y7 U& `       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
* w, j  g4 p( M6 q- |        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法


. l5 ~: D* s- v* S        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2 D# H+ k1 b7 U% B2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）

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