【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
. X" u: e) @/ E4 L, e三、数据插值
四、图论
1、最短路问题
! k$ s$ _# u( a2 i（1）Dijkstra算法
# [* l: E/ j4 Z) R（2）Floyd算法

- G/ m8 [% L5 }
) ~6 Z- p9 z& a8 O
6 e" `! r9 {+ y7 U$ c
: k% S5 B6 c0 [5 g0 d4 b# t2 z8 E一、蒙特卡洛算法
: d2 j+ F; c- z7 M, B1、定义


蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
# n# i8 m0 u# d7 h& R% F7 ~



2、适用范围


- f* i. i, Y0 o$ O7 I/ k6 Z可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
. C7 L! N2 u1 F
  O6 ^% B" R* I' P9 ~/ r
: R) C$ Z2 \: P; _0 u

! T5 `- Y9 K0 F3、特点


" Z, c. i& x9 {, {& h8 R4 N蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。




4、举例
# u: G0 M5 X' c

$ S, R7 f6 r. c! o, E3 Hy = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。

/ n6 O2 o& ^1 t4 T& e+ J


& n! s7 c; c- C/ I: A( C（1）作图


9 s/ a; r. n/ g& D# p! F) @Code：
) X- e6 h9 y" _/ [2 N

8 a) o, s% g9 l6 y6 d% [: r& W: Z0 _%作图
x = 0:0.25:12;
9 Q/ n, d! `& n; P- x2 R( |y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
* S. ~5 }; o/ z2 }% x6 {plot(x, y1, x, y2)
2 q4 C2 K+ [1 f/ H& Cxlabel('x');ylabel('y');
- H: C. h& _$ f%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
8 ^3 A" E% A% T, R7 u%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
. B) A* b; \" Z) x; o%加上网格线
2 w' [+ [9 a( q) t1 o  hgrid on
1
" o" R4 Z: p. N: ]- S8 ?, Y$ C2
3
/ e: t" r. _3 Z& h6 H6 G1 |& [& u4
+ B; _- y9 a/ P4 S5
! f" a" F8 K0 ~, |9 R0 b7 }6
; s  w. m8 [% C; |6 o/ F+ a; r7
) O. o9 ~1 u7 ~  R8
! \/ _' o! h7 s4 ?. ?9
10
3 w( k% m( _: G! {$ N; I% o: S) X/ J  u2 V11
12
13
# a; `/ a) b6 L7 ?14
2 {+ `3 Z8 {6 c- u7 J$ M

（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
) a+ d" I9 l! _0 d' p

Code：


- j4 E. x3 P% l$ T5 d* ?%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
2 x+ p8 h# ^$ L. Rx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
  T* }3 r$ D3 o/ t8 S6 hy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
7 u  M& u- b  t3 z( B3 u2 x6 Qdisp(area);
1
/ I2 M* F; u6 c$ M5 q  a* m/ _2
* T4 ^! c- Y5 N/ ~) E/ R3
4
1 p) \# q+ R6 @9 ]! U( V: \" ^- j5
6
  X9 ~( G+ C# P$ z: w6 v7
所求近似值：


2 V" m4 \1 X+ h# M+ N8 G


$ ]+ \/ O: i! I. ^* r( y& q* o
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
7 G7 {/ D2 M) w" R; |) v7 {, }

0 ]% I# U. P% w: j

6 D' G' G6 S: W! T# t
  h. o6 ~, r& j- C1 t+ ]6 _
二、数据拟合
1、定义
" H. i( r1 Q+ E: u4 @  x

, h4 a8 ]; O+ h8 I已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
% C" Q8 g! y* o6 I1 m. |



, B9 R5 L% v- L2、常用方法
, _1 s0 t3 b; h4 u" N3 m6 f% H
; {9 Y1 |9 @6 J( c" w" s
! @1 H8 f' q. H) Q+ R  j一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。

