在线时间 1630 小时 最后登录 2024-1-29 注册时间 2017-5-16 听众数 82 收听数 1 能力 120 分 体力 569059 点 威望 12 点 阅读权限 255 积分 175941 相册 1 日志 0 记录 0 帖子 5313 主题 5273 精华 3 分享 0 好友 163
TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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! I4 C, W$ f: `* z
偏态分布及其数字特征(R语言可视化)
8 k8 I9 k6 D& O8 u# m% g9 P, V) B 目录
! u0 K I, Y9 R 0引言
! o1 o9 b* }5 P' i }. |& [" s 1、偏态分布的定义
. _9 }6 U6 N/ \9 e 1.1正态分布
# g J$ D4 ~0 @1 ?) z5 u 1.2偏态分布
) G: O/ @* `$ Z0 |( R 2、偏态分布的数字特征
0 l0 `$ {/ Q% ~& d 2.1均值
) U' M- t: f) S4 O- K- ^2 s 2.2方差 % N) R* }: a( |3 I5 c' o: v
3、不同偏态的偏态分布——R语言 3 K# ?5 |+ u3 z- k- h R+ P/ A" J
3.1 代码
/ k$ N: }) K4 h* o0 n" N2 o 3.2不同lambda的偏态分布图 * P4 H/ l8 y' g
参考文献 0 f3 N* {' o4 O5 e# Z) H
0引言
6 w& G; X3 H. i) ?$ k6 ]1 ^ 偏态分布是A. Azzalini1在1985年提出的,本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义,主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导,以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。 8 ^% v! x! `/ w" n
- \: Q; x. n; _, F
( D3 |- A' t- O. ^
1、偏态分布的定义 + T$ I9 h% |$ i: W" ]
1.1正态分布
0 [5 h6 Y; O+ U7 B8 F: V& v 正态分布2,又名高斯分布,最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
6 Q1 R4 U! |4 `' Q: L1 ^( ?. g, G 随机变量X XX服从N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ
% R3 o6 Z& O+ d! S8 _ 2 / G; C& I% b& s+ y% C* F
)正态分布,我们分别记ϕ ( ∗ ) \phi(*)ϕ(∗)和Φ ( ∗ ) \Phi(*)Φ(∗)为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。
/ d( t Z' l: o; y' v/ s 定义为: ( B; U9 f- X- S7 r# f! w! z
ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} # c* t4 A& [+ A
ϕ(x)=
5 I- ~( p2 Q* d3 g0 Q g 2π
2 X9 d1 a, b# I! C5 T
% ]$ C2 p& [% M , ~3 B: n6 o7 N. s
1 6 g8 L- b7 z+ G! J: O9 P0 \' N
2 O$ H- M) _ S# q8 k
e 7 B, L% V3 a5 _0 G& M
− 7 K/ W, j1 |( f/ t, [( G
2 " h2 [, f8 \6 @9 @0 a9 Z# t. V
x 3 |- p# R' Y$ o- c! b& |
2 " h2 u/ U9 Y# J& \1 C- k# {
- p6 J7 [7 m& ^8 O% e
- j9 G! [1 l0 u0 j1 C/ O+ o6 ] 9 ^. F/ B& W; v* }+ S
0 V* P R2 [5 b( s
) L) B1 ^/ p8 E& v1 \( \ $ H9 Y3 n" x" Q) s" k" C
Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t \Phi(x) = \int_{-\infin}^{x}{\phi(t)dt} ! x. D" v2 B( Z) h9 }
Φ(x)=∫ & U: N: s" J& K: j
−∞
' R# a* v& Y) P0 i9 `. } x " x5 d n Q. [! P
8 s3 Z5 h* R" q
ϕ(t)dt
' e1 y3 h( v+ X* [6 s9 p$ j) B5 O
1 E2 W' J8 q' D) N$ _; a: D
, R' e0 E$ p( C0 \2 R9 s' r) ]3 y 随机变量X XX的概率密度函数和累计分布分别为为: / W9 {1 G: A, ]. `' ?5 A
f X ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 7 ]1 f O3 [, P0 ~9 I
f
6 H/ }2 h r6 k3 i X " S; k7 ]0 A1 S+ T( r
+ R. z" t; J6 S' x; ?
