【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
6 y& a2 ?" {2 u& c6 f( ?/ a% U一、蒙特卡洛算法
) }- Q/ J, A& X" L$ o, W  l1 T二、数据拟合
# o2 U/ T+ y4 _8 W5 ~三、数据插值
" q: P+ f6 N  z四、图论
6 ?5 S3 u& R1 @7 Y  X0 o1、最短路问题
7 o6 F- x5 }: v9 r; y（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法
# k  C) @# D3 ]0 r2 [; s% N6 ?


1 y) z5 D4 n8 n, w* C1 H
' s6 G9 d/ i* T5 c- F* B一、蒙特卡洛算法
1、定义
, Y7 j5 U, ~: b9 V! K

1 [: Z4 n, d# [" e5 b蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
( D- C/ ^9 _) o5 Y3 E: e


4 y9 N/ v- l0 O0 Z
* m# f# ~1 g/ [$ @/ g2 W2、适用范围

! ]1 W  L, y7 M( U4 f
4 r4 o$ l/ a2 l" A2 B$ p  B可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。

" t( X4 C+ j) N1 [7 R0 ~

! h3 K8 K' l! c$ u) F8 y
3、特点
7 x5 V# I% P& N6 I' l9 w9 ~+ c

" W( e  W. X5 X  K蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。


  ?; C8 h8 G3 O) j, f/ P

& ?( [9 `( d6 Q/ a5 W. M4、举例
2 f( E6 x* E1 ^

; B  z6 {. n3 j0 n) T- C" ky = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。




) k) }( _8 O) ~& g. K; Y& ~9 u（1）作图

. I# q) c8 m/ A0 u. \# e6 Y
Code：


%作图
7 X9 j# {! z' W, P3 @) M( Qx = 0:0.25:12;
7 r5 |  d3 p0 r  E5 Jy1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
" @7 L" ]3 w0 z- u# Fplot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
; V: A8 ^- b0 h2 J3 T& Otitle('蒙特卡洛算法');
2 v8 w- |5 ~/ ?$ O; o" \! `%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
& f3 k6 J. Q/ K3 G' X%加上网格线
2 \- d* v$ {, {7 D$ X# R% Pgrid on
3 D! ]/ L3 o) B1
# v  b1 k: B& F* @2
7 E2 d& |8 l! I1 K! Y8 `) z+ h3
4
; m6 ]) K3 i4 p9 d6 ^3 u5
6
7
8
9
* D: f) M1 Q0 f* k10
4 j# U% b: x1 ^2 X& _11
8 X: O' o) q' P12
13
9 K8 y3 w7 K. E1 V14
; R+ q: P$ [. u' [

（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
8 ?  ^  ]! ?3 K9 A' N  q5 @0 B
2 w& C6 v0 Q( ~! p1 W7 ]$ `
Code：
/ C% a/ V/ p. d) M! W
/ V$ h4 G4 |# b0 K  g1 h: X! Y
; F; i: K* p8 r+ G" D: L0 f; L& S%蒙特卡洛算法的具体实现
6 k* D: m) {/ |3 Q( K%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
) E! N- p; N3 l3 a/ Ay = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
% e- s) v( ^; c, I( ^5 `area = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
" _0 Y6 s3 ~, k1
2
3
4
5
+ M6 _2 Y& F/ V* {2 Y) @. }/ Y6
7
; X  T. Z- ]. O9 e; h5 _0 {所求近似值：
' I0 e  q+ {- z5 k3 t




/ J' O1 h( ]" I  ]; }7 r
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
3 K" V( F3 u2 x$ `& i* Y

