# `9 X( K7 P3 p/ I/ A' h U- T$ e8 p* ?
我们再来看一下第2问,就是模拟100个工作日,然后计算每天的服务人数和平均等待时间,通过大量的模拟,可以使得模拟结果更加准确,由大数定律可知,当样本容量足够大时,频率就可以近似等于概率。就是外层加个循环,记录100天的,然后求均值即可。 ; K/ ]" Y3 A. w% g3 N1 p+ @. `3 c* n9 Z% i0 c; L
%问题2的代码 3 H7 G+ K' I% R) |& eclc + K4 I" B9 A# q$ T: D9 c$ {+ \clear+ O$ I+ `+ I' N
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间 1 L7 h" L* ~% E- lday = 100; % 假设模拟100天1 G+ Z; k; r6 w7 T; r0 o, \
n = zeros(day,1); % 初始化用来保存每日接待客户数结果的矩阵 * r0 i8 y2 I! x: ?( }) ^t = zeros(day,1); % 初始化用来保存每日客户平均等待时长的矩阵 $ ?3 G: F0 u' F" q( Ffor k = 1:day 7 t) n7 f& `- _ i = 1; % i表示第i个客户,最开始取i=1: ~. |/ N+ P. q4 z) f7 d- T
w = 0; % w用来表示所有客户等待的总时间,初始化为00 d, p! R. _ |4 f9 I% F
e0 = 0; c0 = 0; % 初始化e0和c0为0 1 U, E) |# f$ \7 ?3 v7 o0 s x(1) = exprnd(10); % 第0个客户(假想的)和第1个客户到达的时间间隔. l$ X7 b! o4 Y( A
c(1) = c0 + x(1); % 第1个客户到达的时间 ' T# Z5 {4 [1 n2 q4 h b(1) = c(1); % 第1个客户的开始服务的时间+ p( I; q! w0 G+ b5 q1 u6 z4 n6 U
while b(i) <= 480 % 开始设置循环,只要第i个顾客开始服务的时间(时刻)小于480,就可以对其服务(银行每天工作8小时,折换为分钟就是480分钟) 4 ]1 p0 x* j1 Y5 z* D y(i) = normrnd(10,2); % 第i个客户的服务持续时间,服从均值为10方差为4(标准差为2)的正态分布* y6 X* j8 ^5 q$ t* o
if y(i) < 1 % 根据题目的意思:若服务持续时间不足一分钟,则按照一分钟计算 ( H: I; y9 J! U/ y9 ^ y(i) = 1;! [4 Q7 r, z7 x
end 6 a" R& N, h) r! G e(i) = b(i) + y(i); % 第i个客户结束服务的时间 = 第i个客户开始服务的时间 + 第i个客户的服务持续时间 6 `$ ], ?% m. Y; G wait(i) = b(i) - c(i); % 第i个客户等待的时间 = 第i个客户开始服务的时间 - 第i个客户到达银行的时间& y! t& X. s* I O* d9 W* g
w = w + wait(i); % 更新所有客户等待的总时间, N) [& Z4 g+ K: F
i = i + 1; % 增加一名新的客户 5 J2 ~! f$ b. L' j# y1 T1 y x(i) = exprnd(10); % 这位新客户和上一个客户到达的时间间隔7 G" ~9 ]' O6 _, V L
c(i) = c(i-1) + x(i); % 这位新客户到达银行的时间 = 上一个客户到达银行的时间 + 这位新客户和上一个客户到达的时间间隔9 ^2 g4 {9 \+ K/ B2 O1 f
b(i) = max(c(i),e(i-1)); % 这个新客户开始服务的时间取决于其到达时间和上一个客户结束服务的时间 % ?" ?' h2 P \' w: \4 |: i1 O end# N' ]4 i$ E8 S0 A: Y M
n(k) = i-1; % n(k)表示银行第k天服务的客户人数 9 Y: l7 c2 \; O8 o t(k) = w/n(k); % t(k)表示该银行第k天客户的平均等待时间# E6 x, b' w: Y% e
end$ V. W8 ?3 e- H! T3 F
disp([num2str(day),'个工作日中,银行每日平均服务的客户人数为: ',num2str(mean(n))]) $ H: h/ f9 T/ l( e" I; bdisp([num2str(day),'个工作日中,银行每日客户的平均等待时间为: ',num2str(mean(t))]) 2 V/ M6 w& s2 f0 \4 F l( htoc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间5 [+ Z1 [' U0 R
模拟的结果如下,每个客户的等待时间达到了30分钟,这个可以说相当可怕,提个鸡肋的建议,多加几个窗口吧,太不容易了。 + B, e, Q G3 v! U : e; H6 Y# o2 A* R; u$ o7 U' V6 ~2 s4 B! l5 G
