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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |正序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
* i5 b! W7 m- P4 s9 ^( q# L3 j' X边的结构体声明如下：, ~7 E. J$ _. _' x: W7 _& }9 e- A
struct Edge {- n1 u# T5 U, ^1 S
int u, v, w, next;
) H$ h/ X3 I1 L' a6 `  Z4 v- R- D Edge() {}' [9 e& z9 l- a  Y6 s
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
% W# P# u! s, {/ D8 r       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
# i* P/ E# D5 w! O( {' p* D {1 P" H- S7 f1 `7 r8 g
}
+ e2 ^# i% |- t8 F3 |}edge[maxm];7 u! B2 Z. }0 j6 O8 {! X# z0 x# V
1+ Q9 Y2 N3 w( {% H$ i, B$ m. i
2
' m; P: |6 A, c1 c% a3
3 @8 H  u  i2 `) e5 ^* f4- D. l! U1 T. q* y
5
! [8 L" V' h/ r& X6 F$ D8 v6; A" e# q* Q0 B: F$ c
7
3 C9 F$ K% j& `- G6 c8 y8$ r* M% x, I; Y1 [/ b! e
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
( n5 d  J6 W% |& e每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
# S. q8 }$ d2 e( t  F/ ovoid addEdge(int u, int v, int w) {
6 Z# ?3 g" Z) v4 i" k edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);8 r2 C0 q. s+ `2 r# M9 A
head = edgeCount++;* @* {  @" m- l4 N/ @
}
& Y- u# e3 \& y- z& P8 {0 W( r& p/ o1
& l& T6 R4 Z; H* a  W! Q28 h: f* H7 u# d7 F0 k2 Q2 w9 f  M' R
37 y2 |3 {* \: b1 i
4' X2 d  p0 L2 P& ~' [6 N$ J$ o
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。9 x$ k* F( D0 w6 m* z
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
8 W* l% H& b: ?5 n4 [# rfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
% M$ e% r7 E) }- O1 Y int v = edges[e].v;
, P7 ^' H6 }0 {5 ~( l1 L" Q9 m ValueType w = edges[e].w;
! h# ~5 [2 X' u  T. G$ {9 ` ...
! g7 F, _- F1 x; T- {  D}# y) ?$ f" X3 |6 u
1
+ p$ d- X# n9 {0 Z+ Q! k2# ]$ r* a. c9 Z8 E
3( @, d. R; w  I6 [+ y
4
* v/ D& F3 ~& ~! a! M  R5( ]4 x  I8 o0 g' N! H
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。1 d4 i- y3 Q- p; a
4、算法入门
3 C5 X3 e4 O5 ?- c5 _算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。8 n0 r  w6 D9 e/ n
) z0 j, w2 p- `: h) w! H# w

7 `! {1 Z- p* R9 {7 z* Z- F' {& R  o入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。3 r8 m' n# h4 _) n' Y0 ]0 F2 V
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。; s4 Z* y+ G! H; }' v7 D8 B
1、枚举. `4 R5 ^5 v5 E/ _
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。: Z  }* B% c& D, c* M9 e; y7 [9 P
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。0 F6 y  q/ Q2 q) k" w% M
2、排序+ R7 Z* w6 d! N8 e  W) I
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。  @2 C  r4 Z' k; M
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
, G9 }8 F8 V5 Q" jC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
' b6 I$ ?. x' U9 `3、模拟
" b5 e+ d- K9 p$ \' D( f模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。9 e' N+ o0 I' ~( X* w+ B9 y
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！4 ^  q( C  V, _, H7 e# _  U
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
8 G8 L: _1 Q  f. x3 }3 ~: D4、二分) S# {; r8 ~; r: c
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
- z8 P$ \& f  F; V例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
8 Y  {( k0 |$ {) W, x; L1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
1 d; g" x$ p# c7 q$ N: Y2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
" c5 s1 Q$ X" e6 v0 t' @ 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；8 g6 n$ x1 ~* E* r* k8 K* J
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
& j/ p# h) ]! c0 T 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；* f3 t- g: U" m& C  R  _. s7 H, U
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
. ]0 T1 H; C3 |1 c9 k5 M, q/ N  s5、双指针1 \8 T+ Y$ U7 ]3 c
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。! Z8 J7 L$ A( E/ S
* J7 W0 K7 ?! G  q% ~

