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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |正序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。' A+ o" l6 ]; }: i- e
边的结构体声明如下：
9 P$ Q" H& z' g/ G- n6 Ystruct Edge {& x$ j- O0 G2 ]4 e1 h& B) g% L
int u, v, w, next;
' n* n7 j1 u9 X Edge() {}' @' G/ T3 G3 g& k
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
/ \) x# `6 w2 C' f# J       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
4 k0 X4 k! o* R5 V% [$ i {: |1 t' G6 {6 Q7 k1 P3 g# ~
}5 i( T& O5 c4 k# {& i& }, f# ~. l" o
}edge[maxm];8 ?  p' P4 b: r4 r
1
3 d( I2 x- [( H$ \25 T0 d2 I- R2 ^
3; x2 I  j' ^, h4 E) v% a" ^
4! s1 m1 `' Z$ u+ Z) a
5, ~. g; o- N* O' y, ^7 A
6
, t3 F% r7 B5 H3 ]! d/ l! N77 Z4 E% k# F/ e+ R' U
8
: I9 H2 I: K0 ?* V" C9 `初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；4 h1 o; C6 @- N; I
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：1 R4 k' z* m( q, \. r
void addEdge(int u, int v, int w) {
- C5 Y) f; C" {( Q" K edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);1 I* i5 u2 @0 h4 C; @
head = edgeCount++;
& K5 o! f# U' D1 `7 u. T}
) H( e6 B- d+ ?4 Y0 Z: C1  h" r6 n/ F: Q$ [/ W& v
2
* u/ z1 U* Z% j0 a35 x; N  D* K  \% C
44 H7 S/ [0 Y. I4 s/ N9 o0 b
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
3 E. {& ]8 J" T  H9 \调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
+ U) t2 F& O) ?/ t) [for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {, _; a4 Q( r. b  p! Q5 L" r
int v = edges[e].v;
; C# S/ g7 R, | ValueType w = edges[e].w;
# K9 Z6 H6 Y8 h4 M* o% @( A9 u .... A. l0 b- j: Z! K2 d
}
: z9 ?- z/ _% t11 J5 e1 h6 r# G" h  c& ~( {- s
2% J5 K' H& s3 B
3
- }! p0 @! n$ N3 i4
3 ^: j0 V: r( m: O* O5
& g' k! U7 X' D- ^' a文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。9 j. h3 s8 i, Q% Q
4、算法入门5 s* ]; }+ g( u
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。# S9 c0 w7 g) D0 n+ f
0 y; V1 e: f1 \. H: t; g3 d

. k( z3 [% l* ~入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
) |4 A- Z# ~, ]3 P对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
3 ?! y! N% ?) T, Q1 y# ^1、枚举
5 a+ M& T/ }) T+ T枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
7 J+ I7 S  O0 z5 E  z" W! t对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
+ t# x! R# b, ~. E2、排序6 z6 y, L; n; Q8 U
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
3 z6 C0 g( c* s2 k$ Z+ G3 J冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
/ s2 A! t6 y& f* QC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
2 g( e( I# {- `, Y3、模拟0 `4 r8 m0 G; w, M5 k" x7 d' p" Z
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。1 o: _! W' w' h) q. o& Q$ D
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！" \. {- Z) Y7 [7 F( e
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。' U- C9 t- M" G
4、二分7 H/ C3 c  _, r- g0 Z% Z
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。2 y% L9 E" W/ c! J. b
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
. G# y' E% I8 O$ r7 {+ z' g1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
3 U) j8 O: M) S. T2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
( l, ~; `2 p$ J 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
" }+ u+ j3 B: f4 R+ R 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
+ j& L. y' K1 j& C 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
: ?8 j; g  R  }- n+ a+ E0 a3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。! ]) s/ ?% c5 k+ a9 Q2 F
5、双指针' R% U* m7 i. ?9 @& q! T# t
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
+ G* K6 z+ Y( Y" y* ?  `. u8 V3 k$ P) e' ]+ f' q! G) _
9 P4 j9 P* A+ _) G5 w
6、差分法. M6 k. I# Y7 }8 D( f' Q
差分法一般配合前缀和。
: W1 o' X8 ?( [! e对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；; _% d) N0 P+ u5 H$ L/ ?" W
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg : o8 W: G; h! k
x
3 T4 d* t: o! {! O9 c 2 F8 Y3 I& g4 A) p1 U' M4 \: Y' \
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g ) a: I6 y  p" B% i, ]: D1 w! z
r
3 M& {  \7 a* Q! J4 q2 P) X  h
; Q  B& f5 R$ c3 ?1 w- C −g 0 u! _: ~0 V$ j( B% A6 i+ G9 v
l−1/ ?% y0 ~! |" u3 |+ K3 q/ l4 I5 T0 z3 G
5 P6 D9 t9 h3 H6 E: q3 E
；分别用同样的方法求出 g r g_rg $ ~  G* [, m$ i$ m% _1 |
r- R! p' k( W' ]7 u. O

