KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
! h9 f( y' P# ^- \5 P& d+ R简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
$ J* K+ A5 v! h; Y0 ?
! j5 t+ W2 T2 u3 ~9 L$ s, c
提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
. q: A  j8 j3 t: b, G先上代码


void Getnext(int next[],String t)
{
+ t# v! M5 D! _3 a# N3 v   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
: W5 @* X0 `+ {! D0 D" E   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
         j++;k++;
# h1 _, I$ `$ f# ?: F         next[j] = k;
. z" U& ?8 L& E5 M, t      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
- r( ^* \( H8 }8 E}
0 n! N! a  q$ E' l% `: L; \
ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程


特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。

; X% V0 E3 ]* ]! m# [! J# d
当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子

观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
/ X7 s+ d! U9 M6 B  V8 S: C

当t[j] != t[k] 的情况
8 D" E: k' L. t5 J6 Q" o8 ~关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
- r2 i1 i$ S7 C6 v" N) O3 X( W
4 k9 L) p2 a2 t3 ?6 f. i' v
我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

1 |) T. {  r. f) p3 h# A
; q3 e, {% y2 ?& d" d- P) [至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
2 |: T! t% }* E! n" G
4 O3 r; ?3 r; _# T7 [  j
! L7 b5 {% u) r9 M/ C* R因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。
, m+ u/ x; e& f* P1 Z7 R8 z

& s7 M& y/ W' V( J) [3 E5 U0 J7 r再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
& q# I( O& E$ @1 b  Q  M+ Q

7 D  C" B/ D5 _0 R( x& M: pKMP算法实现
7 }2 b) I9 P5 l9 @. A% C1 Z当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
1 Z7 K% |; }0 U5 v/ Z6 Z以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

( ]. k9 g1 A9 X4 v& b8 i* P根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
2 l1 [5 R0 Q" j  f+ i3 U/ }3 R- l
+ ^( T- _6 y# \
都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


int KMP(String s,String t)
1 s3 [2 _9 u  l4 T( l{
; g' P! k) x2 B  z8 X( `: q4 n1 Y   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
      {
         i++;
0 ]( u# N7 x2 M/ R* t9 I. s         j++;
- J  l" U4 f3 H9 l! y      }
. b, G! [) c3 w; n4 S2 X! o$ ?      else j=next[j];               //j回退。。。
8 n: f1 S& P* G2 I+ R   }
   if(j>=t.length)
       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
      return (-1);                  //没找到
}
# D4 i) F4 }9 H/ E1 h" q5 b
改进后的 next 求解方法
( K4 |7 w1 v4 `5 F- e先来看一下上面算法存在的缺陷：
* o" R6 \4 b& c1 k
显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
1 m% m2 {: [( c

# V2 Y& b0 q3 K2 P5 _. M/ L2 j) b2 {所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

* @+ c: q& i4 j, B% [* G; d  |2 f不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
4 N9 x" k% T8 R2 G' r
0 s- f& K3 E7 J& U1 O0 {
- m9 R4 U* u5 `5 T6 e( h显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
3 b, B; l8 ~1 n' I$ `

所以我们需要谈价一个判断：
6 J" ?, X- V7 y4 S* b8 U9 g1 Q, B' h9 ?
& Y+ ?: L9 Q9 W4 I; D7 w( o' M
) }0 c8 Z( c- A& Lvoid Getnext(int next[],String t)
0 ^7 p- F/ S* h% m3 b$ a& |+ Y0 m9 Z{
4 T! ]0 C3 z9 x  o. J4 I; \% b# A   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
2 Z9 F4 M5 |5 i( J' v& W- ~2 P7 Z   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
; L2 f7 G, |- e) l         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
8 }6 n3 L0 V% g, g         else
            next[j] = k;
      }
7 m$ U+ Q/ X8 }/ y6 G! f      else k = next[k];
   }
}
+ X& x' G7 `9 ^3 w: N1 y————————————————
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' O* J8 u( D& x4 S原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
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