( O" P: ?9 s, F* T% n" o" s
( t/ T, B  Q2 f, ~) U3、举例
( r. ?! m9 q) M# Y0 u$ w
! o  Q- l$ O, D! I0 P
( r/ ]4 ~+ T4 K. F( r9 ?; D(1) 数据如下：
/ i  ^) N: a, p, D/ t
$ A6 y7 n: F2 p. |! W$ m
   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
% @( t! V, z$ W* h- P+ e' p        3        504.0792        0.102        2.429227
        4        419.1864        0.057        3.50554
. A( V7 ?+ {5 W, x5 s& U        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
5 J" ?3 i' c# ]2 M$ x0 p9 ]& }# C: c        7        416.3144        0.049        3.058917
' S' {. n2 ]5 b        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
0 K: E  ]0 H! }! V. C8 M        11        409.0494        0.045        4.838143
& Z- N0 a& Y& p8 O' l        12        449.4363        0.079        4.120973
$ V6 r. {/ R7 z2 ?6 B        13        372.1432        0.041        3.604795
. T+ S3 h" {# Q: o        14        389.0911        0.085        2.048922
& x' B0 a% R8 s        15        446.7059        0.057        3.372603
5 g- T  x; c  C        16        347.5848        0.03        4.643016
1 c; N% v" ^/ y7 }        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
* b) M/ K% ?3 n, D: k% r        19        388.1694        0.051        2.293532
1 F; X$ A8 p7 k) ~5 ~$ {        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
! J! h9 y& g. h7 K        22        408.9602        0.078        2.291967
" @  G7 j2 z1 {$ z        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
5 ]; A* b% X& {# d$ ^$ r4 e        29        421.5248        0.063        3.005718
% t" R; J: S3 Q: s+ j$ k        30        421.5248        0.063        3.005718
; S0 T4 c! Q5 Y- n  l! ?9 H! ?$ h  H        31        421.5248        0.063        3.005718
7 d2 t7 S+ e" Q        32        421.5248        0.063        3.005718
# @) T  F  G# z0 g        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
( j+ ~, J7 G* C, X        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
" P' @$ U. o3 M1 w        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
1 I/ W  M# I, l; m$ _2 V1
( h9 ?, b6 s% A/ [% ~0 q2
  f! U5 @3 r9 Q3
, _' x3 Q. Q: r2 D8 \4
& Z$ B  {7 T# M( Z6 g; Y1 \& H5
6
7
' G3 h3 }  S* c/ T4 H; q8
1 S8 H0 S" g* {0 d. \9
10
11
& X7 G4 [: A: T" V5 m; H& @12
13
14
( P! r4 j; v( K- J! Z2 O5 A15
6 F! d$ e9 O6 |/ p  r16
17
. Q% k  c( A+ T' u8 W: A18
19
/ H9 q0 d5 @8 s; j1 V) B20
21
22
  B5 q9 |' v, U9 O- b) e, ~9 Y7 h23
24
25
% d/ r/ ?0 l7 p  U26
27
28
29
; {7 A3 J; m+ S$ `1 d( _) p30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
: E5 L* `, m( E3 E; I: H* ?40
41
- F' K9 E. a1 G7 Z- T4 w
& b4 R$ y5 m- k8 ~3 k
; I7 x( \( U/ E" |. [7 x% ~(2) 方法一：使用MATLAB编写代码

, a/ _: _8 [# R: O$ R1 ?
%读取表格
/ u2 E( H( Q- g6 m/ {A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
$ J9 ]. c& s: [B = A;
# s; s0 [9 l7 c) J5 p[I, J] = size(B);
- _0 W- A  Y. Z0 e( q1 @. D: ?
; `: e5 v2 n5 D  @; ~: |) {# z%数据拟合
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
* p& e  j4 S9 L/ r* gx = A(1,;
y = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
( P) k, _+ R- ^6 N. i" c5 o%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
# \5 j. Y7 ]8 _disp(p);
%下面是作图的代码
0 A( f, @0 X8 }) J0 H$ ux1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
$ L# R; T4 W/ [, D( Oy1 = polyval(p,x1);
( H% [0 r2 Y. M& A8 zplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
) ^6 m2 L) u8 y2 e. s8 i& w%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
6 `) r$ s) o1 ?$ [, n) I7 @- q- |1
2
3
4 H4 W( Q' o- Z9 X  O" u, y4
* S) O' a3 d& O, d# |# s- D7 {5
6
$ ~& M( h: N$ u- I+ H7
8
9
10
' i) F' w) e6 Y$ c11
8 s6 y3 Z+ X$ A: Y4 ]12
13
- E+ H0 V5 r8 o' U' @14
15
16
, ?4 N0 C' i- H- V% j17
  x6 S  x# N7 p8 U18
5 x- ]- m3 n+ x19
  m9 ^+ i8 |1 G20
6 u! C) H6 s" [, ~7 V! G. _0 s21

