查看: 4410|回复: 1

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

字体大小: 正常放大

杨利霞

5273 主题	82 听众	17万积分

TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |正序浏览

|招呼Ta 关注Ta

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。/ `4 G/ m6 g! q9 u7 N" Y. }# I; ~
边的结构体声明如下：5 S# z4 G9 \6 y; j2 L9 R% M
struct Edge {4 j" ^, n, T: b% Q/ S8 \9 G! R0 g8 S* E
int u, v, w, next;/ k4 ?4 ]* f% W2 p
Edge() {}
. ]( {/ S8 i- \5 d' d6 z Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
! ]5 e) y7 ]6 ~! R9 `. v. u  [# D       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
# l4 Z' X- x; h; g. C6 a' N0 Z! g {
: M/ H# M8 o; H }: ?/ k/ x7 |& P& g8 g  P. u
}edge[maxm];; \; Y( |/ _3 C3 z0 D. r) X; F! {
1
/ }' F9 q' G' J1 ]; b0 L. g6 r, W6 f2
8 @+ W1 O9 D1 c5 ?3
2 W9 C, o$ V. O% D  D4  k: x3 R# \  n" G& ?' _
5& _- e; N+ Q) o( C6 A8 L
6
$ ^% |0 T) ~5 E8 O2 E+ K0 L7 m7( H8 i  q! }- o1 f0 {2 p- R
8
( n8 A! W0 f! |( p1 ]& k初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
( H( }" }2 u3 H9 H* P# v每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
" c4 f7 e7 [9 Q: e" J6 z  ~- _* p2 gvoid addEdge(int u, int v, int w) {
% p2 f. r+ j# g$ G9 Q5 Y. N+ o edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);" w( ], i0 ^8 F, \) `
head = edgeCount++;
4 x( b" v  _) p; A6 C}
8 R4 n: I# @2 o$ e4 k! @  S19 K$ I; F' m9 j1 W8 _
2
0 N1 l0 N; e3 u3. y2 y9 D0 k  B3 G. |! c1 a
4" l( a( B  S& w' I
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
2 w5 d9 J! _! e9 @8 j调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。, E1 `- l8 }0 j( u
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {  W3 |9 @1 |1 y9 T/ _( \
int v = edges[e].v;! [' N- W/ N9 p3 r/ o
ValueType w = edges[e].w;
: @5 D) [8 f' F! O ...
# r/ ^1 @6 S! u2 o}; B1 t, d- k0 t# M
1
! e9 y4 `$ n( S! K) r2' ^! t. f# B6 s) d& s! l- d+ M6 m
3
  T1 c' H0 m' x4 N  }# P2 t( r4
4 u& K& G3 f; |) P& B2 u6 W56 M: E) K* J- V! m
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。- a  ]+ a: p$ r1 w7 _$ M: U
4、算法入门- J+ o; ^, Q! Q# B' Y5 Y  w  h
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
8 C  `+ V; X% p- x9 [) h% Y
5 E3 l0 c: z2 [. l5 ~. [
- N7 J( E2 l+ H; x) ?入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
. [0 p  T/ c1 \# ~5 J' N% c* Y对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。, M5 I2 Z2 i% I
1、枚举
/ t1 r3 B: h& ^8 }* H( [7 y6 c4 ~枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。* v7 F+ B. Y9 W4 @
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。: h  v# Y7 ?5 Q# B3 H: ]: J
2、排序
- Q8 J: ]5 U; r& A6 R' ~3 K5 I既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。7 |: T, u$ s+ m5 G
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
' l% J3 E% u, b) ~, BC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
1 d9 M. ?" E1 q5 s  q9 D/ ?. u3、模拟0 l( H; J9 Q+ Q" T) B
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
3 d* V( A& G# c, |; l) f/ o7 ?1 a* r不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！" y7 ~' L- @! T- ]
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
0 v3 |( T6 A7 ^4 I4、二分
$ B+ y& P: J+ v: ^6 @二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。$ n: n! W; m8 B% ^
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
  \- M, ]) v5 q' X. u- B1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；6 x( c! r$ f) x5 y& U
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：7 {4 a2 _9 D, J8 d
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；! |4 {5 e/ a- v% K
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
( V, C1 {2 q- \) l) s1 z' ?6 A 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
/ K& X) Z: ]9 d* k* l$ Z8 _0 k3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
! o! R8 Y3 `$ y# f, i, |. k5、双指针) J5 g0 s& A) s+ q4 j
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
( G, i8 d, F! ^7 W! @( p
7 D4 l* F9 Q- u; r- i6 u( X+ g
3 x; X0 K; m% y& X5 x7 x+ R6、差分法
) v5 ~1 \; L/ p8 a" e差分法一般配合前缀和。
' o# X- C1 C0 `对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
% n4 Y+ r/ D0 G: ^9 i' Y假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg + N  |$ V1 z) k% `
x
/ r4 P" _! L  Y- M6 G
5 e2 x% i1 k( _) G8 e ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
+ r/ ?& L0 I, D% fr
# ]: m7 j0 b9 S1 [% }
: s, j$ v; X( \, Q −g 4 X4 Q! x' q( X% I1 V# |3 b0 H2 n4 ^  |
l−15 z2 p4 C) ~( ^1 k$ Y: I
5 p0 l2 |: L0 B7 F( h. r
；分别用同样的方法求出 g r g_rg * u- H* A2 ]3 a2 R# R7 G- u2 D
r
6 v1 z' m6 c; F3 _0 ~ . c2 |9 _. x/ t. y- x6 J0 m5 [" C
  和 g l − 1 g_{l-1}g
7 i6 d7 g! R) zl−1
6 T: ]  a# v; ~' Z: P* G $ h! _* J" y- z2 H( X" N
，再相减即可；( T/ k( J9 O  Q' E# L0 H% {+ l9 p
' ~% V3 h- D: ~
$ S6 n8 C6 v1 G& l6 @/ \
7、位运算* b9 H( x- I6 N0 w% X
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
, R  U; C0 k1 ^7 |+ Y& V. g位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
$ D/ x) t; [+ v' O布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。7 |8 P8 Z) h4 q6 B; z& D9 d
如图所示：
- H3 h, ^7 \) H# p5 v" x. V9 @; e! _* Z

