KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
" ^" R  T. X8 u" {% q6 k6 n- E4 T

2 v% @# E  b: r% K; z6 T提取加速匹配的信息
; {/ K4 R0 Y" v( ~- }9 h　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
; [) N& G. g% V  \　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
* Z$ \% E$ k# m6 v: \! y, D　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
0 _5 k7 A7 A: B' |  T5 s* I　　
先上代码
! {) v( \* Q# Y1 b

void Getnext(int next[],String t)
; g9 \( R% v( |0 [% S3 B{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
6 C7 t5 r* }, L5 V5 o7 p5 ?' n6 v6 z0 e   while(j<t.length-1)
   {
4 b% g6 h+ p, G- X" U0 ~; D      if(k == -1 || t[j] == t[k])
  A" a& B1 Q& J' }" L* A1 |      {
         j++;k++;
1 ]4 [" {- A& h         next[j] = k;
      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
& z! g7 d- [  W9 o8 U$ M( A" R   }
}
4 X5 z( z! N( h; l% m8 i6 Q6 D
ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程
" l9 a; S7 ^% Y; U# G
- J; ^- Q1 g4 x% N* D) u! Y9 ]0 P
5 T4 F' K; H2 |  E特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
; y& r0 z) b) C! q- s) K8 S8 u% j

当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子
: j3 o# o8 G! o5 A( U* C( X! t5 g$ G& G
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

; o/ w2 f: Y8 {* ]" e7 s
9 @! l+ K' _1 T" h3 E# [5 P4 X当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
% \4 x% D0 o+ E8 Z
0 z3 ~4 Z% T8 N& w* K
我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。


至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
+ S' G( y9 ?# n% k' o9 E& k, E
" Z5 I/ }4 j+ E4 |7 ~- E
因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。
2 M* b0 @% o: k  f( O
+ ^. |% \( |. l, m% Z! j7 X- }
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了

, W( W5 m/ O; A4 t0 C  p
) _9 q5 B( n3 vKMP算法实现
4 k' I4 Y& n0 B6 k: _+ }; m: E: i当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

4 O0 w. U; S8 L6 C* T根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
" m. f# m0 X, @$ |* i; S( U
" r3 s! H/ \2 K" b* E7 ]; ~将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
% T2 y: D1 E% W2 a
' ?8 a" k% ^! u& ?8 N+ ]% Q
都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
  |4 D5 z: a: c7 L- G0 ]/ [; E
! I' ]( _: P4 z: r7 H! W! Y
* B% f* a  ]3 t7 q* t* N' Sint KMP(String s,String t)
{
7 Q- [7 b, v9 I5 Y8 @/ K8 b" O   int next[MaxSize],i=0;j=0;
, [2 q4 h' L8 S( C& T" U   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
      {
         i++;
; g" H; r) n7 f9 Z         j++;
" q+ N" G! e  W0 m1 K      }
0 a6 Z2 o/ ~3 B" W% S7 l      else j=next[j];               //j回退。。。
4 y5 ^: P: p. Z  J* \- p; p- M   }
   if(j>=t.length)
       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
      return (-1);                  //没找到
/ Y  g% J$ D/ k$ |# v7 B  C2 C}

改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
1 `+ l, f6 p- e% Y: g& M/ c9 G

  T6 ]9 D7 p1 A+ f所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

& c! H& A4 E  p不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
/ V" c# W, h) b9 `
  A. D2 A. `; Z4 d; d- a- H
# b7 b, v' n$ q; U6 h) ~显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
3 M3 j7 `: k% D  ]! c; C1 l2 v

所以我们需要谈价一个判断：
% Y9 _+ ^$ B; p: w( l
0 X1 ~0 e; T' x" D# P  ?% {
void Getnext(int next[],String t)
8 m/ h4 D+ j$ w: N0 _{
% k$ U; |. U( d$ U9 F9 j+ f1 `# N   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
   {
2 [+ t% A* d( R: Y% Y9 ]$ c      if(k == -1 || t[j] == t[k])
+ l5 x6 `3 D" `3 g5 k      {
& H  ^6 @5 k# @: ?9 D! A- @         j++;k++;
% x2 _! X2 }5 ]; O9 R! n- h         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
( t% y4 j+ c" ]' [9 _+ a* C            next[j] = next[k];
         else
            next[j] = k;
      }
      else k = next[k];
2 j0 [! O7 K3 K. S# F: |3 Z% q% g   }
6 n3 c# f7 [/ Y0 R: K  ]2 O}
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5 r. R- G6 u0 j' m