查看: 4452|回复: 1

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

字体大小: 正常放大

杨利霞

5273 主题	82 听众	17万积分

TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |正序浏览

|招呼Ta 关注Ta

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。) A- I- m: I* S3 h; H- h* v
边的结构体声明如下：: V3 d3 w# e* }3 o
struct Edge {& ?5 w- T- _7 _6 j* E0 I
int u, v, w, next;
2 U  p& j  C4 d  k9 ]3 ]* J6 b6 K Edge() {}
( N% U  x8 m# ?% j: B) v Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
; `/ m& h& n9 M) C7 Q7 X; \       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) - `# R/ f% g- o1 H: A" @
{1 G9 d7 O  t+ J0 K3 W; z6 L
}
3 o9 T7 B1 j( d/ z% q. P6 ]}edge[maxm];$ m# O) P0 n2 ?2 e  m
1
9 N5 d6 d5 e) f- n, g- I* {2- m* ?; V2 p# i, G- v9 O( _
3
3 @1 f( P* k* q" `; O" N6 c/ }4( x1 t0 E1 y* X4 W4 d
5
$ ~0 ^1 J  L4 p4 L$ T/ C3 ^' J/ u: k6: c4 F% c, o. N. a1 M0 P
7
0 Y; R/ ]- P6 y% {8
1 \' O0 ?+ r6 N( c( U2 S  E初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；3 ]) G5 w4 F, E3 a1 P( i  l
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：* t& J- e6 M9 O* [: b
void addEdge(int u, int v, int w) {: o9 m' R) |- d0 Y8 C
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);" {8 R) L: f2 L/ @5 R
head = edgeCount++;* ^. V0 t" D3 E
}
- V+ Y+ R1 E4 f1 E1" N8 D6 l! k" {5 }
2
1 w' `/ T, g' b  u2 _3
) p; ^- D) j6 R. l& H. }4 F41 l# t" J1 j: N
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
$ q5 t) _4 i) k& m调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
* p2 p; r; b  Q) u$ w5 T0 A$ K% Nfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
4 U8 p" w; B4 ?( ~+ U int v = edges[e].v;
: v0 U2 {% G3 }  p- r6 ^$ Z ValueType w = edges[e].w;
; K: w3 x; u  x, S0 R$ a$ ^* ^ ...
0 _- l4 B( P. a9 Q# Z8 ~+ I}
3 B/ ?8 J  }: S( ^- C; T5 o14 G  T& m) Q! n) z# s
2
( y! E/ H+ |: R( b3% ~4 a2 K$ N- H1 J
4
/ a$ O6 r/ I  N7 _4 l$ l5+ G7 O: \1 \' Y: z4 a& c& p
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
+ Y6 I9 U" O; T  v' ]  g! V4、算法入门
; H9 I+ X2 K" a& X% Y" I算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。- ~/ O7 u' w+ B- R% W. c) B

. T  Y3 A- c* U6 ]5 C# F& i0 |- a5 B# i, q9 C
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。, ~5 Q# _9 \. \3 P9 ?! ?0 B" v* I
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
  ~7 i. ?: T# _) p4 b( Y, v  v1、枚举# r" D( P/ l- e
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
! E* K4 I( i! U* ^# G6 G+ ~对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。+ e8 Y8 {- K7 x* C
2、排序7 o3 j1 C# K' r+ b2 y
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
' Q7 ^$ o2 n1 {+ d, n冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。- o5 Y0 h1 }+ j
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。8 ]# M0 O! W- L5 Q/ w% X
3、模拟
- t2 g1 ~7 V$ @' q2 X* l0 P1 U, `/ @模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。+ R$ O( N! L- A" ?# I
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
# {2 q* x; {' {1 L但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
! q3 m( O: b4 L8 o4、二分# x7 ?6 w' x, o! R
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。) b% ^8 F( _, h: X; ?) }* l& e1 T1 o1 ^  S
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
% n/ Z" j& I4 R* I8 E, ^# E1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；4 ~0 D3 r* l& Z$ Y
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
! N- _* m/ Z. r 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；: U& F0 p' X1 _5 ?- A( R4 E
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；: `& |4 h" i  b" M, c* c4 W" Q
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；# N" y# Z, M3 |4 \
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
( t3 x  G! s3 j+ I5、双指针  v* |) ^& X5 j5 }7 o1 P1 a
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
( ^. p% V7 S" X% J) s/ H* Q( t% U2 T
/ h$ {9 r4 E/ Q/ n9 u1 u) H, s6 [6 H" q5 Y5 T* ~: `
6、差分法# x! [  `7 @  [# \& o: v$ P; U
差分法一般配合前缀和。# c2 L8 K2 @* S
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；9 m9 V1 _+ W% G0 a: Z% J' r
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
9 m" c, w( V( Z5 d0 v0 Sx
/ i( ^* n& z3 c5 z( d 8 y8 Q* Q+ X  U# V
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
5 ^0 @+ T1 _, J+ p  fr* C! G9 K( D+ h; Y9 K
$ g4 ~+ f4 c$ Z' q
−g
) l9 _! ?1 @0 F; b8 P7 \l−1
- [& D; e! v) J9 d7 S! L $ f  Q) h8 {* [0 c9 Q8 T3 V* P
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
6 d4 R) C1 P1 D9 k/ [r
, a7 D' O+ s2 D" c2 Z6 J $ A8 T% {$ w! g) k
  和 g l − 1 g_{l-1}g 4 q8 G( W, J3 A* g
l−1
4 C+ K0 c# f& m4 D" W3 } 0 l, [* {; t( t% F0 t. d
，再相减即可；# z2 P* T( C; V7 }0 i