. R( Q% F8 y0 c9 s( s


# ^/ G/ A) \1 m8 `5 m! k3 G" p
" R' @/ r8 `* r, V$ k; O二、数据拟合
% |" e/ r6 m" d1、定义

# Q. y/ n. u4 C0 L0 a
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
& x! f5 a# d5 a


& x9 |7 M( {/ v9 T3 o
& C' i5 V  z; |! e8 _9 A8 I2、常用方法
# x: E; `1 z/ l( M9 n& P- Z! W
/ H, q: L0 _) \/ G0 Q6 u7 B  Q! u
/ U# }7 c& }9 M! y9 a0 F. z一般采用最小二乘法。
6 F5 Q* i& c2 F, `5 S拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。

, X% z/ s4 f# N, ]5 Z( c3 [
3、举例


(1) 数据如下：
. T' i# r) i3 k

   序号         x         y       z
; C( i8 c7 o/ }% T  I        1        426.6279        0.066        2.897867
) _) `' ?3 }$ J        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
& n% T( }2 J2 ^/ X' P/ u        4        419.1864        0.057        3.50554
% X* u2 |" H* F" m6 B        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
: c$ V: C' y0 O/ @7 e* N; Z        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
% B7 B5 d9 @9 J        10        376.9057        0.049        4.047241
, \- T# U& X  r9 n' A! Z% R        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
' T( t: b. ]# K, _8 p$ I4 X        13        372.1432        0.041        3.604795
$ _& r$ o& @4 E8 @" i, x1 i        14        389.0911        0.085        2.048922
9 e3 E$ k( t, d' v3 S/ B        15        446.7059        0.057        3.372603
2 y2 A' ]1 v0 v/ t4 v9 J* {        16        347.5848        0.03        4.643016
" m: S) S3 o+ y        17        379.3764        0.041        4.74171
7 A' ]. g+ L& I        18        453.6719        0.082        1.841441
        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
9 R- C2 S& v0 L& M6 D2 @% R, G        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
3 ?9 I" M0 \$ M5 T' Q6 }) J        24        443.1192        0.063        3.080523
: C1 {8 f+ v) U# j4 s. G( _        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
" J, v" S/ f# E        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
        29        421.5248        0.063        3.005718
; i# V+ |" c3 \) I        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
8 r. A% s' L. q( ^4 \* E4 i        32        421.5248        0.063        3.005718
, A- y, u4 x- ]; V& [        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
* x! |/ D! Z- _/ y4 c        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
# j3 `7 H5 }4 A4 @& o- |7 k        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
4 B/ c, z6 ^& Q' S5 w        39        362.2008        0.036        3.060995
) C8 M; K9 ?) g& q, W8 c        40        417.1425        0.038        3.69532
9 [8 }2 w! R4 O7 T7 ~* H% x' B9 y2 p1
7 a1 r$ D6 t/ r* X% V3 E2
. s2 w, y- A$ Q: C# H& s' n( @' F3
4
% U  A* E* e- w8 L5
6
7
8
9
10
" G2 i  J4 s, C. A' F. E11
12
9 |/ X' ?+ h/ C$ i% z2 i  Q0 x13
14
; w( q6 K' A- p15
16
) r6 W4 s& c" O+ T17
18
19
20
21
22
2 [" A1 }- b3 t, T; ?23
24
25
26
27
28
! ~# Z! O0 f; G& `* p1 J* t+ h29
30
31
32
4 n. U% @! S( T1 v# F! _33
! v$ ^  v& N$ E$ n34
35
36
37
4 p" M% y4 a2 Q# u38
; S( f& C! N' J3 h5 L39
0 J" a" N; }2 Y+ o" a  P40
41
6 R6 F+ x0 H- I2 h

2 N( o" N0 E! i5 W. A4 |(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
2 R1 h6 o9 h( {! X4 L$ U7 s) L
7 x) C; [3 b; M! R% C* G& a7 J
%读取表格
$ `9 i$ j) S% s4 e5 c" @7 o" qA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
[I, J] = size(B);