/ _' ?4 h' y) L0 k7 N6 Y  和 g l − 1 g_{l-1}g   K0 ?& p; X; D: a4 I; v/ B
l−1% G; V1 \6 o6 J- \7 Q. Y

: D/ e+ _% O! H) Q% c, Z ，再相减即可；$ H. t' Q& J& H
) J/ K! A. K6 o# k5 J0 p
- b2 G# m, a8 ?. `% Y
7、位运算1 K. R8 ~' @; A) T
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。6 K9 Z" k( w" r' ]
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
9 z) }' U; ]+ x# D. ]布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
+ d* O9 M5 X9 ^6 x4 }# ?如图所示：& }. Q4 [  y9 \/ Z" E5 B) z
' |2 |0 Q/ B% O2 q. x% K

# D) `5 A. P) _位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
" u& k& A: b1 W3 e: }比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：0 L8 o9 {9 Q# n1 f4 v/ q7 V- X
!(x & (x - 1))$ G" R) T1 I' h/ I5 C7 c+ j
1
. F0 E% C. w$ f4 Z( S  g8、贪心
! P* F; n- x: N+ E0 c! ^贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
: n0 z- R; Y. N  _' a5 p所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
+ H  u! Q  P, F9、迭代
# W. k+ G* ?' ?+ o0 R0 Y/ ^5 c每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
) o  Z5 \: k# R" a" L" m; j2 |10、分治
. D; ~: t! K& Q9 m分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。- M& z8 P2 x/ P  F  G
5、算法进阶
  t( [/ Z8 y. p) R2 A; e/ N算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
8 X! y5 ~+ s. F; T如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。2 Y+ R5 N4 i7 {  w1 H! H: _3 m
这个系列主要分为以下几个大块内容：: i6 R' F5 H+ E
1）图论3 R, e2 \, W, L, k' B6 r3 m; K
2）动态规划! n# x' @% Q4 J4 z% C2 R9 }$ L1 g
3）计算几何
5 [/ p! R1 t: d6 W- R 4）数论
  Y4 ^7 g4 e. p4 I2 f9 t- @ 5）字符串匹配/ ?; y% o7 T! X& |* G0 y+ d
6）高级数据结构（课本上学不到的）) B' h2 j/ O3 ]; r4 E( v6 J! `5 p
7）杂项算法
$ Z, q8 v4 ]+ m! l/ b. j  o2 c9 \' c: G. V0 L- H9 |8 S" d2 d

3 D; z; w2 Y* ^) x% q2 J+ o) t先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
/ G7 f% D$ T3 q: Q
' S" H- ?* ?2 ^5 i% Z+ z, T2 K: P

" u; h0 h5 O0 X: |
4 |) G3 I, v5 c  c9 X* Q1）图论
& _7 m! }' y/ Q+ `6 J1、搜索概览
, n' y" a( _) `1 v: Y4 p2 \图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
( w# H5 e5 F/ E( J7 m7 L" e0 W; l  u/ }7 u5 S
5 w+ _! e1 x' |0 ^0 Q( p* U% P/ B2 j
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。' Y& `7 e7 R; n+ E
2、深度优先搜索
' g! O6 |6 w5 v& l深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
; s( l( ]) C! V原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。1 f! s: G4 m( h7 {" E+ T; K6 {; ?% l7 z. _
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。7 j  g% O% ~7 h" P9 F# N
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
5 O7 Y  m1 Z& X' a2 \7 O* A7 [) q! g$ c9 S' {/ S+ d

