数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
& g  m# d7 B/ M& ^6 y  {1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
  }2 R! c, A- n9 d+ K型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
" \( d$ x" k  N( G# E4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
! W9 q* n. c# g! X% j; R1 E5 q一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
* X. A4 o: q* O1 w1 P9 q- F往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
% W* _/ }% G+ x- s; ?比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
/ S8 p# [& Q' L+ o6 `# e& n6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
; q; u' d/ [) ?$ M0 {' B运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
7 J7 s& q% {! S5 Q- M. R1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
9 b# C! z& w/ ^2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
# _: {0 P; [. \比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
2 o$ B7 ^  e! U通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
+ M  V6 i2 T5 E% a) ^建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
1 k% H( W7 A  X6 o5 Z4 、图论算法
. m8 O6 B- ?7 g" _1 C6 l: s- c这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
, x; i7 T" e2 ?- K+ t0 A, K论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
; D( ]5 J; E0 p3 D7 L6 o7 、网格算法和穷举法
3 E8 F2 P  r8 I1 s% ~. T当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
6 K7 X# s" i7 W  F, Z. Y8 、一些连续离散化方法
: W( L. @3 G4 a很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
2 m* H# h2 ^" A9 }5 E; |1 y9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
. y/ \2 ?7 I# {% W" a10 、图象处理算法
" J; R7 t1 `" `' }赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
) V/ e5 J7 a$ Q$ ~, [行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
  E! F6 [3 l) A) d  H解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
: r, w% C6 D. h9 X# Q. b①数据样本点个数 6 个以上
, ^/ u. ]- L5 z& M. ]②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
/ ]1 P& w2 f7 j5 s3 、回归分析预测 （ 一般） ）
* j* ]( ], K( U' c求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
4 a# N! X4 \" ]3 T( J1 c②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
0 K+ x: X9 M& l) b6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
2 R1 M  ~8 T& a: ~( k3 A# t- l$ O! `预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
- {- n  E1 [9 g& l预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
" k$ J! m/ n5 M; ]- q' F" h大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
' Y! M! l- d  f2 y6 b5 {办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
2 [$ D5 ^& F' ^6 a适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
! {$ m9 y4 @4 S1 C" \3 A拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
4 N% Q5 B3 q  p8 C3 J( A( B9 H在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
8 F- i4 N2 [3 d' R% Z+ D5 A逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
. H5 B8 ?3 r2 X( @% S1 ~/ E10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
  H( R2 w  \  C. b$ V7 G11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
* b4 J- ^0 ]) O& W13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
  i+ g  {6 K6 a4 W+ F其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
0 o$ v! H: S: Z5 i, K评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
+ S+ \$ p2 U- `; h的最差值。
2 w5 y  {8 B: q4 \15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: y. ~( F8 q, S可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
4 `2 ]  U9 L5 k1 ^2 m该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
, j$ W- _: e: B0 ~; c  u# ~" {2 l协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
8 F  r, ^  y* @! f9 m素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
2 {0 T# ]& O, l2 W6 v. ?模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
  G$ V( k& T$ o9 c! h! a) \, a优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
, o) M0 h2 ~5 ^7 U3 g( T非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
  w- \: m; n: q其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
5 M3 R9 @& Y9 E# E* r6 q+ a19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
8 J$ l. P5 l5 }. I& l6 C离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
( I4 y- R. }% j' [即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
; I5 H% Y. W6 q" y计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
+ j2 |- a" a6 o) i1 D$ u$ W6 ]般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
  {! h  V! D" o例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
+ P4 r9 j" ]. A# B, I( J: P22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
% U! o$ q& H. d# x, P0 Q. _+ S$ l# @射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
% v5 e* M7 W2 e- n. u# ^* c1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
7 Q6 P2 e- E/ Q# v4、判别分析
5、典型相关分析
  j5 M# S, }: z  |7 q" a6、对应分析
: |% c6 h) P/ w4 ?. [* J7、多维标度法（一般）
% b+ U% ?3 N! m' t+ I" i8、偏最小二乘回归分析（较好）
7 ]8 R1 Z' z( |6 a, B, ]: H8 t) c24 、分类与判别
: `1 E0 \2 A: o" m主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
* D3 ?6 w: v# r4 @6 N* R. K2、关联性聚类
3、层次聚类
/ Z; a; E" |+ Y( b6 |" V4、密度聚类
) O# Y8 v! A" B$ Z5、其他聚类
, C5 z+ h/ ]$ @: f& M6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
" N: u. g4 Q# B1 G8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
/ [% W; L. X7 Q% t, i  w7 _3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' M$ D* [1 c; ?# i- e, I4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
( C& w/ a/ S9 C5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
1 u( q2 x! T& E5 h一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
+ ?# _( k4 P( o5 p若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
& w: ^# ~, Y1 X) K% K( O7、生存分析（事件史分析）（较好）
$ W, a! P/ ^3 w- B数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
! h2 j! |# e7 e1 g# y5 p; S! u计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
" w, e! U1 G8 A$ T9 {# V% P9 O& e9、优势分析
8 Z# S! B2 q5 ~26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
0 }/ V7 ]$ k( \量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
; ?/ S) M) B" p2 t% j; X$ d; Q( I率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


) d- R# S% }; C5 c8 ^8 v
( g% Q- k6 _, O( t

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的

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