实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
" `& K/ x! {8 V$ N7 ]2 H+ p
### Logistic 回归原理

1. **Sigmoid 函数**：
3 C$ I/ h0 R# a+ M- p: e! B7 a0 [* x) A   \[
$ {" R0 z! c7 i- p! e& ^/ ^   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
# V# ~/ r& ?" {   \]
2 v7 f  R2 Z; Z   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

2. **损失函数**：
9 u+ K0 u+ F* N7 n) O+ i6 o# a   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
% R: f$ r, V. W1 D; e   \[
6 K# q; P, J$ j2 b% `! |; u/ n   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
% E$ G$ y2 n' g   \]
& m1 L/ c5 r5 l7 F+ m3 Z: F2 \( B   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
( H- r, }$ [& o* K6 Y   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
/ H2 _' m; D" O   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。
) L- R! C, a5 n0 I



1 ~* n) x$ z9 p' B+ L  ^