%数据拟合
2 I1 a7 ], C5 g5 Q2 A* f%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
2 G0 |8 P! H# U& F8 D+ A& Dx = A(1,;
9 R( r  q+ ~  B8 S$ G5 Fy = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
! ?" j2 s9 |- s3 y7 r%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
! E9 Z( i6 Q* i: hdisp(p);
# S# Z5 h* {: c/ E' b%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
7 B% V. X0 n, f' ty1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
( g% C/ a3 N8 H5 p+ L%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
" f% o& X/ i$ O/ i/ O2 _5 M2 b2 {1
  E4 o5 r+ q+ v' a5 F" v# c2
3
: t8 q/ O# g4 Y4
5
6
7
8
) w4 y5 }6 M8 V9
& d- d: T0 u$ W) F+ _& H10
11
12
13
/ {# d8 ^5 T* e( K& B14
% [! h' t! S' [15
16
8 Z# |; O; g6 y# b( p2 x8 F17
6 N- R# B% S& Z! k3 r: I* k4 x18
19
: x4 E. s/ M5 ?) X  V( }: U20
  f  k) i. m5 z# M% l21

! R, q1 w4 s2 I/ X4 D
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
+ G1 b8 M" V% e0 t( v" @; I/ M( X
9 g) R7 @# U, v+ q; M
) T8 S$ {2 v/ Z7 T- W0 `2 `
' V! q, ~* s, }& I  v
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
: Y- a! i# }: {! C! w1 X- p8 ]
: b+ E/ l! R/ I# W


选择x、y变量




% j" n; _  C4 X. \8 m选择拟合方式和最高项次数
2 ]2 j" v; M3 q8 o9 J) t. o! D


8 s+ U" k: I; D: K
( ]' E# g; @9 h3 p& a/ ^得到拟合结果


8 F9 X  W# q  S/ F5 V+ D
+ o: y" D+ l0 o$ Z
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
( T# p! G( s5 N5 W



! ^; r9 `5 {* |8 R7 i; d

三、数据插值
/ n4 c2 V0 P* K0 @7 W% e1 I$ L1、定义
$ v" H: g$ _3 D6 u5 j+ D( M

5 j* s+ L7 R4 g9 C0 T在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。

% Q" ^9 f: ^1 {1 _, L
% S" S: s+ H' @* i! l从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。


( w5 N  _: E3 z% O4 c5 l

2、作用

8 N, u' l8 I' W% i( A
; @5 B5 U3 k; [  f: t3 V插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
1 P7 `; J9 }. e) t2 d: n! D
. B. N& B* n9 g: k% a% \1 }7 A. R
) ]# O( o7 O9 j3 d; B4 C& @" Q  W
( R' M; Z: K! G& E% N
( Y* {1 c* ?8 g0 @) n3、举例
1 l4 F' _4 v+ {3 W) j
! C, x1 m+ j  T- V, R9 j
0 ~& K9 X& w" I9 {+ j) S%years、service和wage是原始数据
* O. a# g. T# v; K0 Hyears = 1950:10:1990;
% t% W$ b- |* E' Yservice = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
0 P: Y2 l$ f. b# Q[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
" v. U. G+ z/ u2 c% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
% b6 Y. O/ t% b, @surf(X, Y, wage)
- e/ \" V) @& t3 {% h( i%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
2
3
) m6 k) d5 _1 n4
5
6
7 G4 ^6 E) _3 a7
9 O1 b: b, r& j2 g( H8
9
10
2 ]0 R' `( O; o+ z! W) Y11
12
% ]' O/ G6 `8 a4 |7 X
! J# C3 _' r4 H" y. _1 Z


可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
9 r; H" U" J8 s- W. _7 {6 @

- R- z! v% R$ m
9 R2 P( e% q4 ~( g6 w& H
( P* O+ ?% N0 s( _/ U

四、图论
& c/ x2 a. d% }3 F3 t1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
( }$ W# _) t4 f4 G

例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）


9 d# T; t# m8 J  }3 T, t5 _- g具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
% T" Y# ~2 N8 ~8 t/ n; _$ Z

  d( V6 x) g! b# ]' f9 W

  `" Y2 d, {7 c5 S（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图

* j# S+ |1 u/ c" y


* ]4 l/ ?5 e0 Q$ S* s2 J1 t用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
. U8 j+ H. G1 C1 v4 x$ ]4 M4 H

