线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
9 F, y$ n# ~- `1 H  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
! T! Q  s& A! U% E+ Q" u
  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
  a, G8 e! w- F
                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
& t" h4 ~: r7 q/ B
例题：

  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
  N) S- w* p  X! V+ y2 j9 ]
. b1 F0 K1 n, D+ b7 R" k解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：

# D# M+ r& w7 }5 `
将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

然后将已知约束关系整理如下：
* w7 P1 n+ {: \
1 z' H8 C# q$ A0 u6 E, _% r可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
% F; W6 I" p+ E1 t+ ~$ vclc;clear                                %清空数据防止干扰
8 p$ `( d, j/ G  {; P( o1 if=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
1 }% {- k* ^# a5 e7 V5 Xaeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
( ?; X% @0 j  D2 d    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
0 q' A* r$ A6 B5 X    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
* x/ j" f# }/ F) @/ H" s题目答案：
6 Y; @+ Y7 p9 v/ [. ~  e* rx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
; ^7 v) Q( o2 M) vy=85

3 F1 S" a- W3 C/ R+ b: L- Q

0 T9 j# r+ N' I2 a9 E/ e: \8 F