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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |正序浏览
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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度,并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
2 y3 e& t! `& _" Y  `" o" t" _函数定义
  1. function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)
复制代码
- `W` 是输入的邻接矩阵,表示图中节点间的权重(距离)。
- X% b1 r7 R5 |; G! p- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。$ \0 H2 t  U# A5 v; D
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径,`u` 为最短路径长度。
7 H& Q6 q) j+ |8 O! {, D初始化
  1. n = length(W); % 获取图中节点的数量  & P4 j8 }0 s: F  P/ G! n6 F6 W
  2. U = W;         % 用 U 保存当前的路径长度    T' y1 E( w6 e
  3. m = 1;        % 初始化步数
复制代码
- `n` 是节点总数。
8 I% i2 @$ d( b) n- j- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`,用于存储更新后的最短路径长度。  v& _) w. F  ^+ q
- `m` 控制外层循环的索引。
8 W1 e3 f% r0 ?( Q, ^( D5 x0 G主程序
  1. while m <= n  
    1 \2 I  d, J* r* E: T0 F# m- V& y
  2.     for i = 1:n  ( h3 s9 R8 F8 C8 ^5 a\" v
  3.         for j = 1:n  + z! H3 S' ~/ z+ N6 Y& a
  4.             if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)  & I) R$ A- t- c; p5 _
  5.                 U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);  # Y! y- G3 P/ V- h& ?* y8 f+ L
  6.             end  2 _\" V, t+ @# \& Y# R
  7.         end  & E# g2 Y* u# b1 `3 a
  8.     end  & T& I5 u: J4 I$ j5 U( v2 K
  9.     m = m + 1;  
    5 M+ C2 \/ C6 p- ^
  10. end
复制代码
- 外层 `while` 循环运行 `n` 次(节点数量),内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
/ X0 U4 w1 u  @1 {- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短,则更新 `U(i, j)`。
3 ]! e4 x% n) W7 P$ Z- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径,最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
( H. _0 m! w& L! [9 n获取最短路径长度
  1. u = U(k1, k2);
复制代码
- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
. w8 Y9 h& A3 \( f求解最短路径
  1. P1 = zeros(1, n);  7 F+ ~) ]3 A: e' M6 i
  2. k = 1;  # R1 z: J+ r4 u5 s* G
  3. P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中  
    : y; e/ u1 E( ?0 w
  4. V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组  
    1 C4 V. P6 y$ Q; c& ~: s' m  _; s
  5. kk = k2; % 当前节点设置为目标节点
复制代码
- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径,初始化为全零数组。: a, p/ r6 u( z; E1 N
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。* ]# p2 ^" u; ]% [" l

' j+ q; S$ P) S[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
: d8 P5 b) _- [) t
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]
  1. while kk ~= k1  
    9 M4 D; Z4 p/ x, D
  2.     for i = 1:n  
    & E, N& m% C) A1 A0 z  ?6 {! \
  3.         V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);  
    3 g1 z\" B  G3 ]7 z
  4.         if V(1, i) == U(k1, i)  
    8 [( l+ x$ n6 c5 v) @( h; O
  5.             P1(k + 1) = i;  
    - ]/ h6 C) R$ S4 }! u. m
  6.             kk = i; % 更新当前节点为前驱节点  $ k* Z2 E& D. R1 ^. _; p
  7.             k = k + 1;  1 Y) v- {: U1 j, |4 L6 l
  8.         end  
    1 `5 V0 D  s% X1 l* F4 J6 v7 Y
  9.     end  
    5 a: u  S6 J' }( M' `
  10. end
复制代码
7 K; h/ t% Q& A( R
  • 通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯,直到找到起点 k1。
  • 在内循环中计算 V 数组,能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。: s4 i' F* ?; ]* ]
完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]$ C% a/ E8 d- b7 `
  1. k = 1;  
    % ^) }2 P4 Y+ ~$ j
  2. wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引  
    6 Q2 e# R3 ^, S% h1 y6 U+ `
  3. for j = length(wrow):-1:1  
    9 c, h# O8 T% b% j$ o
  4.     P(k) = P1(wrow(j));  
    / B& x6 x0 q4 S
  5.     k = k + 1;  
    9 {7 R& Z\" q. Y3 s! [
  6. end  
    ! n. {; E) Y- c\" G# L, f1 k6 k
  7. P;
复制代码
  • 提取路径 P,通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
  • 注意这里是从后往前填充路径,确保路径顺序是正确的。" T$ d$ J2 C6 s" [2 y/ v4 {* d' W
总结
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言,n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能,使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度,并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径,但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。
[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
. ~5 C5 {6 ^( H9 c8 c. f2 {; J1 \7 U2 C5 k2 F( y; Q3 y
6 F  x+ i1 Z7 t
[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]$ A: E7 P! B" E) L9 t! f3 V

: p2 m5 Z# W; ~3 u) ?$ B0 T2 X+ n4 b# g
: A" S" l5 ]4 @/ I& s7 ~" @+ A

n2shorf.m

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