2 i3 O2 g, c; N$ e0 O7 J0 Y3.3、蒙特卡洛模拟有约束的非线性规划问题 ; Y/ t/ a: e ^% G4 b一般的规划类问题,包括目标函数,决策变量和约束条件,对于规划类问题,用蒙特卡洛方法进行模拟,主要思路如下:需要给出决策变量的大致范围,在这个范围内生成随机数,验证满足条件的决策变量,将这些代入目标函数,找到最大值或则最小值。 " P7 F1 Y$ {) T x0 Q0 m& w) y, w6 [$ s; J' f" o" v
+ f( f4 E0 F5 f5 D0 R1 f $ `) r) }! l8 C+ M# o+ C4 D2 Z% V1 |( ` 对于上面的例题,我们可以先进行如下的推导,可以得到x1,x2,x3三个决策变量的范围,通过在范围内随机生成决策变量,筛选满足条件的决策变量,代入目标函数,求出目标函数最值。! _1 ^- U; [3 X; i0 I5 k
: E4 B/ k/ p: |* b
6 \4 @7 Z4 x& F/ c Q: Y
0 \4 Q- n) V( b' A! G' W! Y
对于上述的例题,使用了1千万组随机数进行模拟,对于满足约束条件的数据,代入目标函数,找到最大值,具体的matlab代码如下: ) v: x: t" k; L6 [1 X6 O! \' d' g# A
clc,clear;, f- ^& K% j U
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间* x* K1 h0 C$ Z* ^% M& F
n=10000000; %生成的随机数组数* [# N* N& V! X# v% A( n4 h
x1=unifrnd(20,30,n,1); % 生成在[20,30]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1 ! `$ }$ {: E$ U c dx2=x1 - 10;: ~5 q g' \5 K( _# H D( N# C/ Z5 s
x3=unifrnd(-10,16,n,1); % 生成在[-10,16]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x3 ) Q6 n+ g+ C7 Nfmax=-inf; % 初始化函数f的最大值为负无穷(后续只要找到一个比它大的我们就对其更新)' C# }$ ?3 c& |6 ^
for i=1:n: D; J. i- H& L" S2 V% I$ x
x = [x1(i), x2(i), x3(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了:x =[x1, x2, x3] ) E" k. {# L9 y- E6 l% @7 I if (-x(1)+2*x(2)+2*x(3)>=0) & (x(1)+2*x(2)+2*x(3)<=72) % 判断是否满足条件 7 _8 Y2 z3 R( Z# G" n( K" A z6 I* f/ o P result = x(1)*x(2)*x(3); % 如果满足条件就计算函数值; |. {! h+ `" p1 E: }* X t5 a
if result > fmax % 如果这个函数值大于我们之前计算出来的最大值9 V! c6 C2 |) {
fmax = result; % 那么就更新这个函数值为新的最大值9 ^5 W3 }( B% N
X = x; % 并且将此时的x1 x2 x3保存到一个变量中 1 q4 |& \- ~! t! l9 h! a M end3 b) Z1 ?. x% y
end ' y; N. r0 @( f8 Nend 2 g7 ` [$ J5 P1 i7 ?* q. qdisp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最大值为',num2str(fmax))) `* `) ]8 C) e5 U6 hdisp('最大值处x1 x2 x3的取值为:')8 C8 A, q1 x% k7 u4 P
disp(X)% }/ J# C- ]0 g: s2 f0 G2 I
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间& @- i) _ |7 C
我们可以看一下具体的运行结果,我们通过这个得到的结果,可以对决策变量的范围进行缩小,这样可以模拟出更加准确的结果。 4 Z) C9 i/ G+ y; t2 z; z+ o & d" X& w7 O- @) F 2 T9 R8 y$ K' e( W# U' |5 F / j% q1 i/ c' Z4 G3 Y7 l3 b 下面根据上述计算出的决策变量的值,对设定的决策变量的范围值进行缩小,这样模拟出来的值会更接近准确值,具体如下:& g2 p F( K6 l" j% @- D: ^6 u- l
$ Y4 `, S2 a; k3 `$ l* A
clc,clear; " J- s' H1 u# e" C- H a8 Gtic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间 V+ A) k c% }6 L
n=10000000; %生成的随机数组数 [, L z% T8 h2 p8 j6 o
x1=unifrnd(22,23,n,1); % 生成在[22,23]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1$ O5 g: B( u M% c
