在线时间 1630 小时 最后登录 2024-1-29 注册时间 2017-5-16 听众数 82 收听数 1 能力 120 分 体力 569048 点 威望 12 点 阅读权限 255 积分 175937 相册 1 日志 0 记录 0 帖子 5313 主题 5273 精华 3 分享 0 好友 163
TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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; j) B6 }, i* W! X4 r" J% F 偏态分布及其数字特征(R语言可视化) / H R3 c& q+ U- b: X- d) K
目录 8 |5 k% ]' G8 a; e+ }
0引言
& {& d1 N! R' y A! E/ ` 1、偏态分布的定义 5 ]1 U- P7 L; t9 E8 f! Y$ y
1.1正态分布
# O' k; m9 P! E& u7 p) \) q* O; E3 g 1.2偏态分布 0 Y4 h; K1 _! C' W) d
2、偏态分布的数字特征
& y8 M6 B, O: N2 E4 q 2.1均值 . O9 }' P# S" r0 N: L: h
2.2方差
+ b3 c6 L3 V! p! E# W+ I2 @ 3、不同偏态的偏态分布——R语言 i4 ~ U2 _7 D+ _# {
3.1 代码 0 P5 ] z& x1 W
3.2不同lambda的偏态分布图 % I8 j/ ?" G- E
参考文献
5 s8 J) L3 ~$ g; t 0引言 1 ?& v/ a( D. [6 W) ]6 S
偏态分布是A. Azzalini1在1985年提出的,本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义,主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导,以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。 6 G6 M" |# {2 y5 \9 I) t" Z
# f* \3 ]3 u, e3 E" H3 H! g8 n ' a4 X, f f# F0 Z% b9 _
1、偏态分布的定义 7 I, \6 n& y9 |8 U
1.1正态分布
$ n& ]; L+ F/ [& Q% R0 W 正态分布2,又名高斯分布,最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
' u. m) M( f/ ` 随机变量X XX服从N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ F) f3 _, c' ?3 C9 M& X6 \+ {$ l
2
: ~% v& h/ Z7 K6 \) n( } )正态分布,我们分别记ϕ ( ∗ ) \phi(*)ϕ(∗)和Φ ( ∗ ) \Phi(*)Φ(∗)为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。 - t( T- e- Q& E: ]% T' {* z
定义为: . w* O, s6 J$ w( G: a" P- \5 V+ Q
ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} - T$ o# X8 H, s0 i
ϕ(x)=
1 u" |4 k, `+ ]' U v( T2 k 2π
9 K. y1 _3 N2 I& h9 i
7 P5 \1 ]/ h9 W0 A" h9 U , |6 J- x9 L0 i- f* \& S+ E
1 7 Q0 y5 m. f8 O
% [/ k* V+ o6 \
e $ T* V+ j7 [# S. d" t6 c9 v) X9 z
−
' a5 T, B, N1 W8 I. M3 ~# L: z 2 / E8 ~ j3 N4 P' L1 m/ `
x 5 v+ m! c9 s o3 _
2
+ `2 r" k; ?( z ! i/ Z! j M- m1 h- M* G( e. |
7 m7 m# n R! J. F# f5 ^+ L; _# ]) {/ C
: j0 a% _9 b7 c" n( v+ J7 p8 }% x7 U % ^% k1 C4 K6 X% D( j; L% [/ I- D; j
" b3 D& N. v5 O! f0 Z8 P: D
$ b5 `5 Y& Z- M. u2 |: \ Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t \Phi(x) = \int_{-\infin}^{x}{\phi(t)dt}
6 H: r4 s: f# @% K0 q. L# S Φ(x)=∫ / b2 F' w& N. F5 B
−∞
; f0 T3 c7 g7 M$ Z% z* p2 k x
5 m& ?8 C C5 t, } $ H9 a m$ [* G3 |3 u; F
ϕ(t)dt - E# e8 {( f" g- w5 W/ ^" \
; n! |7 [7 p0 N8 @4 F- r. R+ q
7 t. U }, Z; ?# \7 R% K' y8 U) Y 随机变量X XX的概率密度函数和累计分布分别为为:
( a* `/ q! a) ^ f X ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
. o! i: W* T' S" Y2 y( r7 z4 r f
1 r% ?( u D) Z: t+ V X
" H0 \9 `7 F# A5 {! h9 p ; L. K1 ~; u: O3 |. b" Q