" K; f8 ^0 e" P% b# \. p
: }, [; H. M; I2 q( [6 x+ ]4 i
7 K9 H- n  q4 h

7 c& o0 U6 N2 k4 e& [' n代码模板：


#include<iostream>  
) g% S" c  c7 X#include<cstdio>  
6 T9 j1 X2 v1 l- g9 z1 f# `6 ]( }#include<cstdlib>  
3 l( a2 m3 q8 G2 P#include<cmath>  
; E0 l4 \, a7 A7 N9 q2 D#include<cstring>  
* f3 W, w  l* g( q" l, s#include<algorithm>  
+ v6 `7 N8 y2 {9 K#include<vector>  
$ Z& T+ z, q; \#include<fstream>  
$ J* I7 f  |* K6 ausing namespace std;  
3 P& t+ z: N9 B  
' Y3 ^' X4 ]/ [- M+ G6 P" [const int maxnum = 100;  
4 k. j  m/ `8 r" g4 \const int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
4 f: f3 o" _- H  ~% W$ M! F8 y    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
. W5 e3 U' d5 P8 o& s    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        dist = c[v];  
% h, |, B/ f! T1 k) W7 [        s = 0;     // 初始都未用过该点  
) Q4 |6 ?+ g- X8 ^. P        if(dist == maxint)  
+ a( E3 {/ d) |5 z: p  _. Y6 q- [            prev = 0;  
        else  
6 b% ~+ s) O% n$ K$ f( ?$ z/ D            prev = v;  
6 j. f; G: r" p. O    }  
2 H3 _+ L; n: i+ e5 R3 x8 L: e$ K    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
  
3 K7 h4 s& ?1 }6 d8 \" d/ v4 L    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
; x% N6 n- u1 o& q/ J1 v    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
3 @3 ~9 @  G* s6 o* `3 z4 J    {  
7 k" M7 r- L/ K2 J  D        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
* G% Y1 k6 f' ]! b$ r; c            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
; m+ |1 C9 l/ k7 c# z; _. }# x& l; K0 w                tmp = dist[j];  
            }  
& Q5 q; U# u; @4 c$ y3 P# f        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
8 N+ b1 L5 P' @' R2 o; e  
        // 更新dist  
: [$ W' K7 u4 e6 w+ j8 f        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
# s6 ~$ f% [; `                if(newdist < dist[j])  
                {  
                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
! v8 V  I- F5 h                }  
            }  
    }  
: {0 c- y, e0 B: B, w/ d' N5 G}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
    int que[maxnum];  
% |" x+ i: r7 n    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
2 H  g6 t. {/ x3 F. N  q8 l" p    tot++;  
9 h/ U* |3 j$ C- T- w$ ^    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
; D! ]9 ~% U/ h9 u- E8 ?    {  
3 ?4 n7 q# N2 x. N4 C; s: |* w        que[tot] = tmp;  
8 B2 v" V1 U# O6 f        tot++;  
  N8 Y+ G( A3 W        tmp = prev[tmp];  
, `! V; ~* _' G0 c/ `& L8 H0 P    }  
- h7 P# V2 I" {# }" P% ?3 Z    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
5 {0 {  f% o) X9 Q0 k3 g            cout << que << " -> ";  
. w+ w$ B; C, K        else  
            cout << que << endl;  
}  
  
