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## 割平面法
# E, B+ t X7 \0 C! ^# i+ M+ @! r2 ]9 |0 t; u6 B
割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件(割平面)来逐步逼近整数最优解。5 l" K, g: P- [/ ^ D2 d9 j
# @1 k; Q% k4 ?. E9 F
**步骤:**
9 [& s4 |% B4 H" `0 s! C9 F) O& U1 m2 U
1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松,得到一个线性规划问题,并求解其最优解。- q' F! J3 p8 X3 v+ ]
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解,则该解也是整数规划问题的最优解。
& X7 y& p5 @+ v$ e2 _, X7 g, p3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解,则需要添加一个割平面,将当前最优解排除,并迫使算法寻找新的整数解。; S8 @# {0 U, s4 @7 X0 Z4 n
4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中,并重新求解。 w( B2 {* E/ ]1 _
5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。6 X" K' j- e- F, M: ?* z u- |
2 Z0 m5 p( _/ H' M f/ ]**割平面的构造:**
, u5 A9 x. f: Q4 x. b9 ]5 W
' E5 ~' E# b1 t8 z割平面的构造方法有很多,常用的方法包括:
! P. `* ?8 y- N4 M) P4 ~6 T
8 j# }& O/ ?/ H- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量,构造一个割平面,将当前最优解排除。
9 z8 F9 @- F0 _5 |* [' `; q- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件,构造一个割平面,将当前最优解排除。+ k0 K5 ^( Q& L& j
# L# o+ I* v" S- A* {5 c2 U
**示例:**
8 i/ U8 [) f0 n3 X0 G$ k) r: @
1 Z, R, ^; _6 S5 g, g" @; E**问题:**
. ~! P. g( G, B- m- t- ]1 g6 W9 z$ V8 y% ?0 Q8 S
```
- m( G- m4 ]: Z, u) z0 D最大化 Z = 3x1 + 2x2( Y5 o/ A: B6 D/ m9 R# u
约束条件:& W: {: _1 v7 x6 v1 S: I
x1 + x2 <= 4
/ c. \& ~. Z6 q( t7 U! s1 d& E2x1 + x2 <= 6( h) P, x- \# [; \1 z
x1, x2 >= 0
. z8 M: `3 P; O( v( J# E, \# }# q8 ox1, x2 为整数6 K# W! ~/ N$ V, d! f: x7 \; e' S
```
' U+ c& Z3 K& N- v+ ^4 s6 t/ W
- e& V9 Z# D6 @, |$ z( t**步骤:**2 ]1 h( H) L* E& ^' J6 m5 j
9 z- A; m$ N% C4 E0 \: @
1. **求解线性松弛问题:**
' `- E2 Y, s$ P' h4 D) ]2 \9 R - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。! _2 W6 o7 F6 y0 ]% x+ T
# A5 H& p, j/ Q" m4 k; r) x
2. **判断整数解:**
4 W+ Z3 X: b/ Y& X - 最优解不是整数解。
/ i$ _1 Q# t9 ]1 T/ \, m& H+ F& c: b! I. `5 Z: y) S2 T
3. **添加割平面:**
; x- \& Z2 Z v- h: [$ H - 使用 Gomory 割平面方法,构造割平面: x1 + x2 <= 3。# y) Y% S/ x0 f# y
* n& F1 ^4 }& x, g4. **更新线性松弛问题:**
, S6 U# r$ ?: `& ^ - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中,并重新求解。$ Y4 A5 n3 S$ j; p" M7 t
- 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。% m. I' ?# Z1 b! ^7 X
% q$ X- r4 {7 Z |. ~8 K% I) e
5. **重复步骤 2-4:**
4 [0 i1 P6 E. u2 S6 u - 最优解仍然不是整数解,需要继续添加割平面。- j' |) n- }# @" N5 H# _
- 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
0 e4 H' R( }: U( D8 o6 U
4 G4 C7 t% q1 I- D**总结:**- X" B( P* z: u( I5 _
9 l$ k) ~' r5 a
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法,它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是,割平面法的计算量可能很大,尤其对于大型问题,需要使用计算机程序来进行求解。
( S' I( p# K* Y# g2 E5 `3 C- E$ \# G5 |" H a! o1 ?5 [" |
2 N! ~0 s8 ^2 h
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