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TA的每日心情 | 开心 2023-3-15 17:49 |
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签到天数: 224 天 [LV.7]常住居民III
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数学模型的分类
& g m# d7 B/ M& ^6 y {1. 按模型的数学方法分:! ~% y5 P$ I+ A. s) I
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
}2 R! c, A- n9 d+ K型、马氏链模型等。" X( u/ A0 [+ R1 {, F/ w+ |
2. 按模型的特征分:' U* c0 L0 o& Q- Y! I
静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线2 c* e7 R) `8 D- F2 [8 t
性模型和非线性模型等。. \- E0 D e. ]6 I" I
3. 按模型的应用领域分:7 ?8 s# ?( t" U3 J
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
" \( d$ x" k N( G# E4. 按建模的目的分: :0 \. t& E$ S4 z" v0 G7 R7 b$ K- M& X/ B
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
! W9 q* n. c# g! X% j; R1 E5 q一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往
* X. A4 o: q* O1 w1 P9 q- F往也和建模的目的对应6 D& u. k4 c5 y- O
5. 按对模型结构的了解程度分: :, N# u5 M+ S- D/ h
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
% W* _/ }% G+ x- s; ?比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。
/ S8 p# [& Q' L+ o6 `# e& n6. 按比赛命题方向分:5 I6 Z6 `( n& `: E# j2 r% o
国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、
; q; u' d/ [) ?$ M0 {' B运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)3 [* |* ?6 P" I2 K- p; F N
数学建模十大算法
7 J7 s& q% {! S5 Q- M. R1 、蒙特卡罗算法) ~% @3 l8 g' ?/ x! r8 I
该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可& H/ z2 [' K9 @/ o
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法
9 b# C! z& w/ ^2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
# _: {0 P; [. \比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,
2 o$ B7 ^ e! U通常使用 Matlab 作为工具5 x' k7 W9 |% |5 k; V
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
+ M V6 i2 T5 E% a) ^建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算% k. C( j! ?; _1 p5 z
法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
1 k% H( W7 A X6 o5 Z4 、图论算法
. m8 O6 B- ?7 g" _1 C6 l: s- c这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图
, x; i7 T" e2 ?- K+ t0 A, K论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备4 J. B( ~. }% B- x" Z! Q0 M
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法9 Z$ O( ]5 H* J7 e A2 V5 M% J2 i
这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中. A0 _" c1 c9 y2 q8 b3 u, [
6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法1 P: R. K+ p4 m6 W
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有! D0 ^: N4 r8 N( q5 O
帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用
; D( ]5 J; E0 p3 D7 L6 o7 、网格算法和穷举法
3 E8 F2 P r8 I1 s% ~. T当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用* |2 x# C% q2 s) P/ b
一些高级语言作为编程工具
6 K7 X# s" i7 W F, Z. Y8 、一些连续离散化方法
: W( L. @3 G4 a很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数. ~# P' {/ M0 n U1 ]8 x1 y
据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
2 m* H# h2 ^" A9 }5 E; |1 y9 、数值分析算法( E; l+ _- v2 N7 o) |8 d
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比/ m% q5 B' N6 u# R. K+ _+ L
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
. y/ \2 ?7 I# {% W" a10 、图象处理算法
" J; R7 t1 `" `' }赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片* \6 W0 G: S/ ?