(x)= + B% s( q/ w' L6 W6 N9 D
2π 3 ?+ k! v/ j) {& T
0 b0 B2 V5 e, l- Z
σ # E7 [/ T, Q% k# w
1
$ y5 o) Y c3 L' G- ]
3 l0 |( a$ ^# l4 ?) \4 s e : O1 d7 k6 Q9 ]0 P
− " `/ N! C3 U- s, E+ U, b
2σ * o4 G$ l% c" I+ q1 z" K& f' X- N
2
2 d, R! R/ y& Y
9 T# ?" U2 K$ a5 B/ g2 N# w: { (x−μ)
$ q* @! j6 W, f& z) j r! f 2 9 z1 } t2 B3 y1 [
* B/ [$ W+ ~- ?
+ S- T z- ^ z, I# J 1 y0 g$ @& G/ `8 M' A0 v6 y
4 a0 X; s) K9 }# N, O5 c : _" B# u1 a8 k4 {. ^) J
' e5 i$ h+ Z3 V4 K& s6 R' I
F X ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F_{X}(x) = \int_{-\infin}^{x}{f(t)dt} + ^9 { w, S6 n% a
F
! S( A6 Q& I: A- X: L X % V, v- [' `* a. v; h* g7 `& s
# b' `8 r6 P" O; c7 l s
(x)=∫
# Y6 t8 m9 G; J3 A( B! {+ s$ S) y −∞
`! v$ @3 c! t( u1 |) n x + k' L$ g. b/ |$ |
5 {# ?. u9 c0 P3 w9 S3 F/ d
f(t)dt
1 ^6 M2 w4 X# J5 M8 F7 Y ( U* z8 q1 C1 R0 s0 t( T' Y
0 W5 z& |# C! J) D+ d
1.2偏态分布 : {, }3 X' G! D& o3 h
A. Azzalini1在1985年首次提出标准偏态分布S N ( 0 , 1 , λ ) SN(0,1,\lambda)SN(0,1,λ),引入了偏度参数λ \lambdaλ,其概率密度函数是: ( {2 d% F8 |$ N5 V
f ( x ) = 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) , f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x),
9 _4 F5 P+ I+ p/ A8 P% P/ }% ~ f(x)=2ϕ(x)Φ(λx), 9 z. L1 M9 q, e/ y
w7 e6 L6 E% d& g$ ~2 l
+ x- @3 Y9 V" D; [2 p. U Y YY服从S N ( μ , σ , λ ) SN(\mu, \sigma,\lambda)SN(μ,σ,λ)的偏态分布,类似的概率密度函数有如下定义: * J5 L* d- C8 {9 ]& @+ \9 P
f Y ( y ) = 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) . f_Y(y) = \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma}). & s& N1 m. K1 p0 H! \; L# g0 _
f 6 f/ |' k1 |$ m- x' O
Y
, }7 [2 O" S1 G5 j * P/ s5 y$ _, a) F& S# u' _
(y)=
1 J/ |0 z, ]% Y' V$ F σ
$ S9 e2 [8 V9 x( h; ?) i M0 a 2 : [, |2 J3 s& E8 _2 e" ~; v) ?
1 M; g; Z' ^9 ~ z) d
ϕ(
7 w4 u( D- C7 p% `& }$ O0 D σ 9 m* q5 Q, u+ f; c0 Z; \
y−μ
1 c: n* G$ r0 ~, ~; _
. h; [% m# B. G' j5 Q$ L( i )Φ(λ
1 i6 S: [0 z) k: k σ ( T* h/ x/ j+ t/ ~, s" L
y−μ * B+ J8 c4 W8 k0 m+ h
% M) c% }' p, P* V- ], Q+ p/ `
).
2 E( n) \1 ` s( o1 F# h
8 K( y* s; j2 E. ^
9 l+ z( g E- L5 B1 @" z 可以看出当λ \lambdaλ为0时,该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量Y YY的均值和方差。 . h# l4 g' G) V! c- ?
/ W( u( {5 l2 w, H& y! h7 ?
