[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

6 v7 o3 t% O- t! E（1） 选择一个小于p的随机数a。
" a, ^7 M: S! C  @; b（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
% i/ [$ ?' B& J/ F- ]4 G$ E（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
1 d. t9 H. x1 f+ ~: [
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

+ r/ W: t0 Q5 xLehmann
5 C# K' X9 a3 E3 M0 }7 y9 K" x另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
3 p# a- `4 q9 y% ]3 d3 F, s( J. b& {. C
' `* P' {) n2 v/ W( x( `（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
' \* U. p0 v& t/ O（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

0 ~$ ]- [: }- ~6 D同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

0 [3 j6 E4 ^' ~# ]  _$ s3 ~4 d1 D/ eRabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

2 h0 C+ {  q: |( [' B1 T3 _* ^首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
+ m# y" a2 ^& ?! \! J0 M
（1） 选择一个小于p的随机数a。
; U& t; @( I0 m% H; ^4 ]" B（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
1 M4 }- h% s; R, z（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
; v5 L8 G5 t0 L" S8 \* v
/ w3 X6 C* J. C+ q+ D/ g' e这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。

: f/ `; Q+ |/ c; ~1 t* F实际考虑：
  o- ^2 g7 I: [9 H5 X5 {* u在实际算法，产生素数是很快的。
, i9 P, g6 s" y6 @. n; `8 A3 L
0 }% u2 i5 W, H  Q（1） 产生一个n-位的随机数p
4 X' x9 E% x: k# ]2 _（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
$ {: i4 J! ?, {4 V" U6 a! W$ ~（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
9 J% G' L# j+ {9 {2 a* N' I（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
  j' b& y' x0 h  T$ @% ?, A2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数