定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
2 C3 X. p- \7 N$ M9 }[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
这个方法的迭代公式如下：
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
# e2 w. a9 a8 u4 s. s( T$ V& P其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m
   \" z, l; e2 c% M( i- }
2. 
   ! N0 o) {1 V. R# C; i0 [
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
   ; i# Y$ f' w* F( @! }
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');
   ' I8 F- w8 C+ m7 w6 S% ]/ Q! K$ m
5.    disp('function z=f(x,y)');7 Z8 G9 D\" p# g6 D1 g& Y
   
6.    disp('z=y-2*x/y;');
   , f* Y: {: Q7 c+ @
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');7 i5 e% N/ ~, }# ?- {( E
   
8. end
   & }8 j3 N' f8 Q$ M2 F/ {3 K0 F4 x. V# O( P
9. 
     u/ F. a! U* U. b( S
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    9 B' q. L* e4 a! q
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');
    - Z! P& n  ?2 S
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
    6 ^7 w- M2 R& ~, m
13. h=input('请输入求解步长h=');
    ; p9 @: E3 I0 l, B+ B
14. 
    6 \! ?5 h& {: C) _% |
15. X=X1;
    ! l6 x% u3 T2 Z, [# R( j
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    2 Z5 U! A7 B/ H
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零6 A, [# r: n. g% a. @
    
18. 
    , o$ S\" X0 b3 L2 V8 Q
19. while X<=Xn-h/ Q8 E( b9 _\" ?) U8 T) F* E3 {
    
20.     K1=f(X,Y);9 l& R- m% v! Z& `
    
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);5 c  ^  J. _- X4 H5 o# F/ H\" _
    
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);: F; }1 A: z3 `8 f( X; `$ v
    
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);+ s) }: i% s  u
    
24.     X=X+h;) T7 E8 ~\" g- F- T# W, `
    
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式2 R\" i% {6 v9 ?; g! r# Q
    
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
      J$ h: G, s& H
27. 
    * X( \4 S\" {  s0 u1 E
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);0 d: L\" m, m( K# L\" V1 @- g  I
    
29.     plot(X,Y,'o')
    / [, H, U5 S* m! L
30.     hold on
    % t7 t/ e# D2 T' O2 y5 c
31. end

复制代码

1. function z=f(x,y)
   * [. y% C( ?  p! Z+ p
2. z=y-2*x/y;

复制代码

$ S: H, Z5 d0 B4 ^1 K) A9 u5 b- d