- J" }$ e5 X; Y* n
2、偏态分布的数字特征
$ f- u, w, `' c 2.1均值
4 u9 c, T* i/ a) k 在1.2节我们定义了一般的偏正态分布,这节我们推导偏正态分布的均值。 2 I8 V# E; |& j4 @& `/ h* F! r
E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t ∫ − ∞ λ t ϕ ( k ) d k ( 变 换 积 分 限 ) = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 2 π d − e − t 2 2 = μ + 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − k 2 2 λ 2 ϕ ( k ) d k = μ + 2 π λ 1 + λ 2 σ
% r _$ O: N, D. ~ E(Y)=∫+\infin−\infinyf(y)dy=∫+\infin−\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)dt∫λt−\infinϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ2tϕ(t)dt=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ22π−−√d−e−t22=μ+2π−−√σ∫+\infin−\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2π−−√λ1+λ2−−−−−√σ # A; n3 O) J& D! P5 Q0 Z
E(Y)=∫−\infin+\infinyf(y)dy=∫−\infin+\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)dt∫−\infinλtϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin2tϕ(t)dt=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin22πd−e−t22=μ+2πσ∫−\infin+\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2πλ1+λ2σ ( f7 M: t1 X: {2 _# M) H6 s
E(Y) " ^; }- c5 z, @. c* n4 Y0 j
8 D9 \) Z V! t" w/ b3 g/ H5 ^
" _: \9 ]& b1 _$ |: @
=∫
) K4 S+ v3 H" y0 P3 z9 q! ^) x −∞ 9 f3 N! |- @ X3 Y: L. a: |! _( e/ B
+∞
2 H: Z( N+ [) B7 L; ?# i6 s% `- y
: e Y; z4 p& K( o' X Y9 N yf(y)dy 9 A% J* n* ~) k3 }0 }+ h8 l. ], ]
=∫ . x Y3 q% k3 E) V- I. w7 T
−∞ 7 [) G" Z7 b0 d) W" w
+∞ & R O1 w9 v" x5 ^
Y! E% `3 |; a0 q" n9 D- n
y 7 a7 B8 p) ^+ U) p8 K" C
σ
1 Y. G+ p' K: g 2 / B2 x* v) u- o1 |2 d( _! e
! O4 b$ o# W$ [1 m% a( f3 f ϕ(
8 g" j8 k! [" h8 j: o' n, o σ
5 |; y6 t( y" k/ P9 U# I/ i y−μ
; r, E5 \' p% ]) P% b* v* L0 Q4 C ~ + ~; q2 y: G$ R' @
)Φ(λ
% j6 Z, i- {. \- j) n& O9 b# ? σ
( j. e0 u9 f1 P7 V" ?' d' t& Q y−μ
2 t' |# u' u) i / V J0 f& l5 A: R/ s! ?0 j. r! i
)dy(标准化换元(t= / _$ @4 ]8 ]) L" O
σ
9 I1 a( q9 n: h6 { y−μ
$ ]8 G, S! b. \ . ]! C2 w. X* N# J
)) ' E, @2 g+ E6 j" P+ A
=∫
6 `1 K$ \( k+ {( l8 |: W/ q3 V −∞
7 o, ] ^' x; E, G+ p, y +∞ ) M7 ^. V: `% n8 c, `
4 l9 W% ^2 | m* Q: s+ g
2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt + g& A' W5 H, @, [! a9 n
=μ+σ∫ - J# p0 h. \% ]" }' ~0 J
−∞
8 S4 g$ q9 r+ ?, E& l +∞
' }8 i- I! x$ F; p- h- i 0 s. Y3 j- m; J/ m% H& C
2tϕ(t)Φ(λt)dt
, q) N' {6 {% P- }! s7 N# b* s. [ =μ+σ∫
2 ~) j1 [: h. O −∞ 0 n8 Y* S0 r' B) L
+∞
# [! c" k# x# e+ [% T
4 @8 h9 ?6 b+ r5 u7 K; C2 i 2tϕ(t)dt∫ 3 t1 x5 |7 \ E, y
−∞
6 y* F: Q5 B' b2 J% L' x% |" W λt ( d, Y( e0 U( ^5 C
/ V7 t4 b* H, M [. b
ϕ(k)dk(变换积分限)
6 P" B+ r) f' k8 L. t3 L =μ+σ∫
