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线性规划——运输问题(产销平衡)

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    [LV.7]常住居民III

    自我介绍
    数学中国浅夏
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    1#
    发表于 2021-10-28 18:50 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    运输问题(产销平衡)
    9 F, y$ n# ~- `1 H  某商品有m 个产地、n 个销地,各产地的产量分别为a1,a2,…am ,各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ,问应该如何调 运才能使总运费最省?
    ! T! Q  s& A! U% E+ Q" u+ V6 U+ J& f( G/ s9 ^2 i7 s* p
      解:引入变量 xij ,其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量,数学模型为
      a, G8 e! w- F$ {* J4 y' L  |+ `( N, k  o
                                             ; K: k3 ~' X- T0 T* _0 z; N, v
              显然是一个线性规划问题,当然可以用单纯形法求解。

      对产销平衡的运输问题,由于有以下关系式存在:

    其约束条件的系数矩阵相当特殊,可用比较简单的计算方法,习惯上称为表上作业法(由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出,简称康—希表上作业法)
    & t" h4 ~: r7 q/ B, `( J" s# x+ l  ^
    例题:) D% {! E& n9 @. U( a$ r5 O8 U, \
    . O; P! Q) j  [1 }0 q- {  z
      某公司有三个加工厂A1,A2.A3生产某产品,每日的产量分别为:7吨、4吨、9吨;该公司把这些产品分别运往四个销售点B1,B2、B3、B4,各销售点每日销量分别为:3吨、6吨、5吨、6吨;从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品,在满足各销售点的需要量的前提下,使总运费最少?
      N) S- w* p  X! V+ y2 j9 ]
    . b1 F0 K1 n, D+ b7 R" k解析: 典型的产销平衡问题,将已知数据做成表格如下:9 d5 T& {4 v3 D

    # D# M+ r& w7 }5 `( l, i7 I, w: o! j4 @
    将所有数据列成表格会更加清晰,根据题意可以得到目标函数的表达式如下:+ u- ]: g3 r( r
    ' X, L! B5 q& P! J; }6 M
    然后将已知约束关系整理如下:
    * w7 P1 n+ {: \
    1 z' H8 C# q$ A0 u6 E, _% r可见题目中并没有不等式约束关系,同时也没有约束上界ub。" S0 Y; E) S& r% E# h
    Matlab 程序实现
    % F; W6 I" p+ E1 t+ ~$ vclc;clear                                %清空数据防止干扰
    8 p$ `( d, j/ G  {; P( o1 if=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
    1 }% {- k* ^# a5 e7 V5 Xaeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵3 b5 M9 {8 T3 S6 e% P" F- n
        zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);; H+ w$ G8 u: ?" U
        zeros(1,8),ones(1,4);
    ( ?; X% @0 j  D2 d    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);/ ^, F, b: t. |) B' |
        0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    0 q' A* r$ A6 B5 X    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;. }" i+ U. h- y2 m
        zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];) w9 ~' y$ G0 R% Y% x( G
    beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束7 _9 L) A  A/ Q
    [x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
    * x/ j" f# }/ F) @/ H" s题目答案:
    6 Y; @+ Y7 p9 v/ [. ~  e* rx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
    ; ^7 v) Q( o2 M) vy=85+ ~' S( i4 A( G2 @

    3 F1 S" a- W3 C/ R+ b: L- Q) {6 w2 o9 X+ H$ u$ R/ f! S

    0 T9 j# r+ N' I2 a9 E/ e: \8 F
    zan
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