x2=x1 - 10;/ h! [8 B# e/ }" Q' N
x3=unifrnd(11,13,n,1); % 生成在[11,13]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x3' _0 @. X0 Z, S8 q8 Y
fmax=-inf; % 初始化函数f的最大值为负无穷(后续只要找到一个比它大的我们就对其更新) 8 b: N* I6 B& S8 b6 Efor i=1:n $ C0 C$ A) _, `: H+ a# w4 f8 E x = [x1(i), x2(i), x3(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了:x =[x1, x2, x3] 5 f) b7 {+ h! ?. J* V3 }9 s w5 y if (-x(1)+2*x(2)+2*x(3)>=0) & (x(1)+2*x(2)+2*x(3)<=72) % 判断是否满足条件 6 T/ p3 R4 e! D- l: g result = x(1)*x(2)*x(3); % 如果满足条件就计算函数值' e" ~" C" B& E, ^# k
if result > fmax % 如果这个函数值大于我们之前计算出来的最大值 % i% H8 ] \# h fmax = result; % 那么就更新这个函数值为新的最大值 . |6 y% m8 w5 b% n X = x; % 并且将此时的x1 x2 x3保存到一个变量中 + `+ O* R2 J, v5 i+ O8 _/ m0 j end' |1 U: ]& Y' C: n6 F& B/ z
end 0 b, U% X% c) ]* m' Xend $ ?/ w8 F1 L+ O+ z4 N+ ]disp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最大值为',num2str(fmax)))' z9 b5 x5 f5 @5 Q5 R' V% r
disp('最大值处x1 x2 x3的取值为:') , ^1 o' t }2 B Bdisp(X)4 G4 S) c+ U% i9 d4 u- _
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间 ' d# j1 K8 \( m# t运行结果如下:9 h" `0 I# G' e( q* c1 _! i) k
8 p8 u, X: N* G4 }! s: }0 Q! A3 M h: q' e2 g0 f
* j7 n- i/ X3 Y5 E3.4、 蒙特卡洛模拟书店买书问题(0-1规划) . r0 P6 G+ e( m. p- q我们看一下下面的买书问题,就是从书店买书,一共需要买5本书,每本书买一次即可,在一家店买多本书也之首一次运费,现在让你设计一个选购方案,使得最省钱。 ' Q" U' ?' P$ [8 R 3 N( b, t3 T( K( d+ \) B: N, y" r ?
& w. V& B3 J! |) O
我们看一下上述规划问题的解题思路,变量i和j分别表示6个商城和5本书,xij表示第i个同学是否在第j家买书,买了为1,不买为0,同时为了约束每本书都只买一次,需要加个约束,另外对于目标函数,主要考虑书的价格和运费,求出总的费用最小。 t" F9 l9 r' g! n. G8 ?- \5 y3 V
8 g$ U* L5 G3 Z4 I T: n0 Q+ G. E4 {- Q, u8 ~3 E
下面使用蒙特卡洛方法进行模拟整个过程,计算出总的费用=书费+运费,10万次模拟,使得最终的最小值近似等于我们要求得结果。+ i" v2 ~8 L) T1 S3 g- h( i
3 [: d6 Q% |0 vclc 2 N( E! f; a7 g9 _- L# Hclear0 L7 G- q" @8 ~0 e- n( m
min_money = +Inf; % 初始化最小的花费为无穷大,后续只要找到比它小的就更新 7 V G: b& d% ^6 R% e$ |min_result = randi([1, 6],1,5); % 初始化五本书都在哪一家书店购买,后续我们不断对其更新 ' L9 [% c; U0 Q" N5 a4 j%若min_result = [5 3 6 2 3],则解释为:第1本书在第5家店买,第2本书在第3家店买,第3本书在第6家店买,第4本书在第2家店买,第5本书在第3家店买 2 X8 \$ A( g9 a0 Sn = 100000; % 蒙特卡罗模拟的次数/ X7 C' o5 A6 e$ J* [- h
M = [18 39 29 48 59 ' a) T" n1 |( G 24 45 23 54 443 Y8 Q' j, g5 y; C, S$ ~( q
22 45 23 53 53, s$ {( W! s K$ p1 f( a* f/ \
28 47 17 57 47) H* b" ~. k' C _
24 42 24 47 59. M8 l. M# P) x( x
27 48 20 55 53]; % m_ij 第j本书在第i家店的售价- b& _! A4 H- h, s! j0 F( h
freight = [10 15 15 10 10 15]; % 第i家店的运费 0 C. {, c( d7 Q5 s( Ffor k = 1:n % 开始循环6 p# \( L7 N# s; {9 c6 b* J* N- T