/ t9 Q8 e) [, O1 q5 ~' e; ^  yint main()  
& j2 J% G" I5 w& m+ g4 X1 y{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
, `% \% L4 i7 H+ K    cin >> n;  
" W* K3 J! x" k6 D/ R    // 输入路径数  
( _; i8 @9 o7 k) `& ]$ X. m    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
, B, K" h, X2 p. a    for(int i=1; i<=line; ++i)  
' X7 p$ X# E6 N3 j+ n    {  
        cin >> p >> q >> len;  
5 N+ e# v1 {* i6 @' s" J7 s        if(len < c[p][q])       // 有重边  
+ _% V6 ?2 q  t9 C; }9 B$ G& V8 v        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
& Y4 ]. U* V; H/ }3 u            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
/ o" y6 h' ?  X; q3 y* h        }  
    }  
* q+ J, h, R+ @% u# K   for(int i=1; i<=n; ++i)  
( f! v8 v5 J. V9 d" f        dist = maxint;  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
  |3 X4 n# N/ r3 d" a( v    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
$ j* s; B  m/ _2 a9 j" S# }7 U" B        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
. ?' x/ T; d/ D$ [& Y7 t, G//    {  
5 Z1 u& B/ R; B: k. U//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
0 H( v4 ~7 i9 l9 h  f3 d0 z    printf("\n");  
! H: f! h& A/ ]     // 最短路径长度  
$ P  `& f1 N" G7 M. B4 @/ u+ l# P    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
5 G8 n; M& a  c8 E8 f     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
' W8 R) A- C6 S+ T! l: p4 `: i( @    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
}  
  
  
/*
输入数据:
5
1 }, H  z  C7 q% g* S8 y8 I 7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
  C' u6 J" ]* o6 Q 4 5 60
输出数据:
0 Q- h6 Z! O# U6 r2 \6 T% D7 ^ 999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
, O" d* m! B9 W+ ` 999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
1
2
3
4
) c" K; c( A, V5
( r( E6 j/ e; O- w6
7
7 T, l( i* a1 ?: v6 U8
9
10
( W* ?. H6 D1 ]11
3 d9 S2 E8 M1 s  \6 [7 e" a12
13
14
15
8 B  V# u: n+ T16
% Y7 {0 L; ]+ A0 P9 Q4 P17
5 p8 T( j' _/ ^% o18
