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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |正序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 & P4 j8 }0 s: F P/ G! n6 F6 W
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 T' y1 E( w6 e
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
1 \2 I d, J* r* E: T0 F# m- V& y
for i = 1:n ( h3 s9 R8 F8 C8 ^5 a\" v
for j = 1:n + z! H3 S' ~/ z+ N6 Y& a
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) & I) R$ A- t- c; p5 _
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); # Y! y- G3 P/ V- h& ?* y8 f+ L
end 2 _\" V, t+ @# \& Y# R
end & E# g2 Y* u# b1 `3 a
end & T& I5 u: J4 I$ j5 U( v2 K
m = m + 1;
5 M+ C2 \/ C6 p- ^
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); 7 F+ ~) ]3 A: e' M6 i
k = 1; # R1 z: J+ r4 u5 s* G
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
: y; e/ u1 E( ?0 w
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
1 C4 V. P6 y$ Q; c& ~: s' m _; s
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
9 M4 D; Z4 p/ x, D
for i = 1:n
& E, N& m% C) A1 A0 z ?6 {! \
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
3 g1 z\" B G3 ]7 z
if V(1, i) == U(k1, i)
8 [( l+ x$ n6 c5 v) @( h; O
P1(k + 1) = i;
- ]/ h6 C) R$ S4 }! u. m
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 $ k* Z2 E& D. R1 ^. _; p
k = k + 1; 1 Y) v- {: U1 j, |4 L6 l
end
1 `5 V0 D s% X1 l* F4 J6 v7 Y
end
5 a: u S6 J' }( M' `
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。: s4 i' F* ?; ]* ]

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
% ^) }2 P4 Y+ ~$ j
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
6 Q2 e# R3 ^, S% h1 y6 U+ `
for j = length(wrow):-1:1
9 c, h# O8 T% b% j$ o
P(k) = P1(wrow(j));
/ B& x6 x0 q4 S
k = k + 1;
9 {7 R& Z\" q. Y3 s! [
end
! n. {; E) Y- c\" G# L, f1 k6 k
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。" T$ d$ J2 C6 s" [2 y/ v4 {* d' W

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]