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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |正序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。6 n, z  n9 W8 }- h3 `+ Y9 a
边的结构体声明如下：
2 {4 P; E+ M8 Q& O. pstruct Edge {
" L9 g$ h7 |* ~# ~ int u, v, w, next;+ {$ b) Y0 f; L
Edge() {}
3 U) B$ T7 n/ G3 }* F7 p" Z Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :1 K3 z8 }+ D5 b0 e7 ?* D7 V% _
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) & }* {, ~$ r( p8 H7 ?
{1 h6 L2 f: [1 h2 A
}
0 g7 I! O% x0 s. b& A9 p8 w+ a# ?}edge[maxm];: M% J8 D$ F5 P
1% c( V& B# X( K7 C6 T1 ~  D4 I$ o
2
* d. R0 ^- {2 X  A3
# Y' B/ R# @; L1 n: N6 k4, m+ @2 U6 c& R1 q$ Q5 i
5
9 Q! q8 e( G$ e. K7 a69 \6 e5 H. b  S" k- i1 n' a
7
' e0 `8 A2 ?) m4 d+ m) ]8
( Z9 z+ p( T$ _初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；" B" h. Z! l, ^1 Y7 i+ M' x
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：+ ^/ b4 ]& [1 T8 P  x2 f; Y
void addEdge(int u, int v, int w) {  f4 ]" p( ?- n! [0 m
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);' c2 ]' o7 h* z" H  g- Z
head = edgeCount++;0 M6 o  R: N6 z1 `2 T. |3 O- |
}
, Y0 T( F- d; B, A$ V3 b1- f' f4 u4 l* G5 j' |
20 L1 D1 p# h! K* H5 N
3
3 J' s' C' R6 f7 P  X4  F* ?+ r, {; {
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。2 P% e' N5 A  O; r5 z! K
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
# I( p" t9 W' Tfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
% d" \( x, u, d/ s4 c" U int v = edges[e].v;
& w+ W& Y+ N. z: c7 A6 m5 o( ^; K ValueType w = edges[e].w;
3 ]5 ], B5 H5 Q' I5 b( w- B7 }' N1 d ...$ _- a  c5 F4 I  I% ?4 Y& j5 c* Q/ x
}# U+ e# C" d7 z4 B! h( v; p, N: B/ ?
17 p% ^" ^3 [4 c- p( x$ `/ p
24 z! l1 m6 u2 D' v
3
* Z5 ~' Y$ c% l1 }# c/ I$ X. `4
! v9 H4 i  ]2 A2 t/ J8 b51 h6 G  w3 v4 U8 n' s
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
4 h1 B' Z% J9 d7 H; O4、算法入门
7 Z$ O0 o5 k" Z) V) L0 j算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
7 I# t8 p1 N' g# J, c( h% ]+ m/ o( R' @' ^

& P! N6 G. ]5 W! o  [入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
4 k; M( j5 l+ p7 _+ Y% g对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
5 H+ w4 `3 [: `5 H* Z1、枚举
+ j  @4 o+ y: o* e) j枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
! S; ?  W4 h0 `5 T  ?% M! p对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
, Z/ }" r+ u* t5 e1 |. d6 w" H2 O2、排序- \, u& q4 [" V. q/ Y
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
, Z9 M! [' r. _5 ?0 B" s% p# r冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。; ~3 c) A# m8 S+ @% j- }5 ]
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
7 U- I. {) ~& J  l3、模拟6 H) B8 ?9 S$ d( ~- S* K, n
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
& w, R3 o& U4 t" W( z; n7 W不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！* |% P6 ?/ s3 c6 q4 a) X; S
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。% ^' E2 }8 m& a' X1 v( l
4、二分2 z+ d* n- H6 {+ Z0 v2 o; z
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。, _; |! u3 y2 X2 W" n2 _
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
! F4 B! l' |$ L8 D1 d* z: D! N1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
! m2 h  a4 W1 n8 F8 F# w* z  G2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
; }- `9 M0 {. P 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
+ T( @' O% m: N. J* u 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
: \/ |3 f: d' }7 X. i, |2 b, U 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
% @( v2 E- E( q+ W3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
8 K  i. A/ X; m7 s' r- C8 W5、双指针  F1 y; q4 ~/ W% Z1 H1 p5 e
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。) r  w/ ~. P3 ^  b0 I% _