0 B! _' M% C t2 A6 f4 @ −∞
5 }7 q% _; u8 d$ }; m5 P +∞ 6 _9 y; g2 Z- l; z9 Y0 X. c
2 A, J) ]2 }# L: L
ϕ(k)dk∫
1 h6 G: I, D4 g- o+ t5 N4 z! Y λ
* f' N, M7 M7 a0 B' `5 I# B k
' G! ]4 s# ]& i3 j( s2 b7 N% Z
- B. |8 D7 \ h" }' C$ ^5 P
% y: _0 R) R' [* b- h% I% \ +∞
+ l( V2 r! k# n5 P& Y 9 N P3 j6 X8 I
2tϕ(t)dt 3 H8 W- G! s+ F$ u1 y9 U# H
=μ+σ∫
0 s7 |$ O M$ O0 `! H- \ −∞ $ ?9 O, O0 h$ l
+∞
' f/ ? Y7 ~& k3 \# c
% d# b' E/ z4 d( v6 g1 s ϕ(k)dk∫ 5 H) S0 P0 H! s" k
λ 7 \; J7 ?& a. S% d, U* G
k
" Z' |6 U/ Y* b: w, C
. F. F9 H) C. U + A* y9 t* w+ O$ @% \
+∞
* V/ s& |& |8 x/ G: }% V$ r 5 }9 h0 c* t; S) J% U# X
4 f2 g1 d0 c- W) v( o& m 2π
; R0 M7 G, z, V
3 f" L9 l4 |2 h8 q; L
5 W: T# j7 ~' f( c3 m 2
) H; M+ |. { q/ V2 j7 G( h$ | & }7 Y! ?' H! Y7 p2 P
d−e 2 u7 \0 H$ E8 H1 o M
− / @3 x, U/ V% p) v4 k, \7 j
2 ; {, E4 g8 |* M }2 @* s: q
t
) `! C- b a- a- a1 g 2
- b' C& N6 R3 w3 k1 c& T, J* d 7 O/ V9 A7 K- n& x) L }4 H4 `
1 A9 s; n1 y! o8 L8 I2 z7 ~
& ?+ E# Q. J! X% {
) \( h4 e! L/ [ =μ+
" V+ a! A- T3 U( L' V; H7 |% R b π B4 w ]) y; }! p5 l) F' Z i
2
u* v7 K" w3 X1 `9 Y' Q( N
4 R `9 k% i9 {& k' C
1 V1 L2 m/ w9 ? q! L0 l& o) b" R& B, | 9 Z2 J' z$ ^$ Z* K1 q6 Z
σ∫ + @9 N1 z7 x: s/ q
−∞
9 h( l- Y8 u% O! e6 d +∞ 7 ]% d$ o/ t3 s# @
1 ^- } h! N: O2 z e / P$ m8 y3 v9 d
− ) V: S8 x c3 C; S: x" A2 Y6 N: E4 q
2λ 7 H( @- @4 p1 z0 ?
2
5 E2 c4 L" G- F* D, _6 \$ |* e f' t% j9 R! I3 ?. M4 {$ z# U
k
4 W5 E* e2 ]/ h% Y ?1 @( d3 {" Q$ }, R 2 # V: L) O J# {- W, ~
' E5 q0 H; e9 a! C/ r X L
; d+ M: N2 E9 i: } N4 q" r4 f+ c$ l( B/ D
ϕ(k)dk
( K( K5 P3 F" ]$ x. A' s0 T =μ+
7 @( K, T7 U2 \/ a* b* ~6 n π $ H# `5 P& X3 \0 C
2 / e. F# l4 V! s/ F; h
4 Q9 a }2 ^1 ^) E: D. v
3 r' z# A: s# V2 R3 |$ w
5 E8 `! |1 v2 U( w6 W6 ?/ V
7 x# ^* g7 h, z! U( ~: ]1 S 1+λ $ ]5 Y% c9 ~- _/ M, w
2
! a' `3 @( f/ m2 d1 i1 Y9 k
1 P& Z8 \9 P$ n. X
, z- i$ J' X. J9 J * L& Z: t r- c0 Y$ k
λ
% I6 q" J' j- s8 _
1 D5 V! A- b) C0 X2 i4 y% s σ
/ ~" ]! ^2 [4 k% L . T% n! W/ j: i4 y5 h: u
% T: r, R1 F4 j 令: + v7 m8 {8 Q9 l; W5 k
μ 0 ( λ ) = 2 π λ 1 + λ 2 \mu_0(\lambda) = \sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}} 5 k; K) r9 r( }; E9 c, K y
μ
, [4 g/ C9 x' e3 m% X& X; G% Z) _ 0 / _7 m& V }2 b6 x7 X) G9 U+ V
]7 x) d# y+ [- |2 H0 t (λ)=
; j) N8 f' R" @$ V% z π 7 C1 L- l* {! V
2 , S2 D4 a+ D* N) B* e& e
- F% o8 p; d/ p) N/ M
Z: b( F( ], T5 f* d/ Z, r
2 o! _3 l# a* W$ K- C! p; r- c ( J. F, V; j- L% g. Y; D
1+λ 8 K7 X, m' ?; d& o: r- y8 H# K h
2
( S6 p* L% I; f6 q
) @ U$ ~. C* V9 c n% x
0 z6 b# B/ f- u. }5 f0 x# } 7 k, F, V9 U2 m2 ]/ x! q& J: T
λ
