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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |正序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
( \' T/ M& t: j\" A; H# _2 x4 s8 Y
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 1 `1 f5 m- w' V* a
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n $ r! e9 K& O+ E# r( F8 J) i7 C
for i = 1:n
2 G' x/ b+ T6 U
for j = 1:n
/ Z- E- T1 G9 Y* I+ k
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
# h+ m; P4 x9 @' ]* [5 R
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
3 |# z! a* O: m
end
( I+ i0 Z: d4 `
end 3 f3 X+ E4 m0 [0 t! P' s( d- B
end
2 q, c! `6 _\" p' C: h% ?% K
m = m + 1; . ^+ V8 X* k2 b8 a6 q) |& n7 K! L
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
6 ?( x, g\" @) G9 @0 h ?/ r
k = 1;
6 T4 W5 C9 c$ ]* z O; g. @
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
\" w/ Y( ?( O# t
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 4 A* C( o; \8 N _, l
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 & } R g7 W( y* |4 D& Q& d
for i = 1:n 1 s! b+ L0 ]8 P. k
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
2 v! u1 d! Y* Y! S
if V(1, i) == U(k1, i)
0 |% n; B/ N4 m. u2 l
P1(k + 1) = i; * i3 r$ n' f ~
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 ; N, O4 x9 h! A
k = k + 1; 5 V' q! f7 J\" ^( N
end
\" B& I3 G9 G. d1 U& r
end
7 H0 v& i9 n% i( l. `7 F
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
% t8 L @$ g+ R2 h/ F0 `

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; ( s. {0 n$ d4 G\" b) R% B d
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 $ f9 d. u/ D' z
for j = length(wrow):-1:1 7 r9 H9 R: \- K/ Y* V9 r2 I( r4 H. q
P(k) = P1(wrow(j)); 9 N, W$ F8 i# b9 y
k = k + 1; $ v3 O/ p7 a5 v
end
5 Z+ \/ ~4 d2 G/ M% Q) l5 Y
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
: w6 [2 z7 a; I6 f8 e- p/ @

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]