result = randi([1, 6],1,5); % 在1-6这些整数中随机抽取一个1*5的向量,表示这五本书分别在哪家书店购买 4 n3 U4 L8 b! ^ index = unique(result); % 在哪些商店购买了商品,因为我们等下要计算运费8 c6 w4 D* S( q8 {) W& q
money = sum(freight(index)); % 计算买书花费的运费 . e+ ?3 N8 f5 e; G % 计算总花费:刚刚计算出来的运费 + 五本书的售价% Q$ g7 ^% v8 b
for i = 1:5 , a; r0 s: Y4 `4 J' @6 r2 h money = money + M(result(i),i); 2 L, b2 I, T* ~9 {
end6 m, H. \( j: J! E# |. O& l6 t
if money < min_money % 判断刚刚随机生成的这组数据的花费是否小于最小花费,如果小于的话0 n2 y/ A2 M" {; \9 i) _2 w
min_money = money; % 我们更新最小的花费 / O# T8 P! f. l1 L4 B1 l4 W min_result = result; % 用这组数据更新最小花费的结果: @0 q1 T2 e. j2 f0 e3 ?/ j
end2 Q6 J# k. w9 o& P- @- w
end / t4 r6 Z8 A3 a4 N6 odisp(min_money) % 18+39+48+17+47+206 B. ~) M0 G0 W8 g# C
disp(min_result) ! {6 T. p3 W1 H& G4 Z' W我们看一下,最后总的最小花费为189,买书方案5本书分别在商城1,1,4,1,4购买,最后得花费最小。 . L$ n6 @+ ~8 t4 T1 Y& K M+ \9 U, V" K- y8 M0 O
* C- i2 D2 z9 g$ z+ w8 J& R
v. o! p+ O$ m0 F, N( R2 [8 ^3.5、蒙特卡洛模拟导弹追踪问题4 f5 q8 y5 G7 @; L% w# ^1 ?; w
我们来看一下这个导弹追踪问题,B船沿着东北方向逃逸,A船始终瞄准B船,向B船发射导弹,计算导弹能否击B船? & D' N* n! I+ S( H" a1 i! F* d5 H `! A3 _& z
! L5 i8 m1 z8 I. k, l& S y1 l3 @/ Z. O9 L; u
我们仔细分析一下这个题目,因为A船得导弹始终对准B船,那么A船设为原点,则B船的坐标很容易得到,导弹的飞行是一个 曲线,那么这个切线就是导弹速度的方向,速度方向可以分解为水平和竖直两个方向,这样就可以写出速度公式。 * g, x% [# G# u, Y1 S9 K5 p' ~0 b, U6 a9 n
# _7 u, a% {, p9 [6 @/ \6 D" q! {4 y. | D$ A
有了上面的公式,我们就可以考虑建立近似的模型,然后使用蒙特卡洛方法进行模拟,我们奖时间间隔划分的很小,就可以模拟一个连续的时间了。首先可以更新B船的位置,然后根据B船的位置可以计算出斜率tana,然后可以推出sina和cosa,这样就可以更新导弹的位置,由此不停地迭代,直到导弹和船的距离小于一个给定值,则认为导弹击中了船。3 s6 h6 C3 ]: T5 \7 X
. H% E2 m1 f) _3 v8 c9 b. O- k代码如下: , E+ _! l1 ?- Z! {/ g2 ~: M1 ]* N! ]- v0 P! N" G* \
clear;clc+ ^, u' ]* _- q
v=200; % 任意给定B船的速度(后期我们可以再改的)+ S; F, N2 E3 u
dt=0.0000001; % 定义时间间隔1 B- Y$ l, G" T1 S" \; y2 _
x=[0,20]; % 定义导弹和B船的横坐标分别为x(1)和x(2)5 F2 V9 N2 ?9 E# A1 x0 h
y=[0,0]; % 定义导弹和B船的纵坐标分别为y(1)和y(2) ! ^8 I/ C0 k# _/ V" a, N" K' }t=0; % 初始化导弹击落B船的时间" b, O) V) H% o$ g/ c+ y# v
d=0; % 初始化导弹飞行的距离 : i$ J9 q/ L( y& ~( dm=sqrt(2)/2; % 将sqrt(2)/2定义为一个常量,使后面看起来很简洁 2 u: l& Q) ]; ]: \ D1 sdd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 导弹与B船的距离$ y5 |; a5 L2 Z
while(dd>=0.001) % 只要两者的距离足够大,就一直循环下去。(两者距离足够小时表示导弹击中,这里的临界值要结合dt来取,否则可能导致错过交界处的情况)6 T/ @1 j2 T3 o
t=t+dt; % 更新导弹击落B船的时间" q( P( l9 o. x* J8 O- `
d=d+3*v*dt; % 更新导弹飞行的距离 ; M( w% E( _) P8 H: H$ S; } x(2)=20+t*v*m; y(2)=t*v*m; % 计算新的B船的位置 (注:m=sqrt(2)/2), i$ I; j- ?1 h