, q; Y0 \; x! m. M' N$ h
6 Q9 b0 C( O: P5 s$ i, K(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）




, r/ e) k: c# h! Z$ y  a+ |将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
9 ~) _0 M5 E" M7 z  n
! z* H  V& f, a8 C


1 d9 n! ^2 p' w7 q, X选择x、y变量
1 B! o1 j. h0 X+ J: x1 v2 W5 \
1 j8 o; O+ [5 u" m& K2 J

! y% W7 T) [, k
选择拟合方式和最高项次数




得到拟合结果
" N5 @' Z" I- b. B* |/ f% @
2 C7 P9 y  J$ u0 j
7 h) ?3 z" o- m+ n% K1 T; ~) L4 t
& C! Q+ D7 V! {% H
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
2 K* _3 ~( T* Q0 G, K3 P6 T9 W

/ ^1 b" m( n5 k$ b
5 [  P! @5 I  Z$ p3 q
4 X7 l5 p, H/ s  X9 J

三、数据插值
% {; r5 q7 |0 t1 ?1、定义

& _* s0 `; q' c) Z
$ B! g9 o3 [+ h2 [: V7 c& P在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
# }) M* p/ I9 u! H
' r# J6 |* j0 m7 P2 U2 b+ j
- o. s+ V$ B1 u- a) E7 k4 g从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
/ E) c* P; A  W! ]* {% k

6 V( T0 j! F2 H/ H; L
6 f, N( U: F1 g+ O8 u- w
3 l  ?3 \4 g% W0 h8 \2 j! Z2、作用
& ]; m) c. k% R* }8 A$ X& y

" T2 o$ c/ E% t& |插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
1 a1 L% e/ J7 Q& k



3、举例
3 ^! E* ~$ p" b5 J; a' J4 ]6 l

%years、service和wage是原始数据
5 ~2 O! T9 S' R( F, ]years = 1950:10:1990;
( c7 ?( A! Z) S/ P" O; oservice = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
surf(X, Y, wage)
' ?" I$ O) q* O% m%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
/ y: r  M& {$ r9 ]7 i: \; b2
! u: b) E1 M* ~* l, h1 H0 ?0 x  Q3
9 b+ ~. K2 {( q7 \4
/ e2 z1 i9 h# m; g+ S8 E5
6
7
; L) `# @& A/ b8
9
10
% G+ |) e7 `4 O/ E( R6 R* C8 L11
. E  z- j7 ?* c% T3 t4 B6 T12
/ N0 L7 U% T9 h: L" i  z, F
# U' H6 O, v* w9 K, r! C- L- o
/ o, R: P, X4 q: C: _. S# R
# ^% V/ c% k6 D' l" W1 V* a) G
5 d! C9 l. k$ z( C# i6 C/ s可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合

. ~& e& Q$ l4 K. E


! H6 a0 ^5 O& M

% p1 E5 Q% ~( O' s; ?7 T. Y5 X* J四、图论
1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

. b0 L; D7 x* d- k  [
& ^# q( m) T( s" q例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

: F# z, M7 \, ?
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
* C+ ?. a  ]( W) q" ]5 @( u