6 a0 w, {: K% l% D" a+ g6、差分法
' R9 k6 |8 N! x6 i差分法一般配合前缀和。9 D0 ]+ p) c  W2 F
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；8 {4 Y$ ]: I8 \: x% K" E8 D1 m
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg ( p2 ]( f/ Y* M  J$ I
x8 X0 ~% P' c4 n% r
. I+ g) z  S  G2 g( ~  v9 ]8 I7 m
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g + L+ _7 W1 Y, L
r& h6 R$ l; {  U

: c0 L! a6 P3 K$ U' g9 I% a −g
- H$ H) F& g: ?% {$ Wl−1
# u! y$ ~, W* F4 V( j- @( g 8 b- C! I. y1 y0 X. M2 |
；分别用同样的方法求出 g r g_rg 2 N5 j: A5 [# V
r
* ?8 B; e; l4 Z4 n , v$ T% z- I9 s3 F# x$ U
  和 g l − 1 g_{l-1}g 7 g0 u3 M6 c7 H# J: N% f( C
l−1
3 J8 p/ d5 Q; u
/ g6 m; J2 u: \4 j) c/ H ，再相减即可；
+ h% D' F: ?5 O8 G
8 ~2 a( u& z6 r, g$ m; x3 `9 P# ?: _
/ ^: J: J4 z* @$ ]' j7、位运算( {" n# O+ K8 R8 v
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
2 O0 c  m5 b$ b位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
: E: c! I4 ?( S' L8 K4 l# }布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。: q$ _8 S/ E( y& ~2 P
如图所示：
7 H( c1 P3 m1 L/ N
% j3 c; c8 |5 D7 g. S' ]) S/ Z  \2 h% M8 A. H3 B' [$ `
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
$ B  l4 }0 s. u+ Q9 G比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：2 S* E7 G3 k& g( [
!(x & (x - 1)); E6 ]% u, z, q1 s1 b8 Q
12 L6 _( @: o6 ]# N) Y
8、贪心9 a) K" B: p- V% |/ U+ ?6 F7 v
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。8 t9 W, H0 l4 h; j- X$ P3 P
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
) p7 y- {5 _+ R: A. C. a9、迭代+ X0 k, U3 ~# s" |! h; S9 ^# e& ?
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
. F! [; K. F, d- t6 A: c: F10、分治
5 P! x5 a! w* _1 o$ E' J3 b分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
; P0 N+ V" ^3 R0 [. n! h5、算法进阶
! e0 w% s, h2 Q9 S3 d9 F1 M算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
0 \  }+ \, q1 I9 l8 d如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
  @: K6 z# G* t4 T& F) I) N( V这个系列主要分为以下几个大块内容：1 |( T, M* X+ P2 t+ F" p
1）图论
# r/ t2 r- b7 S8 q7 w 2）动态规划
7 ^# M2 [- F$ O8 l. e! i 3）计算几何
2 S3 ]9 P: S& q( @" | 4）数论
$ K9 j* q+ C! g  u5 n- N( z 5）字符串匹配( U$ C$ y4 b% J. p: @
6）高级数据结构（课本上学不到的）
6 E: o1 }) T7 _ 7）杂项算法
, u( w5 _6 o, K6 ?  X2 b  B0 o$ M4 D1 z* X
8 M$ X" c2 K# e
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
$ z( b- s8 ?+ i6 w- |; z
8 V; J  \1 N, V0 j+ z# l9 O8 l( `! ^9 e* ^2 w$ V
' N0 u) T. P4 f6 L. y) X" Q
4 \5 U9 n+ _; `/ Y* Z
1）图论
0 C9 `, H& ]: c5 X) K* t5 U6 o1、搜索概览
9 r3 Y' h  `+ j% O9 F; z9 }! K图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。- F/ r: k4 C; u4 w- z8 [! m' j* }

6 f/ ]/ g2 _2 n- |
3 |1 d9 ~" q3 i2 u9 F' n9 c* u( V1 E比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
  S  j5 u* z7 ]8 J* z1 ~8 B. W* V2、深度优先搜索
: r! x4 f7 ?$ x9 J! h深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
. ~% u/ i% Q1 W1 [& {! q8 x原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。8 }& J% v6 [, c" y+ n
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
- J: h; a. ?. ~2 Y/ V/ b如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。5 h* D" ~; K: T# P& A8 c3 U/ K/ U
+ A  b( {) @% R5 I) s5 p* p

