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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |正序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
: U+ a3 c1 V% R: V! {9 f$ m3 p) J1 k
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 % y3 Z- j) B( q
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n ) Q2 x- Q8 j# F7 H; D
for i = 1:n + l9 C) A3 J\" z! k\" O
for j = 1:n
) a0 n+ g9 ?* L! [: k
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) 8 B/ ~' ^: d* h& Q4 a
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); ; M, G\" B' [, o8 \$ t
end . ?4 V3 |# q- Q- }+ c9 S
end / z' Q- Y- Y\" p' L% X, Z$ N% ]
end
5 N' t: Y% ~) ~ F5 e1 \( z
m = m + 1; t\" M\" K, D2 i
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
# U- m9 {0 N; ^5 x
k = 1; \" z! }( s, X* ~- [' M# O' N) K, Q
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 \" p9 w( g' e* R/ O3 G5 X( H2 m
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 & D& w6 X0 E. m$ l; t# B5 m# K
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 \" l3 G; o4 \' _: a5 W2 t! M
for i = 1:n & _' h$ I' R5 w/ h/ _7 r7 I\" `. @
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
* d, t& D; f2 d3 M7 k$ `
if V(1, i) == U(k1, i) / a/ u1 x9 E1 [3 h% r
P1(k + 1) = i; ( u9 ~$ B6 E$ D2 b {! S4 u
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 & }\" t2 ~% j) @* h
k = k + 1; ! g( x- ], C0 G; \/ S* X% |5 }5 H\" N
end 5 d# e7 s a: y! v- ?
end 6 u6 N0 D6 H3 O7 ]* x' G
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。* d: i( K: V8 |7 J+ R U, G/ k5 S

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 6 `3 _/ f4 S, Z3 A w. @! M& X. ?( \
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 ) C5 [ U9 {; g4 u
for j = length(wrow):-1:1
- T1 w! W7 e* A; j+ S
P(k) = P1(wrow(j)); Q. u/ x$ a6 ~% r' h8 r
k = k + 1; 1 q: Y4 t X9 i3 `\" c- K2 o+ |
end & J _/ O/ o1 K ~
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
- {, \8 c2 O' k: o3 S! N

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]