+ ]6 I) Y# H( V3 F4 U. q

（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图

) i4 U' s& n: A9 A2 R' p* W5 \


用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

6 V& M- c/ l) i6 F. G5 g* C, C% o8 e
# ^# X# v8 a6 [5 }) M9 O! J
) ?/ u5 l+ g+ f  K
: l; i( v2 w, A! s' F! R

4 }' o9 j8 L9 H9 N; w6 R' q3 Z% }$ G代码模板：
3 Y! Z( B2 f4 J* V  I) U+ s

0 K/ g3 M; z1 N  Z) ?% X/ a#include<iostream>  
- c2 L( O  X. p# L) z# n& Y) [#include<cstdio>  
6 T- R1 u) o4 ?/ O' O9 {! H#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
0 {( R: w: I8 P5 f5 u6 X2 W#include<cstring>  
! ]. \: A" }' ~1 n  |5 K#include<algorithm>  
* n* n$ v; B- ]#include<vector>  
7 |' g/ y1 W8 g' O2 K4 y9 U#include<fstream>  
( P  {( o$ W4 w0 Susing namespace std;  
* D2 _1 _& g" t" m/ m, _$ A  
/ Z& z; V$ V% j) f+ Aconst int maxnum = 100;  
# }. V- c! `4 m; K& D* m# zconst int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
0 p' R/ H8 p7 c( g9 b/ Wint prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
2 l8 o9 W! i* ^- Dint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
! S  W- N! d. cint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
" D% E  L8 b7 p7 [$ |$ v. `void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
, Q; r& x! f0 P7 ]3 S        dist = c[v];  
        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
8 J* d2 G5 r$ n5 r( o1 d! b- s5 n            prev = 0;  
        else  
            prev = v;  
    }  
    dist[v] = 0;  
2 D' [: E1 {5 D7 ]; \3 m    s[v] = 1;  
  
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
9 W6 Y2 A5 G9 F- {    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
7 e2 ]8 ?0 E, g+ ]  u        int u = v;  
( c; C0 l% V+ i& b3 t$ T        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
* v& u% V* r6 j* V) T7 D            {  
, P2 Z, {5 K! n                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
8 r2 N( Q1 i2 R2 Y  r1 |                tmp = dist[j];  
            }  
  W- H  [: J2 Y: ?' g        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
        // 更新dist  
' i8 \. ?/ T* v. _- C5 M        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
                {  
6 \% H5 x  w. v                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
$ M1 D8 i, ^3 Q& d1 a* M                }  
            }  
    }  
- D+ |0 H6 A0 s" N4 B  O}  
' j9 p( @# d/ o: e/ c4 Dvoid searchPath(int *prev,int v, int u)  
1 ]. @6 V' ^( i. y- |6 P{  
1 `% V1 P! t8 x3 D9 _' z# u    int que[maxnum];  
, v, z1 [# X/ C, G3 E% T    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
( k9 C; C2 F) X9 `7 z    tot++;  
    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
        que[tot] = tmp;  
. a. T* h/ ]& D8 m$ {1 ~* V: v        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
5 u; ]5 ~2 s7 o# N" c! w! r    for(int i=tot; i>=1; --i)  
3 [8 m' Y) B) C: E/ K' Q( ^        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
        else  
# I" D2 ?/ a% ]6 q; R- I; j/ r            cout << que << endl;  
  n$ |' I- Y' K. Q* V, X}  
  
, x4 v0 f% }7 E" Q$ Kint main()  
2 i0 ^# M7 e8 ^- j, I{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
( F. O, I" [1 |    // 输入结点数  
* b9 d1 j. |* p( v; i    cin >> n;  
    // 输入路径数  
    cin >> line;  
* m. u3 x+ |+ w7 ^    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
. G& w$ ^9 Q* k/ _" N3 u    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
9 S  a$ z$ g5 x2 |$ Y4 ^            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
  V! o/ C5 G) ~        cin >> p >> q >> len;  
! R- `  w5 y6 Z- E' T* }: u3 T8 u" ~        if(len < c[p][q])       // 有重边  
% P5 u% a( s& d' d) U. W* V        {  
8 N$ G- Y1 x: ?% [. F            c[p][q] = len;      // p指向q  
. E: O7 |* B; g6 i& P: X            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
2 I3 T- X$ ^8 Q; Z+ a8 f( x8 U; x% z        }  
    }  
% z9 A. E1 J1 j/ T   for(int i=1; i<=n; ++i)  
! p) r, a. o" ~" [8 ~        dist = maxint;  
2 ~+ t" t8 J% O; y+ h( h( T) M5 u    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
) K0 J1 d3 m9 Z7 z+ ?6 S        for(int j=1; j<=n; ++j)  
- X3 N* F5 W  d" C$ ?4 A1 f: T            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
+ \; P" U6 X" }1 E. \    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
! a; d0 l7 d+ h" v  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
//    {  
- a# O! V/ R( [, \//        printf("%-16d", dist);  
( I7 Z" D( c# \% }  [; R& R//    }  
( B+ C" J# v( k$ x3 K. C( i7 h    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
  O8 M# S5 g7 K# l, [3 b    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
* Q2 |# v: A- t7 Z! v    return 0;  
& \& E- [- p1 N3 I}  
  