(x)= $ a0 o u7 \1 D! V
2π
( r. ^* C3 S4 r; i! ]- t& u% m* [ 4 r, |8 P' H# s2 L2 _; P) n# D
σ
2 ^. [3 w) S: R! G- R+ X9 |6 T 1 ( x4 m; {# i1 o8 I; R% h
( D# }( G/ Y2 L/ m2 c: V/ W2 G2 q e
' ~' `& f" `) w −
9 a" _) t/ k6 @7 M( w 2σ
& p3 I+ Q4 O0 |8 E& Z2 @0 s 2
/ ^- F; E: M6 C
/ p+ w3 r5 i7 J (x−μ)
, K) { @! c0 T+ |/ T5 j 2
0 C2 m$ M. g* K8 O3 \ ( B& @* i$ {" j3 K# h/ B
. G9 u4 H- V$ l4 V) l: k A
7 Q, m D6 ]" Q5 I' k/ ]1 D
& {: r( X# `4 H8 Z/ f6 O
3 f3 A' e! Q. z# t
, {# Q* w' o- j( l0 \ F X ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F_{X}(x) = \int_{-\infin}^{x}{f(t)dt}
' b9 m+ k4 Y. A F
; y! ?# c2 `5 T. S X
" B8 t0 A$ [6 }2 S- d3 S
- P! {, M3 n k/ J8 i (x)=∫
$ K g6 v$ y- A# z9 j −∞ & j% \5 K- U0 Z- l4 ^/ i7 X, E8 N
x " |/ ?* }( l6 W4 n$ j4 n
n. D3 \$ ~( S+ Z
f(t)dt
% T, J8 g+ ^' s0 V
% i* S t. X) p4 `3 e- \ * r/ ?. ~' U* r
1.2偏态分布 1 n+ N" @1 C* G8 W; n/ C% @
A. Azzalini1在1985年首次提出标准偏态分布S N ( 0 , 1 , λ ) SN(0,1,\lambda)SN(0,1,λ),引入了偏度参数λ \lambdaλ,其概率密度函数是:
7 Z$ E) C, x( `, V) I) U5 A+ @9 d f ( x ) = 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) , f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x), . x; F2 l% c- S5 r' }5 w
f(x)=2ϕ(x)Φ(λx),
7 l/ z% X0 S" o
- C3 l6 k T; \+ l8 r; \1 @
2 J* |: t0 I }8 u Y YY服从S N ( μ , σ , λ ) SN(\mu, \sigma,\lambda)SN(μ,σ,λ)的偏态分布,类似的概率密度函数有如下定义:
4 W) M) c- v& Y" ]& Q/ u- e f Y ( y ) = 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) . f_Y(y) = \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma}). 5 h c5 |' w, R+ l
f * O7 d5 R" w1 r' K S3 t' \
Y
3 c% q9 i$ F1 ]: d4 l7 j & `1 k2 `; Z3 U6 @+ I _1 ^
(y)= 3 a. Y3 N2 C8 L
σ
B* b' V" T/ n 2 . S3 u5 y# x2 m
( s; w7 R# }/ T% _% H
ϕ( 0 |; L% m3 Y, D4 P" Q! y b) T
σ + P' J+ S, ^3 P+ Q
y−μ - `) G- A# z* w$ m. H9 K K
. X7 j" Y3 h. \; V )Φ(λ
0 T2 S* D3 _6 n; K( V* O* l σ
' M. r6 R$ ~9 m9 g4 c y−μ
' Z9 f1 r$ U0 o4 P" M6 @7 P
6 _4 W3 P5 ?( D5 I5 o7 J% w' n ). + N- ^4 i- d- M' C; j; z
( }- i2 G" g) v I, z 3 w) G0 a5 P8 I l9 p8 q: |) I& G
可以看出当λ \lambdaλ为0时,该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量Y YY的均值和方差。
# v: Z& R* i, ]* ~) \ Z7 K 5 }/ N, }2 S3 Z/ h9 g& `. ^* g
' p$ C# ]/ k8 c4 b% f2 G2 T 2、偏态分布的数字特征
2 z- w' D+ P, J i& B 2.1均值
, s3 F6 p7 A! q! i$ j2 y4 c 在1.2节我们定义了一般的偏正态分布,这节我们推导偏正态分布的均值。 # f6 t3 I0 j7 @1 v0 b7 [$ G! d
E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t ∫ − ∞ λ t ϕ ( k ) d k ( 变 换 积 分 限 ) = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 2 π d − e − t 2 2 = μ + 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − k 2 2 λ 2 ϕ ( k ) d k = μ + 2 π λ 1 + λ 2 σ
