数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
. T* {) B2 _& W+ k0 d: y1. 按模型的数学方法分：
9 o+ s" _# G- @8 X几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! g9 d, j- J* x) k) L  g静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
6 i# U; j  T4 R5 k/ y! v+ B% o$ K& ^性模型和非线性模型等。
0 q4 P& f& Q5 b: ^0 ^3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
5 D4 b% A2 j0 K1 m一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
: c6 c0 u1 O$ w' H' U! ]/ H往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
3 |3 m- g; V2 y0 j. u! F有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
4 @) w6 }1 C2 _7 E- r% \' z国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
8 _! v3 d# ^& W# z2 I数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
' o; m; z% A4 p; A+ L- F$ f/ j2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
* a  _  T) n1 [' n: C, O* n: F法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
$ e' E* C1 d3 t1 \% v, c& y这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
- Y- G, \' K8 J. u论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
9 u" @' O/ E' E4 i7 e5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
& t# M# Z0 r* a5 z; R* |1 O这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
( Z  O) A3 D3 _) N这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
  U/ S; z9 X& u帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
1 X$ E6 o7 D4 ?+ \  \当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
: G2 J6 e9 ~" \很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
5 j7 ^8 h  t1 H3 B1 R+ J- z据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
) R6 q& E! z- L7 h3 U" E/ j9 、数值分析算法
7 Z; S6 \9 D/ M( s如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
3 N7 A, m& e4 c" q5 L: \$ S4 Z10 、图象处理算法
; M$ I' u/ z5 q) Q' D* q2 E赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
- g' d5 [4 j# a行处理
, P$ B; m! t$ Y5 l/ F! c, ]算法简介
0 V: s- g, C: q7 O$ d9 `( U9 D6 d9 ^1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
- o/ d5 n8 F+ p0 n$ Y解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
% z4 K8 G& t- ?- c" T微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 T7 e0 {- C) X其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
5 l9 ^& T: `  E0 L6 v1 v3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, n% b4 ]: S4 _! g" v% @) e, D1 _求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
/ k1 T# k& k0 O# B5 R化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
" M0 J' c" c7 F9 ~' c: F) X) `7 G, o8 S②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
; ~2 L3 r- F! @; i' I. q' r4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
4 Z/ C2 R3 k- R( i预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
# n0 W. a: C6 G7 e3 j数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
/ q3 Z/ b4 k, V预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
. m! B. U% \# j# G预测波动数据的函数。
& [+ h8 e% g- u1 J% a7、 、 神经网络 （ 较好） ）
4 U* x+ q3 X1 c1 A大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
6 C% J% ~& ?+ w4 l9 i8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
4 s; X3 G+ w7 ~5 R& Z9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
8 [1 E' ]. e9 h在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
  y9 I0 F; f$ ]逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
) y5 c! W& ~8 R# N评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
7 ]! i0 }& [+ q+ x/ }4 b12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
6 z2 J9 c  r8 l" \秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
2 k8 L3 {' M* X5 f/ h! A+ p法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
! C% {+ l4 p7 D* G6 V似。
9 h( l# F9 {( k3 c- K0 A: z14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
0 \' {  I0 L$ v# v( R解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
! }# K# K& F  S: b; R& I15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
% g* r; a6 x5 O( K8 N来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
( U  L; b6 b; v16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
% W' ^) E5 g" a% y优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 ~4 W* a) d: D& p智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
8 ^9 {, o5 {, D4 A其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
5 s% j3 k( |. K+ p8 x离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
, ?: _- \6 J: n) J9 h8 ]5 Q1 n# \排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
, f, q6 b" |/ p7 f$ f# G有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
9 |6 I9 L' i+ H( N, A21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
: a3 L% H1 z8 q: F! D2 K) e例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
/ m& }+ o+ c+ U: f1、聚类分析、
- Q7 E! u) \/ [* i7 f' y2 x2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
- C: ]/ p- E. k& f各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
* x1 I% w& H2 ^, b# m  I- u+ x从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
# m! g" X5 C0 o4 n7 a3 C7、多维标度法（一般）
, X2 f0 F) x5 b1 y$ C& Q: x8、偏最小二乘回归分析（较好）
- L$ B; k, H$ [/ q9 |24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
4 q" @* t( H( a3 [4 G1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
8 m! ^6 }6 ^! K) G1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
5 m2 M! _1 S0 v  A/ ]3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
& M7 B4 s5 M) E% c5、典型相关分析
* h& c8 D' o' A; K: ?+ N（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
5 P  m$ Z( t3 W计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
$ r# S7 b+ l! |* o- X率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
% n. E) `; Y% o6 P/ v, e# I! A

+ R% g9 Y# k0 M

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
" v, n6 }8 B0 T1 o& Q+ y% @0 ]9 _

3256953614

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. L: Q8 E5 `; g' ?/ Q! @8 V) `4 ]

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: v, ]& L) V7 n, H  Z

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