数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
0 i( h6 ?0 C, b0 D. ~& H1. 按模型的数学方法分：
% S5 {4 w3 {# b# R) Q% v几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
, _7 v' d; N9 r) D6 q- G# A! L型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
4 @/ O% \7 ~3 m* K4 V性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
0 @# d. H# R3 D一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
, R9 {9 G6 ?) }3 W* I5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
' d' }9 \% k4 o0 F6 ^6. 按比赛命题方向分：
  u# `( J. L- J/ K3 S0 H国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
/ |( I( i; l2 c+ E7 W该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
- N+ i/ Z; p, r比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
6 k# c/ g  p8 o1 O" H( l" C  N9 R通常使用 Matlab 作为工具
' k# f7 \( x3 ~% q7 z+ M  Z) u; L( j, Z3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
3 h- U( Y, o3 v. M- V+ M4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
1 S" o9 ~# B" V( d- d6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
( B" b, Y  a4 n- `1 k/ M. `0 w7 、网格算法和穷举法
% w0 f% k( F1 ~3 `5 R当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  s( c% d. W' d) q- t一些高级语言作为编程工具
8 N" a! ?( I6 z% N8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
  w2 ?1 o! K, U9 O5 Q) t- J如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) d8 O# p/ K  P8 z! l8 H10 、图象处理算法
8 Q+ {! G' v+ R! m3 `9 d4 e% K赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
9 p6 S% j" v8 B8 _4 A, O5 V0 `行处理
算法简介
: I, A* W  U; D; z. O0 F1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
3 @  l& U' y) {8 J) \$ U解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
7 S3 I! R- d5 ]  t0 ]个条件可用：
# d' i+ e3 B( B6 C5 R& R# }$ F" o①数据样本点个数 6 个以上
  b9 b1 T% a2 m( l) s7 z+ f②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
: J/ i/ f6 t* ]* }; ^2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
, J2 H5 a+ z0 O8 W5 c找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
0 m( q' `' ^& v: ^& U* g求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
' h( t0 H' H. n. y' u①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 e' j) t. h( |' z. \$ ~②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
: D. x' l9 n% j; |* [& m互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
! K6 f; g: S/ y, V) I概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
. z- o$ R, X+ P, b（较好）。
2 j" \  [& f" V: {2 }' d6、 、 小波分析预测（高大上）
' [  i7 E6 ^4 |! @# n数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
) A; u7 {  K2 ~; J4 g1 ~8 F预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
( ~: ~& O( c% A1 W5 O+ M大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
( v) x- v0 q  C! v! v& B办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
/ ]1 w# I! c% m; J8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
2 [7 D" f$ I9 a' I% w拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
% P' u9 z# R( ]在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
, R+ J7 U4 b0 \* K7 J逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 j5 q* P3 I  Q) u1 R( ~) q4 D评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
! G  B6 U1 X4 M5 u! O+ J11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 Q3 y; }3 {: r2 g2 E, w作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
$ o5 y' G  |2 e0 k; T- R7 v" V12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
9 l2 _8 o6 R& b+ a优化问题，对各省发展状况进行评判
& H2 ^0 b- R/ ]' d, o4 C13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
  o' r8 W6 r3 k: t似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
( T6 O1 W! U& m0 r! a评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
) x* |5 F: A9 _1 d- u5 d解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
) P; T% ?9 t% c9 l. F; {; @$ s的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: y6 _' o5 o6 b3 H% Z2 N可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
6 }! H* N9 o' D4 N) \4 e该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
/ r7 L9 @- f7 n4 d6 D, r方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
& T% G- T' k) Q( h& W+ p2 j量有无影响，差异量的多少
) b+ R$ t1 B5 O; y+ y协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# U: w/ ^# }1 @8 A$ n( n- _  G素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
# D- m% G3 j% z) c0 j* n# i此外还有灵敏度分析，稳定性分析
/ o+ t- w+ [. u$ Y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
* E( _" Y* D, e* B) B, x. L5 c模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
5 N* @* P9 X5 [) C; p: }2 X) g优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
7 C2 ?5 S7 o# k非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 D9 `; `: z* Y- S6 ?  K智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
1 B$ h. G" O- h) [其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
9 _% c; T! t, i6 j+ F离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
$ R4 V. \& p+ w+ b: T$ v( P* v. h' m有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
1 `, H2 O/ n, X5 l" I. _计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
2 l# h5 @/ I' Q8 h% q/ w/ G般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
% a( G; M4 U/ G+ |6 W$ A21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
7 e$ |& p) q: D, A) Z: y9 M22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
: S$ Y2 ~/ Z- H, g) U$ {射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
' w8 |2 y  P* M6 f/ p$ }% J; W1、聚类分析、
: D' ?+ J+ G; h7 F2、因子分析
; k% G8 G% c/ S# {, p! P8 }3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
2 j4 ?5 J( R: G! c) K" S各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
- J& q( |* a4 y从而达到降维的目的。
2 `3 d9 |& s- b2 B3 n, C7 Q+ g4、判别分析
5、典型相关分析
" h0 ?8 a! f0 o4 q6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
6 m8 A9 M- t, i% H: h8 O9 |24 、分类与判别
  w7 {9 _% [  a! b! y  o$ c主要包括以下几种方法，
( n( Y4 L/ L# w. G% i- a1、距离聚类（系统聚类）（一般）
5 K3 Z- N4 W. n8 H4 h2、关联性聚类
% t4 w4 f7 B7 C- g' \2 P3、层次聚类
4、密度聚类
, _' F/ i; A& h, [$ O5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
( f" s: Z& D$ i+ h1 a: e7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
+ }; S" t- t  N5 p25 、关联与因果
9 n2 D3 z7 R' K8 w1、灰色关联分析方法
2 A9 d  B0 N0 Y+ [2 V2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
; o8 _. I. C8 k, ~9 X! Y! I4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
3 ]- x# D/ z' a! Z. A7 q. W5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
- `' c/ g7 z+ c. w8 E- l, ?" n一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6 a) Z2 G4 ~" I* @6、标准化回归分析
1 `1 }- ?: `; S# S% G0 a$ \: U若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
2 w+ n9 R1 C1 Z" o6 q* c7、生存分析（事件史分析）（较好）
3 K: s' z( A( @1 y& M+ t& K7 q& U/ R数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
9 A' W9 q' A/ T" S; s8、格兰杰因果检验
9 y! ~9 ^5 s8 Q' b! c计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 c( p9 n3 K/ Z4 h& d* X


3 _8 S) p" F7 R! T! [  t0 ]

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
  X# K+ \7 V! M$ F" ^

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# o7 d9 M  C/ U# q( F7 d- v

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, [9 A) ^5 M' _* |; n7 `# ?
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