线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

; E+ ~/ Y) `) e. {$ x0 ?  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

                                         
1 v2 g* d4 Z4 d) d" U          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
9 v% F9 g5 H0 v- M% z
  \+ s* Y2 `5 ?2 l$ [9 p9 C例题：
8 g9 _% J2 h+ B% \% @. c5 c; d5 m
  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
9 x+ Q6 B  }, v. U0 K" i& m8 l
3 m9 {" v" u9 Q* d0 q4 N+ E; p! E解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：


将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

然后将已知约束关系整理如下：
* f! H# Z3 T% ?3 }6 q. u7 A
可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
5 u; l) n0 B6 z6 C! P+ q# ^f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
7 R( H8 a5 E1 m. y! y* @aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
* n( d: ~; Z& F% E( X+ u$ O    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
5 P) Q# |0 _) J: b, ^* L    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
; m, L: Y5 ~# L7 Y8 `6 z; B# Px=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85
, ~9 Y4 z$ h6 C! T/ ]
5 W; i: k' P1 e0 y