& z3 v0 E% h9 \$ I: x( J* U) B9 F2 R0 Q# H
6、差分法
/ q8 g' P* |0 F) i差分法一般配合前缀和。' E. z8 J0 B; w; ^/ c
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；6 i% H9 [4 C7 G
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg 7 F/ ]3 u" d9 `. k, {) `8 e
x
) D& Z+ ?% v/ _8 D; e# k$ ~6 u
( y, c+ B3 r0 y/ z4 f3 F* P6 q2 _ ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g * \( _( q8 n% s# E9 w# r
r
, a7 ^) Q9 I) i4 \ " u( q0 T4 e/ o; b+ h6 D: a
−g
* Y" F/ c( l, P& ]l−1
5 X& h; c3 ^2 ~0 L& F) T 7 m  p) M' W! C1 R
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
$ V5 \2 M, o4 \, ~0 z; [0 ]r* K6 L5 B1 p, b. K6 B
& ]/ G0 [/ d$ E9 M; k  {
  和 g l − 1 g_{l-1}g 7 T$ w$ y6 ]0 x; J& m
l−13 d( ^2 g0 G( @6 L$ P+ o
& V( O! m& y; {5 M* T
，再相减即可；7 T% G3 S. `  |. U; X2 \

9 M1 N) ^& w' m# t8 [9 C; @7 K% f( \1 T3 x8 A
7、位运算: n7 k  j6 t' M
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
( f& s8 I& F0 g4 B6 H* n; A位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
+ Y5 K7 j: A3 ]- L* m布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
1 D6 r3 }0 }* O( j* R如图所示：* r/ Z9 Z+ \- ^* {, r% ?% M

& ^  n, l" [" T$ C& u
( x. G* O' y# K/ s6 r' m位运算的特点是语句短，但是可以干大事！+ ]. K! ]8 n! o- Q& L
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：- V0 l# }1 O+ X! P7 v3 `5 c- B
!(x & (x - 1))1 E9 s6 O$ r  R7 Y2 e  P; p
12 ?4 Z' I/ l/ G: o/ o7 z2 Z
8、贪心
6 p' {# [+ f3 s9 H贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。( y1 j- t, D/ M8 u7 Z
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
7 W+ ]+ O5 g4 g9、迭代) t7 b% q1 ^0 B% q' @4 x
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
9 x7 {: q' l* B. I# h* P10、分治
5 E! P, u: i0 @分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。/ I9 O1 v: Q, V! f! T+ B$ \
5、算法进阶0 A/ R1 W2 N6 R- e2 i
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。% E% Z. P7 l3 o( H# ~
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。2 J. d8 h1 v$ r2 ?
这个系列主要分为以下几个大块内容：
( K$ _2 ?; p4 | 1）图论. Y. u7 M: O2 e# S
2）动态规划
* s8 T: R: ~0 q7 m4 G% N, R 3）计算几何
: k1 N1 _! r# U( v. Y) y1 ] 4）数论
1 O7 F+ }3 S: \ 5）字符串匹配
6 r( u% \7 T: P( B 6）高级数据结构（课本上学不到的）5 s# J. n5 s, P- k8 u
7）杂项算法
7 k1 o  j- X) k5 x/ m6 ~( \
  x: D* Z) w. U7 u; k2 X2 `" M. C" r" I+ k4 K" H1 F
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：! G, w* U, F/ O$ D

7 v6 i( u, Z0 F7 H$ n- I/ A1 a& G' }8 c0 r

' L$ [0 o) ^1 ^3 p% |! n% v/ F. n8 \, g8 Y8 o7 c; K
1）图论
4 C3 T" F, ~4 }, g1、搜索概览) {8 Q1 b) {7 Q1 Z4 L
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。. O. w& h% Z7 M0 P- g
* N, g" Z- t+ P8 O

