数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
5 l  z6 `  H# W4 Y1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( F1 `9 x! C3 ^! m( L静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
  l- Y4 p: @7 q2 e* v5 L性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
' m: ]7 [3 Y; j' n& |8 [) O; p* V! f人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
) c# j( M. j* M# P2 f预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
6 j3 f& \- g) a/ y% E2 H- a一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
4 U* u1 Y3 n4 U7 p4 P; K比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
: |. u8 w7 q5 {6 y6. 按比赛命题方向分：
4 O* F6 X9 S* K, u国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
  d& b9 G; q/ j3 r3 f数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
" W; T. G& u% E4 ^该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
8 C- ]+ _. M) F% A4 E, R; y以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
4 C( @/ k- _- T5 |& i5 H5 Z2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
- q' \: X0 {+ U- O& ?# y比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
, [& P& }' Q. Y, w建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 _0 l8 P4 `2 X  |! j4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
' q) Y5 j/ n, Z2 F' u论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
& k2 V/ V5 ]. K* ^这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
' v: p4 H0 }6 W: c6 u6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
$ k/ w( j1 n! g2 v这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
# x- ]" w* O' [$ m; c# ^当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
8 K7 V8 u) R. e& e$ Y9 W6 R( Z一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
- g* \& ^& b5 Y' U6 Q) H据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
% V) z1 U; ]4 |# c如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
6 T# N( i4 [0 y- j* Z的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
5 [9 s# o' n. I% T- s5 t, s& a3 G0 w行处理
算法简介
, E+ I# D3 b, C1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
/ ^6 n8 J0 @2 p8 Z( ~7 e; g个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
. O9 r6 w# a1 E: o, ?2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
. r$ x9 P- Q3 ]6 f) p2 ^7 E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 s3 ]( y/ }, x7 B1 n其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 T4 G: c+ Z8 d2 i1 f0 O. N3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, T0 d* K; l0 d- O' u( u求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
0 L" z9 C' M- V% M- z3 x化； 样本点的个数有要求：
) M% z# L. K) \+ I8 ^①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
2 s1 m8 @7 O, r% V: W②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% r: v! H3 r* j6 A0 X1 B一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
# K5 N1 ]7 `. k6 y- G互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
( @: R$ n1 h5 d6 f. S2 Z概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
; x  C' ?' s% J1 H预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
' h; a5 v5 ?% z3 V5 g% V% A& ]（较好）。
2 X" f) X, A( {' j0 Z6、 、 小波分析预测（高大上）
& E7 _$ G  q3 r4 a数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
% U& X5 @( Z3 q, L& o' \$ P! N' t预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
+ Q# E& S9 k, U0 F: @/ Y9 E预测波动数据的函数。
' R) ?- V/ p! d( ]6 W7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
4 [! ]: Y; w2 `& c6 O( B9 i8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
! ~$ c- F! R% g5 Z2 ~6 _7 U3 O' v" _拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
1 Q2 j" {- Q( E) N  c: s逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
. L' [# O) Z' L5 [10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
( |. u' B( `6 ]& b# o& @1 {12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
$ q/ p) ?$ l! h0 O, U1 ^* {优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
+ w/ ?+ X1 W9 b0 _法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
6 a: @& {4 j6 W, ?其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
* m  _( Y8 K" v* K% ~- y4 ]15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
" X8 p/ }1 ]- r协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
' f0 o3 N, l4 Y1 O7 k此外还有灵敏度分析，稳定性分析
( F+ g; a& O, a( X3 u17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
1 G. {$ f" k2 i! c优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
  p7 m) z! h1 s& V3 e智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
' [: x" J2 Q& I6 W2 \. ]8 t算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
4 M: L/ ]$ W9 A* t19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
" ~/ I+ Q+ G' W" X. n20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
% ^5 \* X5 R' I8 b2 w7 c0 J: m有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
, j' f) }% V4 K6 a2 MMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
+ w4 @3 }1 v# z5 w支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
* f. y- M  z6 `  M射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
5 P0 }9 ], m& a! c  p1、聚类分析、
2、因子分析
- [" z$ k  m* D8 M- ]3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
9 c- [( a% Q- \0 T从而达到降维的目的。
0 |6 L* M+ N7 n4、判别分析
5、典型相关分析
4 N; V6 f( n! P! r: z  V5 m; g6、对应分析
! b7 ~7 r8 _/ z; c7、多维标度法（一般）
& L1 w( m* h; i0 u7 q. `8、偏最小二乘回归分析（较好）
7 N3 R) w  n6 A/ `% l; W24 、分类与判别
, F9 |9 `. [2 J& A主要包括以下几种方法，
- u4 K% }: @1 F- ^1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
/ g; x6 E: ~+ x* t5 |6、贝叶斯判别（较好）
6 V$ v8 s$ T, _! ?8 u6 w7、费舍尔判别（较好）
$ ]$ e4 r$ q$ u% g/ M4 S9 S& @& G- h9 V8、模糊识别
1 v0 l! d3 {" i9 M  J; i' X25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
' o& I8 s0 m4 y3 m" R2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
9 A4 T: @2 T9 J/ ?3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
% i  T: c" g  G8 F+ c. ^+ U1 |3 }（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
8 Q3 D; D" O% J- R7、生存分析（事件史分析）（较好）
9 E( L! W- G0 S# o! i4 ^( h1 t/ L8 p数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
3 ?+ Y& z/ ^2 a. }- D, s* W/ T8、格兰杰因果检验
/ m' k9 F' }5 ?  D5 v计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9 k& l4 a3 \* V2 w2 t9、优势分析
+ b& {& T6 k0 F- ~26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
2 i1 l* {: _) B- N, v量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

3 P1 D' D+ o; b* [! D- i7 X
1 {2 I1 r0 W) h6 D4 u7 `
; K* Z1 y4 W, y+ {' s

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的

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