数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
* q6 t. b+ X) M1 _" m1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
& m4 z0 \  Z$ M! U" o5 }3. 按模型的应用领域分：
; q# ~. B1 p, E6 X人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
# {- A1 j$ W  U( _& k3 `5 G4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
( f2 b7 V. ?+ g一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
( b5 U; T6 N" o往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
! l- F( L& V7 S% Q! t: f2 O有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
5 t0 N5 Y0 h) \# q2 b+ p) @国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
; E" x7 G& Z; R: j+ U, a1 、蒙特卡罗算法
/ R) B9 x9 R+ U0 H, L0 W该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
( z  q& s8 S; S- D! U. m以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
# l' P3 h, u5 h4 B6 I; r7 a2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
. ^% j. H- e; M& ?# d5 j( K. H: J4 、图论算法
3 t1 C& D2 ^' o4 I& r7 p这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
2 C" I5 j' }1 m4 G% K  s论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
) Z' b# {" o0 L8 j2 D4 N& a0 N这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
4 A5 H4 u/ U4 w) \帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
# [0 x9 p" A% o& l* H  f* z" C( g很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
( z, ~& W" g0 T1 ~2 d" k2 k据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
; u. ^, i' F3 o  n9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
- }$ P: y7 K* a; f. W10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
0 Y6 Y7 _( @2 B9 x8 f/ y" G+ ~行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
( P! }2 b. l. x! w$ Y5 @①数据样本点个数 6 个以上
+ E6 c' M" d" h5 D4 ^: {②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  V: X; f* ?6 d微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
6 ?4 F& J+ r& W+ e其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
$ m8 o' r6 s+ Y# q求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
3 X' v& J3 u9 y8 F3 w2 ?化； 样本点的个数有要求：
2 i' V8 @: k2 a- |& T- ^①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
6 G* M( F' S5 N) R0 m4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
9 ]4 ~  L# w" l- t概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
2 F# b7 L; F, c; m5、 、 时间序列预测
4 V) t. ?/ v" S" x# ]) b6 P预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
$ A6 k6 R" u5 d1 S: M. D（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
! Y  m$ d1 n/ n& E2 z预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
3 l% E: p- ~' J$ @9 Y: O" S! a+ m预测波动数据的函数。
" C: s# X& z* I! }6 w7、 、 神经网络 （ 较好） ）
0 \3 l8 X% p  h1 w" A8 k6 x. x大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
3 o# g, F; m* I: y# g办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
' ^' ?9 j4 v% g0 e7 S  d( ]8、 、 混沌序列预测（高大上）
; \5 X9 u/ ^* w. \适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
6 s* I& C/ E' k9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
! Q4 L6 _2 T3 v7 ]' S拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
* b% [! Y8 c6 b在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
2 N, Z) ?$ ^2 m1 }0 g& B/ Z评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
; i4 {7 c* \9 v. I% ]  ]/ D优化问题，对各省发展状况进行评判
; x+ n' d6 K! F9 V1 _. g13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
  i7 X/ r6 g  ?2 }秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
* _) d2 _" {6 s) ]! Y. V# N4 b14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ c' V% a3 C: Y5 r评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
% N! }6 p9 ]/ A0 S可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
; @6 \8 k9 q. [2 o+ A! x来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
* X0 T3 f; p, p方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
( i" i" E2 I7 C' Y+ S5 M素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
( C1 g2 z0 B9 N& e此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ J  V1 h9 i' M8 F/ D5 _模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
9 m3 p3 o8 Q4 }优解。
" s" B/ l6 }, ^& q  i/ b18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
! l% V5 R( n& c6 S# H1 g智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
9 B! C* u( d& Q6 s8 g算法、神经网络、粒子群等
& ^2 U% Y& j% c% [- U8 C8 ]其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
* z3 F: M9 _3 X离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
0 z' S' g& b" t8 @, C7 t3 ^计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
) y) I, I+ j- n7 r5 d' x& k21 、图像处理 （ 较好） ）
2 W# n1 T6 X$ I: @MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
5 n: r0 }4 Y: I( U射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
2 N' `* m) N. z( ?0 G3 t2 B- u6 F3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
! k  w1 ?8 p; l9 e/ ]4 Q& t+ ~各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
8 }( W8 \0 o- w- w1 {从而达到降维的目的。
4、判别分析
( d8 k5 [  W4 b3 I/ Z! b5、典型相关分析
6、对应分析
6 V) ^! w* @4 ]7 j$ z5 W, A7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
* Z* S4 I5 h+ w- j( b5 L# S1、距离聚类（系统聚类）（一般）
6 M4 I3 O: C5 S% \2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
( w0 t5 b6 N% Y) f5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
  |8 S+ _/ h; M" A' y7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
8 a- _+ ?5 @4 G  S2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
5 X0 D+ |1 B! u) `- I4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
; h; l' P4 C* K: n5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
6 n% ]# C. S5 `/ E3 ~一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
' g7 u$ d% y3 N" i* H( ?' P6、标准化回归分析
" T% d6 T# C* B0 z5 L* {' O若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
% B5 m- m9 V9 l/ J/ K  r- K数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
3 i" ~4 \% \: y计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: g; ?0 }0 L1 V% y1 D3 i1 }6 V9、优势分析
( b# g9 c& s) d5 U* @8 @' I0 d2 r26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
4 Z$ {9 J, c, }: y: B


' b# X) s& R, o5 `

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的

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