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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |正序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
% f\" e, m* v H% h5 w\" t O( P
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
4 F8 y$ g( `( x/ O/ J1 G1 c
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
9 p2 ?% j6 ?% m3 S V6 h
for i = 1:n 2 K( |; y$ d; i: N) }% z, I
for j = 1:n
, F+ x' w) i: y4 O; v
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) 2 X\" k\" Z0 G+ @7 M
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); ) I# H7 X9 y9 [! l T3 Z' Y
end ! s/ m1 D J* a$ ~8 z, {& b
end 3 g7 x- [2 Z- d* M
end . P; z8 v4 H% h. R$ |4 R' u# g
m = m + 1;
3 u/ k5 Y4 L' q\" L\" Y2 k
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); % G3 B! {6 h8 e' w8 w3 D8 }
k = 1; ( d' `- F' V7 t
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
' s5 c5 w: M4 q/ n\" B& E& }3 x
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 % `, T* N0 I8 \' b- b9 R
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 : E, N( l1 P4 v
for i = 1:n
& i+ z7 U* E' v4 ~; f& }& V; K% c) b
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); 9 R( s% a. ?' [
if V(1, i) == U(k1, i)
7 y3 l\" s$ D, v8 y; t+ u- q+ u
P1(k + 1) = i;
& B+ j+ k8 w# L. u
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 . J7 w! P% H4 p6 d; s) L/ T: H
k = k + 1;
0 v, q }1 G9 z( n6 v
end 7 G! c9 }; U# I0 K
end & ^& _6 J$ j: n I* n1 |4 ]\" C
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。5 m6 M8 D0 X1 t/ j

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
- C$ Z1 a+ w, h' S( {, w
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
+ Z% l5 l4 w- }* @. k- q& K3 Q
for j = length(wrow):-1:1
; ~7 z1 }% [, O0 w
P(k) = P1(wrow(j));
; D( x# X5 L! |\" m9 G\" a4 P8 {8 z
k = k + 1;
$ M) r1 h1 b/ \5 h2 m6 _\" Q# l
end ) B5 [2 b E0 [5 |. E
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。5 Q. E/ x7 T; z

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]