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 更新导弹与B船的距离 ?3 B6 a9 g$ @' }% v1 R& ^& h
tan_alpha=(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)); % 计算斜率,即tan(α) : S. o2 W3 H- ^$ x& b% R" p cos_alpha=sqrt(1/(1+tan_alpha^2)); % sec(α)^2 = (1+tan(α)^2)7 X- i* Y* f8 Z: Q5 V1 H
sin_alpha=sqrt(1-cos_alpha^2); % sin(α)^2 +cos(α)^2 = 1' _# w) i6 \2 V( i: ]; X
x(1)=x(1)+3*v*dt*cos_alpha; y(1)=y(1)+3*v*dt*sin_alpha; % 计算新的导弹的位置 + h: j3 s. G7 g$ f5 o+ Z3 C4 E if d>50 % 导弹的有效射程为50个单位( G7 W$ K0 U. I7 U$ s
disp('导弹没有击中B船'); % {$ E* z+ X* C% a break; % 退出循环 ) k' R3 ~9 r. g/ v+ }; y* o2 G4 S n end" @, ]( R1 I, ~) ^
if d<=50 & dd<0.001 % 导弹飞行的距离小于50个单位且导弹和B船的距离小于0.001(表示击中)) V8 m5 p1 }4 t( U+ V6 |
disp(['导弹飞行',num2str(d),'单位后击中B船'])6 d F2 D/ C/ R _3 U
disp(['导弹飞行的时间为',num2str(t*60),'分钟']) 9 v. y' M9 ?( B4 X& ?/ S/ _2 q end ) O: r% ~' J. I) ?, E6 q5 B( tend' e- @+ g' z7 ~, `) ]2 f
运行结果如下: q3 E! R+ d0 n: u5 | # L6 D I$ p# |% x! P0 F; p7 q6 ~' g; Q
- l7 i3 v5 |$ G 下面是绘制导弹追踪B船的整个过程,代码如下: 5 k2 k4 y- V2 F4 y4 P- B * W# J4 t; N9 D0 Rclear;clc5 y5 t$ V5 R3 t* e0 w* }
v=200; % 任意给定B船的速度(后期我们可以再改的) / f' S* F" M& }3 n; }$ X+ ddt=0.0000001; % 定义时间间隔 & Q9 g. H* X4 Q3 [x=[0,20]; % 定义导弹和B船的横坐标分别为x(1)和x(2)3 \8 p8 a3 L" R( ^
y=[0,0]; % 定义导弹和B船的纵坐标分别为y(1)和y(2) % x6 G8 t# ~# M6 f3 F9 r$ G: yt=0; % 初始化导弹击落B船的时间, i4 q6 N" E, z- N/ {" x
d=0; % 初始化导弹飞行的距离! |' R' A/ E$ _6 ~
m=sqrt(2)/2; % 将sqrt(2)/2定义为一个常量,使后面看起来很简洁 & }8 O: l& t) A6 L. }# `& \( gdd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 导弹与B船的距离 # e/ q5 L9 L( K) Y# pfor i=1:2' r3 T- j- x5 r% F0 J7 i
plot(x(i),y(i),'.k','MarkerSize',1); % 画出导弹和B船所在的坐标,点的大小为1,颜色为黑色(k),用小点表示, }+ H( ]' g1 F2 \
grid on; % 打开网格线 # Z, e6 }5 L& p) G9 {+ Q hold on; % 不关闭图形,继续画图6 v7 e% o+ c, ?/ c4 \3 h
end* ~+ m3 O' Y+ {7 K. t' Q, s
axis([0 30 0 10]) % 固定x轴的范围为0-30 固定y轴的范围为0-10 + V2 X% }6 F- o4 Y. |0 }% o8 gk = 0; % 引入一个变量 为了控制画图的速度(因为Matlab中画图的速度超级慢)2 a" f- J( h& h G( z* @
while(dd>=0.001) % 只要两者的距离足够大,就一直循环下去。(两者距离足够小时表示导弹击中,这里的临界值要结合dt来取,否则可能导致错过交界处的情况)' m% Q; r5 o) P6 M5 z4 Y" Y0 P
t=t+dt; % 更新导弹击落B船的时间 6 U+ u% J5 R/ A$ \4 ]$ ?7 n% U d=d+3*v*dt; % 更新导弹飞行的距离/ ^( j+ J" ^# B" P3 e8 ~0 e+ ^
x(2)=20+t*v*m; y(2)=t*v*m; % 计算新的B船的位置 (注:m=sqrt(2)/2): O2 m9 b$ x9 {" a( [6 x; h