" S2 X+ ~' K V! n2 Y: k' E + c6 P, X6 f0 N2 I) q- I
$ C( ^3 e* T0 B3 q / s5 T1 B A' B% n, P0 L$ o' M
4 k8 C4 c( U% o! n$ F: V$ V' z+ I
有: ( U5 _; Z- }6 u. {
E ( Y ) = μ + μ 0 ( λ ) σ E(Y) = \mu+\mu_0(\lambda)\sigma 4 T- {- z0 q/ v
E(Y)=μ+μ
1 K7 v7 J8 a8 d 0 * d- i) `+ ]: C% Q
0 C1 o' K8 ^) o6 s: G" a/ t$ a2 \ (λ)σ V8 f3 Y& K9 H" I1 }
$ W+ D, n* N4 V/ e% H8 {
/ R# P4 {, ~0 r# U$ [ 2.2方差 3 L+ n( m0 q1 k
按着正常步骤求方差先求二阶距离: ( ~3 s4 B1 O5 d2 g6 _
E ( Y 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( μ 2 + σ 2 t 2 + 2 μ σ t ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 " [' ?) d8 `' ^# }* k% G
E(Y2)=∫+\infin−\infiny2f(y)dy=∫+\infin−\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫+\infin−\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2
! s8 v- e* S7 W( J E(Y2)=∫−\infin+\infiny2f(y)dy=∫−\infin+\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫−\infin+\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2
5 s. k7 s) K0 u0 A2 ~ E(Y " V- J2 E9 i! ? S, ?5 e% n
2 ( W. c( B# C0 A' T% X7 Z7 y7 p
) 2 P; z+ c7 e- c3 P# n
) v! W/ V f% f) i4 @6 X
) v5 }& N0 U6 X
=∫ 5 k: S2 T2 `& }! N* \
−∞
6 a; a: F6 M2 g( b7 ~: ` +∞
, l' c+ {. ^8 B1 h* F9 O
. Z1 K/ q: o. i L" h y K% @$ ~* [1 l0 \' ~
2 2 }* P8 h. }. o) w; R$ \) E
f(y)dy
9 W) J) W" K. C7 | =∫ $ o E' ~. g: W. Q4 T- F
−∞
4 |7 H/ ~0 j8 i* @; z1 d+ `8 z +∞ ( y; }; c/ \8 R6 l
8 |! K) H }1 ^
y : M+ N7 w1 @5 a; h+ ]9 H$ N9 Q
2
2 |: m) q, U/ B
. d6 F. ^7 R7 ^6 P, o% x& [9 B& a σ
, f8 Y1 n4 u% w: U" S' @. _! E9 I 2
) k& |" Y E$ `; K* D- u3 V 7 T# n1 W/ `% D) S9 G
ϕ(
$ T! {2 n5 R+ k σ $ r5 \3 \) D- q# a( e
y−μ
7 H7 B1 K- g9 {% d, T! u
4 h, j" _% }6 n/ u( w: k$ F# W6 m7 X )Φ(λ / F2 |( K3 Y) n$ v7 A( A4 Q- a2 d
σ 4 n3 I) \8 x' J8 h. D( M
y−μ
) B" j% b0 k9 u$ `! R ' q3 |. F3 V$ a2 @+ T8 z; S" |
)dy(标准化换元(t= 9 |/ d! i8 x: e+ H9 E5 T2 ^
σ ) }9 B- {/ n; X
y−μ % I0 m- g0 K6 G6 H, T5 D* E
- m" D0 B- K% ?! g* T3 _( p, W
)) 7 c8 ]. {/ f# b) ^
=∫ 7 {6 Z6 }% H3 E; b; T/ ~3 f# s5 u
−∞
- x5 U- H8 h0 k! t+ V +∞
5 d' ~% E& F o. r0 [9 U
! e& @( V( y/ q% {% X' _$ a5 ` 2(σt+μ)
4 m! m6 e3 ^1 u I 2 ) N' X" R' l8 b$ r8 b
ϕ(t)Φ(λt)dt
& s0 h2 Y- w! g6 Q% l8 n =∫ " m1 o/ H# X5 D- H: ~/ V; R2 ~. y
−∞
/ |- X' X6 \* [( x t. P3 k +∞ 9 z, L& @/ G( [0 t3 r* d3 C/ o
/ X T' u8 I# Y7 w$ T6 N1 L 2(μ
& L8 \ J7 y, C4 s5 y0 z 2 1 i# m" t2 X6 m9 p
+σ
; O4 V# l0 [8 c3 c u 2
, O) M$ x0 W" H( F t + t' H) _5 ]7 D- ~5 r
2
5 c$ u1 A1 U+ x* w% R6 D. ` +2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt & R: w& |( L7 a/ [; C
=μ
9 c/ F& }0 b# w5 r# W h" `1 v( h 2
5 J4 V% n" N5 W$ O2 A1 `8 S +2μσμ