1 e# ^$ ~+ h. r  S5 [# e  g9 Z8 g8 K& h4 i
7、位运算1 E0 l9 B; Z" S. ?1 s
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
) T$ q/ k2 D* ^$ v位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。4 q* {# _5 M2 h( f) o- G8 k: s* V
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
6 s! Z; a' v# f3 s9 x0 b如图所示：
, J# ^/ q3 _: ^) n; m. |' X& H3 w3 a
: g: I$ }' c0 X. z# z4 r
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！' j) M# N3 s1 T, g. u5 V. `* S, @! ]
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
6 \/ p1 {: ]- Z! W# x# A% W!(x & (x - 1))
' Z9 e6 ^# a) w5 f- i& {1
, ]: S7 r) K7 R$ E8、贪心
$ r' |$ _1 F7 g* l贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
: P, q$ w1 U4 w" z所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
5 O, G) I  O( M/ M8 z6 x4 {5 Z* R9、迭代$ u' o, J+ W( U8 y4 _1 k9 {
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。+ k  n+ z; e/ E+ u8 P& j+ e2 V
10、分治
  A2 }2 A5 N. |; I- }5 G6 b分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。* Z: Z5 M& z; I- U% @. }( c
5、算法进阶
  _) s, }/ C/ B* A, Q- f算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。- i/ L9 Y$ r3 I) g# \
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。% J7 U1 k) ?& F$ s$ p% J1 K6 {
这个系列主要分为以下几个大块内容：
/ y2 A6 I" j4 |. r! `& n 1）图论/ {+ t" Q0 B. I0 R4 T
2）动态规划# e7 p" ^( U; `  A
3）计算几何3 Q& O+ }* Z3 C
4）数论
+ n" z4 ^* Q4 V: B8 P1 A 5）字符串匹配
# f& v. V9 k$ G% S: `  Z 6）高级数据结构（课本上学不到的）% M- j9 U$ T% H& @
7）杂项算法
0 }1 N; H+ e/ t! Q
* \3 V. [; D& r* q; c
/ ^" j% Z4 p) e先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：' O+ A" W# k; }$ l( M7 }+ |8 w

% ~3 E# X) y0 Q. [4 c- v8 b
+ V0 u( E6 ~3 G) ]* j: L# |# S6 _0 x+ i/ v1 ^1 X6 b9 j+ I. }; }7 V

0 Q! Z* W0 C" f1）图论, d2 B9 F5 J+ a% I+ E2 b& k. L
1、搜索概览- E, z1 F8 b& V% ?% U& p/ m& B
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。2 e8 V1 P8 b5 F+ K8 k6 X& S- p; w$ P; F

( B5 E. [" B9 P% t4 D- [& t. M- d
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。/ X% G' D; q1 B5 ]0 q2 @. f! w
2、深度优先搜索
. z2 ~% ~# e9 |  P$ k深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；$ A7 P' y+ [. @/ U
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
9 h3 g) k- y- o" I, K  U" U) j但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
6 i) L# w& T( g9 K* U; m& `如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。9 X! w0 D) u/ I
3 y. o3 w% o% R9 S  L% f

