数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
7 q. i2 x' o6 ^: E几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
8 ]# D) y" z' y& f型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
9 _' o- ?) Y1 `; F3 c) b/ O% E4 T静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
3 X7 y+ f! `; _4 |人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
: k- l# S7 C- W8 r  K4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
8 f% b4 E# x1 O* V6 ]. k0 m5 v一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
' g! n# V9 w# G9 O' \) W5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
/ p& K* c" Y, \: h, i5 Q国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
- @, x9 o' G6 X7 V: |8 Y运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
, z" Z  J+ Q- i9 m& z" e% D' z数学建模十大算法
# y7 ]9 J$ J5 f$ J7 P  {# i1 、蒙特卡罗算法
. M5 T* x& j# N该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
; @+ L  h9 |8 \  _6 s) [2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
/ t- K% ~" v$ c1 p8 \" g, C通常使用 Matlab 作为工具
1 U! s: Y& B* T& o" x3 c; ]6 v3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
7 y5 c8 [5 l& @* l建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
* O% q4 Y- |2 f法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
4 T6 k9 T! i0 d, ?( R# T, o这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
8 X/ h) P; l& K) l% P8 r6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
2 o5 B% i* f0 B" U$ X帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
  [& T, ^: @( l# g1 ^很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
( e& h+ y  m. ]# s- a" R9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
; N/ n# T# G1 s9 b& U( o' m如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
+ e2 Q* h1 Z$ o  ?1 J6 ^" G10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
$ T4 u9 L7 @, b0 a5 D的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
8 R; u( w1 f, L+ W# d' d行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
) l* v9 T( c* r①数据样本点个数 6 个以上
2 B% l6 |3 u* b②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
% V- {, y8 z' m1 q( C9 Q/ |2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
+ \' m% q3 \, X, D6 F0 R- }其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
3 U3 S: Q0 v1 o/ k5 }" L找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
$ b* d9 C& Z* u; `3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
8 U5 n, w1 e6 c+ N' y% r①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
. J& q( R5 X/ Q  Z) o1 o- A②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
" J# M8 V2 m8 L; f2 h+ c概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
; C/ L- Z( j. r: B  W" i6 T* `$ O5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
1 R- r$ U) P9 _8 S6、 、 小波分析预测（高大上）
% a, g" e5 O) V" h数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
6 ~5 X! p- n& c1 N" x: L/ Z: y预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
4 K5 S# M5 i1 v) j7 I" M" s" c6 n. Z) m: L7、 、 神经网络 （ 较好） ）
% \0 d# A7 a) P, v大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
* c3 M; I7 T. O- i8、 、 混沌序列预测（高大上）
/ K& C( B- j5 }- P  M  e+ j适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
" R: J3 c1 m, F4 o! N2 T& {9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
3 i9 u0 N% u1 V% _拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
& X3 `& z' F# z! A逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
6 ^! A% K6 }$ r0 N; [  y7 _; S$ k10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' Z# N; R* I  V. P! q评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
( m- S0 S3 v: V( k" ?' J) ]0 z11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
/ \% ^/ {0 i  N" \+ A# \3 }12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
2 s4 U. ?6 {5 V6 L: i. J5 m7 d! _13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 z( p) @* x5 [: V! M法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
! l0 ^: @2 u( Q% L& g# z, h. \似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
. o; |: C& R& w: q/ N其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
: E# p) U2 q6 ^: G/ R2 G解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
( v/ p$ v1 W+ S% B的最差值。
2 D( L6 u8 Y! {( L3 f, F! N15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
3 j6 B. d# A9 |8 c6 P* _% R" J可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
9 n2 z6 B6 H% g, L: k来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
7 P6 J$ U) l, P7 l2 P5 ?5 o3 {该方法做评价比一般的方法好。
. a1 e4 @3 ]# u16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
/ ]8 Q! a8 b" h( g+ V5 }方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
- Y. @6 s( @# S$ q$ q; W4 D& p此外还有灵敏度分析，稳定性分析
' H: {& r! F+ V, r17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
8 f( g  a) c: s% g5 T6 Z0 F模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
/ m/ m/ ~$ f. z优解。
; W0 j6 ^7 i. o- m2 u9 }18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
$ j* s- Y2 `8 o非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
* u/ [- q' g! |& H6 u- x+ n- q$ G$ q智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
/ Z% q  V& e$ B+ E/ o算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
- E& S% B  V1 U4 {, l: ?19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
0 |8 F5 d2 Z4 Y" ~( t7 ?20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
5 X+ t6 _" i" ^6 |/ S8 s" @排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
& C1 P2 x' u2 @# {计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
" L$ v! s, s3 `9 z6 m$ Y般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
! b& n) G9 e8 l& EMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
5 C( r$ f/ @' G! L+ O% x: M23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
% r4 j2 y: u; S& `+ Z7 p  a) g从而达到降维的目的。
# ~  ]; T0 P4 _# E+ J( ?4、判别分析
) h7 d8 O% ^  g+ m  K  J- w5、典型相关分析
& m4 I* Y* c# @& l7 I& U6、对应分析
; ]: f& m* H6 l* x' j* u& R7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
! m6 z: @. N+ `2 H主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
4 \( E% r; A/ m  S; Y3、层次聚类
' a/ P2 S- v- e/ X3 ^6 U4、密度聚类
3 q# A3 y1 O% e0 W5 j# v3 H5、其他聚类
( \# S  F) I6 F6 K3 ^* g# g+ y* @9 c6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
3 c$ T; {/ B* ~- k* E0 ]8、模糊识别
! m& i. V7 p& B5 D25 、关联与因果
: ^) `. E' Y! M5 U' C2 V) _0 M1、灰色关联分析方法
0 |6 }) z' U) \9 k" \) t2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
+ t- b9 ?  m1 |# h9 _" A9 K9 C3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, l1 X. W5 e& ], t6、标准化回归分析
7 V- w; N$ s$ L0 A' M0 ?& B若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
/ z- z4 e" t. c( V数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
) u" v; b. X, H7 \8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
+ i2 ~4 U8 A5 `* A2 T率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


6 [6 ?& w3 @# t/ r! ?) g

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
) r* y* k" O& b) o6 s

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) F6 w0 O' T" w1 }8 C  @2 d# J