9 k2 Q% R8 J8 O3 N( U$ G红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：5 Z- _/ ]0 O! H2 n8 e" {1 R
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
% z+ v: U* C0 W, y9 S1
0 c( }) R" \1 Y4 {! Q' J0 y0 y2 W同样，搜索的例子还有：
6 {1 r% q/ ]0 n6 Y3 O% n* a9 q# u. z7 U$ a8 {: B

6 {) C7 P: }* a- f计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。' ]3 F, ]5 E6 ?: U+ _
3、记忆化搜索
( [- D/ W% f# i( d对于斐波那契函数的求解，如下所示：
; A+ M0 f1 H6 ~; `' T: jf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
. {( l1 L; t* }- D⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
" v' F8 J% Y6 m4 C0 u{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
3 e+ t2 w9 k* X3 f$ f3 a4 p; jf(n)= # @( D8 k( i! b' R8 X/ [
⎩, Q1 b  h. a7 D6 a; K) c; P+ _
⎪
+ U# `$ F' r- M' x- ]0 [2 A8 j⎨
9 Y/ t) N8 r; z( _$ H⎪
) h% x9 y, P/ ^) a! [" W0 s5 q& x⎧
  N+ N/ S9 E1 r9 t& I/ h
) g) w) h8 v- l- J/ \  i
( z6 F* K/ G- x1
  I- a2 N) S, q. X- B  x- y, u4 A10 \/ u% r1 J+ P2 v3 R
f(n−1)+f(n−2)! M* b( p' [5 I6 w* A- r) D
$ P! I3 q9 a+ @3 N

/ E  a2 z% w; O7 W% d(n=0)
8 `2 E" X, J& Q$ i* d+ R& G& Q(n=1)
  r! ]$ h9 a0 w. i, C* ~(n>2)3 Y1 S5 V8 M( ]( H/ N. y0 \$ |/ s

  y9 L! t5 y8 ~7 V- x
( R/ H0 v0 D3 j( ~- Q6 O$ ?% Q* e对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
* A9 v9 G# ?3 T5 Z* B9 q: ^9 f7 E. x7 _  m( U# {! D; Q* [" b1 D/ E
' E: @1 s- ^+ Q, C4 A1 v) i
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
9 r/ j% X2 T9 R  X我们通过一个动图来感受一下：
0 p; P5 [. \. ^6 k# |
4 _8 \( ?4 K( t* o/ M! l" K
* y' b! ]5 o& Z4 B+ p% v当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
& D. a! H) ~# {: D这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
7 @/ f" [% T6 z! `4、广度优先搜索
( S. M$ P9 h) ~' M  S2 W; e5 `单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。) C. V. A) W4 V' g# g( R% n
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。7 C8 _4 e4 p* H) N8 N