的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进
) V/ e5 J7 a$ Q$ ~, [行处理: w" j. I$ M/ G; p w# m
算法简介6 ?' u9 N, l7 Q+ U6 ]3 A: [
1 、灰色预测模型 ( 一般) )
E! F6 [3 l) A) d H解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两+ `' v) {$ Z" n/ _0 J/ Q% N) p6 |# P
个条件可用:
: r, w% C6 D. h9 X# Q. b①数据样本点个数 6 个以上
, ^/ u. ]- L5 z& M. ]②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大$ b" s. b% @; @6 P* n$ a1 u
2 、微分方程 模型 ( 一般) )# C& u3 }- a2 c1 _* U# e2 y
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但( e' [" K E% w) y6 z7 ~9 { u: h
其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以1 W! M0 ]. O) ~+ Y" |/ M% A& d
找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。
/ ]1 P& w2 f7 j5 s3 、回归分析预测 ( 一般) )
* j* ]( ], K( U' c求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变 B! X: p: }& C" ^- a+ X# t
化; 样本点的个数有要求:+ Y. J: p6 Q( [9 S1 t
①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;
4 a# N! X4 \" ]3 T( J1 c②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;2 C# a4 e, s. B: D) I
4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )% L4 b' [3 p- S0 T5 X) y
一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相/ s9 |' e% X' Z) H
互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的5 B1 o9 u( V: j* D3 Y1 S4 ]
概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。: ]) V# G4 e0 X/ J$ s% u* Q
5、 、 时间序列预测% w. n# y6 I2 k! Z
预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA8 V% q' H( ~5 q( y! k1 P9 ?
(较好)。
0 K+ x: X9 M& l) b6、 、 小波分析预测(高大上)$ W# [+ b( r; ^7 R0 a, ^6 F* m
数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其
2 R1 M ~8 T& a: ~( k3 A# t- l$ O! `预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
- {- n E1 [9 g& l预测波动数据的函数。3 w/ {2 Z8 q# @ \
7、 、 神经网络 ( 较好) )
" k$ J! m/ n5 M; ]- q' F" h大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的
' Y! M! l- d f2 y6 b5 {办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。4 s6 o6 r& E$ d" H3 G
8、 、 混沌序列预测(高大上)
2 [$ D5 ^& F' ^6 a适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。" e/ U7 `' J5 y1 j! y' W
9、 、 插值与拟合 ( 一般) )
! {$ m9 y4 @4 S1 C" \3 A拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别
4 N% Q5 B3 q p8 C3 J( A( B9 H在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;
8 F- i4 N2 [3 d' R% Z+ D5 A逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
. H5 B8 ?3 r2 X( @% S1 ~/ E10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用/ O' p" _8 v6 t$ ?/ [! N
评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
H( R2 w \ C. b$ V7 G11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用/ T) d( T: l9 {+ [+ Z2 Y" I+ O; K
作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策. S/ I. W% b) z, k$ M
12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )) T0 f6 p! a0 h5 C; B1 V4 e1 t7 e
优化问题,对各省发展状况进行评判
* b4 J- ^0 ]) O& W13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )/ y9 T( X4 ~7 S6 b1 v+ k5 @
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权; {2 ^: [( k$ `7 q p% c
法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类% V3 B p8 H2 @& @
似。0 z% d" r" Q( l& ]7 Y
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) (备用)
i+ g {6 K6 a4 W+ F其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
0 o$ v! H: S: Z5 i, K评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优3 t% E$ H! t& `9 O0 q4 O% _$ Y+ p: n+ h
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
+ S+ \$ p2 U- `; h的最差值。
2 w5 y {8 B: q4 \15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
: y. ~( F8 q, S可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出" o' P" w9 d6 F! m& J
来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。
4 `2 ] U9 L5 k1 ^2 m该方法做评价比一般的方法好。9 W) a, e- I7 ^, W
16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )( }' F8 t0 _$ |8 p9 v
方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产% ~, [! o, T4 d; }