! @; }: S, @; m$ M 0
. n: c% ]) d* q0 X5 G& K$ i
" W/ {" ]6 ^" J/ t8 A +σ / K6 M0 C8 U$ i5 I- a( _
2
1 [0 B5 B4 l) f2 c ∫ ; t" X' n. U+ ^2 c8 v* R/ d; l
−∞
! u8 g1 M" _; E, P& G* t' n' o +∞
0 S3 M6 X% ^ @4 v0 c$ d
! J1 z* o3 |! |. a A8 f( } P: a 2t
+ g) S. k0 f6 T8 W% U; d/ @5 R7 E 2 - `% P1 a% |7 t/ @' J& j
ϕ(t)Φ(λt)dt
' I9 p+ _9 E* E4 h$ l =μ
; j' J! J6 M) n* J+ z E8 Q$ E6 b 2 ! d- d* l/ z; c$ n; {3 b
+2μσμ
8 U( _) h0 h3 T \5 ? 0
& Q- y1 o [1 k1 E
' |! z# g9 @' O5 ]/ D) k/ o2 U" V, n +σ 8 C$ _1 v& z" N8 U
2 # \6 A Q% w8 b- F1 Z
0 l% }, A) e, u3 C8 H! @& K
. T4 o3 y3 P- F
K5 |% S" `( }% m8 S+ H, i ! _1 |1 |/ K9 D0 o1 l% g9 d. d: t
9 p8 o! ~& z0 o5 m% v
方差为: " w9 Y t/ N5 L: r
D ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 − ( μ + μ 0 σ ) 2 = ( 1 − μ 0 2 ) σ 2
; r; x; Y+ m+ M* l8 g3 G$ K D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ20)σ2 " p0 ]# P. ^6 Q
D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ02)σ2
5 I" Q2 x; ^1 U( O D(Y) " y" l3 y+ K. \, I7 \: X8 y I
2 p0 s4 ]' c$ p4 |0 L$ c
( [, A K* X6 K, I4 F =E(Y
* M4 X! {, T" C: w; G 2
0 K/ p' k3 [% I- W$ W- P" }* ~3 p2 _ )−E(Y) 0 k% B2 P. E5 i
2
9 U0 t4 A7 V8 @& x: a4 i
: U" X! ?0 W, @+ j x$ K6 | =μ
w; P5 B1 G& U+ g/ G! O 2 8 _/ z ]" [) M, ]9 l
+2μσμ : A$ l/ ` w/ x; ?5 z# O, r' P# j9 V
0
9 k9 p3 Z# o# T5 A( A - I1 O* |' }. r4 Y- o
+σ ) E Z# T6 m) z1 _6 C
2 4 w Z% U8 c6 l/ C
−(μ+μ
* j' L S5 M6 f7 B 0 6 [9 k5 R1 M- I- e( G9 V
; F- w2 _: u# f0 U( v; b σ)
& M. z4 Y4 J, P5 X" P1 n 2 ' F. O) p' u0 d/ P
' d# @$ V" ?$ g# g2 p/ ^3 a
=(1−μ " f5 s# O j7 ? h
0
i% a% n, y) e5 Z$ r" o& E7 s5 H 2
4 H4 l& S0 C& a% l. I6 i9 \$ O4 F9 O5 O
7 v( K9 `& p* N' ?: O4 h( M )σ
5 ~/ ]" G4 j2 F 2 % g$ s) U4 e, D) E: t
* s5 w) k8 R( x$ `" ?( a2 ? , q4 ?; c1 F& k
+ L$ R2 I2 R) l0 d
" D2 n! S% ~! r) a
# F9 N- R8 l5 ^5 M1 X 令:
, t+ C1 W* C7 u: p% t* J σ 0 2 ( λ ) = 1 − μ 0 2 = 1 − 2 π λ 2 1 + λ 2 \sigma_0^2(\lambda) = 1 - \mu_0^2=1 - {\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda^2}{{1+\lambda^2}} ) b9 K1 J, E7 t; ^0 Q% f( L
σ 3 [+ T$ H3 r5 ~, G: I
0
9 h- o- c7 n! z. R: g 2 8 J$ U3 e2 T2 ^0 c# n3 K
& c/ z7 S8 l+ t1 z" H
(λ)=1−μ 4 }% j$ T3 S8 n
0
5 E2 _% m' V. M2 F6 K 2 / g3 H5 f0 D: p W4 I( s6 i( {
& P" u9 S/ ^- \/ ?! I8 F
=1−
, E0 X0 j7 Y" d4 y$ C! Z π
, C# z8 h; T0 n0 V* z) K- n 2
$ ~( n6 u% V# @& V# B+ {
6 R7 f7 B# H; @ N, O5 V
/ y4 g% H) h# v8 J( s! ^+ j- S& @. b 1+λ
+ n: J% {, ^% V; {. h9 O( M9 n 2
4 n) ~, |' O4 Y 3 K& A2 ~8 v% b) m9 b
λ . f8 t9 d, \' s% I
2 4 m/ _# u+ o" d9 U: R. b
9 b0 V5 v+ J' q8 @: C) O8 J% G+ ?