; V; z0 L/ j3 i4 h0 d E(Y)=∫+\infin−\infinyf(y)dy=∫+\infin−\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)dt∫λt−\infinϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ2tϕ(t)dt=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ22π−−√d−e−t22=μ+2π−−√σ∫+\infin−\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2π−−√λ1+λ2−−−−−√σ
" S% q' G# w( z5 \6 t5 G4 ?3 e. @% D E(Y)=∫−\infin+\infinyf(y)dy=∫−\infin+\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)dt∫−\infinλtϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin2tϕ(t)dt=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin22πd−e−t22=μ+2πσ∫−\infin+\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2πλ1+λ2σ
, h+ i- t7 Y5 x$ Y! ~ E(Y)
& Q0 I. P; U1 q3 W D$ _
4 _$ l3 s# n, a7 u7 J! S q( }
+ q! A7 P2 |, _; G% m7 p =∫
6 u- f9 c4 V. \5 E" A" E −∞ , `9 q2 c' i) N; A
+∞
/ d% K2 p+ ]) V! p1 g2 F* |
& V5 f7 Z; _9 C: A yf(y)dy
2 w# i5 w: K9 V" r2 r( [9 n =∫
+ U% V% L j" s −∞ ; E9 M, Q% M3 O* o# N+ c; K' Q
+∞
) q- G7 E5 c* L0 b " Y K# n% z! P/ P* `6 O
y
h& v' r6 {- x5 A σ
1 W8 ^, W1 r- b% R a) w+ Q 2
5 M& I7 U. b" V) H 7 k; h, j3 ]+ _# }4 `
ϕ(
! ]/ m6 l9 H" j+ C7 U1 z) j% U/ ^ σ
+ o: H6 @# p4 t* m7 i8 c3 L# T: ] y−μ 5 A0 v$ \ K) a; K8 c2 i
0 w( X q0 l6 k E& [ )Φ(λ % Y# b k! J4 h8 ] `' U
σ
4 Y0 s# d. n5 P Y; `5 R( c7 K y−μ
9 {. p: f+ s) _0 c( H# X% x) d % P, J' F6 n! P7 m; f
)dy(标准化换元(t= + t2 Y$ l+ ^" J8 L! x
σ 8 ]8 N" M, ?' ^0 K* i3 R% b, H
y−μ 5 _9 i O* w$ y/ W. E
, [& D8 F4 [& l" n }+ ] )) - e5 [* ~7 ^. c, d
=∫
* j; Z2 r5 M' m# y+ ?# ^0 ] −∞
0 p- \" a7 o8 ]. w +∞
$ p% p/ A) ]+ g- K2 x * ?& s f6 {0 H F
2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt 0 M; J$ |3 Y% n5 S
=μ+σ∫
?1 G9 X/ _+ t6 T- k$ s −∞ : H1 q) |: ~# ~8 a+ C% c; p
+∞ 3 S& K' U* p4 A" M' E4 \
% X( q5 Q- Z& _ L% N% }* @% Q0 B8 \% b
2tϕ(t)Φ(λt)dt
, N* o$ ` M5 A& L: ^1 q5 L' L+ j9 I& Y =μ+σ∫
& e4 |8 s; {# G+ x −∞ $ ?- Y/ f: M( T
+∞ ) e' f m. u9 x4 w; [
9 C" k" l j. w, T; } 2tϕ(t)dt∫
2 B! m6 b, l1 l( E −∞ % ?% G6 O+ j( v! R# b) U- E
λt
% Z" [5 T, x) Q' }( \
- h' Q7 O8 \8 A. { ϕ(k)dk(变换积分限)
% Z" s3 v" ~ z/ y# a =μ+σ∫ $ w) i3 o' @" D- j. d2 g
−∞ , \$ s8 r$ Z" D0 a' |
+∞ 7 e- `: l4 O9 f& _; |+ ]
4 N2 K# U1 l5 G; l0 L4 x: \% G
ϕ(k)dk∫ 6 S3 Y- F6 }1 J- r4 _
λ
5 e3 T$ A& j+ y5 b' X k
; e4 a/ Z8 z3 @6 p! Y7 Q; R; _$ ^
/ W9 N0 r7 [# S6 C8 o% T& H
% R$ o+ R0 A3 e; x' X +∞ % K* Y" m& q% I5 X2 }3 w
2 _. z& s% @; J# s. ^ 2tϕ(t)dt ' Q0 Y' ?+ J$ }& T, d' m
=μ+σ∫ : |; H* E+ ^; A! b6 J. K2 H
−∞
$ ]8 x# i! j. u! a( W. C! I +∞
/ { g4 B( D, u/ `5 I 0 f, C0 D, R8 _