2 \+ h4 F; r% C& e比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
$ k: P7 @- R% n1 o2、深度优先搜索/ y/ Y3 i) X+ \2 W& B2 j
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
4 {* g7 m; {* G原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。7 h' d; m; ~9 y  H; P& D8 S8 w. Q
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
4 l, e, T9 N% C6 L- B4 F+ v如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
4 ^: q% e  n  V& I( Q# {) m% S; s; T4 [6 T! w
" i& y7 z2 L( ^
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：3 D8 }0 z& k6 y) |
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
, k6 i2 t1 W- I5 z+ G0 @) b: z1, P4 L& F( c# u+ L; v+ Z/ L; {
同样，搜索的例子还有：: d1 {& ~, c3 p* ^( Y4 c( G, G8 R4 J- ]

  A; i; d/ j! ~4 w7 d& H
3 J) P8 y8 m6 G$ c计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。. ?( f6 `9 M2 B! Q% X
3、记忆化搜索& |0 [2 b( p% z& t
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
  h8 U2 ~! e$ Kf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
+ b. E0 m2 q9 v⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)9 l% \3 _. l5 I8 }7 e4 R3 W# F
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)% Q3 q# V# Y! V" ?  z* D
f(n)= 1 n" ?5 W) C7 T3 w# q
⎩
* Z, z$ F, G$ C' E$ r) \5 b⎪3 x1 O. I# D3 u5 q
⎨
$ h, h+ W3 p' u9 S. D$ G7 y/ G# O; j⎪. H/ i% K/ _5 X- Q7 d$ ^
⎧
$ ^4 ?5 h3 A6 k% m8 _ 0 v' I) O- `8 T% `5 a& A
  + n; a! Z3 {/ W) Q6 O1 a
19 r/ J, q3 a* ~( x
1- E7 u: ~0 ]# O( |: p# e  u1 U
f(n−1)+f(n−2)- ?4 n7 u% Q: J7 {, L
0 u  E. N# U2 d9 j, ?* W0 T! O

( F; R3 v6 g/ Z* E# z(n=0)1 U9 r; h' u6 U, j( `/ o
(n=1)
- X+ p* x/ u+ k(n>2)
; }: W& C: L; n, W2 ^9 n & T, R- a5 f3 P% b7 `2 g) S+ c6 o! ?

/ L+ C& n6 {8 k* l0 q对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
$ b( c" M8 p6 M  h+ U4 D8 S3 t1 G5 e% r6 g' r7 `

. `" u9 s: x$ p& o这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
3 d# R2 D9 B6 w# `我们通过一个动图来感受一下：
) R+ p6 d" \% f( `! F$ w7 W
4 C  ^$ H. y8 O. I. f8 L3 D! D
9 ~9 K8 ^% I4 _6 V( d; {当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。- o" h) T( z6 Y6 Y
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
" `7 c& [. c- A4、广度优先搜索
! F0 Z6 k0 _+ A" {1 f单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。& `9 ?( \0 S3 D7 ~- P" u: t, N
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。! W$ `1 _1 b7 ]. T

: ]+ |$ e. U( _2 }5 q. h/ j* G" L: U
7 h9 Z6 i7 |. c" F/ F* \1 J

3 X1 G) M8 E, Z5 y: _" L从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
& g6 D) `) F' T/ A) ~0 @1 N4 p那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。( V' t: G: I: g; V; T% i# C7 N
这时候，算法和数据结构就完美结合了。% k) K  Y$ Q" P
2）动态规划
! o, ~9 S4 T+ ]; E动态规划算法三要素：, w, s- @5 H+ _+ p+ J& w- u7 P
①所有不同的子问题组成的表；0 A: `( a: \( X+ C  j2 W
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
, y; t( S" P0 ?' o5 `/ Q ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；: t! Y6 Q; F( a; n- H

' z# U5 u' J2 Y! D1 }$ r
3 u  T. l' ~! e  i5 \如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n ' N9 o& X# t( k. p4 M: b
t  \3 a2 P) s- X- o- j- S, O
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
% f# R5 f* C* W6 L% m' we+ }1 r) f, f' [* V/ m+ U& d
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。  g% X$ q% s" Z/ k/ D6 f
1、1D/1D
" L; H+ L! [0 @8 U* S$ Jd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
/ F; |6 g; T) l9 ?d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
+ b- u& D8 }. X3 ~状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：, a. o% e! t& f: Y9 U: c
" u) p% A. m  e$ B7 e1 L4 v