! Y6 }: ]/ W; \2 g红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
; t6 N: v' g. F& G3 g; u' O 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
( z9 Q( S" r/ o9 d* g1
2 Q+ `) E! Z  C+ \) o同样，搜索的例子还有：+ m6 F+ \& K( e8 W

! J. ?) |# U; ?/ c/ C) T# X: V6 {
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。1 f+ T) e" y2 n5 a# E! x1 I; K
3、记忆化搜索: B; E' d! N) k
对于斐波那契函数的求解，如下所示：( H5 ]  o/ L8 ^5 Q- P2 @7 t2 |0 t
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
( A/ i+ t  `5 L; x⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)& U$ o0 t! K# Y2 P' w5 \1 \
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)4 Y8 x/ R! K' U& A1 z5 v* P
f(n)=
8 O, @; N  s' j$ i4 C/ l" k, @  f⎩! }$ n. s- p1 J0 |! b
⎪
+ T7 L% M. T! w( J6 D4 t⎨
; ?8 b$ Y: a6 F⎪/ O/ i, u& @: C6 W" e3 N
⎧/ Q& X4 f# ^* N, O4 ~$ S( k

8 Z& W% t' I/ d' b1 C
, w+ N/ v8 b4 [- X9 Z- C# R  s1
3 f0 H9 s$ ]+ K7 L  u: y9 i7 _1
3 x& w; d" H; B5 Mf(n−1)+f(n−2)5 x2 }2 V9 c' |7 d. G. m
* f& x7 u/ c5 y* V

7 q- s% V- p: B(n=0)( F. J( x/ h" Z/ b! u/ K  `. _
(n=1)2 J1 H% l" P% C: I' o
(n>2)
! t: q$ |& O! G& a4 j6 y" S
; k7 {) H  d2 g4 h; T
( j- p" i' L7 |% D# ~1 Y# ^对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
5 j0 _, e6 r2 |% r
: C- }! p& ^' {: ]# `5 Z4 E; c2 j* x% h$ }5 c; f
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
& E. D( N" F8 ~9 n+ b: M我们通过一个动图来感受一下：0 K( G; d8 h: A. w+ n

% w% F" a  Q6 L' G4 o' }6 _% |1 l5 C& d3 O0 L* n: p
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。' L7 |' f3 z5 X/ F
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
/ V: M! [& _  k' N4、广度优先搜索* ~0 `/ f  a5 T( l
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
( w' o0 b: q9 z" P; {$ M2 E我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。" {8 G6 z1 j& V& u! M

3 j" d) T% p' _" H( l
* n# n2 t8 p3 K, R
0 X3 `  I9 r8 ?0 h2 m
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。+ ^6 F: H% Z: f: u/ N# i" ]
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
3 g1 w/ Z) ^9 c; c! b7 H7 d" j这时候，算法和数据结构就完美结合了。
; a8 _7 R2 |5 {: N* N% }2）动态规划
. I9 v7 m' N2 Y$ [# f. z动态规划算法三要素：3 R. M- W, G, C
①所有不同的子问题组成的表；
; {; {( {/ G3 o! ^" ^) [& [ ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；' I. o* ~6 L. |
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；. ^" H/ m4 w5 ]/ |

" G- t8 d4 D0 H1 U
6 L# c8 o2 i: {  i, |如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
# k. s( ?; o* b, |0 `t8 C$ d0 z8 U' x2 A; l
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n : _9 z6 O& g( H1 o4 A3 u
e3 Z: O7 r( {; l1 B
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
, D1 ?; n" J9 N! E1、1D/1D
* [& W4 M7 {3 h  d4 ^  c6 Vd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
" e- E' E  N! L/ }8 ]7 @0 P. J" W8 Xd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
0 L8 O, C4 Z/ @" i) \8 J状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
+ b- ?! E% B! k& S. }7 N
5 G1 l3 P& k3 F. D$ K$ u0 \. N) x- c0 D0 `. r, z- M4 O
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
) }/ H- a, Y  ]( J9 V4 t2、2D/0D
* \' }4 X4 g  T9 H" Pd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
$ T) \; I* Q! Kd[j]=opt(d[i−1][j]+x
* h; c/ o6 `4 U2 F* ki5 o" _" D- f/ x$ o3 y% `. M: p

