KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
0 Q$ ^" E, H: n3 S# V6 W& h简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
' }" P! }8 ?+ S: x0 T

提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
" \% |+ Z& B6 R6 p2 N+ r　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
, e& s7 {% l/ R　　
先上代码
' C* X0 x8 m: Q7 n. Z

void Getnext(int next[],String t)
7 O2 j8 g' p) ?( p{
0 D5 b" ^- c1 w$ Y   int j=0,k=-1;
8 Z( \( M$ w, Q5 e" X* H& p   next[0]=-1;
+ h$ r& p- M7 f; {. N   while(j<t.length-1)
. x0 G1 v: n! q5 i   {
/ I3 U: j2 u+ \; u' `2 z2 E      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
3 V. `0 K. q; U7 }. V2 L         j++;k++;
         next[j] = k;
      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
8 r! V' S, q( L( J, n4 a7 |   }
}

; k/ [, L% T, {# v. q1 a  d# e! i$ Zok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

1 [$ F" t, P# z0 m5 V* r* q! U
( m# o3 v* C9 V+ m: f! a' @* e' A# v特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。

5 U0 }% i( u  |. W1 v8 W
当 t[j] == t[k] 的情况
' ~4 @& ~: q+ y0 e6 N举个栗子

' t. a$ s  ]% Q+ O观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。


当t[j] != t[k] 的情况
( _2 l9 `# N2 |, o" \2 X1 O关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。

  \6 ?7 X* j; n, T( F
  g/ P$ b: ^9 \我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
( Y7 A  I/ e& W, b8 h* ^在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

4 f5 D' H; @# W& r. i, S
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
& J! Y, W) ?% Y/ I" [* W
# T8 a. s/ M/ M$ q/ g0 `
) j) @' A! C1 y' h) K, M! }因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


* p& g6 k) z6 ~  k4 H' T! m' \/ a& k& N再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
. w  S& o8 P6 {- y2 K. f& l$ r! M

KMP算法实现
; T# V" y$ h* S& g1 ^' i% t+ x7 l当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
* N! u. j/ R$ M; }  v- ^以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
9 c- F4 s" `5 U/ T$ n
根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
0 p4 N8 s0 \- C  w, g& g
将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。


都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


int KMP(String s,String t)
{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
/ V9 N' Y( O) @* T6 _      {
/ S3 ~- {$ Q- n$ A7 I         i++;
( B' K, |1 n" Y" I* F9 W         j++;
: y  _" Q$ S% Z0 H+ B      }
5 V3 L, d+ A6 a$ G      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
   if(j>=t.length)
" f1 X* c) y1 Y* C( W       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
: W! b: w4 r4 b   else
  }1 ?) g& q4 p1 ^7 \5 N      return (-1);                  //没找到
}
% s5 j8 ]  }% O) l& M+ l
$ J( L, E4 u3 m! C& O+ A( f改进后的 next 求解方法
0 Z2 o8 C0 L" Q" ]; Z- Z先来看一下上面算法存在的缺陷：

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

1 \' I( m5 c9 C5 I
8 m. S8 @# b  D4 z: n" X所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

2 B" S" p8 Z$ v. q5 ?不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
4 w6 T7 }: K0 {# g0 U% e
+ ?6 G& t* n2 h9 m+ i; F2 d$ F
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
/ K+ d6 |8 j6 u& C4 p

所以我们需要谈价一个判断：


3 A; ]3 N6 f' P8 Fvoid Getnext(int next[],String t)
{
# x, t% n. q8 j+ [2 T   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
3 Q5 p+ q* Z9 Y1 t3 Y   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
/ S6 b' F) N5 d3 B$ [      {
         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
% A6 @& c2 }# y3 }# n' U$ |: c            next[j] = next[k];
         else
            next[j] = k;
      }
8 ], w7 z" ]5 J; {      else k = next[k];
   }
+ p2 \& ]/ f- r; Y2 ~}
2 j8 E" c, B" X, p————————————————
7 N! V. n7 F5 c* x版权声明：本文为CSDN博主「June·D」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
; \+ h( \% J9 f4 M# ]原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
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