; ~6 i* a+ g4 s/ o+ I6 N7 B: z这类状态转移方程一般出现在线性模型中。3 F+ G8 B6 g* r% f- ?
2、2D/0D
7 u! M! Q- f# F" r& ^0 j# h% R% K# cd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )3 e' ?' H. A4 J2 D; K; Y
d[j]=opt(d[i−1][j]+x ! G3 R0 R6 W/ e7 k/ ]
i
0 f, O4 r1 w4 ] : R8 l: ]* `' E4 i
,d[j−1]+y
" ~, e: m9 Z2 p% Rj
& q5 M1 |" P  A9 n/ s; L& j2 W
! b' j8 M6 B. o! h3 t: ~/ z ,d[i−1][j−1]+z 3 H1 t  t( W5 H4 i1 c8 \) @9 g
ij
2 \, r: W2 C! K3 q1 ?& T
( f% [& r: Q  N )
" y3 T, H6 h4 [" f6 ^* p( @状态转移如图四所示：2 [' d7 }+ s* l6 d9 H  C1 b
' {3 ~0 i% ~8 ~8 ]" Q

, N0 F0 D0 K, x+ V, J2 B比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。/ S: `% o4 n& ?: ?6 D
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列1 V4 V. y& f5 \' C1 x6 L- r
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
9 y. H* o8 W* _3、2D/1D4 H8 C' R! Z. ~
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )6 _/ H! A2 D* p4 \
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])" d1 }2 L: J% A& B# N' \  \7 ]0 ~
区间模型常用方程，如图所示：7 M% A7 |& d! V9 U4 w3 N5 ^

2 w/ v- W. b5 m/ E5 l; N8 S, v
' |5 ]3 Q3 ?+ ~- L" P另外一种常用的 2D/1D 的方程为：2 c: d1 U5 t  W
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
7 S( r/ {8 R' x- dd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)9 [0 |. w/ M9 F2 W: R5 d6 r. z
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP% l4 |1 B1 g" ~: b6 p, _
4、2D/2D
% _7 d6 m2 l$ p9 V. v6 k2 Jd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
: v+ b4 C- G) Ud[j]=opt(d[i
/ ]- n5 b$ Z+ D. ~5 o% y′
3 F$ a. d# j/ g. |$ Q- K. o ][j
/ j( s5 A$ @" W+ m9 L′7 D! h3 y3 O+ N* {" Q0 Y
]+w(i 5 b. x0 m2 e2 X) U3 u1 ?" z
′$ P% i  `1 }- Y" \/ S
,j / Z  p4 ]- K/ k) O
′! Y% g+ o8 D  G
,i,j)∣0<=i . O: q; E; B3 U5 N: Q0 {0 o
′1 q; Q4 D. ]/ |' E5 y
<i,0<=j 5 b, s8 k. w' O* n; L- K
′
/ |. z+ S( q/ p6 e5 y <j)
3 x- u% d8 I- e# X如图所示：" d, G, }- P/ M! T8 x