# K5 s( l2 u: K* E" e* X* `) l' T; S

9 G! Y' n- V7 t3 j6 s8 \
  v1 b  a+ f# Q, A( q- d6 c从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。1 V2 L% B8 `) z8 Y
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
: T; E: l5 j5 H0 c" x这时候，算法和数据结构就完美结合了。- p/ s* }9 K# Z# u4 }' |2 U
2）动态规划
* t/ N% X0 I; @+ x$ k/ P动态规划算法三要素：& T9 r9 l* q2 {
①所有不同的子问题组成的表；: H3 H2 Y1 B. A. E7 @. g
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
1 i) d; F& g  K ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；2 w8 a( \2 f, z5 b/ l& U: `
- L4 b" D8 `: q; h0 P0 m# k
, c. R4 @1 d$ C( {, E; J8 z
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
: @  T" Y( H! O3 ~t
8 |2 s* d) M7 y$ M! \" z: j )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n + r/ }; h2 h, D1 I; N
e! ^9 O6 F+ p, g. ~2 o
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
! l8 F* W, l& A0 d1、1D/1D, n8 V0 e7 p8 N7 B' P
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )' Z# ?7 m, t# }% D6 Q3 ]! z
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)2 Q: L( R. I" J% P! f
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
5 b% G4 v$ c* V* i/ w9 w* E; v: t, f
; B! a/ C7 ?% H! i- B/ c  X% E
& n6 |. s, N/ o1 p  \这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
, i1 r! p2 h  P: ~2、2D/0D$ T6 Z, I2 {0 L7 h! q# ~9 P+ c$ w/ A
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )' U8 b, t1 @4 w# s7 B
d[j]=opt(d[i−1][j]+x # R' z2 [: I$ {0 C' l# l
i5 J3 w7 e+ g# ]& A) ~: R; x5 Z
$ `' x/ J. i5 H0 h) X+ D
,d[j−1]+y
3 N6 X  H  A9 M. gj
/ ^4 y) ^! U, _6 O9 L( A; H, R
  @  y' l/ v$ z8 C9 ^ ,d[i−1][j−1]+z   L4 C# p" n3 f
ij
! N5 K, w1 K' N2 |/ V- x# [1 f
+ g) J( ^; O! {+ w( \! | ), ]+ g# B' g# m; k! m( Z; `: L
状态转移如图四所示：
& G2 C; K' Q7 L) R
0 f) \" D1 z5 ]+ d2 H
4 Y. X0 Y, l7 p比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。! ]8 A% l7 o9 d% O
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
% }$ i5 t6 i6 g5 g3 i. J: t有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
/ D. A6 p. Z8 i( Q3、2D/1D
" c5 G3 U6 h! f: b; X) ]7 Vd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )7 f7 s) l: }7 v- Z5 e. s# j
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
8 i8 w, S" Z; e0 [区间模型常用方程，如图所示：
. K0 q$ i" s5 d9 Q  R/ G% \9 A2 Q+ H) T5 A$ ]" X6 U, ]) p
6 ]3 T* l! L7 R7 o6 |+ K
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
& |& L5 p$ u7 a8 y0 Jd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
' G- v: Q6 B- I( T6 Ad[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)% k8 X' Q2 W5 }1 l# C- Z7 l
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
: s# K- x; I4 e- E* S, Y4 y; i4、2D/2D4 F  k. V) \9 b: E/ c+ X$ S
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
" ^* f5 D  ]$ H& Zd[j]=opt(d[i
" }& |% A7 T: a' K) R′
) p. `$ T( d) O7 j ][j ; y* y+ s' g( S/ t+ ~1 B$ B& ~
′' e5 W6 H  m4 Z2 a
]+w(i
4 B, R$ S! X1 ]′
9 H2 J7 h" t: W ,j
, C& M2 l# E; D′
8 q6 b- a  O+ Y; b( p) G7 e ,i,j)∣0<=i 7 b4 {! I1 T) y3 B3 P+ B
′/ q1 I! Y- P; ^- H
<i,0<=j
8 s' s0 c+ j3 k/ T1 g+ n′
3 Y7 u( x3 A* f9 s; J& l- T/ V; [1 @ <j): y/ J2 h; U: u( ^. U1 g: H4 }
如图所示：
0 L- n" w; V! u: j, \2 N
3 \* M: C! a0 F) o- P. S" v  f0 n0 f& n
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
& E1 g! V* z  e对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
& y6 o. Y. e# j3 V) N6 At+e
4 R4 V  E4 Y) }+ T; H )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n & J, N; O) ^/ M1 e# B* O. [
t
" s. Y# k$ {8 ]$ h ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
. |- L3 E& o( h: w3）计算几何
1 `  J- B" ]; b6 d* t  a- J计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
* i: a, m7 l) v7 G5 `' W% _7 j如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
. F6 w! n  j1 r! x1、double 代替 float' m; J8 @; T% G; O) i
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；' k8 v& ^% G2 j# l3 A" x0 v
2、浮点数判定5 Q. y. Z5 |; R+ @! P2 b' n7 J' x