ϕ(k)dk∫ 7 k$ V1 h& X% B, P, d% |# [
λ 1 o7 S6 ]% v2 x$ R
k
- D3 @, P5 b8 L. ^& ~* n) I
) f: R( z1 X: }! M# E) Y* I5 n |( f3 I * S' b( `8 N* e
+∞ 9 W% I" ?' w1 @, a' e) N
: z2 w# Y$ A: r% P" N, P
1 c& Y0 D& l3 G/ R$ D& ~! p 2π ' ]# d3 r. ^! l. X
0 L& z9 [- t a1 G+ U# K0 x
. Q- _8 \' S8 H7 F' K5 B
2
, I" ]! M1 P2 C# j" ` + [( N9 n% m0 S4 u: F: F
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, ?$ }& D( z* w3 { −
: }6 e' [' p8 V: Y: V 2 0 s f5 m5 {2 h" e& j! s
t & O" `6 h: E0 e2 B2 W. E
2
8 l: t$ M- {" Q3 K/ u
4 F7 @ B* J6 G5 g2 |: h# g1 z% o
! x! H8 {! c& ]- x$ _) I 0 ?* o0 \( h+ O6 j
7 r6 S( y6 m( c( b5 w- x: u =μ+ / D2 H# e4 h, E( w' E- z
π , L) `( I( _4 Q4 J' ]- W( G
2 , S+ A o" W( H( z0 q( x# S
) y" p/ Z6 D( E/ c+ p: k
5 C% z! {# ]! d( Z( V, y& I
% e$ X3 i/ R. P
σ∫ $ M5 ^2 `4 @4 n9 c8 {) D% u
−∞
& `4 w' H! r6 V3 ]: I +∞
( |* c4 P0 s9 o6 b3 t
8 L5 A* _, i' Q$ g: [ e - y$ G$ n* g5 q) l
− . b @0 s6 ^' v
2λ
, {: ]2 E) x m: k* V9 ]( P6 Z, i 2
# @6 X! D' D. c( U; G8 l7 F1 `- _+ t ( m! a6 H- F: m' h+ b
k
4 i( {3 m* `. s" G% D 2
5 v2 z+ }, C, @6 c4 Z
0 s7 ]1 W( y7 K& X5 D# E
. r/ h. S: P7 i
9 f$ n8 U& U) w1 l. Q ϕ(k)dk 8 Q7 v$ y( }1 F
=μ+
0 l* I' M0 o* l+ k' f: T π
; m9 @7 g ?$ k4 t& r. w 2
5 {7 I! o& `# M5 o& K& X# H P" l
6 @* E; D& a# S/ I, o
) Y% l7 k) s# D! v1 l9 z$ @+ ] , A& j5 K+ j; K" }4 v6 Y
" j0 p! ^8 c' q ~! V; K7 F
1+λ - k# a% g+ |0 U- G
2
' H0 A& ?) M W1 M: y9 z( Y 9 D$ d, O! X- o. p/ y Y( e
) \3 I1 V8 t# U3 g' b0 Q
! k. c2 t& O9 r D6 H8 }' I- G
λ
9 `* C/ ?- _! d F! ] ! o: @$ a( U9 e3 r5 n; B
σ ' Y9 W4 z( x4 W4 \/ j. Q
/ k' p+ A% }- S" A3 i* }5 x
, r& `6 Z$ D5 s: s" a) ^ 令:
" }, \) U3 H7 Z7 O1 B: ] μ 0 ( λ ) = 2 π λ 1 + λ 2 \mu_0(\lambda) = \sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}} . D6 M+ S8 A0 M! M: g4 \' j
μ
) k; O: i3 I/ [ 0 . @+ J% r: Q7 v' h9 s
1 M' m; B+ _2 C j) B1 T; O
(λ)=
, K1 C* P3 Z) b& b* b π
* a, G' h+ d; }7 T" g 2 % B2 f+ ~1 L) e9 k
& N% d, K9 W- k; q; N
3 `0 E9 w2 y4 \" l% m
# B( c8 }! F! U% t% S2 P* S
$ G4 V6 p O2 |- H) b 1+λ
0 v6 z7 [; q0 h# y; P 2
/ U: B: |3 Z" ~9 v% G
' k. ?0 |9 r2 K9 }! P
. T1 c, k! n" a m6 L ! a3 u7 o/ I9 H# r( [
λ # _/ r) y' l9 u! r. y9 B! `. Q
2 ]3 F: ]( P. S2 b2 d: Q3 }) n" a ( J) W+ v+ S1 l- y
/ ~4 o, {& p* G# A% h6 z
5 l2 C: M3 a0 Z% c9 `; H 有:
! {) \+ j+ r( m( |" y E ( Y ) = μ + μ 0 ( λ ) σ E(Y) = \mu+\mu_0(\lambda)\sigma 7 Z& |& G, s, R$ R, C& _1 ^
E(Y)=μ+μ . A4 z( N. X; ?7 h
0 ' I0 | D9 I" k! o" v
/ t" Y9 z& I- Q
(λ)σ " D4 K) F2 I" z8 Y+ k* |
5 N J7 j( Z7 V: t0 a+ Y # ]4 C7 W' y2 w) m% `+ D4 F4 C9 S; p
2.2方差 + v- h7 b" |, j, G" E$ f( ?