6 K' b% L9 l2 L* |( R7 P
, i: I( y! x1 a; m常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
& W! E+ i. ]) n对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n 7 n% ?2 v; {' [' ~
t+e# T( ?( E0 T. Y, c. o
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
& w: L% G' a; r  ?: It  K$ [. x5 L8 N6 p& I
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。) D( S" c: V, ^
3）计算几何
8 p: W$ B/ Y. U; S+ o$ K3 Z计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
- \8 w: ?5 z0 U5 H; G+ _. V0 D如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
6 [) {' p0 e% @+ H* b1、double 代替 float
6 I5 S2 R- \5 C9 C( `c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；9 c+ _$ x/ O  l! M) z3 J. X) a
2、浮点数判定
; M0 z( H0 [$ H4 a由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
& }& H: X$ h( F+ f两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
4 p4 c2 [# m5 b( Aconst double eps = 1e-8;
; Y% K; G& Q. ]. r7 Xbool EQ(double a, double b) {
" U; k) F3 y" y return fabs(a - b) < eps;* e) P6 P0 e9 D: s+ R, D
}
% n4 w9 l; y4 L/ A6 D1
+ i: {9 E. }0 }$ Z4 f9 ^  p" m7 c2
) E. x) ^+ k) @! R! n1 B8 Y33 a- q7 N  N- Z! d
4% Q5 \: u7 D+ L$ _4 P5 S
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
- \, s2 o, @, b- d0 _" S$ ~int threeValue(double d) {
% x* F" u& {6 C0 c) ^& T+ k& l1 u if (fabs(d) < eps)
: k  O1 M! B# Z8 x  N       return 0;
. Y; q3 z6 z& ^4 O0 C return d > 0 ? 1 : -1;2 @9 c. |; d# N4 ?2 Y' {
}
1 q* v. y( Z" z* V- S; d1. w8 L) n7 I2 e. O1 c: K! p( h
2
4 E8 ?* H, O: V  u* n3
+ v$ s0 t1 _. u$ |) ^& q0 ]4$ S  `! T  q6 F1 `1 }/ U
50 n- L' ?- ?* Y: Y6 `
3、负零判定/ F! M/ A/ s1 P; R! t
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：5 @) p' ?! n# c
double v = -0.0000000001;/ ?$ K' E% i* @, X7 x! H
printf("%.2lf\n", v);% G5 m: M0 r/ P( L8 d
16 f' |6 e1 V% _5 I5 t5 U
2/ m; G, X9 _- S: ^& S
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：- h# f7 [: {5 C; X
double v = -0.0000000001;1 q% J5 @/ M- E4 h$ A2 F: z+ b
if(threeValue(v) == 0) {% B' g8 p3 T3 v# |; B
      v = fabs(v);  M) D5 y- y, r9 {" h5 }4 p
}
4 ^! p1 S0 b; U& k3 n" ?% V printf("%.2lf\n", v);
9 T% Z( L  _4 N7 r1
2 X" X+ D! Q! M8 s" j1 N2
" x- y$ z5 W4 B3 u3- U$ z8 @& J/ C; Z' m2 ]
4: q& \! M" r# }, F: H
5
, S1 w4 Q/ s( e% D0 `  R0 T4、避免三角函数、对数、开方、除法等; N" S% V4 ~3 u6 {, s0 a
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
$ `# x4 @3 i' g除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
2 k) o  T- A' g7 x! Z5、系统性的学习
" W( i4 n- ^) G7 U基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；. l2 q0 S# S. u9 n3 w' n
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
# P/ h4 J4 A! ?. B相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。$ R5 x4 n: j6 o
/ v1 d( \+ {2 g5 A/ Q9 [

, V7 r8 q0 T  t& G$ F0 D* m学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
) g2 N+ R3 l+ H8 e% D# Q0 A9 V! N4）数论
7 j' J! J, K+ z, K0 Q6 q刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！; a9 K2 w, G$ u8 W* w
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。4 e, p7 K; Z$ N. o) B
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。( {. Z7 Y, P; R4 L; z' K
1、数论入门6 O. _9 m5 R4 s8 ^9 w( {
主要是一些基本概念，诸如：3 n$ s: C- B) q$ d+ _7 M
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
# U; x# n) v" ?2、数论四大定理
( [  W: p' Y: a4 F' K$ v3 ^这四个定理学完，可以KO很多题：! _- f, }9 W/ R& g( U& b
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理! N: _/ }2 Z$ _3 o
3、数论进阶
# p* u: u* n6 l: |系统性的学习，基本也就这些内容了：& N" J& t. W- N1 K/ I( S
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
" ~. z4 }/ Z% _, ^5）字符串匹配
4 _9 x7 O2 E5 [# h& d: h$ {字符串匹配学习路线比较明确。3 `( [' [8 [' g2 U# b6 i
先学习前缀匹配：字典树。
* y2 J4 z& I4 i, y- ?# K6 a然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
% I! i2 ?1 o( E& F% D0 k3 v4 U  B以及经典的单字符串匹配算法：KMP。+ E' l: C+ S! O
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。* c5 {9 k- y! E0 T' K' I
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
3 W  c9 x* c0 F关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
  z4 f, e- ?5 |  U3 l) x8 _) E如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。+ r9 w/ e2 ^' D  `4 k) t. l6 R: B
参考资料1 [  @5 T$ Q* Q5 X
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
& U& c0 j" ?: b4 {. W# \: W【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）2 [/ M. o, Q! a) h( l2 b
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）6 ]: g2 ~6 h6 b/ I& z- m& q
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
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