实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

### Logistic 回归原理

% j9 N) Y3 b" I( x2 x2 Z! U1. **Sigmoid 函数**：
   \[
# H$ [  y" q( H   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。
7 D$ O5 b: J4 E8 L) O: F3 F
' o7 A/ N) b# m1 B2. **损失函数**：
   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
! n5 J: c9 v' w% ^8 l1 C   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
6 f7 @( G4 {+ S6 o. l' o   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
; x3 n  V) a2 L% _   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。


  f3 k. a+ ?' F) `  M, r) K

  h, O6 x" t' e  x# c' C( A