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
0 z# S3 C  S! ?7 Y# {" U两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：/ X6 ^# }5 `1 C" {6 `% R( P
const double eps = 1e-8;' ^/ W- f+ o& D
bool EQ(double a, double b) {' r, p  q2 I/ a8 p
return fabs(a - b) < eps;
  S7 v; Y; v" g- t: e- j/ @; [}
3 ], r# B3 W( K6 M( f0 Y8 i1% B6 c2 g9 U& U
2
9 G, {& m' d& _; W2 K) L9 b3; R8 F: {; c, W' d8 B* G* l
4; P% }2 l5 J) w& t, C
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：8 z, @6 k/ q$ x6 C; f
int threeValue(double d) {
3 {0 J: U1 |: \' }0 L- h; w if (fabs(d) < eps)
; W" ^. k0 G5 V) t       return 0;9 ]8 o3 }, v! @) r
return d > 0 ? 1 : -1;
0 m3 `( |+ {1 g# `' |2 {}
% H9 T2 X7 {) U% Z9 y* Y+ N1$ H$ w$ I$ n( Q8 I2 H% b% T
27 ~1 s( G' X' |1 K" v
3
- O4 W, U% T# Z4
& S; L' |2 a, H3 `, x5
8 q6 ?/ h1 p9 {( b$ o3、负零判定
. {% V* i* Y: S6 G+ Y9 d& {因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
' J( H- m. a0 `, l double v = -0.0000000001;
8 r8 {1 x* L) o8 S1 D printf("%.2lf\n", v);
( n2 r" d4 c6 r5 K! D18 I' J2 G2 j2 ~9 V: S9 ~1 _# y, I, i
2
# A! n, w: P* R- I1 n4 [避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：' g" b! q$ r+ G3 C, ?$ w
double v = -0.0000000001;
/ H3 q- p% @+ u) H, M# { if(threeValue(v) == 0) {
; Y  [4 N9 A, n$ \& }       v = fabs(v);
% Q1 W' _' e0 e# `5 l }
$ C: `$ e& s: n4 p( [ printf("%.2lf\n", v);7 r5 N9 l  D6 u4 Z0 ]9 q" K
1  y8 y6 k2 v0 E7 e, ]- L% L8 \' n
2. _/ c$ Q  [! R5 L3 F* H' x
30 ^) t$ L5 j% z
4
, t1 q8 e! l/ G1 {! \- w) \: J0 j5
% M. V: _& K" W8 u4 n- M' Q4 Q4、避免三角函数、对数、开方、除法等  ?( ~. Q2 I7 o" ?% s, q! u1 b( |
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。1 {+ N) u2 d. h& h. c
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。. i6 `6 J, |. n/ w) ?
5、系统性的学习
: L( W* s9 g) V8 @7 E基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；: ^% U9 @  H  ]. e; d. d6 L
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
5 e/ N" i0 O- x# v" ]' F3 [7 q8 Q0 v相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
5 z. K/ H7 p- A4 e& O- f# _7 W
* e; R$ q2 Q" m3 I% p1 H( w
+ C$ `& \5 {' D/ r学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。1 G% Z8 |, g- \
4）数论* x& ~. b) L) L0 H. }7 z( C4 C
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
1 q. L. y' H+ D6 b4 {数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。, r! x: `! J" S+ x# P0 z
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
. T5 b+ d$ [4 ^) v1、数论入门! G/ V2 h# u+ r, g, A% k
主要是一些基本概念，诸如：
2 o; t. B  e9 }整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；3 Q+ H/ h( V7 h/ W7 {# U, _3 o- X
2、数论四大定理) L7 H; J9 k# @5 P5 {  H! r' q
这四个定理学完，可以KO很多题：$ n- [/ ~5 @; q1 i: h
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理0 n$ F; ]5 r) y& h3 d. |! ?
3、数论进阶
' G5 Z* B+ _, I6 @4 |$ D( s! ~系统性的学习，基本也就这些内容了：3 M$ t. o8 \, g" B$ x' H: J4 E: x1 D
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。6 T1 J6 ~( Y' h' M$ V
5）字符串匹配
& ]0 j; o  Y7 X) Y. X) V, O8 ~字符串匹配学习路线比较明确。
; s2 `  \% r$ Z  X/ |& G# _先学习前缀匹配：字典树。
* Q1 Z. g& c& K. V6 T然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。# S' o" \/ H  Z6 @! L$ Q) G
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。  x$ x/ g8 \/ L. ?0 w: s
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
+ x# J  b  ~) o: b0 e! z然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
! j" F% k, O1 b6 I; q0 l& Y+ P关于算法学习路线的内容到这里就结束了。9 ^( L* F8 i/ Z, P8 r8 {
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
# ^  C- M2 h" `/ Z$ l参考资料
/ X- _$ G1 g: q! d【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）6 ]! i1 u1 Z$ r% x" A
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
% p: F/ m7 @4 j: F! q8 |, V* i2 a【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）9 [6 q* B6 ?- N  X  I
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
1 C* z3 h* C( {- P————————————————
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