3 S1 q3 x! z8 N& @4 z8 N6 c! \1 h  H  
* x/ _  R* Q2 o/ w$ `( s/*
/ ~9 r) M- T7 @, W) h! R- s输入数据:
. L2 u* S/ Y# g9 o 5
1 F1 D, p# n. [( x$ v  d 7
1 2 10
% a8 s: y5 j8 t) q 1 4 30
  i0 w/ f4 `' _$ h7 c 1 5 100
$ E. k- N9 J/ q' F. }0 n 2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
# N4 \1 K% i8 D/ {5 X( p; g 10 999999 50 999999 999999
/ g% L; l' L8 N3 |+ ?) p 999999 50 999999 20 10
! U7 F6 d* h. o: H3 ]9 M* u 30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
6 K8 G. r% \7 y2 f, C" G9 }5 l 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
4 b- ?6 U7 m- z$ S# u*/
1
2
& v5 H  H8 \6 L' ~9 s, l3
" ]* R( K1 _$ Z8 `$ j& @0 f4
5
) i+ n9 O% x, U- M$ M6
7
8
9
10
  D& @8 T9 v3 w! T11
! H  ]" y! }5 r$ L12
13
: ^; _9 H- D5 l  Z3 E' h. g2 |14
$ s" E4 I; b, W  S! _15
16
" i  t# w# {6 d. D3 T  P17
) c7 u! }" g/ ]  ?7 S18
19
; {) [0 D+ M' b- h; h5 p8 i20
21
22
1 E9 ^+ ~: N/ n3 X. }7 Y23
- r) i- |1 W. R24
25
- k4 W0 q" G. r) ~0 G5 w0 [7 B26
27
+ K* j0 S  p1 D5 H) k$ y8 U28
29
30
# B. M! Y2 P1 V# T31
32
; m4 g8 z4 Z" U+ l2 @7 x8 o4 L% ]33
+ `# _5 Q: {  \  S' S4 A9 c) A# P34
35
/ H3 O& B: b( [' S36
37
38
39
- A7 Z. E0 V% q! {40
41
42
) y0 p: @. c2 x3 }43
- W! t; U! V$ P' o44
; W" [4 K5 `. m8 U45
46
# h) R3 n% t* g  v- W% e47
48
49
50
51
52
53
, V$ u, F  R% Q/ r54
0 e9 E' q/ n, I% B; m$ g# L2 Q55
56
0 X1 `1 I# l  z  @1 M7 J  z* H+ V" D57
58
, ^# Y, N4 n- J# ?9 ]5 e59
: o6 h) [  z6 {6 n+ @. ]% I' T* N60
61
62
63
- b3 z5 {8 @- g2 T: y# H, ~64
. d. K: E# i3 k65
, q4 A8 _' }0 e5 A66
67
. K% q/ Z) ^! d3 d6 l68
69
; @3 W+ J3 u" Q/ d  P& k* W70
8 W* y* `, H  f- k0 G$ `5 H! H71
8 d2 i! S7 W$ R7 i/ m72
73
4 z2 `% I0 }( L74
75
76
- V3 `; G6 Q0 c* q9 e" m5 U77
78
+ X& \) X8 G& r4 A7 s79
80
81
82
83
84
85
, n( _/ T' w) a9 {86
5 j- H- ^: J4 z, O$ Y/ e& y! h+ F' \87
88
89
90
91
92
7 ~* U' L+ Q6 _93
9 b/ ?# }& l8 |9 w' k% l. Q94
95
96
& W4 V' }* F) k97
/ ~2 H" h+ n  i98
99
, `; x% ?* q8 _6 {. f' V100
4 V$ o9 L) K: F+ S+ P; ?101
! b, ^$ [! w( y+ P4 N! V4 r102
; k' c# s' z- e& p5 D8 R; g: `103
104
# I& r5 T2 G" w3 V5 l105
106
107
( o" {! m$ x# X0 l108
109
  Q5 _+ z( t3 n0 S/ F3 k/ g) X110
111
& {% k9 D3 e2 O8 ]$ k/ p) w112
113
114
# Q: e1 _' U& ~/ m& F115
116
: S  V9 p4 Q$ p- L117
118
, s5 @( e) Y! K. v; h# Q1 I119
120
121
122
123
124
1 F) w2 a8 b# N; T# B125
% ^; c: T7 \7 T8 [, A6 }126
127
5 y- p( g+ q# l/ D3 v0 P1 O: s128
8 c0 }- ]9 J/ \  R) n/ r3 U129
- r+ d( J7 S9 m9 g- m6 b& O130
131
4 P& F% X! B" Z+ v0 K/ c132
% ?! j( }! }- ^: p3 ?7 d133
( H: C3 C0 g" v134
135
136
137
138
139
140
; d' I0 U5 I6 |! `7 u141
142
143
0 ~$ _: k$ }: c" o; P6 w6 W0 I144
5 W$ t' ?1 q5 E& i145
146