按着正常步骤求方差先求二阶距离:
2 `& n+ N& ]# E" w/ t6 n% F8 D E ( Y 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( μ 2 + σ 2 t 2 + 2 μ σ t ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2
4 [1 W" p4 n5 [) @6 q E(Y2)=∫+\infin−\infiny2f(y)dy=∫+\infin−\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫+\infin−\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2 6 p( z/ @, n1 ?, Q$ q; a" l3 K
E(Y2)=∫−\infin+\infiny2f(y)dy=∫−\infin+\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫−\infin+\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2 + w! Z9 \1 I z
E(Y 3 K. ]+ `/ t8 E( l( w4 i
2
& A" U$ y9 g& C- j9 G Q( u: T ) / D' P. ?4 U/ k0 y9 G
* k; |2 A$ n$ T- b! B5 E" `+ T" S1 i
6 M+ V9 q9 ~ T; E7 y5 V4 y
=∫ : K3 w7 D( z z4 l/ W/ u# [" z3 H% g/ Q4 D
−∞ * z( w6 |: r ]( v, T
+∞
- F, \6 d& b. A. g8 J/ [ t$ J! x" m9 X1 g4 O& W
y $ c! v/ Y& |. O. x8 \3 W7 R3 v
2 ! E" l8 K# d3 ?; U9 W' X1 u$ ~
f(y)dy , ?$ {1 C) r( k8 P& }
=∫ / }7 A9 U; d" o4 n$ ~. K
−∞ 6 z% k. {$ F, a/ q# `- A
+∞ - C. P4 h8 r9 X8 L) e
. ]- r( n) a [ a y
) ~3 D5 ]: y* u 2
6 V0 A/ g8 c1 o9 T- R+ V& m* I+ m ; ^; ~& l& p; l, R. |* T
σ
6 W3 g9 `1 z6 e e/ ?8 _ 2
4 @* v9 h* S! R) \+ [$ r7 t( P 1 J( a; C3 l% z1 Y
ϕ(
( o G Z+ [6 Y σ 4 V4 _; v: k7 X+ m" U' O9 m! N1 Q
y−μ
5 Y8 Z7 a/ M) }5 d! i 6 z5 G* R0 `8 p* w2 H3 i
)Φ(λ
5 ~, p0 `* n" s- G# q σ
/ Q7 s* t* M9 h- [9 G8 L0 j0 e y−μ
* E- M! S. m; I, _' s3 i
" n) O1 B$ N7 F/ G2 Z9 G* m3 u )dy(标准化换元(t= : {7 h) q9 F0 w$ J& \
σ
+ d/ V' z" o5 j3 c y−μ ) u3 M, d$ t% M' f) @3 T& T
$ A% E; p. u) f* R
)) ) i y# x6 M- N1 i
=∫ j2 d( U _' Y2 y5 I/ S$ ?7 L N
−∞
/ p# T( f' |" B +∞ 3 C1 ?, x4 _5 y8 {0 d8 u
3 Q( b" |$ d# _5 v* J' D1 p% y1 H' ]
2(σt+μ) , X8 b. ^; z7 e8 e8 ~0 O
2 $ v5 {0 ^! a( ~+ L# y: \9 q
ϕ(t)Φ(λt)dt
! } F5 I7 B+ I5 s =∫
. M+ f) D+ P& }0 u& C4 T −∞
' _# K2 [2 J% o2 N0 ~ +∞
7 p; d0 w: |) W7 J% n0 Q# B ! c% G8 T5 l* j' o& n
2(μ & Y/ R! Y% N* }" L2 D+ d3 \
2 & Y. j2 D0 Y \( `: P! k
+σ 1 A% i( n7 V3 p2 A$ Y. H+ u( U3 V
2 0 S/ ~4 F D' z0 j4 l8 e( k- `1 x
t 1 K) w, P8 r' ~8 F$ D3 ~* [
2 & V& J+ x$ _4 m! x" _3 u% v) N
+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt
: j8 J0 S: t2 Q =μ
0 E6 a0 M: t- Y 2
0 U* A' V" \9 f' [) I! ]/ v' r +2μσμ 9 Z6 N0 T, Q2 Q
0
( a# W6 b o- f 7 k1 c, [" N+ q9 A% V
+σ 2 K) |0 ?& F. h5 B( s
2
7 K! [3 O/ ~/ ?! S/ P ∫ 1 L+ F( `. v9 k
−∞ , q8 e, ~8 `8 F
+∞
# i" H/ {8 D8 ~" G
# D, {) y5 @1 c 2t # V4 M/ N6 a- h" r
2 ; E! m$ `5 O, P c
ϕ(t)Φ(λt)dt
. Q/ K) N4 P: Q! C9 r, E4 {% q =μ
& d0 p* N" u+ @- o 2
- `- ~1 @. ^* }# b% g& ~ +2μσμ & ?1 u6 Y* V: `( [ g% ^' q! |
