线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
) A  Q& `. Y/ D# |( ^  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
5 W) ?3 l" C% q! ]0 v% T
                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

2 ~, h$ O" J* [! e0 V$ E例题：
) d, z  m# S4 `( a& s$ r# O: g- z
# X/ M' S2 S7 y7 l8 I  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
9 p/ Z) m" u; F+ }7 ~7 q& ?- e$ U
解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
  S( c" l: {' ]! _2 [$ P8 K
5 u  B' d# y* U: G" }
将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

* Q, {8 j) y* B$ `, |1 b. C& }5 |. {然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
( D7 v% ~: \4 g8 c; s5 ~5 B) f    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
4 s6 J' `, S6 I# O3 ~    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
) Z4 `% q3 A* i, e2 w4 s/ k[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
6 r9 |+ j; ^% @$ P3 v( k* i# {x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85
0 l: ?/ x# \/ g9 e4 r
9 j, m3 Z7 d5 Z5 ?+ o) Q! j$ c
9 r9 F% C6 i3 I! m; O
, R: c; w# t1 x8 R7 P