[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

  y1 f  v# M3 K: h, w（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
) s1 X! D7 M3 k* n5 G! @（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
- u5 G3 A, [+ W( M7 d（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
3 @4 g: {2 s- ^9 @( `8 g# q) p
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
0 ]: s! ^1 p, g0 q
# u5 Q/ a2 Z* f3 a$ F9 }Lehmann
! e6 {3 X6 i! Q另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
' H. O3 H: e/ B. H; ~" E
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
7 i5 _) `2 x4 c（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

& x+ Z8 }) `5 f1 w$ Z同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
, v. n: c0 Y& q( e
1 D; p4 w) Q* c5 x% Q2 O9 M. m! KRabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
5 Q- ^! j8 Y0 H( `0 b5 [6 `- Y
6 o6 f& q# Z. ]  h' ^9 _& `5 v; l首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
. F7 |1 g" x$ F
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
" G( ?9 k0 C+ ~' x' r" j（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
; L8 `; k2 @* r% p0 V4 x. j（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
8 m( P" {( n2 G/ p3 ]( {. t5 x
5 \$ S7 E9 W+ D' N& @这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
4 I' d: Q7 o% C% D4 J
实际考虑：
: a! |0 U4 s' P5 u在实际算法，产生素数是很快的。

（1） 产生一个n-位的随机数p
$ ]4 o1 E/ u$ p5 |! f（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
4 L# D/ t; s/ D( \$ e3 n! R（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
) h6 H3 _; D8 M7 q9 |# e/ P（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

  G* ^4 G1 d0 I& i
在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
& H6 j0 B; X* S7 W( l% I+ v  p3 {2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数