& A, U  K& ^5 ~0 ?7 b/ K位运算的特点是语句短，但是可以干大事！- i1 _: g& I6 l5 e( g0 ?6 ^" ]
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：0 T- D! x  u- L& k% ^: m
!(x & (x - 1))- W5 a' s; d) f' Q% b6 a
1
0 W" q5 m1 n; F$ t1 V1 r& V2 a8、贪心
6 z" ]9 {" u4 {4 n3 @贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。7 |6 H1 o1 I! W! X4 ~- D
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。4 }& _0 d0 N- Z  z* |5 m" J
9、迭代
8 D+ P  w6 _% ]( d" ?7 T: r每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。( o  {, j6 n& l  q2 o6 E: o5 n$ G* Q. J
10、分治' X& \- z& \/ X( U
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。" C3 l5 I( \7 `! s- [
5、算法进阶
- U! H+ Z2 h) a6 \- \算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。2 _% v% i7 S: m+ ^; Y* Y$ b
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。  u! Q6 y/ D" n& D' v' ?: |) ^
这个系列主要分为以下几个大块内容：& i( g! K, G, O* H' A2 }/ p+ a
1）图论
+ m- T' l6 v2 ~, }7 i8 ]3 i 2）动态规划& j" q0 X7 X4 z! T' K8 N( ?/ r
3）计算几何
9 k! ~0 H) F  ^* q* j1 B 4）数论$ G6 A; }/ B- `
5）字符串匹配
1 _8 V+ `! I; N 6）高级数据结构（课本上学不到的）
+ m, a, v6 `( f  [% B& V; C 7）杂项算法) s8 n0 \) Y, Q* m# ]6 Y
' V' s4 o& C/ Y9 t
& A8 k% \0 `/ @% E! W) ]
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
- s: e; f- q3 D2 W% b  J9 v) U4 a& L. M