" b$ L: ~" s, \6 @" m7 Y) k红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：! J5 f' e* K! Q0 q6 U' g
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
( H' O; @0 p# r/ p# k% }14 f) R8 q- R, L: T5 c8 O: Q
同样，搜索的例子还有：6 }0 T5 W& [7 ?+ u8 U' K% U. r
2 V' E( i& @1 b- M0 {

9 D$ Y" h; D- R1 V1 V( L计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。: U, {* m7 f4 r, A
3、记忆化搜索8 L* e; z: C  U3 }  C0 M( X
对于斐波那契函数的求解，如下所示：& f8 s) [" `. y8 A, I8 s' Q0 ^1 z
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
+ j4 a7 `2 Y8 k6 E$ A! v⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)+ e6 N: \) y/ U, p5 I3 R  i/ j
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)0 A7 f: P& L( c5 X1 N9 ~2 n
f(n)=
2 l  H7 D$ x0 g' F; t" U! |⎩7 m4 k- d  v" M" f; u, r/ {8 i
⎪  R  ]* L% ?6 p- u8 c1 ^
⎨
$ H$ f% f1 f/ a/ K6 N⎪
1 ^+ {% k4 I# Z  j  D9 o& n⎧
% S. T' v* B$ h) w " o! B6 X/ w. [. A+ Y. k/ r

& H) ^, f7 r) D, z  v1
$ l7 d, k: T; s# O6 {+ t1
( G8 [( H% W. N9 |) g" Hf(n−1)+f(n−2)
( ^0 ~9 L2 T5 T1 r9 ~ 2 i8 u1 R. f, O( o* o4 u
  ( g( P, V7 e$ p3 |7 a. R' F, ^
(n=0)
- F# R! z( ~6 l' g: N- `+ s(n=1)
* `' r* l& h( S. t(n>2)
' X7 ~. ]1 C" J( y; h / @+ ^3 K. U$ Y, K. P
8 h5 N/ C3 N) r5 A" O! k1 o
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
3 R. x+ i! t! D6 R6 d% b# r6 W3 ~7 Z& I

- I' P! R. H, U, ^  e这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。0 r7 b2 w4 T6 v0 ~, B. h; h% z
我们通过一个动图来感受一下：$ g/ ~' l* n  J
1 Q; J% `+ y8 Q2 Q1 X/ e# W. p
4 p; n; d' i( P4 @6 v
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。1 l, ]0 d1 p4 v) i
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。* g4 Q6 j: `2 h# s7 i. L: [/ C0 D
4、广度优先搜索0 F8 Z8 M" d6 z, `8 I
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。0 N* K  [% n: n# @7 R% i3 K
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
3 w  ^& e) e4 A& E- K
+ B9 U, X: K3 w" c  B# c6 s: T, ]2 }# B/ a

4 F+ Y' G4 n$ \( n% x0 v3 v! q& h8 k' T/ V3 ?# S
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。( c. Z8 T- t! `
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。- J6 T/ o4 x4 l) s* [) r. b6 W
这时候，算法和数据结构就完美结合了。" d( K/ o3 }! f4 X3 y8 f
2）动态规划
3 t; `; _' g; c' Y动态规划算法三要素：
# @) k" i: Y  A$ {" D) h  g ①所有不同的子问题组成的表；) b% ]5 s( ^' t: E$ W4 A
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；7 Q% ~: G' e  e( F" ~; z, Y
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；% ^; j, ]3 l5 ]! u9 Q
. A! F: J2 d2 y$ `7 I( K

  z: B6 F$ g! ^' ^) q如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 8 I- e. q% B! h/ k9 ^$ V
t) \2 t5 }3 F" y6 l3 Z4 ?* _6 i
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n   l/ O0 [0 l7 B
e. ^8 Z7 W) Q- }" f) f& d
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。) S, i+ y: r6 x% C3 v9 @
1、1D/1D
, n$ V5 y# l9 P" c7 C6 R* jd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
" v9 G) l7 Y, Q6 H' l& rd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)) U8 F/ d) G) d/ }7 n* [
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
, D8 z' r: r6 U# M$ g' T5 F- D$ v
+ f- C. g- i9 A0 a  G' H2 W; S/ ]  R/ a. y* {
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
5 t9 q$ C8 j0 m9 h2、2D/0D
1 R' L  v2 x' S5 ~# Cd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )+ Y' Z+ i( y8 b& r1 c4 }! g- r
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
$ p+ k7 S6 W& w7 gi
, _' e! E/ k/ U  _1 T # i( Q7 u. Q" s
,d[j−1]+y
! a7 }8 j7 ~+ e7 n+ b$ B+ F( Tj+ _0 B7 u8 R/ w2 _- W
, y( R9 V: d: ]; K0 r2 \1 g0 J6 X
,d[i−1][j−1]+z . [$ K7 R$ c8 {) W# i& N2 k, V
ij! Y4 p! d$ n/ }0 @* O( H1 G
, v& `1 B  Q$ f9 Q) W
)
9 J2 `, J- x; ^& t+ a. ^状态转移如图四所示：. c' C- h) }: C% ]! W9 |4 P
$ y1 n! D$ @" ~) U5 O+ x2 o