0 $ k) g( Y4 b# _2 q4 p! a
. y2 T2 k) t; h" ^& ^0 x% i
+σ
& I/ [: m% h4 ?2 o2 d# Y; B 2 ) u9 H# |$ I3 z
1 [% O/ ?- }# \0 Z7 M8 b* Q
8 |4 \- Z& G$ b5 V3 n
! N |. ^0 L- x, f. U% n 0 j- X& v; h5 ~1 w! q4 ~- m1 b
, Q, ~! A" j7 e( G3 }& j
方差为:
# q% v9 b2 ~! u7 ~5 `- @' a D ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 − ( μ + μ 0 σ ) 2 = ( 1 − μ 0 2 ) σ 2
* ~6 I. p, w3 T, `+ i5 @; _ D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ20)σ2
5 F( P9 I j2 q( V) W D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ02)σ2
" \8 v* }( j: G0 ` D(Y) * l7 x" V' w/ I4 p, |* l$ b' P) ]. I
q m/ U: N- G, C( J
! |# j5 b% E- Z' H =E(Y 6 I- y5 }5 E2 _% U
2
0 m; ?5 P; |! r* c. F+ l )−E(Y) ) e4 E# T4 N$ M: G, \8 |' E t3 s
2
) ], S& S. G1 i; e9 M/ a
4 B& L( W; m# c5 }3 F$ _ =μ D3 S; b2 s( {2 l+ j
2
6 [2 M# K7 U& D* \ W/ k$ |" {, | +2μσμ " L v2 i# a0 F3 K. {2 l- g
0
) x; A6 p9 _8 F7 ]8 V! W4 Z2 N$ N ) m, B* S+ x8 i Y' v
+σ
8 l$ ]2 i: g% m2 E 2 + H \8 Q* G1 a
−(μ+μ
. ~/ e; T7 ]/ y4 h 0
/ C" d7 k$ |* T1 W3 {7 A$ c 6 O& }1 }# h% T$ s
σ) & b- X1 p# I5 `+ o3 e9 q
2 - x" H8 k2 U1 u% ~* F( x
& T! X4 ^6 { @6 u: O
=(1−μ + [ e$ b% ~, ?3 [
0
' i3 F, x% z& x/ Z+ {7 i# p* a# x 2
' N2 W+ g7 V" [: z
; f1 t" @0 v$ h, |, D: M: ~6 ^# E3 Z )σ # ~6 M/ C+ U' s0 {. r
2 7 K, y9 a3 R' C. R. Z) U) D
& V% v. r9 S, p1 `; t, t
* Y' v+ f$ E% k, C$ e( H2 H# A* I& S
g& S- h5 F M
( Z/ ?5 E/ E# B2 E2 _' m
5 N- N$ O% ]2 n( p* Y* E# D5 N 令:
" w' t% s; I0 f' u0 n V) @9 Z6 I- r σ 0 2 ( λ ) = 1 − μ 0 2 = 1 − 2 π λ 2 1 + λ 2 \sigma_0^2(\lambda) = 1 - \mu_0^2=1 - {\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda^2}{{1+\lambda^2}}
( N& X+ Y' P7 x8 L7 z0 v; o σ 5 z, u; s9 l# E7 A6 ?: C
0
7 S7 D" W9 |1 d$ f2 m) p 2 ! ~- d: T; D! q6 N' s
; h# W; O9 w8 a
(λ)=1−μ : v/ G( ~" w* }! v$ r5 J) n) b
0
5 Z0 e- p% i L2 I5 s 2 1 Y9 p8 `- a, n9 W) u
3 k( r$ q0 n) O4 [
=1− - T0 T% `( a9 z+ z
π , ~; V. ~: g5 i& ^& E
2
- w# @$ C7 G! r: K* Y; L
" j/ q: S4 o0 D, j2 H" V! \- R
, A8 s% R8 ^0 j 1+λ 4 G5 w' b' I+ X! Q- k/ X' i
2
" j# E% m }" t* g6 I - K/ s2 S8 z9 [
λ 1 X' L7 ^* g" r. K( ?. |7 k
2
S5 `5 ?( T- t' p8 v ' V7 H: Q' T: ]+ z1 y1 x
) }' ?3 j! `+ p0 U9 }) e5 p # J5 o7 [( r- V
5 y/ ?" U0 s% x6 G( c ! c$ p# U: p E3 ]" C
有: $ W- y- `7 h( _/ W
D ( Y ) = σ 0 2 ( λ ) σ 2 D(Y) = \sigma_0^2(\lambda)\sigma^2 ! M- l( N. r8 h" K: M1 I
D(Y)=σ
+ C5 T" H @' |+ {8 H 0
8 P3 D k# Z. i, Y- E 2
M# C/ {0 F: b6 {, f8 F) D ) I/ U, [3 r+ O" Z( \: ^& N" ~
(λ)σ
, A% M! @% U0 Z E 2 3 n m' B4 d1 |. }: X0 ?