3 f( ?, r2 N7 v- ^
- L) v, K) j O: F+ _2 S 2 X8 V. r- H, w9 j( m7 W: p! H
* a% n' E( I0 ^% W2 o4 B
有: . d' m' u, |; V4 t0 o
D ( Y ) = σ 0 2 ( λ ) σ 2 D(Y) = \sigma_0^2(\lambda)\sigma^2 " L& P2 ]) o: L6 U$ V6 F
D(Y)=σ
9 D3 Z6 B9 V0 B+ n8 c k8 s% \ 0 1 V0 `8 W: A; h
2
4 ?, B4 M* w0 j+ U
; s5 P# Z8 H; c0 z3 t' L (λ)σ % m+ [8 l/ m: S3 B) Y8 Z
2
1 x6 j* y, n% n; S+ n
8 a, C. W: g3 S' w/ d4 w0 W* w$ A, k 6 e$ q! F: b6 M+ t" O0 w; {$ t
& `& W% }, n4 N 注:
7 u( H3 Y+ d% G" \( a3 B
( t% ?, c) E2 t$ G 7 O! f/ S9 \) l2 ^4 e9 v. E1 F
在推导中会把μ 0 ( λ ) \mu_0(\lambda)μ ! l+ N* _0 X) P1 s) N* n
0
4 K! f' {' v2 A( C1 \( O1 {1 I 3 p5 x4 f$ o; T6 C3 x- G
(λ)记为μ 0 . \mu_0.μ
. Y0 Z0 N, A& Q. r1 n4 ?) K3 i 0
- a1 F; n7 A$ m
. A, [0 z. V Q* q . ! X6 I- x8 v8 r0 {: W
在推导中用到K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t K = \int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dtK=∫ 4 q. P# Y: j6 p9 S3 ~- V+ d
−∞
/ R% ]0 B" U- S+ V/ [: J' A0 }6 x +∞ * b! g6 X- ~7 q! c* @' y; Z
/ q# N& a4 Q0 R0 P 2t
; f7 x* v* i; n4 b/ x- |! \1 B 2 , p; s- a( {. x4 U
ϕ(t)Φ(λt)dt = 1,最后我们补齐证明。
" x7 `0 A- \$ z) F. P K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 改 变 积 分 限 + 分 部 积 分 ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 概 率 密 度 函 数 具 有 规 范 性 ) = 1 & V( F4 u8 m) S6 G
K=∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫+\infin−\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1 4 L9 z9 L$ x* v& H. n+ q7 I
K=∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫−\infin+\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1 ' \5 a j' I a' n9 h: v
K
# V# w4 p" [5 i1 ]+ s& n & v# P1 B7 a6 w8 c4 |
! @0 i% U; {2 k7 I3 C2 S w) x =∫
. B6 \; b, `( u. c −∞
( g, Y$ d+ d! T) A% q) t5 \ +∞ , N8 R$ o6 ^& p( H! ^& S( X
7 }3 q* O% `+ |( ]7 f 2t " c, `6 |% L) u$ N. y5 b6 p: L; {2 @
2 - W2 _. W, C8 ]5 T$ y1 |
ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分) * i8 y" M e1 i8 ~; r: K
=∫ ) R, \) q6 X. V
−∞ 5 Q S) a$ n1 V2 |6 e
+∞
; g2 l* U' `2 z: D
5 s0 \9 |% h6 F ?3 | 2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)
B; y, M( s) s- c =1
8 o" ^3 D2 j7 X2 E
' R, w' U) J0 `+ c1 Y0 g8 X6 x& w3 X
& j0 u% Y$ Z& c6 J1 J" D/ @ $ I; o; S% O2 z6 D3 F4 y
c! d3 O& s3 b% p, j5 F
3、不同偏态的偏态分布——R语言
% l9 W# c+ D' j2 ~5 `$ O* Y 本文代码主要用了闭包以及ggplot2包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。
5 }2 G# g! e5 |) A* k! w ; v9 B8 g% y( {% m# y4 K
# f8 U4 @; o2 ]/ u& h" K 3.1 代码
+ F- `4 _# P( @7 X' r' M7 i library(ggplot2) . @) M( F; {8 }6 l6 I
nnorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){ ( a4 p3 n6 {' |( s0 ^9 q% Q
function(x){ % Z5 e2 ]5 ]! S9 l
x <- (x - mu)/sigma
' F7 b. b4 q+ A/ j6 E f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda)
4 }2 ]. i2 s# j6 d m1 Y return(f) 6 q# X; K, b* Z5 ~; F2 W
} , T9 @+ W9 [3 P
} ( J! ?. E- I7 c1 g) j5 m3 Z
