[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
& E( Q# E" j; |Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
, K' B' f6 m2 V: @9 l( T（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
. ~! e5 j, E7 l（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
; V+ u" M: Z' D+ D/ q（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
. K# A, u  r6 C, n$ X
Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
3 M! T7 w* Q! k! l
" T) Z1 W3 W7 P2 V2 e2 t（1） 选择一个小于p的随机数a。
! G% m9 l1 I* m! {8 |) t: n（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
$ f! }. P& }; s! R  T（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
! h' _$ u" b7 F
! y6 b" W! Z. B# a) DRabin-Miller
& \: o! _7 r% W5 }/ t/ l9 N1 r: A这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
" H/ i! C5 _0 s
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
8 M( G% U( q7 h5 r2 t% @（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
' r) c8 e' t0 K* a! o（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
! l' m7 b$ p1 L7 p3 W! Q
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
1 v; m- r1 z& j* q$ i  A/ T" t  v
1 s1 c: _$ p. w; n$ B! z实际考虑：
, y4 |/ f. _/ w1 A; l+ K在实际算法，产生素数是很快的。
  C& E7 B* a! Q% d. a. X
（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
& D; h3 U. J2 h1 c% w4 W（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
0 ]8 i2 v& k$ s- p+ m# P% p1 X! c（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

4 ^7 Y4 f9 S6 E$ `
在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
6 A* S3 q% l8 X' Q2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数