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 更新导弹与B船的距离 1 `: b0 X* S9 L tan_alpha=(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)); % 计算斜率,即tan(α) ) T( W* u# M. ^" M cos_alpha=sqrt(1/(1+tan_alpha^2)); % 利用公式:sec(α)^2 = (1+tan(α)^2) 计算出cos(α) w6 v6 z- R$ A* C
sin_alpha=sqrt(1-cos_alpha^2); % 利用公式: sin(α)^2 +cos(α)^2 = 1 计算出sin(α) X/ s$ p; V7 _6 ^; x' n2 w
x(1)=x(1)+3*v*dt*cos_alpha; y(1)=y(1)+3*v*dt*sin_alpha; % 计算新的导弹的位置 ( w: M& g' O- @% J k = k +1 ; v+ m! Y; r9 W0 D$ B if mod(k,500) == 0 % 每刷新500次时间就画出下一个导弹和B船所在的坐标 mod(m,n)表示求m/n的余数 ; z1 h+ \7 ]6 X- W% b for i=1:2/ J( S7 p1 Z4 I8 Z
plot(x(i),y(i),'.k','MarkerSize',1);2 U1 D6 [0 E: S9 K
hold on; % 不关闭图形,继续画图; A$ ]' X. x, S& ^. Z5 M, v
end/ R8 y$ _3 U! H3 A
pause(0.001); % 暂停0.001s后再继续下面的操作 ) D- b# g$ p) M. x' L3 C end & g9 O# u- M e( T2 V4 D* s3 A0 Q if d>50 % 导弹的有效射程为50个单位 0 }0 J: f# U: W9 w$ N% A# E disp('导弹没有击中B船'); ) `5 \2 N. I" Z/ P5 K break; % 退出循环& w4 C% Y8 O: v
end 8 A! B( G2 L" P7 H/ \ if d<=50 & dd<0.001 % 导弹飞行的距离小于50个单位且导弹和B船的距离小于0.001(表示击中)/ a, X. \+ e. q
disp(['导弹飞行',num2str(d),'个单位后击中B船'])# `# Q( D) _5 }
disp(['导弹飞行的时间为',num2str(t*60),'分钟'])2 ~7 d$ b# t) h: Z1 _6 y6 t- d: o
end b; C z7 r# f: v2 d& T' B$ C+ oend ; y# c/ Q; J1 c; N O. I; Q4 `- ^! k# E8 w9 Y7 |# _/ ^
/ V I! K b1 G* K& ]
3.6、蒙特卡洛模拟旅行商问题(Travling saleman problem,TSP)+ E+ U" x; N5 X( i( \
旅行商问题也是一个比较热门的问题,就是从一个城市开始走,访问所有城市,所有城市有且只走一次,最后回到原点,找出一种走法,使得费用最低,即边的总权重最小。 , _5 ^$ z1 D; N" f Y9 i1 k6 _( P# O# A' [8 b8 @/ I. i
N+ G" k0 v7 J2 ]
; ?. `: I# T' G" @2 a" t模拟走的过程,累加权重,找出最小的,然后绘图,我们此次之使用了10个城市进行模拟,城市数量太多,模拟效果并不好,如下:7 O4 o" u, t# _5 P- b* S
9 U& Y W$ e6 h" e& Aclear;clc 9 X3 l. }: d4 J' i7 g1 U, L% 只有10个城市的简单情况 9 K: n1 l, X, q( y/ Z6 h9 V coord =[0.6683 0.6195 0.4 0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ; 5 h& }7 P k' h6 s& t3 Q 0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761 0.9414 0.6536 0.5219 0.3609]' ; % 城市坐标矩阵,n行2列 % m m& i7 |2 S s- L; g; e8 S% 38个城市,TSP数据集网站(http://www.tsp.gatech.edu/world/djtour.html) 上公测的最优结果6656。6 G5 @9 z0 _% {0 W6 {" A
% coord = [11003.611100,42102.500000;11108.611100,42373.888900;11133.333300,42885.833300;11155.833300,42712.500000;11183.333300,42933.333300;11297.500000,42853.333300;11310.277800,42929.444400;11416.666700,42983.333300;11423.888900,43000.277800;11438.333300,42057.222200;11461.111100,43252.777800;11485.555600,43187.222200;11503.055600,42855.277800;11511.388900,42106.388900