5 Y4 L3 i  D# I6 Z9 J1 V$ V
5 W. C, x$ Y- _. V0 [
% L3 ]( S& N' X1）图论
: G/ G4 x$ J$ t3 `) w6 R0 }1、搜索概览) \+ Q6 X0 U/ n, L; M4 u( j
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。0 X2 K: E* c& K4 C4 t* r. h1 m
6 P  Y% T/ S+ k4 y/ @
: U: a2 x( K8 Z, H: L# L) v9 Y
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
: c- m2 Z3 P$ [2、深度优先搜索7 I) ?9 K1 j! m: B. X0 a. g
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；1 u* J% _2 w" z9 M0 ^4 g: c- C1 H
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。8 w; k) i! y6 |
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。( |; M1 |, K: m& i
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
8 O2 |: u/ Z5 b, `6 f
# U. r- G' h; H7 d. E4 n; c
! X- P* x, e: h  \, W2 z红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
' {/ F6 u9 g" ] 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6; Y) h6 q0 X8 b" o
16 t. j" E' Y* {. i7 z- i  f
同样，搜索的例子还有：: m/ P, K7 Q# |- q" \- Q8 _
" z/ B& \5 ~# G
+ @# [$ O4 h0 x) W9 L% E6 k7 h# q
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
0 m6 O: x6 M/ T6 L( e9 y# @- _* Z3、记忆化搜索
+ N- o# b! D6 ^* N对于斐波那契函数的求解，如下所示：+ \) _( o: t# C# o
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
; i1 v2 f' n( \$ B( Q3 b; A! ]' Y⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)2 I4 ^5 g) U- g; T
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
. N  g, a; d( l! W6 |- gf(n)= 5 |9 W/ a: E  t5 [
⎩
) h+ ?% F* e1 l⎪0 _6 W$ c# N9 u) @
⎨* ~/ o$ {6 _3 [8 d% }/ _! c- p
⎪( ]) Z6 M1 T  y0 f# M
⎧# h) L! K+ N; l
5 J3 N/ q1 ^1 R/ W) B; w# I
  1 `4 G/ s0 x8 ]  _) r: E
1
# u0 l, J# g& }1
' ^! {+ k! B+ X* q" E9 z6 H; g/ p$ |f(n−1)+f(n−2)
8 Z  `% }3 m4 H% K; ?- i
. u7 a, p( ]/ x
* F: F1 F, S3 d" s; M: n6 H(n=0)
0 m2 \* c+ R& Q0 p" c$ z0 I8 m0 X(n=1)6 h2 Q$ q. C5 r7 c8 o# e
(n>2)
* w( ^2 {. v8 R% \9 |! C; V
) `# r, P3 b0 U, ^  }, C
! T. m1 c. F) S( h5 B对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
, k+ g. w$ M# s
) M/ B- l$ g! J. ?6 \' z
' f, D) y4 }% _- F: k5 j, V这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
1 ~  m. q' H; I1 M4 \% ]" ]我们通过一个动图来感受一下：. v+ ]$ O) m) A9 s/ Q

% b, b, Y& d" Z/ u4 F7 o
7 {( A, u. q" e0 U, r: W当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
' f3 B( I, t) a' J% o, }0 J2 z这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
' g$ `. |( M  a& K7 b, k+ T4、广度优先搜索
- h3 t, s1 c$ \5 }% t单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。2 m  m: ?+ ?0 |/ |8 \
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
+ C; Z& n- U8 V* C) Y) e5 p
& U) H" ^1 c3 L2 [# c: O3 R/ ]; v
8 N9 M) b% n5 w. O3 _6 q
3 `7 d( Y* j+ W) f1 b6 S1 A; r  b/ m4 f1 a, B. W5 e) R  k
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。* U6 [& X! l2 H5 P
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
6 {9 w! ~, ~* n- L7 |. @- |这时候，算法和数据结构就完美结合了。
9 e" `1 [7 l: }( h; `* R3 @+ A2）动态规划  U; G! |$ L; W0 ]
动态规划算法三要素：1 ]8 \( c/ g# |$ m+ T
①所有不同的子问题组成的表；
7 L( ~" i% ]! W* y) M' A3 F: | ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；5 q. V3 M: ~/ _5 _2 _4 ^
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
3 b: R* F/ y( [$ S' w$ C& P2 k% m
% V$ Z) }6 Z# ?4 i
0 f4 Q, S0 S) Z+ B5 O2 i如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
5 j7 N3 Z- v) T% Q$ T- W+ Ct
0 {1 ~  B5 T0 s. d+ X) T )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
, ^4 X" f* A" m' o! g: Fe. W! g( h1 N9 D: k
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
$ `2 r1 Z7 Y0 r$ w# O1 Y  N0 a1、1D/1D
. t/ q0 S+ R* t; g6 g, p& n4 T3 Wd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
! \4 g7 C# M7 x8 ^5 ^# vd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
: ^" @6 n% P5 F# i: X) z状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：; E& e* I! P% b2 E& S/ [& d5 F+ }6 F

