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matlab实现解决空间上的温度分布

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发表于 2023-12-30 19:57 |只看该作者 |正序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
以下是代码的主要部分解释：

1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2.m：空间网格的数量。
3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
5.af：空间步长和时间步长的比率。
6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
7.h 和 k：空间和时间步长。
8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。

这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

close all;$ o' h6 ~' j* P
clear all;
# C) t* F2 H7 g3 j% j
a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;. U$ ]- d7 ?# B+ E/ V8 }
f=inline('sin(pi*x)','x');
$ T* w! {5 n k+ J) a
h=(b-a)/m;! z7 c# C k; Z/ g. C$ v% j( z
k=T/N;, M1 x; [: {* n
lmd=af^2*k/h^2;
' f. c1 c4 y: Q. @' Q4 ?# p$ p6 q
x=linspace(a,b,m+1);
4 p9 D- [; S8 }% a, {/ P
x=x(2:m+1);; C, ]) l7 d\" P# z6 h
u(m)=0;, b0 F9 f) ? F; c
for i=1:m-1/ ?3 y* r\" o5 z, x, m
u(i)=f(i*h);' [6 z% N! i) k9 | z$ j6 t6 Y' D
end% u+ R\" \' P& c/ y7 G
l(1)=1+lmd;
! f B D8 }/ f4 P) d3 p8 ?
v(1)=-lmd/(2*l(1));
+ j0 ]7 |/ Z: c$ Y1 l% D, a
for i=2:m-2
0 Z& K4 C C1 n/ b3 h* t; l
l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;
# O* {6 V; R$ u# J' G6 j7 A! |
v(i)=-lmd/(2*l(i));/ F) s- |. L. ]/ v% ~! U0 _4 e) B
end
6 A a1 ]% f1 y
l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;5 @' A0 N8 c6 `5 n
for j=1:N4 ?5 }- O1 N5 _9 x t+ o
t=j*k;
% i: @ H# X! Y
z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);
, h( u) s- g( t. Z* r4 z* `. k
for i=2:m-1
; \\" M4 E7 O( Y# t' G8 r8 F
z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i); A! J8 K G( j% I& S2 S- I- h: \
end0 ~! r! [) X# f8 q( c( B
u(m-1)=z(m-1); l% G( _\" ^ r9 o2 e
for i=m-2:-1:1
6 i: c& V& p3 \, d1 D2 l
u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);
0 `# W) Y0 w, |7 a, v2 G& L: i# E
end+ ~& r# W2 g. W
end
2 z2 n$ X+ n7 F, f, d# [7 J* E
true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);# d( ^. Z/ ]4 \0 S$ a
error=abs(u'-true');
# O( ]3 c( f* Z1 o) f8 L' M
re=[x' u' true' error]
: D; q* S: k& x) X5 y% k
; m$ }& g |\" ]
0 F3 M6 P% c3 c* l3 ~0 Q\" Z\" E