, k& C' {( s7 n! v1 K0 F5 @3 [$ [19
20
" j/ R* i3 w+ U) Q2 [, ^21
5 R+ U- [0 R& ?2 F" t22
" E0 }3 Q) |& F, h* G23
24
/ J' }' f# B# G# g! P* w25
26
27
28
" C! E' t" N; Z2 F4 @29
30
31
32
33
34
4 e; c$ e( B& g+ q. o35
36
37
38
39
4 w! l' }# \5 \6 {40
; z. D+ W4 R) Y8 H41
4 m& b* K9 p9 C7 E42
43
) P& p0 ~- u+ Z  |44
9 E; ^, O% a+ U4 c' ]7 T2 P  p7 e" j45
46
2 f; [/ k7 b/ j5 A47
48
* K6 T' i) i8 _8 W# ~/ t49
7 K) N$ }, ?( t3 \7 ]' R50
51
52
53
& L$ |. F/ C. f( [54
55
56
; C: t$ i; W5 n' }0 y# D  B0 z57
$ b, t& U6 \# Q% P' @58
59
60
# g; O6 Z- R, V" n2 N. y61
+ o/ b( Q" T: V( ^; |' P62
63
64
4 z  J; ]' k& F% l9 l65
66
  Y8 E' b9 i4 _( q) }$ o67
68
" w' x" L& x5 }' l& {' D69
( @2 M7 C8 |1 x8 f. L3 y9 b" l; k70
& Z# R6 Z! b0 E8 I71
72
& t- V8 O& i+ L+ S' u73
74
75
76
7 ~# B+ Z# o% W- j, N; U77
78
0 y+ v* {0 w; z$ Y( [! k- ?" r79
80
81
82
2 w: R* O9 C' V" \+ L83
" K: L3 K2 I$ F6 E: y- ^84
85
. @1 v5 G1 Q% H2 r7 V5 d3 O8 J  s4 a86
87
88
89
90
91
' L4 N3 T! _1 Z6 m% q92
4 f. g9 l. [2 m/ W& J( J93
* _3 [2 I1 \9 e, w94
6 r% ?7 ]6 x7 K- C* r95
96
97
4 h/ _" _+ @7 N) G& R- h3 w' d4 F98
5 X" ~, U1 e9 m- q& H7 ~99
. v, z- Y# k% Q( K4 p100
; |, [/ s7 h" B# y+ L& l: ^101
) ^4 B, h8 i9 [8 l102
6 q: I/ {+ ?7 ^$ g% P8 c- Y7 P103
104
105
106
107
108
9 B% d0 x1 h: a$ b7 p/ v109
110
. a8 Y, t( C+ x% V8 W3 v111
112
* J( B: W, |: R( Y( e7 g113
114
) J! _- j, T$ L- D- G! C115
8 N6 j0 R! H: D% }116
117
118
119
: e: z) t! e9 O! C120
121
  v+ G. W7 n6 D122
4 V" r  j$ w9 \9 q  N% O123
124
125
" M1 `+ d9 j$ }& ?# G126
7 G& u7 ]) o+ w! ^& E. ]7 c127
& C& o0 z& b! \  o128
; m/ B* j' b- v/ z) T129
3 e: `6 Q% o$ a, C5 o130
( v. ~! `& s+ V' y% O" ^6 r: w131
. |! X$ _, O/ I( R1 W! l( T132
6 |% @- b" J; D133
% a0 F2 S: ]6 e% q134
. F+ f: C3 Q- o, @135
# g8 r3 a6 Y/ `4 M' v6 u1 O# B1 J) V136
137
138
) R, Y- x$ c% }+ S+ _/ E+ _6 Y6 Y3 G139
4 H8 a1 t! D! J% G8 e- X& B140
1 }/ E/ U, R$ J' t) a141
142
$ ]. c  y- R7 d) u, p143
144
145
. @# r: U3 |& c6 i) M4 i146
+ @/ n+ g% ]- a

