KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
- B+ |# Y. ]) y* @2 {0 ?, U简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
/ \: A( J5 [9 \6 F* ~1 ]. c

提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
先上代码
& e: @7 f7 o4 E+ k* h& Y
" w6 L" g; c9 o  A  x# b8 d4 L
void Getnext(int next[],String t)
{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
5 w+ k2 L7 ~& C   while(j<t.length-1)
   {
+ R; g0 D5 {; X$ A. ^% D      if(k == -1 || t[j] == t[k])
$ B# E  y' w6 @7 J+ V% k0 G      {
         j++;k++;
4 F1 K- u# @  o8 `) V2 V5 s         next[j] = k;
      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
}

ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程
/ F# M9 H) @2 _* q1 J, A3 x3 ~

特殊情况
/ P- R( c5 c" A/ c当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
. g4 R* _: `$ Y% k8 I
7 s; y1 i3 ~9 N, v! b
当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子

观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

0 u# b6 P% F; D* Y% @. S
6 x) X5 K, j5 e- X1 q9 M当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。

( K/ w: X& V- T2 M, L
我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
3 J7 g) Y' x7 l- @. C在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
: O" Q- \/ v0 T/ q9 F
& w7 b( \6 p: t  [　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。


至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
  z& @  R6 }# |& z

因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。

5 Q/ h/ V5 m: b) C
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了


$ f/ {. }# x9 d% wKMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
; ?: D6 p- j  Q7 v3 Z4 J* k/ r以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
' V3 W# ~# N8 h7 m- E/ l
上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
: b- b$ w3 N" ]- P! l: E
% A, i# F3 P" K0 G& e' {根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
$ \! g, d* a  r+ F& c' I  f

1 y% n+ ?, ?* R& b' m. f都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
5 M+ ]9 c, @: J1 Y: m
5 t. G. ~0 W' t+ v, M6 s  }9 N
int KMP(String s,String t)
: i' t7 s9 u0 y5 B7 I; f/ Q{
' R1 f) V+ V7 ~$ W. C! J1 K   int next[MaxSize],i=0;j=0;
$ H6 J# e% ]- ^   Getnext(t,next);
$ _/ l( |/ K) j, q  d   while(i<s.length&&j<t.length)
0 G: \9 a* V6 u! p8 S+ m+ f# c   {
( |2 S2 e; B& a. E2 s      if(j==-1 || s==t[j])
4 W. e1 L5 j* C' P1 W      {
         i++;
, g$ o5 [7 T! i, y         j++;
      }
0 L) K# v& J2 l) v0 ^; n      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
0 a8 Y/ a( k& B: E$ I; T   if(j>=t.length)
, |3 ]4 [) w0 F# C$ J: `/ J. {       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
/ z9 g: s% N/ K* _3 u7 O) |      return (-1);                  //没找到
* H, b0 O  R6 z1 U}

7 u  \  _$ \% l/ O. C, B* P: ]* D改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：
, F0 H4 ~. Q3 k* x
显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

7 j; X- a( a1 Y( `+ b- l8 r
所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

% W* N8 b+ u& I  w/ H, d
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。

2 Z3 Y# d- B8 k! l$ ?+ O$ u. t
所以我们需要谈价一个判断：


void Getnext(int next[],String t)
/ T5 Q* P' r2 c9 j{
   int j=0,k=-1;
4 \; a" s% j  R: S- b# D0 Z   next[0]=-1;
) H- d6 X* h4 o   while(j<t.length-1)
   {
  p" t; z: X7 v( W      if(k == -1 || t[j] == t[k])
8 g1 T+ }2 p# m3 Y; y7 s      {
! W) G9 i$ \: W, ^6 Y# S& f- a         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
0 h( S7 N) J0 ]) t            next[j] = k;
1 o# u3 P/ f! V9 q$ K& N; B      }
& b% m3 |- J3 I) p7 g$ N7 ^      else k = next[k];
   }
' q* B8 H7 D; Y; s# [2 W0 h}
1 J" q& T! o! c3 o" S, q————————————————
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