( ?! o! e' b8 G1 {比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
/ f# N* ]8 ?9 p4 t' w) A( h有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列' H: @2 T$ p& H4 b% R  |; Z
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
: d. {8 G, Q5 L3、2D/1D
- m! w3 i/ X9 I; Y. |8 h8 Ed [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
4 O4 R" \/ D( W( V# j' Vd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])0 A( |+ o. A$ c' G/ O9 i5 ?
区间模型常用方程，如图所示：
4 ^: l. I3 v; }( {# E3 u. ~% \. k& i2 J

; M' J" M9 ~1 c; {另外一种常用的 2D/1D 的方程为：( P7 H2 Z" v/ \7 U% Y/ o& L
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
0 o  O1 ~$ g$ S4 d9 |/ Bd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
, S& S) i$ `: a3 b; [  j, z区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP/ H# u% Q/ g) q- M2 J: m; H2 q
4、2D/2D* ^' P- n, a2 v  e
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)4 i3 A. z" L& D9 b& I
d[j]=opt(d[i   a4 w& r9 I7 [8 x
′
: W8 h4 z6 m4 c! n( | ][j 0 j9 H" q7 k/ C
′6 D1 k( ?: Z$ _- a" L- f
]+w(i ( ?( {6 K+ s  D+ j3 F/ g
′0 o7 ?7 @& H* v1 Z0 K; v
,j
5 ]" k7 x1 I) [- c  w3 ?′
8 q) a4 D- q) [' m1 l8 L ,i,j)∣0<=i
( c' _& s6 z& W1 W' p1 L′
$ ^: |6 ]8 U# j <i,0<=j
; `& H5 ~! @( H2 W9 `8 p+ r′$ q" x9 A( `2 }; |7 _
<j)
- f- u; v8 c+ m% r( q% h: f2 I如图所示：
* e( {7 z" r/ J$ [! s! a1 s% H1 P3 z3 M( v