$ Z# l7 v2 W# k. f( w' L ,d[j−1]+y 5 u7 s% K9 ?1 j2 r4 b( Q5 }
j+ P6 y; i( H/ p

' n; r8 L3 N+ v ,d[i−1][j−1]+z 4 L5 B1 l  N. {1 T
ij; Z  ]4 m. d' e; E3 k

4 j& X7 }% _" ?# B5 g" J( X; j )
% m9 U/ j* N: G3 L& n+ Z3 H: e状态转移如图四所示：
& [+ F( O& I( F5 |2 l/ w) T3 ?" u+ k
3 K+ U- U1 M3 P! T+ t5 @* n5 S5 `& r; p
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。& J' f' p! Y9 y- i9 S
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列  v$ H4 ]4 B3 \# I$ K! @/ O
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
) f3 H- Y& E) U  R0 h3、2D/1D
$ `% G: O2 P: ]1 {d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )" p- e4 v1 ]6 w. C
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
; s* S; }: Y( L( a/ T3 H# G( D区间模型常用方程，如图所示：
' J2 T0 g0 C6 ?, R1 X6 B3 P" q- O' n2 ?) z: g
( M, w3 W0 c  }
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：# c9 V; \& D& X9 f2 Y& E5 C2 B
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
3 B& N9 p! ]0 T* ~$ _* Bd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
% b9 t/ G: }. N9 |# i) m. ]. ~8 k6 T+ V区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
# _. B$ S. p* f5 R2 V4、2D/2D
$ o5 y- D4 x6 u) `1 n  K5 `d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
/ K* ~2 U9 c4 Q- m5 G# Xd[j]=opt(d[i # g3 q% o7 \/ A( V# S
′" T% Y, r' q) D: L
][j
! ~0 v: X0 h/ B′
# ~; @/ K6 i4 |( S5 m$ L ]+w(i
4 ?+ N) E5 @  V' k′
$ P% b8 r) g2 C- j- l* i ,j 6 ]! g+ r7 q8 d& H8 J) v
′  J' `) K' X! C. [8 h
,i,j)∣0<=i
, {; K2 E6 N, R4 E$ S  o′& F0 v3 w. E8 t/ q0 T% A. ?
<i,0<=j 8 ~3 q+ e1 T6 y
′
: K- A& x3 d' N5 v <j)# b, \& k/ W" i# V
如图所示：
3 L1 {- |( ]' z/ `* S& K
0 r" P/ E' p; t+ u6 W+ x
1 f/ B; d: u& O5 p# w' s常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
; t  k5 \- K0 `8 a+ P对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
8 |" l0 ~3 k# V! y  H! Ct+e! r5 |' V* d. q, m8 v3 |  q
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 4 X, [* j! Y; K/ _$ n) w" U" ~6 o
t3 i7 d% c$ n( v4 \5 J- j
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。- z" T8 N' L" z! c$ a
3）计算几何# l7 h  H- S# v1 q/ Y3 m
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
7 ?1 i  q6 U# E: A3 w' r如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
4 D$ Q7 O9 t  B8 j2 F$ E- H' h1、double 代替 float
9 K( ^7 P3 J  a3 P: r! Yc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
( v: q- d- o" U8 M/ u- \2、浮点数判定. ?: J5 `9 V: `& O7 V9 Z/ i1 D
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
" y' y8 o9 Q* `两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
9 ?2 b. M; a: L% U2 a. fconst double eps = 1e-8;$ w. W& [- D5 r8 T( E; L& P$ f
bool EQ(double a, double b) {1 V0 C! G( o  O! b) M( W/ ?: k4 B
return fabs(a - b) < eps;
* B1 C- V( @5 X8 o* K! T}& O; Z' y! e: A/ A5 u
1
, P- H  i/ Q7 H( o- ~2
. l# k0 n5 G+ U9 E# U: S8 O1 I3
/ H5 Z8 V4 I9 B6 J) L# G6 [4+ b; d8 N/ x3 b' q2 e2 V' `: m
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：1 ]; h: p( R) t. m. W. u1 P! P. v! H
int threeValue(double d) {1 g% I# p4 V) S$ E" r% H  J
if (fabs(d) < eps)
4 P* n8 l+ e& Y       return 0;) Z  [3 q1 x, O& h
return d > 0 ? 1 : -1;
# v1 j$ G* |- }! a# J}
( D9 K! M0 u0 {4 ]! B) Y8 Y; C1) ]% `% T3 {: M  S5 p" M4 s