% p6 O) `5 ^% K% }$ d
. c$ \1 X& ^, z1 A; r! H) U
# e" E, `" {6 S" z* \ 注: : F2 Z" _, `$ @$ |# ~/ j
+ V" `: L) C |* D3 B + Q) x3 K. v, f
在推导中会把μ 0 ( λ ) \mu_0(\lambda)μ % ` {8 z: ^2 ?3 K9 N( {
0
3 T& i) `" H. w% o * O: h1 I. q p2 t& L9 N
(λ)记为μ 0 . \mu_0.μ
2 S. b& r2 X2 @+ ^! f 0 . Q0 ?. @! j/ V, k2 Q, S: l. N {
9 C! b; a' J" [/ w" y . & D% e; D2 f) l
在推导中用到K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t K = \int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dtK=∫
8 i4 g! H, `8 @# S7 p, E) G6 P2 c' S −∞
1 e/ R$ T: u7 D$ [" {, b4 c5 h* Y +∞
9 g; ^9 R B3 ^# l. Z8 L
V; M R* G1 B$ ^# y5 J' b7 _& V p 2t
8 D/ x: @4 m, R) l, m) a, } H% L 2
3 c2 k. J4 J' e/ ]# J2 |. t. N3 b* _7 ~ ϕ(t)Φ(λt)dt = 1,最后我们补齐证明。
& o2 @6 q$ w. h8 Y/ B K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 改 变 积 分 限 + 分 部 积 分 ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 概 率 密 度 函 数 具 有 规 范 性 ) = 1 ! ]5 S) D. T+ d3 o8 I
K=∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫+\infin−\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1 7 e' J/ c+ i& T
K=∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫−\infin+\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1
& ~8 A1 v$ k- L K ; ]8 r2 i6 f0 X
% `& t- U- e: ?( o3 H7 ~0 r
+ H, j5 {: w$ j) C2 t =∫
{ ]2 F' a' X, a. b8 h& L −∞
- y; a3 P1 U* }2 A' `2 }6 W +∞ 5 B; n5 |9 C! V0 H+ `
) l( y2 j$ J( T4 a# p 2t 5 ]0 }1 Q( k. ]; _% _0 l9 T! w, z. [
2
8 ~1 k& s+ {' Y5 ~4 R ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)
- D8 k& m5 V7 n, Z, ^' o* E =∫
7 y! m9 O+ v8 g: a4 C$ ?2 H −∞ 3 s; d+ s* @4 } H0 H! P7 u, {
+∞
) k7 o: Q* ~" i$ \# G& w u
" S2 v2 O' H3 Y: m w 2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)
" N, q* l! a# Q& i+ r! S =1 / {# @! A, i# l1 \/ ~
5 m/ P* [0 j8 a. I3 s; c2 g/ S
& X2 @, N( P3 S
* A4 c$ l9 l: e& p
! Z+ s5 z6 o" d$ {8 O+ b2 m/ ?. {$ z 3、不同偏态的偏态分布——R语言 & t$ Q/ d4 B: Z1 R: a
本文代码主要用了闭包以及ggplot2包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。
( t3 B1 A5 `: E1 o$ C0 M$ N
0 p. z: ?3 X) k. G$ I1 q
& p, g9 f: F9 f3 A3 Y3 U 3.1 代码 ' `& ]) l; V! R
library(ggplot2) - @8 P& {) e) |% b1 L0 V; i
nnorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){ 0 r j: m3 M( |
function(x){ & ] L( k: p( A* E6 X
x <- (x - mu)/sigma
|* J3 E$ T2 P, A! x- H6 q f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda) / x) T( O) ~) q
return(f)
+ W8 T! t6 ^& g" H }
2 k/ a8 t1 d; Q' ]; q }
9 D3 y- H" }3 H- o# v$ t plot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))