) i: o" v0 }* y（2）Floyd算法
7 X2 W- F& @' X. s2 ?- i#include<iostream>  
" ]# @; P9 o+ T' I. W2 d+ @#include<cstdio>  
$ U1 n) ?! d1 @: P9 {; T) p9 H6 |#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
. N2 ~5 {! P1 C' g7 v1 V#include<cstring>  
7 G1 d1 X  b3 [3 L# [8 t#include<algorithm>  
$ y* X9 N& ~- `. K/ a. i#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
' g- l2 b. H; l2 Q" }$ H  
! y$ {0 {9 e9 F/ J8 q/ D  _//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
double dis[MAX][MAX];  
7 A7 u4 U4 \, w/ |/ hdouble a[MAX][MAX];  
4 k. J; D( z( f' }  U* `7 O9 H6 q& Qint path[MAX][MAX];  
0 f1 V8 M5 v% p' K. A+ oint n,m; //结点个数  
+ W4 G  c& u$ V! f1 R2 E  
void Floyd()  
{  
% n. B8 V+ z- L) o) l% @, @: i    int i,j,k;  
: f' |0 \( X  S) Z5 K* h2 I4 D    for(i=1;i<=n;i++)  
4 o4 j0 H# I* C3 m    {  
        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
' b4 @3 z* f: F% l& q) u            dis[j]=a[j];  
8 ]- M1 M1 C* Y6 O            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
+ g' M4 c: L4 {: F' T" `' w. f            {  
. h' W/ C( f- i. l% }' y                path[j]=i;  
1 O: o( C, D" _' A" j  }$ ^+ m            }  
' e4 D+ y- S: `1 Q            else  
                path[j]=-1;  
6 H# E" C2 d3 G- T3 \) O        }  
2 M; A$ G9 }# B( v    }  
! F. a& @% U& X3 ?  
* M" o3 f4 t8 u) U    for(k=1;k<=n;k++)  
/ l2 {$ X  ^& F: u* L" D' [    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
8 F/ ^1 U/ N; [$ R        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
4 `7 W. W& v0 G& j( ~  d                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
! c; z5 C# i- \+ _0 b9 h$ P                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
1 M7 `- v  F4 l0 ?                    path[j]=path[k][j];  
% z; Z) H# T* e1 s: b$ C$ g                }  
            }  
        }  
    }  
  \! m" p; h% Z+ A/ `/ E( C: ]$ u}  
% X# ]5 U& d$ ~  O8 t( N  
int main()  
" P* I! J4 `& t( i; R! \2 q" j' B{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
8 y: q# ~6 z, s* _. G; m    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
7 b% m0 @6 }" J5 |. h0 V, i    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
' V2 S. J( c( n       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