2
2 F" r  r# Y. c) j. u3" j  M! G. P- V) J! ^
4
7 V3 Q! {0 |% Y6 ]/ V7 W# d0 s3 t- v5
: P) |9 b( l) u# m3、负零判定
7 \; g3 I7 R; ?5 O) |! G5 m因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
1 L0 {- \' T, j. Z) Y8 `' x double v = -0.0000000001;
5 P5 \3 p% ~# s/ n) d3 H7 I, n  c printf("%.2lf\n", v);% J( C3 K1 l$ H' p
18 p2 D. [" t  W3 [6 T
2; a. @2 z; S8 e6 f4 M" W
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：4 b* m7 `1 M/ ]$ N
double v = -0.0000000001;& ?: ?4 j! C7 u/ C; R" ^
if(threeValue(v) == 0) {4 O; v( j8 n+ V$ T3 g  _" _' d6 [8 z5 h
      v = fabs(v);
; E! D) _  q' y) S; ~4 A6 y) i( |7 F }! }: Y. p0 P5 R7 o
printf("%.2lf\n", v);
4 p/ u( j0 h6 j8 S9 z1 [10 N  o$ g2 |" i0 |; M' m
2
9 J+ M' Y6 ]+ Z! n8 m6 T6 m5 x, t3/ J9 v% j+ F4 L+ @: f! ^
40 X/ X9 b+ ^+ [8 O
5
& P1 h. N. i6 V  P7 P5 M5 t4、避免三角函数、对数、开方、除法等% J4 W) _5 Q! s" ~2 I% B
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。% E4 @/ j! l' u; X) u) {2 l
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
: d; d5 e+ H  }' @! E+ [5 Q, g& h5、系统性的学习
! {2 V- w# d$ {基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
4 x" C* ]7 I( P. q; q: V: L$ e进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
* N( L8 x" I# r, j. ~0 h相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
. m/ n2 \: i& P6 P; V: z, u* P* o; L) h1 n* ~
0 K$ e1 S3 d" Q7 E' K
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
2 o; N1 x, d- @+ U! Y4）数论
  \) {9 \! B& e# E刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
6 c* H' R% C. R0 E  w  J# S& x8 I数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。9 t: j7 {5 p$ A+ B$ I. i- z9 P3 K
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。% W$ j8 x% d) d( l! S0 q- h9 T
1、数论入门6 [) @6 e, Z  u# ^
主要是一些基本概念，诸如：. T1 L/ P5 M* w' J' O8 S
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
. a6 X! k5 `# \% {/ g2、数论四大定理( y9 E/ s; S& U/ X, x$ F5 U7 V1 N
这四个定理学完，可以KO很多题：/ m4 {. _/ L0 p9 I
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
# x9 n3 G: d4 ~, r! L3、数论进阶
! k' d( F* X  ~1 r5 y系统性的学习，基本也就这些内容了：6 q, O4 ]- m6 O4 {0 g" b# l# J
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
) g3 u. L  P( p3 a+ K+ h( n5）字符串匹配
8 @+ s/ ]+ H8 X2 x7 G0 Y字符串匹配学习路线比较明确。# a/ ?+ R$ j8 Z: a9 C
先学习前缀匹配：字典树。
9 C& ]7 M* Z# ~9 O& W然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。0 A; s; r5 h' Y. j1 L# s
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
' K! T, g; y; }8 \4 A6 [7 ?9 N3 o: _实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
2 E8 g9 N. x& W8 P% O然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
: U3 o8 [. r: c- T# n2 P8 o. y关于算法学习路线的内容到这里就结束了。% v$ j( `" s1 h+ ~* t
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。# k, _/ l* j7 J& d0 t( r* N
参考资料
6 W& b' F. j: Y% E( o$ B; w【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）) K* w7 P/ F# \
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
) F7 |/ v4 M  k7 o' W! [: A5 p! l【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）. w4 R8 I  d% ?; v- E6 X: P& X
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
3 q/ V, Y- k8 S+ d8 J% ^) O( u————————————————
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