;11522.222200,42841.944400;11569.444400,43136.666700;11583.333300,43150.000000;11595.000000,43148.055600;11600.000000,43150.000000;11690.555600,42686.666700;11715.833300,41836.111100;11751.111100,42814.444400;11770.277800,42651.944400;11785.277800,42884.444400;11822.777800,42673.611100;11846.944400,42660.555600;11963.055600,43290.555600;11973.055600,43026.111100;12058.333300,42195.555600;12149.444400,42477.500000;12286.944400,43355.555600;12300.000000,42433.333300;12355.833300,43156.388900;12363.333300,43189.166700;12372.777800,42711.388900;12386.666700,43334.722200;12421.666700,42895.555600;12645.000000,42973.333300]; ( J! w1 k: C' B4 x; `n = size(coord,1); % 城市的数目. @) c- y* U, S! n2 w
figure(1) % 新建一个编号为1的图形窗口 : S% f4 T: D+ L A3 Dplot(coord(:,1),coord(:,2),'o'); % 画出城市的分布散点图: Y) I7 s) q0 `- J/ |
for i = 1:n' N* q! P& T; n+ `; T/ j
text(coord(i,1)+0.01,coord(i,2)+0.01,num2str(i)) % 在图上标上城市的编号(加上0.01表示把文字的标记往右上方偏移一点)5 {2 _, \* m/ k9 @8 e
end - y+ ?9 B1 X2 y/ F- Dhold on % 等一下要接着在这个图形上画图的4 i6 Z8 ~* y6 M7 {) e+ m
d = zeros(n); % 初始化两个城市的距离矩阵全为06 j& D# R1 G1 k8 Y: T
for i = 2:n 6 h4 K! Y# Y: }/ Y$ F
for j = 1:i . n! ?7 ^- A- K2 Y. A: I" i coord_i = coord(i,; x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2); % 城市i的横坐标为x_i,纵坐标为y_i& i2 y* w& j) `) N4 u/ Y, J: @- h: G
coord_j = coord(j,; x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2); % 城市j的横坐标为x_j,纵坐标为y_j: c `$ u+ x/ S \7 a
d(i,j) = sqrt((x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2); % 计算城市i和j的距离 . b; {3 h6 |+ s) h, a/ [1 D9 w! h end7 f' d2 t1 R; [ v
end ' ?/ q1 A( Z4 Z& Ad = d+d'; % 生成距离矩阵的对称的一面 . u5 U6 e* L; w+ z1 l H$ q2 ?; K3 p* G* j
min_result = +inf; % 假设最短的距离为min_result,初始化为无穷大,后面只要找到比它小的就对其更新 5 U- V1 e$ \; Bmin_path = [1:n]; % 初始化最短的路径就是1-2-3-...-n 2 P; B7 I2 V: c( s$ TN = 10000000; % 蒙特卡罗模拟的次数9 A( }0 x; B; o3 g( `7 i
for k = 1:N % 开始循环 ( h3 o8 c7 _+ V1 N2 ?& B- p result = 0; % 初始化走过的路程为0 t# ?: t B$ H5 ]) U) z9 {
path = randperm(n); % 生成一个1-n的随机打乱的序列 . D4 b: @8 Z" G% `5 C' N2 u) w for i = 1:n-1 ( B1 t! I6 d1 T* a' a
result = d(path(i),path(i+1)) + result; % 按照这个序列不断的更新走过的路程这个值7 W* ]" [: O; Q% k, d* [3 y; H
end ' x" M' U9 l2 @. B1 l result = d(path(1),path(n)) + result; % 别忘了加上从最后一个城市返回到最开始那个城市的距离 $ I; [; G$ u$ Q: {, \3 p9 w if result < min_result % 判断这次模拟走过的距离是否小于最短的距离,如果小于就更新最短距离和最短的路径8 k$ c9 ~# I7 ]