! a- k; O. n5 o" Y            if(i==j)  
4 I) ~2 E, ^) D8 ]+ [. I3 }1 t                a[j]=0;  
            else  
                a[j]=INFTY;  
. E" H, y  c7 W+ r       }  
    }  
% i5 ~3 R* x: k8 [: ^! A( M3 \* g    for(int i=1;i<=m;i++)  
% s+ ^" U) m/ K. V! \5 J    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
" s+ N8 V, Q: h' L% Q3 N        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
) a0 y2 J0 T8 z" k% a( z    Floyd();  
7 m( j; n: E: t$ J9 `5 P    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
7 M' {3 h( A) S' @! D0 A       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
4 C8 S) Y# V, D: L% ?+ i       }  
( P  i* }! g1 V6 I0 A       printf("\n");  
    }  
" T" u* W3 ^8 T8 P    return 0;  
}  
1
2 K+ R1 w, C- v: r% p4 ]8 O6 `5 G2
3
% @# H  Q: N: H4
5
6
7
8
9 f5 a) S9 A4 \& e7 M9
10
11
; Q- L6 q1 }7 d9 {, I12
13
14
15
16
7 P- ^" [, Z3 A5 u! n17
1 I) o% \# s1 d2 z, S# l18
19
/ U+ A( r( ?% k8 B6 V20
, P% g' W5 @; M# I( F21
22
4 H) [0 W  ?) `; s. y5 C23
# F  {7 @4 d( G/ _24
+ U/ i+ C) Y# z3 _& k  O25
8 [- N' e3 o- D7 h& ]) _, k26
5 |* R4 X6 C4 d, Q; n! h27
28
7 A  `. }: I% @8 M. ]29
30
31
+ q% B5 I- p9 k; {4 Y32
$ t3 F0 s& T: l$ q9 G6 p33
34
8 j' O% l& K8 Q. C% O4 N" S35
4 ^( q1 g1 ]" s% U0 `36
37
38
39
" ^$ L: o+ X# z  `' ?1 v( y40
8 a5 ]2 Y2 _! N4 I, v- T# H41
0 t( U) U+ H5 ]1 d) Y* X42
4 D) R  K* ^( o; Q" n43
44
9 @. C( W: C0 ?& E: Y: e- f45
. ]7 A, j  w; Q% h1 j$ t, u46
" G. m3 A" t6 m4 |: L  @47
48
49
) T5 e; B- e- L9 l& G* U. S: O" w& P50
. ?/ g3 p4 \1 X: m8 I6 F- Z51
# z1 b1 D4 ~* G7 z- i0 N52
53
54
55
56
57
1 ?2 k. ~0 k6 {58
$ S6 `+ F% ]! l: k/ ^59
5 S2 d, P; s) p: `+ ~9 R! B2 g60
, @, Y- H5 U+ d" `2 O61
2 R6 I7 A. b5 Z3 _6 D- z62
. X/ V6 }0 [. Q9 W$ r63
( M2 y* K: z' m+ ?64
% q4 {. }' G3 x5 ], r3 z& _6 }2 M% D65
. T- g9 {, a: j8 j; z66
67
2 Z! G2 ~, P1 e1 ~0 t68
4 G% O& b# R5 h6 z: c1 Y1 q69
+ e7 u5 |  \9 n) l" s( A70
# B9 o7 F4 H7 v3 x; y8 {6 _. p* b71
8 k' v# i2 B3 ?: z" p72
- t, F6 X5 F  O( V6 c6 Q5 Q- A7 w  s( \73
74
75
76
77
7 _  `4 x% ~5 M78
0 p; x( v8 d( \  ~. i79
. }: n4 r( g# D# [: @: V80
6 l' N( d. z: |+ m( B0 P81
82
, H+ ~; u: r0 p/ t! `! \+ r- e83
# q8 b! V+ t, N7 @

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0 L2 D  P% Q, k. I1 r' H) ~
1 b4 x7 Z/ k5 F& B/ G, S# Z" s) i
  Z8 N6 H8 N: P4 |