定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
! B6 C0 G8 R/ j# ?定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
$ A+ k; e# |, e8 G% H[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
这个方法的迭代公式如下：
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
5 E$ @4 |9 r& E& h8 L, @9 s# ~; V[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
7 X" c+ g8 x3 X7 d- i( h5 `[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
' A7 N7 o1 v5 H2 U& Z3 R& B[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
& D4 h, [+ q5 s( i; C. y这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m8 E0 @# `1 O* _- ?\" N0 n/ Q/ a, F# D
   
2. 1 N1 t7 X/ O/ }2 }  ]' d$ }
   
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)# {8 E& ?9 [/ k; l
   
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');
   # t\" t* T% `! J+ M$ i  a$ f
5.    disp('function z=f(x,y)');
   ( K  q- c5 g! L/ U- ?6 f
6.    disp('z=y-2*x/y;');( b) L: p! O0 p
   
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');# O& H9 @2 Y: \
   
8. end
   ' Q' P\" k3 \2 V0 U  Z: e4 o, j# Q
9. ) t* o9 R8 f. z$ n
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');* u/ c5 f  R) N1 Y: W
    
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');, C5 e5 L4 H1 e2 M# o
    
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
    . b+ }( W' A# W- V) \) n
13. h=input('请输入求解步长h=');  C0 I8 u+ C7 y* a$ a# W# }6 s% D
    
14. , J+ l4 g$ m( |6 f4 ?1 i# R
    
15. X=X1;: {3 S& A9 W- y: ~
    
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点2 y3 ?: Y9 x0 d- {) e
    
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零
    + ~: |4 g/ e. ~# C. N
18. 
    ( L  V  M2 K: q) c9 ~7 n
19. while X<=Xn-h# ^6 x* ^2 c! v# g' [6 c, L2 k
    
20.     K1=f(X,Y);
    $ ^9 z: c) E  x, }& }
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);% D7 g/ G' ]% ~
    
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);* P: z4 o) ~: D3 v
    
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);6 z& [& r+ [0 v$ [' F5 ?, ^
    
24.     X=X+h;+ B* f  s  W/ ^\" T. O4 z9 f6 H
    
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式$ ^4 p. Q5 Q% ~1 F  D
    
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1. |5 B+ Z# G0 v0 x
    
27. ( U, f8 X' O3 t; w
    
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);
    - ?; f' c6 X/ o9 ?% o, p
29.     plot(X,Y,'o')4 c# D$ j5 K. }9 `4 |, [) D
    
30.     hold on
    : R. @  s1 s( |, s
31. end

复制代码

1. function z=f(x,y)\" {6 g* F2 k% X+ G/ P\" T5 ~\" r
   
2. z=y-2*x/y;

复制代码

, h8 W  h  i7 s( F1 y( o