[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
. q9 i1 U; b" }2 s& y. c（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
' `8 i* t0 V" n" y) r
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

1 ^# a3 X. p( r/ a" `Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

3 Q$ E# M6 P9 T0 \0 f# L同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

. h# B, [+ @6 b, oRabin-Miller
9 A% z! Z  y) d) I7 J/ a6 I这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
* Z" N5 Y3 _5 D4 K* h( ~8 J
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

, k8 P$ {; ?( I8 b5 e, b（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
9 G( _: ], _/ B# O9 I, K& C6 i（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
+ ]/ y; |. K( r0 @8 ^! X7 K（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
8 y/ x4 E! s) \5 {
实际考虑：
, _1 z( M$ S7 q6 [" u! [6 h在实际算法，产生素数是很快的。
3 Y0 D; A7 \1 [, q% p
（1） 产生一个n-位的随机数p
' n4 i6 J1 \* V# J/ W( D（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
6 d; G) ?; t" ?' ~' x' o  d（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数