量有无影响,差异量的多少
, j$ W- _: e: B0 ~; c u# ~" {2 l协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因
8 F r, ^ y* @! f9 m素,但注意初始数据的量纲及初始情况。. a" }2 U* H8 b$ T* s
此外还有灵敏度分析,稳定性分析6 Y: ]. F6 I& e
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 ( 一般) )
2 {0 T# ]& O, l2 W6 v. ?模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最
G$ V( k& T$ o9 c! h! a) \, a优解。7 B* ^+ l& M8 S0 N
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)
, o) M0 h2 ~5 ^7 U3 g( T非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题; g8 P$ ^( y. k6 Y; [( g5 [% u, u/ H' u
智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索4 C8 {' e, J( C" U; ` y' \1 U
算法、神经网络、粒子群等
w- \: m; n: q其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
5 M3 R9 @& Y9 E# E* r6 q+ a19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )
8 J$ l. P5 l5 }. I& l6 C离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。. S8 G$ r9 T, n1 p$ f: ^* ]; z
20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )* N- T2 v! O# B" t4 v8 L5 v
排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,
( I4 y- R. }% j' [即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和8 {) O- F' Z! ~% H
有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
; I5 H% Y. W6 q" y计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一
+ j2 |- a" a6 o) i1 D$ u$ W6 ]般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。) r$ ~) ^4 Q9 k8 {2 w$ v& O# y
21 、图像处理 ( 较好) )+ Q. l: S9 p! Q% r* V1 Q" d
MATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。
{! h V! D" o例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。
+ P4 r9 j" ]. A# B, I( J: P22、 、 支持向量机 ( 高大上) )/ Q/ v1 P, Y' [) Z
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映
% U! o$ q& H. d# x, P0 Q. _+ S$ l# @射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。; e: ^0 M4 o# @; r5 ?6 S+ H
23、 、 多元分析
% v5 e* M7 W2 e- n. u# ^* c1、聚类分析、2 T! W& t: k9 B9 H5 `! a
2、因子分析1 B+ y& K6 ?/ e8 G" ^
3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析- R+ @$ }( B/ V
各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,( G& k, q: ^& i+ Z
从而达到降维的目的。
7 Q6 P2 e- E/ Q# v4、判别分析6 z/ L9 L- x8 l" G
5、典型相关分析
j5 M# S, }: z |7 q" a6、对应分析
: |% c6 h) P/ w4 ?. [* J7、多维标度法(一般)
% b+ U% ?3 N! m' t+ I" i8、偏最小二乘回归分析(较好)
7 ]8 R1 Z' z( |6 a, B, ]: H8 t) c24 、分类与判别
: `1 E0 \2 A: o" m主要包括以下几种方法,4 C1 F4 x/ G7 L( O: a8 }' U" _
1、距离聚类(系统聚类)(一般)
* D3 ?6 w: v# r4 @6 N* R. K2、关联性聚类# @2 K) n/ r0 q' L- D" ~
3、层次聚类
/ Z; a; E" |+ Y( b6 |" V4、密度聚类
) O# Y8 v! A" B$ Z5、其他聚类
, C5 z+ h/ ]$ @: f& M6、贝叶斯判别(较好)3 L: k" ]# B: M* C# @; K
7、费舍尔判别(较好)
" N: u. g4 Q# B1 G8、模糊识别. t5 J6 c+ @: f: T1 M) E$ v
25 、关联与因果6 B: W* ^( w8 e% \( v9 F4 L8 v
1、灰色关联分析方法; Q( f+ H$ N% |# Y- ]) B# D
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
/ [% W; L. X7 Q% t, i w7 _3、Person 相关(样本点的个数比较多)
' M$ D* [1 c; ?# i- e, I4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)
( C& w/ a/ S9 C5、典型相关分析1 ^' C8 }# C+ z' r1 R8 @2 P0 H
(例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪
1 u( q2 x! T& E5 h一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)1 ~& Y- E7 u8 [ V7 N
6、标准化回归分析
+ ?# _( k4 P( o5 p若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
& w: ^# ~, Y1 X) K% K( O7、生存分析(事件史分析)(较好)
$ W, a! P/ ^3 w- B数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响, `/ W$ I# A7 b4 }" j. @
8、格兰杰因果检验
! h2 j! |# e7 e1 g# y5 p; S! u计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响
" w, e! U1 G8 A$ T9 {# V% P9 O& e9、优势分析
8 Z# S! B2 q5 ~26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )
0 }/ V7 ]$ k( \量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速
; ?/ S) M) B" p2 t% j; X$ d; Q( I率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。" F1 o( G# C/ u
0 D. O* F8 y. }/ P. W& D! j. l
) d- R# S% }; C5 c8 ^8 v
( g% Q- k6 _, O( t |
zan
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