' l' ?# a4 c5 {0 @4 n) Q1 h常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。- M: z7 \' P& K* H6 S- J
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n ' u8 g8 O- Q- s1 i* o( r4 o) ~
t+e
- c8 T9 z) k0 I$ ~9 K )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 0 V' Z7 @9 H/ c+ P0 K8 i7 [
t8 y' u6 m9 j! s9 Y1 B8 n
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
4 S( K+ `+ n* w# I  F. H3）计算几何7 t  G& E. p" D2 y" {3 y# y1 K
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
; @, @* J+ n; W7 ~4 F0 G! A如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
# Z6 I% d: o4 @  A1、double 代替 float
2 l7 n! E0 P7 X5 @1 ^; ]9 T6 Nc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
  j. g5 d1 u+ |, l4 M2、浮点数判定
  C$ q$ ~1 ~9 B- {- c由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；8 R/ N$ z; \& ~$ H, S
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
) a( J9 |7 E& Y- [- Q& lconst double eps = 1e-8;# o) b$ T) W: P: t8 @
bool EQ(double a, double b) {
0 P  l5 {' w* ?( P4 P" L4 A1 | return fabs(a - b) < eps;! `; q' N% }1 e; @% b5 e9 X! X
}
& R6 J+ I3 s- Z% ~% q+ X4 _1: a) J- ?( w; W" @
2; H4 p8 W+ a0 [. e
36 B/ v. U2 S) P1 N8 l
46 c! N5 v4 u4 G: F
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
9 G# T+ Q$ N5 q$ e- l/ S) wint threeValue(double d) {, ]6 X+ }: F3 y0 [" X, _
if (fabs(d) < eps)7 e+ F6 o6 Q$ |; I8 J: f* e
      return 0;5 Y' R2 ]" C! f
return d > 0 ? 1 : -1;
& W& }; x2 ^5 \) @7 p}* N/ F; u$ Q5 s+ t0 m# O1 u
1
3 R# a: t" F. I" [# d; s. Q- _2
* g; z2 O0 S3 I' |3 n/ ]5 P3: j4 A6 s( c- C3 x
4
, R# y' e0 J' x% Q1 ?; Q, q/ f5
8 K+ x+ Z2 H! Y6 h8 G) F3、负零判定
, W7 s( t, I) r6 D# t9 n3 C& ]( \因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：) f' b6 F, \! i- Z% ]1 u: {
double v = -0.0000000001;
: w1 X+ c6 T8 {8 ?5 w printf("%.2lf\n", v);
% w! J" n3 p/ X1 ?! z1; H4 S& B0 ~: R% i1 s4 e& w  k
2# x* S% n7 h" q- v1 B
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：' X+ O* ^( `" I+ ^$ v
double v = -0.0000000001;: X1 P; u* q' Q6 p4 ?( f  o6 d- O
if(threeValue(v) == 0) {
1 ~* `$ x, ^& [0 @7 }- F       v = fabs(v);4 [2 [, o' O. N$ b" b! ~3 s! g4 [
}" I9 Z+ K, ]' X) I3 Z* f/ M
printf("%.2lf\n", v);
- B8 @: ]3 {4 k3 u  g1
8 O, `8 w/ J5 h2
$ h' A; T7 O9 u7 E( h. ~3
: M3 Q3 Q+ }, d4
- b4 _# P- H2 ?" o8 a. C8 s5
& t% F2 J1 M3 s% i4、避免三角函数、对数、开方、除法等
6 T! A) ^* h/ d" Sc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。$ M2 @4 L. @& o2 i1 }' B
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
7 D! g2 S7 m6 M5 [; Z) c, m5、系统性的学习7 B5 K( d: \2 ^" j
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
7 |1 ^. k5 G$ q& y1 r! w; S进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；2 L% V( W2 A5 u2 e5 K$ a
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。! f/ y3 V, B' @4 g

% V' q2 z' X0 F  q! c9 f8 e* c2 e( m+ @% b8 `- B+ I- A3 o) D
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
8 t1 q, i* g$ A) D. W4）数论3 T6 l# j+ ^8 o3 _
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
- v; U7 t( p, r+ x# ~数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。% w$ n# h* O3 f+ y
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。( T2 Y! F6 I2 q+ o- s
1、数论入门: b: A! V- X8 I: E% ]; [3 J5 t
主要是一些基本概念，诸如：! y. ?& z% F0 K: \( }: s
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
0 V4 N0 {9 j, C2、数论四大定理) b2 p1 D6 c1 D# J' J- ~
这四个定理学完，可以KO很多题：
/ C1 r3 _9 X5 c3 P欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理' P* k2 A# `+ z- x3 S
3、数论进阶1 \  Y! ?5 V# v0 v& z9 p% e+ X: a
系统性的学习，基本也就这些内容了：
+ ~1 K3 ]; p# z6 L6 J- y; r! U扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
" Q9 \! X7 B% b# l) A; E! O! g2 b+ M5）字符串匹配
; N- {, K8 D& z" n7 s* n- l字符串匹配学习路线比较明确。
: y8 n& q; d  R先学习前缀匹配：字典树。
; s2 Z' S* o- }4 t6 i- `5 Y然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
6 o3 {7 h" u' e: w3 v5 o" S以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
# f- m/ K6 J$ N) Q1 x, T实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。' \3 ~; J; Y8 Z
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
$ O3 Y: s6 S% v关于算法学习路线的内容到这里就结束了。, Z8 _+ E2 I3 ~
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
. v1 i4 g' @) K3 T+ `参考资料1 R$ o7 d5 `3 @/ Z0 s. g+ f& z
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）1 ^* a4 v# u: C* \+ U( @
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
, D- f' r4 ?5 }) c3 n【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）+ t: N/ P9 A5 N/ a3 S; a% S$ L+ ~
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
5 u& ^7 s" N) |8 N; J" |————————————————
' b  G# f& d/ x( }3 f/ k版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
4 L4 i1 s( K7 I6 z: f/ q$ O原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228
6 c9 S/ O: z  `4 o% ?8 D7 Y
1 z. a, |1 K0 j$ E9 ]% G
3 v% M; H3 S" Z- w" p