- M4 Q0 W/ b7 } n5 t W plot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T)
1 K& [/ R& b. S6 `: L plot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T) + c0 z: o3 E; M& W h
plot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
" U8 L- x; f2 }6 J plot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T) 4 k! M' f) F4 k! A: E. N, n4 R
plot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T)
* | f) A$ |+ q/ s0 k! N* @; T plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T)
" l% m7 ]! `/ M0 w& Y m6 X
) _/ P( b! F! s: a& X2 L* X( A0 ~7 k
$ C8 s& V/ S$ x; Y x <- seq(-5,5, 0.01)
9 C/ u% ^4 `) \5 K n = length(x) / | Z6 z8 }7 n. H
Lambda <- c(-3:3)
5 d* o$ p/ e$ ~, \& q Data <- data.frame( 1 F+ b7 A5 K/ H% z4 v+ {7 v$ S
x = rep(x, 7), # k3 A! }, F& [( I2 |
y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x),
0 U3 P5 y0 L, O nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)), 2 {2 l% `: D6 ^
z = rep(Lambda, each = n), X2 S* z# X8 |; I3 c4 A1 m
z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n))
8 U1 p# l8 p0 ]1 D; e )
]% ]/ u( k: l' R qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line") 8 b1 ~3 S( I4 G( O3 k
qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line")
5 M4 R, O% W4 S Z$ H# P 1
2 W8 M7 u) e& ]- ^ 2 9 e4 `$ ~/ B% X: F) }; ]
3
5 ~" \* M4 G9 [& v1 V( D 4 ) }/ x5 V3 z: B
5 ! C& t2 D2 }. z- y" b3 w$ {
6
' W& }2 l9 g, b 7 4 B' w, @1 |" N) Z
8
( K$ J+ j1 W, w6 O& x% [7 I) m 9
' H* j, Z. |" Z3 M* X 10 # x# m: a( }* L) e: C& F0 C
11 . o% i5 H8 @; e
12 2 g( C5 w! E1 }2 ?0 K
13
/ t% @" K4 E$ _! { k# ` 14
' T, g7 a2 b# m8 k 15
- `+ y: k! _% |# L$ p! x s 16 * {/ w2 u8 {0 h) k, j; e
17 ! ?/ ~+ d+ p2 ~" H6 O" I
18
4 B2 V4 Z) D; q' d( w 19
# i* l+ |- \* x5 ^' N2 J$ S 20
4 \" Z# E, Z- l8 B: E 21 7 e: {- I, f0 p+ L! ^; G1 a1 O" { Y
22 ) o* O% Y7 t; _& k' O7 \: `1 T
23
! |- ?+ q* @( b5 g0 m9 m 24
% G. _6 b, H% ]8 b, W' X 25 . ], N$ W6 {* X" G
26
3 d9 y* c4 b$ n1 }% x5 i* o/ V! {1 [7 C. _ 27
: {3 X5 O" ?" t 28
! F7 L% v3 k* D+ \, m+ w- v 3.2不同lambda的偏态分布图
; U r$ e% A8 k4 C& q$ y6 u$ K 7 s& h8 v K* z5 R7 g! P5 o
/ x7 u" E9 e7 O; `* F B, w! F
! o/ ]! q, Q Z
0 U% w" i- |0 }! i
5 Y& a" F, |. L- P# d2 ^6 K $ k: B7 ~% W; E/ Z0 j
参考文献 & ]9 ^* k; w1 k. Z, j
A. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎ . D. ]: i2 y5 X$ g
! ^; ~# D/ e S 8 x1 k4 X7 w' J# E' V) C
https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎
3 {/ i; H/ G j4 ^ ————————————————
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% D1 F( {$ x: M1 V( m
, T6 q# X/ I& t8 }8 W0 R' H
zan