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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |正序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
9 w0 n0 F! f, X% J& h/ L9 n& z
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
0 J/ e0 [8 Q6 W/ r
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n . `2 M9 Z6 D5 q
for i = 1:n 2 D; b W. ^5 C
for j = 1:n + @! p& I: r& {4 `' n' Z6 P1 X
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
4 s7 C1 P) O' s4 L( x
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); 3 i5 b5 W8 J& x( M
end 0 {! H) x% s, `( O% Z: R
end 5 d$ p0 ]% W4 F) N' q9 f
end
; v) b* j- [% r
m = m + 1;
0 a O' `( ?1 \- b' n7 q2 X. ~
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); & @% ? i, Q' U( Y( G) o& u8 h
k = 1; 2 p8 o' `( x\" \\" Q- Y; I
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
+ I% Y; d6 K7 ] q
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
2 [) H9 V, r7 N
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 4 W. c M1 o! ^
for i = 1:n
5 W7 e3 c4 G0 A5 l3 C
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); 1 f+ ?* h& ?8 \- V. P! s
if V(1, i) == U(k1, i)
. K/ ]: B% E6 D0 {\" `
P1(k + 1) = i; |4 R6 E Y\" ]
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
4 Z7 p; h' a. r' K! o
k = k + 1; 8 y, G/ V7 j6 c% c6 ]
end 1 a. O; ?$ b3 X5 M p4 ~/ r) ?
end \" L4 {7 }7 N- g6 }\" U\" C
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
: N" ~- P: ]" G6 r

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
! w$ X X3 w7 } _9 Z
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
$ I8 C* } D4 D! ], S4 b
for j = length(wrow):-1:1 7 z; L0 g0 Z' H s4 L
P(k) = P1(wrow(j)); \" ~* O- }' l% q. X( [* i1 K0 Z
k = k + 1;
* S1 T% w; a8 c! x\" Y! s. M
end
( i9 |% |0 n2 {# V
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
# o" H* m5 [4 c

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]