plot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))
: f6 i# p- [0 d i7 C5 Z( Y# k" u plot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T) 2 e3 z/ i; K Y/ E
plot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T) $ T0 h7 {/ |4 H) g; R( @ I5 S
plot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
% M. }" M0 t* Q+ |# O6 m plot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T) # j4 [ [" n w, f
plot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T) % {' A9 w% T. N- S
plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T) / \* E0 [3 X! W2 Z' V7 x
9 e! `1 o I4 i0 t# F' [
F3 b+ M" F, h6 q1 y4 W* B) Z6 o x <- seq(-5,5, 0.01) % V) v) y' W7 C: ^
n = length(x) % p8 N/ R$ x* c5 \6 i5 D k1 D' ~
Lambda <- c(-3:3)
, s) A b) e$ X9 f7 _% |9 S* l Data <- data.frame( * ~1 x" |' [ l4 W
x = rep(x, 7),
7 \2 F6 W) a7 R" y- |7 z. x2 r V y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x), , ?& h1 Q' d/ C) L6 ]/ d! B/ u8 M
nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)),
! B/ N" @- s+ X0 v; s3 w z = rep(Lambda, each = n),
0 B( J5 q0 K+ ]- b! h: v5 w z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n)) . j9 w6 K; o3 |
)
! x0 I& _( e9 C% X) V( H qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line")
0 K0 A- p: I* F7 `. }: Y+ o qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line")
T" p: u8 _7 x8 ]7 K0 m 1 0 F4 f9 ]+ g* r/ b- Y9 f9 h6 O
2 2 n4 |3 g2 U' H9 P/ i& E
3
/ A+ a! z* ^" k 4
; b) o }) F& ]- M, v 5 $ }1 ^, O0 D* K: {$ w6 C6 \; ]
6 : L0 K# F$ p* D
7
3 s( ~! b/ I" j- b4 P8 z1 a w 8
' s6 u4 R: c) A+ Z* X: T! I 9
: p5 q2 P1 D$ S# D; l 10
( a. d9 n6 \2 ?+ z2 \ 11 % R. h/ U$ r" ^4 k& i% E
12
! r) s" d7 v+ A; n" s 13 , f: Y" z1 }9 r; g3 `0 L0 ^
14 2 H$ K; ^8 z4 D9 c7 w' H) F
15
- I7 W8 l, u$ i 16
4 D* L. @$ k9 N3 \' u 17 , E. E* }* A/ a; T
18
3 z$ D9 J5 y* a% u 19 & G4 g5 T# M6 L8 X$ v) y) n% ]6 M; b& y
20 ' ?6 Y" B4 P5 Z2 k/ r: b
21 . C* o( t6 f/ m8 K+ M
22 ' L" z4 R" N- z3 b
23
# N) A6 C# l! z' u2 V 24
7 @( C8 r: N( w9 u1 ?+ L* E, k 25
1 D- H5 i6 O# N' W 26
0 \& b6 v- o9 ?7 R 27
2 L. R7 W( U. @1 z. D- _- A* ]: H 28
* S% m) P! B7 Z: [ 3.2不同lambda的偏态分布图 6 r2 q; S& ]( P9 [
4 U$ |) K; ^5 K# }
% \* E9 J. m4 I# l; T
. a# R& b/ j, J" ?8 z
$ v; H3 b# h" [% W) Y' f2 Y" b* S 7 y- Y8 \% n/ c3 y8 x5 ]' J
) _+ B9 I3 Y+ D7 \8 O: r+ X 参考文献 1 \/ ]) a! [2 \3 e" E# ~8 s1 J! U+ t
A. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎ ! [+ c$ N+ J) H# ~ g7 s
. z0 v$ ?5 Y6 N 6 Z+ @# P0 s8 Q; G9 U
https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎ 0 H. D0 k, `' S! g( u4 x% y
———————————————— & X! [1 Q% }; I* k( f" q
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1 q! B U6 v1 G T8 ?9 o
' L0 L- Y) ], K6 j: c - N9 a2 j# R3 _9 |9 k. j0 R
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