min_path = path;0 j% D1 o% a, e, s4 W
min_result = result ' T9 R8 ^3 u. e- i4 h end " u! m& K) K1 \- C+ }" Z+ `end8 ^% k1 L/ H# c" A2 A. B# R
min_path3 j6 {: @1 n( c/ ^& U
min_path = [min_path,min_path(1)]; % 在最短路径的最后面加上一个元素,即第一个点(我们要生成一个封闭的图形): H6 \$ k( H6 y
n = n+1; % 城市的个数加一个(紧随着上一步) % {! W$ l& f2 g( O/ ~for i = 1:n-1 9 v7 X# V$ H* p9 _1 G' ~
j = i+1; ' e: {$ Z, V" f& D! \ coord_i = coord(min_path(i),; x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2); ! f( s; c3 P: q% R M( i8 V coord_j = coord(min_path(j),; x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2);; q- Z6 l4 J$ F( S9 k" U
plot([x_i,x_j],[y_i,y_j],'-') % 每两个点就作出一条线段,直到所有的城市都走完! F6 ~- L9 w0 E. o3 {: p
pause(0.5) % 暂停0.5s再画下一条线段8 Z+ u5 z+ ]; D! ~3 o8 S
hold on" _0 g2 g, L; ?3 f+ C) `$ _
end - D" b0 |( c. y8 o! R 8 f; [, I1 R$ g. Q, I! n 0 ^& W& H g+ m/ U, P2 j四、使用蒙特卡洛模拟法解决问题 - j h: h- g& f+ @4.1、蒙特卡洛模拟求解自然常数e & Q7 d: Q- E! u我们使⽤蒙特卡罗的⽅法对这个问题进⾏模拟,并估计出⾃然常数e的值,这个和模拟Π很像。7 o: q; z' n# V3 F0 m9 C" ` w
( @' w* |4 J: M- h# Y" g; Y5 s# L4 u$ K1 a
; }1 d$ M) ^& L: z4 E' L" ^ 我们可以用随机生成的数据模拟自己的卡片和打乱顺序后的卡片,最终每个人拿到都不是自己的卡片的次数除以总次数,然后取倒数,就可以得到我们求解的e。 $ w9 ~/ L# ]9 E/ x9 \$ y9 {$ _7 m; ` 1 [ [3 J: e) F& g! J `* ?clear;clc 5 O, W K/ L( D6 N7 M S$ @tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间- y, n/ S% ?" p" x! t, x* L
n = 1000000; % 蒙特卡洛的次数(理论上n取得越大,计算出来的结果越精确) " h$ G, `" F$ ^2 V5 ?! S4 ?2 Hm = 0; % 每个人拿到的都不是自己卡片的次数(频数) 2 r* j9 F$ a) V' c8 Zpeople = 100; % 假设一共有100个人玩这个游戏 (任给的)6 g3 }6 L B. _. P% n! d
for i = 1: n % 开始循环. G; h7 o- R6 {% @$ J+ a: d- h
if isempty(find(randperm(people) - [1:people] == 0)) % 如果每个人拿到的都不是自己的卡片 5 Q% y& @ q, H4 a+ z9 e& }% l m = m + 1; % 那么次数就加1/ a" H* Z' ^, D8 a5 m4 G ~; M
end - M. T& d1 Z7 q4 vend' u& c4 ~0 J2 k2 G4 l$ R
frequency = m / n; % 每个人拿到的都不是自己卡片的频率(概率)& q5 G) w- } p1 }, f# M( M8 ~. l
disp(['自然常数e的蒙特卡罗模拟值为:', num2str(1 / frequency)]) % 注:自然常数真实值约为2.71825 ], a) ~; ^5 _. I% ^/ ]( d6 w
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间& u; i' ?) z$ \: O" `5 l
我们用100个人,进行100万次模拟,运行的结果如下所示: 2 |3 w# v$ o1 I0 O% R4 f* Y* @8 {$ r, b/ Z& i$ e# s
5 ^3 ~! ?8 g5 R
( N, K3 Y1 {3 ~( a4.2、蒙特卡洛模拟求解非线性规划问题" Z$ ?6 |5 S2 [2 I
我们看一下这个非线性规划问题,这个问题看起来不是很复杂,我们使用蒙特卡洛模拟,给出决策变量的大概范围,在范围生成数据进行模拟,满足约束的即为可行解,我们讲可行解代入目标函数,通过大量的模拟,找到一个可行解代入目标函数得到最小值,即为近似可行解。 & k: E0 L8 }! N# H 8 P0 s: s. y4 R6 y* ~# Z* a5 m6 V2 h5 f8 U2 I% {