( y8 G7 K/ t  j, Y1 g（2）Floyd算法
6 Y' E/ o/ C) @$ L! _1 W, C#include<iostream>  
#include<cstdio>  
* ~9 D& O' u$ c1 [' i#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
2 U) d  I2 B6 f; }6 t( o1 Q& J#include<vector>  
/ ~- u9 t4 \  F, D, Q. ~#include<fstream>  
0 d* ^' ~6 a; ]* _1 i5 lusing namespace std;  
  
//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
double dis[MAX][MAX];  
# p+ l# J. L( x" P, F% qdouble a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
% D( u& c4 }6 z$ X! q4 S  
- n; D+ i! b4 Z" b$ avoid Floyd()  
  S0 z( Z$ [' L  n- T. s3 H{  
    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
3 @: T6 j8 o  X' _5 l        for(j=1;j<=n;j++)  
" p; C) ]) `7 V4 l        {  
            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
8 J1 _$ F  E8 F7 y5 v5 u* G            {  
                path[j]=i;  
            }  
            else  
, p3 }3 |2 H! h  ?                path[j]=-1;  
        }  
    }  
  
  e" j) y& f. i) f2 ?4 s' Z# B    for(k=1;k<=n;k++)  
9 c& A- e' h+ H' y( G+ D* C    {  
, i  k2 _  ^1 f7 \& |        for(i=1;i<=n;i++)  
, A7 _1 P0 m) X. ]5 L% Y+ d. n        {  
3 v3 T/ |# H+ U: p& d. v2 q            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
9 m2 e4 }$ r3 m( ^" y* b0 Z  O                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
! V6 |2 s! t7 D1 W5 C. N                    path[j]=path[k][j];  
3 Y" {6 P0 z- w3 _9 \: H) r                }  
            }  
' P- {: P6 A& A' x, H: Q6 z        }  
    }  
}  
, X& d# G3 K# }1 X5 q; S  
int main()  
{  
7 l+ X; [  \# W3 y3 F2 N' z    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
0 l6 w0 d. \. u0 ^8 {    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
9 S! B/ o9 B1 o+ }+ }8 ~# [9 T; |       for(int j=1;j<=n;j++)  
+ L1 i4 Y. E1 K8 a8 z. w" E       {  
            if(i==j)  
                a[j]=0;  
            else  
                a[j]=INFTY;  
2 s0 ~2 w6 O4 c       }  
1 j: |" s$ Q1 ], ?, c    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
* e: `! ^$ B4 n9 s& p1 B    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
! Z  F, R3 D3 z    }  
( e4 N7 h: L' {/ L8 s    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
9 c6 |# ^' ~; t, o6 U       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
* \  u& m; e8 m$ n( F7 p- n            printf("%-12lf",dis[j]);  
4 M/ r: t* \: O7 r       }  
       printf("\n");  
' h& a" W9 U8 y, Y+ Y4 Z5 y) ^    }  
    return 0;  
7 z0 T/ `5 ~% ^! O}  
( Y6 V7 ^- F. c# C/ i+ Q6 n& s1
8 @( h0 W/ b& q2
3
0 b7 L# ]7 l5 V6 }( L3 j1 W4
5
5 z/ \* L% f) g0 ?. z6
7
$ j' Y7 |) Z$ a/ r8
9
. K# U/ ?1 v/ h# A5 W% r2 {0 Z10
11
12
13
14
) H1 m+ g- i2 C6 h% [# I15
16
$ f1 ^6 b/ h9 r3 l1 k* f$ K, O17
/ I" W2 e+ `9 r+ |' m18
19
20
21
: I) |* w; w0 @1 v% ]22
: i" ~! ~( ~+ |, u- ~23
( E4 h( C9 G- C. {. r7 ~; x9 J24
25
26
27
5 ]4 Q/ X4 }6 ~5 _3 J/ b% e7 W28
29
1 A$ l, K5 P4 N% f: G6 U30
! t+ q1 r# ?, P4 \31
32
33
: n7 b7 l; \( ~6 o9 k, u! N& }. ?+ D34
' i) e, p2 s6 r( Z) S35
36
37
- q+ T: G5 B) Y3 x0 Q0 a38
39
/ }2 ^- N0 f7 \9 x* g40
' W% p; z- g; @( m41
42
43
44
" ~( S) A6 [- @4 i9 [9 G45
% R- A1 o9 N( s% U, k46
& A7 m! H1 l' e1 K0 @/ t( x  h  P47
48
49
+ Y0 @) z% W  T6 ?' T5 x50
- b8 z1 I7 O5 f- d: }# [51
52
53
0 S( s5 `) v0 |' J) R54
55
56
  e" ?7 p$ w3 l$ ~5 ~$ r57
1 _2 n4 ~3 {% e: n( D9 p$ s58
59
60
+ T6 ]9 m" I6 Q9 E: h7 Q" q61
# `2 V* ?1 {( h0 P; g* v62
63
64
/ j; \  Z) n& `$ Q6 A65
0 [4 [& C7 a% r! b* y66
, S2 F. G5 y9 |, F2 ?/ a67
* D, I/ W! ?7 o9 w68
69
70
# _/ ]' ^2 b# `" Q' k! {, U2 M71
" o/ f& O) C6 s5 @2 I7 q9 s8 e# S72
7 y' s& g  q2 g# J% G' v7 Y73
: ^" h$ L5 J9 D3 v74
4 U5 T6 o7 F4 t+ p* W1 I75
76
77
78
79
  m- t7 {. m, ]2 N0 j80
81
7 G' J$ Y& A( }82
! s& y& N- ~5 e1 y$ Y83
/ _6 q2 |2 R$ _- T& B8 u
$ |, A- l6 Q- T3 j
- e: |+ h) u+ s————————————————
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. l. g4 I, f; R, \+ z
/ u) `: H$ l: g' r
( @3 t( o# E' q! r