9 o+ V, S+ _  ^- m% Y' B5 m: ]' R. f5 ~5 P; P: l# L/ M1 {9 M8 V4 _- z
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
7 q# v) _+ p  r7 z4 @4 f/ Y2、2D/0D4 i* Y7 g) a% q7 @* t6 M# p
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} ): d# ?: F/ Z: \0 y- F
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 0 A7 b4 k- y. l( ^6 H  ], U/ n
i4 _$ `$ A; g; A: M2 o; C

! z: ?' r6 z4 J ,d[j−1]+y
5 j% P+ e+ L* mj
) S8 R, l% c( l8 l8 ^+ t5 `3 a; |   G* |0 g. z* B5 u$ k
,d[i−1][j−1]+z
; N5 h4 W( }6 V, @ij
7 ^8 r3 k+ ]; a7 G2 Z
/ ~+ p% T! X' }$ w! ~  R. X! C& h )
" q3 n3 t  }: a. K状态转移如图四所示：
8 T% s" g* a5 z# R5 E+ [& T/ o6 y) r) d% L$ M

' J# S# T. Z% O9 f: G5 k: w  I# h- S比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
6 U+ a: s: s- Y2 L6 N2 J有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列3 T/ g. g2 q3 h' v4 U
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离9 E' V6 P$ Q+ s: k7 ?. K- G. j
3、2D/1D4 @7 X6 J5 u8 W3 q% l' s% y
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )* g! @, K+ ?* t5 c
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
/ D# i1 l4 z6 k' Z) `) l( \区间模型常用方程，如图所示：
- M7 i# y' d+ X% V
4 n6 `8 o( B  N3 m; g4 ^! p0 D
7 }4 J: G. z8 [: x另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
# x7 |8 A0 h9 ~$ A! s' t4 [5 nd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )! L2 T, m5 I# ]- v& O3 N* Z0 e0 K
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
( W, m/ d& S% w* f区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
& z2 d4 ?; h! O( H$ e0 l' T6 q4、2D/2D# ~( i# }& p/ q4 ^
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
8 I. C- b4 G2 gd[j]=opt(d[i
% @6 H7 L' k, ?. G′1 ?7 q8 s* ^! f3 {
][j 9 j5 G4 }& u( h  w! t" D: `4 S
′
; K( c5 s6 j* L6 }3 A" O: H: F ]+w(i
, G0 [7 {& M% {/ f, d& {′
( j* J" @/ e/ ^) |) X ,j 0 W; P  s3 M: Y- v
′9 S/ [( ?3 B6 ?) E" T( f4 O, [
,i,j)∣0<=i $ |# b: V4 |' v; \# c* l
′
. B1 K6 C6 K2 i' @( s <i,0<=j + ?6 P- ^2 z7 @! x1 E! ~
′( C- E: s5 j# V( Z5 P, K  `7 |
<j)/ k4 A" }3 A* T; S, B" S: u& l
如图所示：9 k& Q3 w# f; s. n5 x1 W

7 p: E8 g% l6 ]3 f- j: ^
% O( z# Z: C2 O- _/ s/ `# c% l常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
- A; P4 [" \2 ^. W6 [# y: t对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
' y$ R  B. U# N7 ^( qt+e& }3 Q+ Z+ l3 S( K! q  d& G
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n ' l- H  Y' |4 c/ I
t3 E5 w* c6 ~* M, }  \
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。6 B1 _5 D: T% O, z
3）计算几何
; r# q. a' l. z# b$ a计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。0 B; G: s& H/ b
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
" f* @5 P0 W3 q1、double 代替 float
. [4 D& l" G: i/ m) Kc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；# `1 T7 m2 Z+ U2 ]) o
2、浮点数判定3 T7 _' g, p' X! P) j
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
. s. n; _" s3 E0 q0 |9 O两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
6 {. Y) T% P0 h8 Q  Lconst double eps = 1e-8;( p9 H% ?0 [5 |  n
bool EQ(double a, double b) {& s, a: V- A: q7 B; H
return fabs(a - b) < eps;+ [: Y- Y9 ~6 V2 P& j# K4 t
}
! B" _7 b2 l7 O: W11 d4 b  y) L6 o
2
& Z# z0 K/ l1 A; D3) a! O: ^7 P. U
4  B8 B' u, ~3 t: H3 E: R6 v7 n" Z
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：& R! s; ]: X0 ^4 Y+ V, p. Z6 }
int threeValue(double d) {
1 h$ d6 {. C! E# F& V: T/ a2 m if (fabs(d) < eps)  I4 Y, X7 G7 n) c3 v; j
      return 0;+ {  X# z; |% v, y; h
return d > 0 ? 1 : -1;6 G* t& @6 n/ _- Z2 V( s$ h
}
/ C: J* ]* `0 Z# q$ `1
. `. ~  c9 m6 Q2
# K& c% c: C, ^2 M+ A. ~( X3
. k$ x( Q9 c& g. n% ], Q4  F+ y1 K4 Y& W0 Q" x: C1 K
5
9 q( v. V; F9 t( i" B4 g: T3、负零判定
! X# b8 J+ K9 M5 ?/ p因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：8 v" c: K% m( h7 l$ V
double v = -0.0000000001;
# J0 L- m6 A8 q# l6 O% D7 `  R printf("%.2lf\n", v);, L0 K: Z& C( l) `
1
; d2 E* n( J+ I" f% m2
4 A: {: f0 l, ?1 W+ o! ^+ j避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
2 w3 V1 a3 \& `$ |3 T' Y double v = -0.0000000001;9 K- N' [8 S1 R. k7 d
if(threeValue(v) == 0) {
7 \- o, Q' g1 s- ?* C$ w+ [% o       v = fabs(v);
! a7 x+ v. y- h! X1 K2 `' I+ E }% D3 r) O% @8 V9 E7 c
printf("%.2lf\n", v);2 z, @& I4 F3 d, M1 U! w7 p: j4 ]* H
13 d. e9 y. m$ a$ `
2+ ?$ T0 I) m5 {& a
38 k, J! ?& a3 p0 T) h
4& C1 g( G( V) h# L8 T
5
1 N/ Q" [8 i' h) U; ^+ z: t4 \0 ~4、避免三角函数、对数、开方、除法等0 H% l: a9 ~- ]! q
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
- f  ~. H6 i) V7 K除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
  K9 A6 m6 ]7 j# a2 r5、系统性的学习* q( H5 t7 P& m  J. o: s) H* w$ a
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；- v* T; @6 z8 k: a
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；. I1 i" _- F/ e  u
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
" ?! J* o* [3 x- `& n& T  _! N3 [
( `* p/ E- a3 M/ ~1 ]6 B+ x% c; |  n  m9 b4 }; ~
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
. t5 q% O  g4 D$ ^* Y1 O) o  e4）数论7 c8 b& W4 W) ?
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
7 s- X  {0 O& t2 G$ k9 E数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
& Q* k; A7 I; F  W) y当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。) |2 e% J. Q8 @7 _
1、数论入门- q# z& M% C( }7 X& H& ?$ \; s
主要是一些基本概念，诸如：
( N' q% g$ o2 Q整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；- k6 l) f0 u$ m, i! V+ L+ E" J
2、数论四大定理
3 `- w# T7 o. c5 n0 p这四个定理学完，可以KO很多题：3 b' v3 O+ ^4 C
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理; o! S& C: _$ t7 @$ R: I
3、数论进阶
" o" p9 P% X" c系统性的学习，基本也就这些内容了：
# K7 g: a% e+ N- Z+ n2 w扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。7 ~$ }! t6 w) t/ u1 f. ]& ], h# h
5）字符串匹配
4 ?5 U/ v7 l. U字符串匹配学习路线比较明确。
- i5 e% \) D" j+ z3 q先学习前缀匹配：字典树。
7 R' c' g) R" `然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。# ~" W1 P6 H7 I6 i: `2 P
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
8 c9 m: A. ^7 ^) @5 T1 |9 e9 l实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
& l2 h2 ?5 F- z" }6 l然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
9 i0 N5 z: R( t+ \. [7 L# V关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
; W6 Z, r; z  M8 T1 q5 F. e如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。$ _! R2 |3 \8 @, `6 Q  Q$ k
参考资料
" x4 f# u+ I8 P# K% D4 |! G【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
) g" R: ]% H2 a9 E7 s' \【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
9 c: @$ R. B* A5 x3 H【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）0 Z+ y/ D. w9 P+ R2 h/ d2 b1 _
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）; l: p, q% S+ L" y9 k1 M' }+ j$ @) I
————————————————
1 f' ?! C! m3 i2 a: ^) ^版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。5 z% e* @8 O! F
原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/1183822283 A9 A' {& v( Q* R( V! o
) I: H! V( ~9 Q. O! Y. f, u5 m5 q; u

2 _/ _, V) R7 L